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第 02 讲 等比数列
目录
题型一：等比数列的定义..............................................1
题型二：等比中项....................................................3
题型三：等比数列的通项公式..........................................5
题型四：等比数列的性质..............................................7
题型五：等比数列的函数特征.........................................10
角度1：等比数列的单调性.........................................10
角度2：求等比数列中的最大（小）项...............................12
题型六：等比数列的前 项和性质......................................15
角度1：等比数列片段和性质.......................................15
角度2：等比数列奇偶项和.........................................17
题型一：等比数列的定义
典型例题
例题1．（2023·江西赣州·统考二模）已知数列 的前 项和为 ，满足 ， ，则
（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】C
【详解】因为 ，则 ，整理得 ，
且 ，所以数列 是以首项 ，公比 的等比数列，
则 ，
所以 .
故选：C.
例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知等比数列 的前 项和为 ，若 ，则
（ ）
A． B．5 C． D．【答案】C
【详解】由题意得： ， ， ，
即 ， ， ，
因为数列 是等比数列，所以 ，
即 ，解得： ，
故选：C.
例题3．（2023春·河北石家庄·高二校考阶段练习）已知等比数列 的前 项和为 ， ，
，则 =______.
【答案】1
【详解】因为 ， ，
故 ，
所以 ，
故公比 ， ，
则 .
故答案为：1
精练核心考点
1．（2023·新疆喀什·统考模拟预测）已知等比数列 的前n项和为 ，且 ，则 （ ）
A．54 B．93 C．153 D．162
【答案】D
【详解】当 时，则 .
当 时， ．
又因为 是等比数列，所以 ，
所以 ，解得： ，
所以 ，所以 ．
故选：D.
2．（2023秋·吉林长春·高三校考阶段练习）若数列 是等比数列，其前n项和 ，n为正整
数，则实数a的值为______.
【答案】
【详解】数列 的前n项和 ，则当 时， ，显然当 时，数列 是等比数列，而 ，
因为n为正整数，数列 是等比数列，则 必满足 ，即 ，因此 ，解得
，
所以实数a的值为 .
故答案为：
3．（2023春·安徽马鞍山·高二马鞍山二中校考期中）已知等比数列 的前n项积为 ，若 ，
则 ______.
【答案】8
【详解】设等比数列 的公比为q， ， ，可得 ，即 .
又 ， ，解得 ， ，故 ，
， .
故答案为：8.
题型二：等比中项
典型例题
例题1．（2023·海南海口·校联考模拟预测）在正项等比数列 中， ，则公比
（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】B
【详解】 为等比数列，则有 ，且 ，所以 ．
因为 ，所以 ，所以 ，故 .
故选：B
例题2．（2023·甘肃兰州·统考模拟预测）已知 ， ，若 是 与 的等比中项，则 的
最小值是（ ）
A．8 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【详解】因为 是 与 的等比中项，
所以 ，即 ，所以 ，又 ， ，
所以 ，
当且仅当 且 ，即 时取等号．
所以 的最小值为4．
故选：B．
例题3．（2023·河南·校联考模拟预测）记等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，且
， ， 成等比数列，则 __________.
【答案】
【详解】依题意，有 ，解得 ，
故 .
因为 ， ， 成等比数列，所以 ，
即 ，解得 ，
故 .
故答案为：
精练核心考点
1．（2023秋·陕西宝鸡·高二统考期末）已知等比数列 中， ， ，则 （ ）
A．8 B． C． D．
【答案】C
【详解】因为 是等比数列，设公比为 ，
所以 ，
又 ，
所以 ，
故选：C
2．（2023·全国·高三专题练习）在各项均为正数且递增的等比数列 中， ，则
（ ）
A．96 B．192 C．384 D．768
【答案】D【详解】设等比数列公比为 ，
∵数列 为正数且递增的等比数列，则 ，
由 ，则 ，可得 ，
则 ，解得 或 （舍去），
故 .
故选：D.
3．（多选）（2023春·黑龙江哈尔滨·高二哈九中校考阶段练习）设公比为 的等比数列 ，若
则（ ）
A． B．当 时，
C． 和 的等比中项为4 D．
【答案】ABD
【详解】由题意， ，即 ，故A正确；
当 时， ，所以 ，故B正确；
因为 ，所以 和 的等比中项为4或 ，故C错误；
由 ，当且仅当 时，等号成立，故D正确.
故选：ABD.
题型三：等比数列的通项公式
典型例题
例题1．（2023·陕西咸阳·校考三模）已知等比数列 满足 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设等比数列 的公比为 ，
若 ，则 ，所以 ，
又由 ，即 ，则 ，故 .
故选：C
例题2．（2023春·高二课时练习）在正项等比数列 中，已知 ，求通项公式
.
【答案】 .
【详解】设公比为q，由题意得 ，解得 .∴ .
例题3．（2023春·甘肃张掖·高二高台县第一中学校考阶段练习）已知数列 的首项 ，
.
(1)证明：数列 为等比数列；
(2)求数列 的通项公式.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）因为 ，所以 ，
即 ， 且 ，
所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列.
（2）由（1）可求得 ，所以 ，即 .
精练核心考点
1．（2023·广东珠海·珠海市第一中学校考模拟预测）已知等比数列 的各项均为正数，公比 ，且
，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由 ，可得 ，解得 ，
又由 ，所以 ，所以 .
故选：B.
2．（2023·重庆万州·重庆市万州第三中学校考模拟预测）若数列 满足 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为 ， ，所以 ，又 ，
所以数列 是首项为2，公比为2的等比数列，
所以 ，即 ，所以 .
故选：B
3．（2023·北京·高三专题练习）设等比数列 的前 项和为 ， ， ，则 ____；使
成立的 的最小值为____．
【答案】
【详解】由 ， 得： ，
所以 ，故 ，
故 得： ，
由于 为整数，故 的最小值为7，故答案为： ，7
题型四：等比数列的性质
典型例题
例题1．（2023·安徽安庆·安庆一中校考三模）在等比数列 中， ，则
（ ）
A．4 B．8 C．32 D．64
【答案】D
【详解】由 可得 ，又 ，
故 ，则 ，解得 ，即 .
故选：D
例题2．（2023春·安徽宿州·高二江西省泰和中学校联考期中）正项等比数列 中，
，若 ，则 的最小值等于（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【详解】由等比数列 中，设公比为 ，且 ， 由 得 ，故 ，
由 得 ，
，当且仅当 ，即 时等号成立，故
最小值为 ，
故选：B
例题3．（2023春·高二课时练习）已知数列 为等比数列.
(1)若 ，且 ，求 的值；
(2)若数列 的前三项和为168， ，求 ， 的等比中项.
【答案】(1)6
(2)
【详解】（1）因为 ，所以 ，即 ，
又 ，所以 ；（2）设等比数列{a}的公比为q，因为 ，所以 .
由已知得 ，即 ，解得 ，
若G是 ， 的等比中项，则有 ，
所以 ，所以 ， 的等比中项为 .
例题4．（2023春·湖北荆州·高二校考阶段练习）在各项均为正数的等比数列 中，
，则 的最大值是______．
【答案】8
【详解】各项均为正数的等比数列 中，
由 ，则 ，
所以 ，当且仅当 时等号成立，
故 的最大值为8．
故答案为：8．
精练核心考点
1．（2023·陕西·校联考模拟预测）等比数列 的各项均为正数，且 ，则
（ ）
A．8 B．6 C．4 D．3
【答案】B
【详解】解：因为 ，
所以 .
故选：B
2．（2023·全国·高三专题练习）已知正项等比数列 满足： ，若存在两项 使
得 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】设数列 的公比为 ，
由 可得： ，又 ， ，由 可得： ， ，解得： ，
， ，
，解得： ，
，
（当且仅当 ，即 时取等号），
（当且仅当 时取等号），
即 的最小值为 .
故选：A
3．（2023秋·河南驻马店·高三统考期末）在正项等比数列{ }中，若 ， 是关于 的方程
的两实根，则 （ ）
A．8 B．9 C．16 D．18
【答案】B
【详解】由韦达定理可得 ，由等比数列性质可得 ，则 ，
由等比数列性质可知 ，则 ，
故 .
故选：B.
4．（2023春·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨市第四中学校校考阶段练习）已知等比数列 的各项均为正数，
目 ，则 （ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【详解】由题意等比数列 的各项均为正数，目 ，
则 ，故 ，
所以
，
故选：C题型五：等比数列的函数特征
角度1：等比数列的单调性
典型例题
例题1．（多选）（2023秋·山东济宁·高二统考期末）已知等比数列 的前 项和为 ，且
，数列 的前 项积为 ，则下列结论中正确的是（ ）
A．数列 是递增数列 B．
C． 的最大值为 D． 的最大值为
【答案】BC
【详解】等比数列 的前 项和为 ，且 ，
当 时， ；当 时， ，
设等比数列 公比为 ，则有 ，解得 ，
所以 ， ，数列 是递减数列，故A选项错误，B选项正确；
数列 的前 项积为 ，则 ，当 ， ；当 ， ，
即 ， ； ， ，所以 的最大值为 ，C选项正确，D选项错误.
故选：BC.
例题2．（2023春·高二课时练习）设等比数列 的首项为 ，公比为 ，则 为递增数列的充要条
件是（ ）
A． ， B． ，
C． D．
【答案】C
【详解】因为 ，若 ，则数列 为摆动数列，与题意不符，所以， .
①若 ，则对任意的 ， ，由 可得 ，即 ；
②若 ，则对任意的 ， ，由 可得 ，此时 .
所以， 为递增数列的充要条件是 ， 或 ， ，
当 ， 时， ，则 ；
当 ， 时， ，则 .因此，数列 为递增数列的充要条件是 .
故选：C.
例题3．（2023春·高二课时练习）已知 为等比数列， ， ，以 表示 的前
项积，则使得 达到最大值的 是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【详解】 为等比数列， ， ，
， ， ， ， ．
故 是一个减数列，前4项都大于1，从第五项开始小于1，
以 表示 的前 项积，则使得 达到最大值的 是4，
故选： ．
角度2：求等比数列中的最大（小）项
典型例题
例题1．（2023·全国·高二专题练习）设等比数列 的公比为 ，其前 项和为 ，前 项积为 ，且
满足条件 ， ， ，则下列选项错误的是（ ）
A． B．
C． 是数列 中的最大项 D．
【答案】D
【详解】等比数列 的公比为 ，若 ，则 ，
由 ，可得 ，则数列 各项均为正值，
若 ，当 时，由 则 恒成立，显然不适合，故 ，且 ，
，故 正确；
因为 ，所以 ，故 正确；
根据 ，可知 是数列 中的最大项，故 正确；
由等比数列的性质可得 ，
所以 ，故 错误．
故选： ．
例题2．（2023·山西忻州·统考模拟预测）在等比数列 中，若 ， ，则当取得最大值时， _______________．
【答案】6
【详解】在等比数列 中， ， ，
所以公比 ，
所以 ，解得 ，故 ，
易得 单调递减，且 ，
因为 ， ，
所以当 时， ，当 时， ，
所以当 取得最大值时， ．
故答案为：6
例题3．（2022·全国·高二假期作业）公比为q的等比数列 ，其前 项和为 ，前 项积为 ，满
足 ，则 的单调性为___________（填“单调递增”“单调递减”“不单
调”）；当 ___________时， 取得最大值.
【答案】 单调递增 2022
【详解】若 ，则 ，不合题意，所以 ，
又因为 ，所以 ，所以 为单调递增数列，
因为 ，所以 ，所以 ，
故 均大于1，并且从第2023项起 ，
所以 是数列 中的最大项.
故答案为：单调递增； .
题型五精练核心考点
1．（2023春·北京海淀·高二北理工附中校考期中）设{an}是等比数列，则“a ＞a ＞a ”是“数列{an}是递减
1 2 3
数列”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C【详解】设数列{an}的公比为q，因为a ＞a ＞a ，所以a ＞a q＞a q2，解得 或 ，故数列
1 2 3 1 1 1
{an}是递减数列；反之，若数列{an}是递减数列，则a ＞a ＞a ，所以a ＞a ＞a 是数列{an}是递减数列的充
1 2 3 1 2 3
分必要条件，
故选：C.
2．（2023·广西·统考模拟预测）已知正项等比数列 满足 ，则 取最大值时
的值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】B
【详解】设等比数列 的公比为 ，有 ，
由函数 单调递增，且 ，可得 .
有 ，由数列 单调递减，
所以 取得最大值时 的值为9，
故选：B.
3．（2023春·河南洛阳·高二洛阳市第一高级中学校考阶段练习）等比数列 的前 项积为 ，并且满足
，现给出下列结论：① ② ；③ 是 中的最大
值；④使 成立的最大自然数 是2019，期中正确的结论个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【详解】因为 ，故可得 ，因为 ，故可得 ，
因为 ，若 ，则 和 均大于1，与已知矛盾，故 ，
因此 ， ，数列 是个递减数列.
对①，因为数列是个减数列，且 ，故 ，故①错误；
对②， ，因为 ，故 ，故②正确；
对③， ，因为 ，数列是减数列，且 ，
故 中最大值为 ，故③错误；
对④， ， ，故 成立的最大自然数 是2018，故④错误.综上所述，只有1个正确.
故选：A.
4．（多选）（2023春·辽宁沈阳·高二沈阳二十中校联考期中）设等比数列 的公比为q，其前n项和为
，前n项积为 ，并满足条件 ， ， ，下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C． 是数列 中的最大值
D．若 ，则n最大为4038．
【答案】ABD
【详解】对A，∵ ， ， ，且数列 为等比数列，
∴ ， ，∴ ，
因为 ，∴ ，故A正确；
对B，∵ ，∴ ，故B正确；
对C，因为等比数列 的公比 ， ，所以数列 是递减数列，
因为 ， ，所以 是数列 中的最大项，故C错误；
对D， ，因为 ， ，故 ，
，故 ，即 ，故n最大为4038，故D正确．
故选：ABD．
5．（多选）（2022秋·江苏盐城·高二校考阶段练习）设等比数列 的前 项积为 并满足 ，
，则下列结论正确的有（ ）
A． B． C．当 时， 取最大值 D．当 时，
【答案】BCD
【详解】 ，所以 ，即 .
所以 .
因为 ，所以 ，即等比数列 为递减数列.对选项A，因为 为递减数列，所以 ，故A错误.
对选项B，因为 ，
因为 ，所以 ，即 ，故B正确.
对选项C，因为等比数列 为递减数列， ，
所以 ， ，即当 时， 取最大值，故C正确.
对选项D， ，
又因为 ， ，
所以当 时， ，当 时， ，故D正确.
故选：BCD
题型六：等比数列的前 项和性质
角度1：等比数列片段和性质
典型例题
例题1．（2023·广西玉林·统考三模）已知等比数列 的前 n项和为 ，若 ，则
（ ）
A．12 B．36 C．31 D．33
【答案】C
【详解】因为等比数列 的前n项和为 ，且 ，所以不妨设 则 .
由分段后性质可知： 构成等比数列.
由 ，即 ，解得： .
所以 .
故选：C
例题2．（2023秋·河北石家庄·高二统考期末）等比数列 的前 项和为 ，已知 ，
，则 （ ）
A．270 B．150 C．80 D．70
【答案】B【详解】根据题意等比数列 的公比 .
由等比数列的性质有 ， 成等比数列
所以有 ， 则 ，
所以 ，
故选：B
例题3．（2023·高二课时练习）已知等比数列 的前 项和为 ，若 ， ，则
____________．
【答案】27
【详解】因为数列 为等比数列，所以 成等比数列，
故 ，即 ，解得 ，
同理可得 ，所以 .
故答案为：27.
例题4．（2023·河北沧州·统考模拟预测）已知等比数列 的前 项和为 ，若 ， ，则
______.
【答案】510
【详解】因为数列 为等比数列，由等比数列的性质知，
， ， ，…， ，…构成首项为 ，公比为 的等比数列，且
是该等比数列的前8项和，
所以 .
故答案为：510.
角度2：等比数列奇偶项和
典型例题
例题1．（2023春·高二课时练习）在数列 中， ， ，若 ，则
（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【详解】解：由题意得 ， ， ，即 ，所以当 为奇数时， ；当 为偶数时， ；
设 的前n项和为 ，则 ， .
若 为奇数，则 为3的倍数， 不是 的倍数，不合题意；
当 为偶数，则
，即 ，所以 .
故选：B
例题2．（2022·全国·高二专题练习）等比数列 中， ， ，则 的值为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】解：设等比数列 的公比为q，
∵ ， ，
∴ ，解得 ， .
∴ ，
， ，
故选：A.
例题3．（2023春·高二课时练习）在等比数列 中，若 ，且公比 ，则数列
的前100项和为______．
【答案】450
【详解】在等比数列 中，公比 ，则有 ，
而 ，于是得 ，
所以数列 的前100项和 ．
故答案为：450题型六精练核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）已知等比数列 的前 项和为 ，前 项和为 ，则前 项和为
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】等比数列 的前 项和为 ，前 项和为
成等比数列.
故答案选B
2．（2023春·高二课时练习）已知等比数列 共有32项，其公比 ，且奇数项之和比偶数项之和少
60，则数列 的所有项之和是（ ）
A．30 B．60 C．90 D．120
【答案】D
【详解】设等比数列 的奇数项之和为 ，偶数项之和为
则 ，
又 ，则 ，解得 ，
故数列 的所有项之和是 .
故选：D
3．（2022·全国·高二专题练习）已知一个项数为偶数的等比数列 ，所有项之和为所有偶数项之和的
倍，前 项之积为 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】由题意可得所有项之和 是所有偶数项之和 的 倍，所以， ，故
设等比数列 的公比为 ，设该等比数列共有 项，
则 ，所以， ，
因为 ，可得 ，因此， .故选：C.
4．（2023春·高二课时练习）在等比数列 中，若 ，则 ________.
【答案】28
【详解】由数列 是等比数列，且易知公比 ，
所以 也构成等比数列，即 构成等比数列，
从而可得 ，解得 或 ，
又 ，
所以 .
故答案为：28
5．（2023·高二课时练习）已知等比数列{an}的公比为 ，则 的值是________.
【答案】
【详解】∵等比数列{an}的公比为 ，
则 .
故答案为：
6．（2023·全国·高三专题练习）已知 为等比数列 的前 项和，且 ， ，则
___________.
【答案】 /
【详解】由等比数列性质结合题中数据知： ， ， 成等比数列，
，即 ，解得： ，
.
故答案为： .
7．（2023春·吉林延边·高二延边第一中学校考开学考试）已知正项等比数列 的前 项和为 ，且
，则 的最小值为___
【答案】20
【详解】因为 是等比数列， ，
所以 ，因为 是等比数列，
所以
整理得 （当且仅当 时取等号）.
因为 ，
所以 的最小值为 .
