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疑难压轴5 指、对数式比较大小压轴问题（小题狂练）
一．单选题.
【教材溯源题】
1．已知
，则
的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】对
，
，进行变形，构造
，
，求导后得到其单调性，
从而判断出
，
，的大小.
【详解】
，
，
，
令
，
，
，
因为
，所以
，
令
，
，
在
上恒成立，
在
上单调递增，
故
，所以
在
上恒成立，
故
在
上单调递减，
所以
，即
，
故选：D.
【2025 上贵州铜仁期末】
2．已知
，
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据对数函数单调性可得
，再由指数函数以及幂函数性质可判断
，可得结论.
【详解】因为
，所以
，可得
；
则
，即
，
又
，即
，
易知指数函数
单调递减，可得
，
又幂函数
单调递增，可知
，
即可得
；
因此可得
.
故选：D
【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用指数函数、幂函数、对数函数的单调性，限定出
各数的取值范围，再综合利用指数函数、幂函数单调性可得结论.
【2024 福建名校联考】
3．已知
，
，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
可以通过取对数进行比较，
可以构造函数
，利用
函数的单调性求解.
【详解】
，
，则
，
，而
，
则有
，即
；
设
，
，则
在
上为增函数，则有
，即
.
综合可得：
．
故选：D
【2025 上四川宜宾期末】
4．已知
，则有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】判断函数
的奇偶性及在
上的单调性，再比较大小即可.
【详解】函数
的定义域为
，
，则函数
是偶函数，
当
时，
，任意
，
，
，则
，于是
，
而
，因此
，函数
在
上单调递增，
又
则
，所以
.
故选：B
【点睛】关键点点睛：利用函数单调性定义确定函数的单调性是解题的关键.
【2024 湖南长沙长郡中学模考】
5．已知实数
分别满足
，
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由题意可得
，
，构造函数
，结合导数研
究函数单调性后可得
，构造函数
，结合导数研究函数单调性后
可得
，即可得出
.
【详解】由
，则
，令
，
，
则
，
则当
时，
，故
在
上单调递增，
故
，
即
，即
，
由
，则
，
令
，
，则
，
令
，则当
时，
恒成立，
故
在
上单调递增，又
，故
恒成立，
故
在
上单调递增，故
，
即
，即
，故
.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于构造函数
、
，从而借助导数求出函数单调性以比较
、
、的大小.
【2024 湖南邵阳模考】
6．已知
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据题意可得
，构建函数
，利用导数分析可知
在
上单调递增，进而结合对
数函数单调性分析判断.
【详解】因为
，
两边取对数得：
，
令
，
则
，
令
，则
，
可知
在
上单调递增，
因为
，则
，可知
恒成立，
则
，即
，可得
，
则
在
上单调递增，可得
，
可得
，即
，
又因为
在
上单调递增，所以
.
故选：D.
【点睛】关键点睛：对题中式子整理观察形式，构建函数
，
利用导数判断其单调性.
【原创】
7．已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】构造函数
，通过求导确定
，得到
，再
构造函数，
求导确定单调性可判断
，再构造函数
，
通过求导确定
单调性，即可判断；
【详解】令
，则
，
即函数
在
上单调递增，所以
，
即当
时，
，又
是增函数，所以
．
令
，则
，
即函数
在
上单调递增，所以
，
则
，即
，所以
．
令
，
则
，
即函数
在
上单调递增，
所以
，即
，即
．
令
，则
，
显然
在
上单调递增，且
，所以当
时，
，即
在
上单调递增，所以
，
即
，即
．
综上可知，
，
故选：C．
【点睛】关键点点睛：构造
，通过求导确定单调性得到，
时，
，
【2024 四川遂宁二模】
8．已知a，b，c 均为正数，且
，
，
，则a，
b，c 的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】可将所给式子变形成
、
、
，则
可构造相应函数研究其交点横坐标，借助函数单调性画出图象即可得.
【详解】由
，可得
，
由
，可得
，
由
可得
，
令
，
，故
在
上单调递增，
令
，
，故
在
上单调递增，
令
，
，故
在
上单调递减，
令
，则
，
则
时，
，
，
，
故
在
上单调递增，在
上单调递减，
，
，
，
，
，
，
，
，
为函数
与函数
的交点横坐标，
为函数
与函数
的交点横坐标，
为函数
与函数
的交点横坐标，结合函数图象可得
.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题关键点在于利用所给式子，将其变形成
、
、
，从而可构造相应函数研究其交点横坐标，借助函数单
调性画出图象即可得.
【2024 四川成都第七中学模考】
9．已知a，b，c 满足
，
，则（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】B
【分析】构造函数
，利用其单调性，分
，
，
讨论即可.
【详解】由题意得
，即
，则
，则
，
令
，根据减函数加减函数为减函数的结论知：
在
上单调递减，
当
时，可得
，
，两边同取以5 为底的对数得
，对
通过移项得
，
两边同取以3 为底的对数得
，
所以
，所以
，所以
，且
，
故此时，
，故C,D 选项错误，
时，
，
，且
，故A 错误,
下面严格证明当
时，
，
，
根据函数
在
上单调递增，且
，
则当
时，有
，
，
，
下面证明：
，
要证：
，
即证：
，等价于证明
，
即证：
，此式开头已证明，
对
，左边同除分子分母同除
，右边分子分母同除
得
，
则
故当
时，
，则
当
时，可得
，
，两边同取以5 为底的对数得
，对
通过移项得
，
两边同取以3 为底的对数得
，
所以
，所以
，所以
，且
，
故
，故此时，
，
下面严格证明当
时，
，
当
时，根据函数
，且其在
上单调递减，可知
，则
，则
，
根据函数函数
在
上单调递增，且
，
则当
时，
，
下面证明：
，
要证：
即证：
，等价于证
，
即证：
，此式已证明，
对
，左边同除分子分母同除
，右边分子分母同除
得
，
则
，
故
时，
，则
当
时，
，则
，
，
综上
，
，
故选：B.
【点睛】关键点睛：本题的关键在于构造函数
，利用其单调性及
，从而得到
之间的大小关系，同时需要先求出
的范围，然后再对
进行分类
讨论.
【教材溯源题】
10．设
，
，则下列关系正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由题意可得
、
，构造函数
、
，利用导数讨论两个函数的单调性可得
、
，即可求
解.
【详解】
，
，
设函数
，
则
，
设
，则
，
所以
在
上单调递减，且
，即
，
所以
在
上单调递减，
则
，即
，所以
.
设
，则
，
所以
在
上单调递增，且
，
即
，
得
，所以
，即
，解得
.
综上，
.
故选：B
【点睛】方法点睛：此类比较大小类题目，要能将所给数进行形式上的变化，进而由此构
造函数，利用导数判断单调性，进而比较大小.
【2024 陕西咸阳模拟预测】
11．设
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】构造函数
，利用单调性可得
，作差法比较
，可得结果.
【详解】由
，
构造函数
，则
，
当
时，
，则
在
上单调递增，
而
，所以
，即
，也就是
；
下面再比较
与
，
，
因为
,
，
所以
，则
，
所以
.
故选：B
【点睛】思路点睛：构造函数，利用导数研究函数的单调性，从而比较大小.
【2025 下江苏淮安开学考试】
12．已知
是奇函数，实数
、
均小于，
为自然对数底
数，且
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用函数奇偶性的性质可得出
，由已知可得出
，
，由
结合对数函数的单调性可得出
，可
得出
，可得出
，并推导出
、
，即可得解.
【详解】对任意的
，
，则函数
的定义域为
，
因为函数
为奇函数，则
，可得
，所以，
，
，则函数
为奇函数，符合题意；
因为
，
，
则
，
，
因为
，则
，
所以
，即
，即
，
即
，
因为
，
，则
，则
，故
，即
，
又因为
，即
，可得
或
，
则
或
，即
，同理可知，
，故
.
故选：D.
【2024 全国模拟预测】
13．已知：
，
，
，那么
三者的关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先比较
和
，注意到
，
，从而通过比较
的大小可
，再比较
和，注意到
，而又有
,从而只需要证明
即可.
【详解】因为
，
，而
，
所以
，得
，
令
，则
，
所以
在
上递减，
因为当
时，
，所以
，
所以
，所以
，
所以
，
因为
，所以
，
所以
，所以
，
所以
，
故选：C
【点睛】关键点点睛：此题考查对数式和指数式比较大小，考查对数的运算，考查导数的
应用，解题的关键是构造函数，利用导数可求其单调性，从而可得其取值范围，考查计算
能力和转化思想，属于较难题.
【2024 重庆模拟预测】
14．设
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用对数函数的性质得到最大，再利用作差法，结合基本不等式得到
，从
而得解.
【详解】由对数函数的性质知
，
，
，
所以
，
，
；
当
时，
，
所以
，
取
，则
，
所以
，即
，
综上，
.
故选：C.
【点睛】结论点睛：对数比大小常用结论：
.
二．多选题.
【原创】
15．若
，则下列关系正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】把不等式等价变形，结合函数的单调性可得
，逐项判断可得正确答案.
【详解】由
得
，
令
，则
．
因为函数
在
上都是增函数，所以
在
上是增函数，
所以
，故A 正确．
当
时，
，故B 错误．
因为函数
在
上单调递增，所以由
得
，故C 正确．
因为函数
在
上单调递减，所以由
得
，故D 正确．
故选：ACD．
【2024 全国专题练习】
16．下列大小关系正确的是．（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】平方之后再作差即可判断A，根据指数、对数函数的性质判断B，当
时，
，即可判断C，令
，利用导数说明函数的单调性，即可判断D.
【详解】对于A，因为
，
即
，显然
，
，
所以
，故A 正确；
对于B，
，所以
，又
，所以
，故B 正确；
对于C，当
时，函数
与函数
有
个交点
，
，
作出
和
的图象，如图所示，
结合图象可知，当
时，
，又
，所以
，故C 错误；
对于D，设
，则
，
令
，则
，令
，则
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
又
，所以
，即
，化简得
，故D 正确．
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：D 选项的关键是构造函数
，利用导数说明函数的单
调性，从而比较函数值的大小.
【2025 上广东深圳期末】
17．若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】先由条件推得
，对于A，利用指数函数的单调性，即可判断；对于B，
根据条件，可得
，再利用三角函数的单调性，可得
，即可判断；对于
C，利用
在区间
上单调递减，可得
，再利用
和
的单调性，即可推得；对于D，利用
和
的单调性，可得
，
再利用对数函数的单调性，即可推得.
【详解】由
，可得
，则
，
对于A，由
是增函数，
是减函数，可得
，
故
，故A 正确；
对于B，因为
，所以
，
又
在区间
上单调递增，则
在区间
上单调递增，
所以
，则有
，故B 错误；
对于C，由
，又
在区间
上单调递减，
可得
，故有
是减函数，则
，
又由
在
上是增函数可得，
，因此
，故C 正
确；
对于D，因为
在
上是增函数，所以
，又
是减函数，得
，
因此
，两边取对数可得
，故D 正确.
故选：ACD．
【点睛】方法点晴，比较函数值的大小，常用的方法：
（1）利用基本函数的单调性，如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等；
（2）借助中间值进行比较，常用
和.
【2025 下湖南衡阳阶段练习】
18．若
，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【分析】先证明：对任意
，
，有
，利用此结
论，当
时，可判定AB；再运用对数运算性质判断CD.
【详解】先证明结论：对任意
，
，有
；
证明如下：因为
，所以
为减函数，
所以
，即
，
设
，即
，则
为减函数，
所以
，即
，
从而
，也就是
，
当
时，可得
，A 正确，B 错误；
应用上面的结论可得：
，故D 正确，C 错误.
故选：AD
【点睛】关键点点睛：证明命题：对任意
，
，有
，是后续解题的关键.
【2024 湖北一模】
19．已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】将
，
变形作差，可得
，设
，
，
求导判断函数的单调性即可判断
；将变形，可得
，设
，
，求导判断函数的单调性即可判断
；根据
，
即可
判断
.
【详解】
，
，
，
令
，
，
则
，
在
上单调递减，
所以
，即
，故
正确；
因为
，所以
，
令
，
，
则
，
在
上单调递减，所以
，
即
，故
正确，
因为
，
，所以
，故
正确.
故选：
.
【点睛】方法点睛：数的大小的比较，通过构造函数，通过求导利用函数的单调性求解是
解题的关键.
【2024 全国模拟预测】
20．已知实数a，b 满足
，则下列关系式中可能正确的是
（ ）
A．
，使
B．
，使
C．
，有
D．
，有
【答案】ABC
【分析】由原方程可得
，构适函数，由函数的单调性得出值
域，根据函数的值域判断A；令
，代入原方程转化为判断
是否有解
即可判断B；条件变形放缩后构造函数，利用函数的单调性得出
大小，判断CD.
【详解】由
得
，
令
，则
分别在
和
上单调递增，
令
，则
分别在
和
上单调递增，
当
时，
的值域为
，当
时，
的值域为
，
所以存在
，使得
；
同理可得，存在
，使得
，
因此
，使
，故选项A 正确．
令
，则方程
可化为
，
由换底公式可得
，
显然关于b 的方程在
上有解，所以
，使
，故选项B 正确．
当
时，因为
，所以
．
又
在
上单调递增，所以
．
因为
，
令
，则
在
上单调递增．
因为
，所以
，
从而
，所以
．
综上所述，
，故选项C 正确．
当
时，因为
，所以
．
又
在
上单调递增，所以
．
因为
．
令
，则
在
上单调递增，
因为
，所以
，
从而
，所以
．
综上所述，
，故选项D 错误．
故选：ABC．
【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据对数式的运算规则和对数函数的单调性求解.
三．填空题.
【2024 广东东莞期中】
21．已知
均为正数，且
，则
的大小关系为 .
【答案】
【分析】设
，然后分别求出
，然后将对数式和指数式利用公式变形，
判定大小关系.
【详解】设
，因为
均为正数，所以
，
则
，所以
，
同理
，
，
所以只需要比较
的大小即可.
,
,因为
，所以
，
，
，因为
，所以
，
又
，所以
，
故
，所以
，
故答案为：
.
【2025 江西赣州一模】
22．已知
，记
，
，
，则
的大小关系为
.
【答案】
【分析】根据换底公式结合对数函数的单调性可得
，分析可得
，
，由
此可得
的大小关系.
【详解】由换底公式等价变形得：
，
因为
，所以
，故
，
因为
，所以
，故
，
所以
.
由
，可得
，
由
，可得
，
综上得，
.
故答案为：
.
【2025 上甘肃天水期末】
23．定义在
上的奇函数
满足
，当
时，
，设
，则
的大小关系为 .
【答案】
【分析】根据给定条件，结合奇函数的性质可得
，再将
变形，借助
指数函数单调性比较大小.
【详解】因为
是在
上的奇函数，所以
，即
，
则
，
，
，
当
时，
，则
在
上单调递增，由
，得
，
而
，则
，即
，又
，则
，
，
于是
，即
，
因此
，
，即
，则
，
而
，即
，因此
，即
，
所以
.
故答案为：
【2024 安徽三模】
24．已知
，则
的大小关系为 .
【答案】
【分析】由
，根据数值的特点，构造函数
和
，再利用函数的单调性，赋值后比较函数值
的大小.
【详解】由
，
即
，
令
，
则
在
上恒成立，
故
在
上单调递增，
则有
，即
，
令
，
则
在
上恒成立，
故
在
上单调递减，
则有
，即
，
故
.
故答案为：
【点睛】利用导数比较大小问题方法点睛：根据已知中式子的外形结构特征与导数结合起
来，合理构造出相关的可导函数，然后利用该函数的性质解决问题.
（2024·山西·三模）
25．已知函数
，若
，则
的大小关系为 .
【答案】
【分析】首先得到
关于直线
对称，并根据复合函数单调性得到其单调性，再构造
相关函数
的单调性得到
，则比较出大小关系.
【详解】因为
，
则
，
则
关于直线
对称，
当
时，
，
根据复合函数单调性知
在
上单调递减，
且
在
上也单调递减，
则
在
上单调递减，再结合其对称性知
在
上单调递增.
令
，则，
，
所以
在
上单调递增，且
，所以
即
.
令
，则
，
设
，
，
所以
单调递减且
，因此
，
所以
单调递减且
，所以
，即
.
由
得
，所以
.
又因为
，且
，
所以
.
设
，
，则
，
则
在
上单调递增，则
，
即
，即
在
上恒成立，
即
，所以
.
所以
，则
，
故
，而
，
即
.
故答案为：
.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是得到
的对称性和单调性，再构造新函数，利用导
数的单调性得到
，则比较出三者大小.
1.试题特点分析：指、对数式比较大小试题不仅综合考查指数、对数、幂函数的运算性
质、图像、单调性等，还能够与导数、不等式相结合.试题虽然简短却内涵丰富，集指、对、
幂、不等式等众多的知识点于一体，体现了在知识交汇处命题的原则，较好地考查学生的
数学核心素养.
2.解题方法阐述：解决指、对数式比较大小问题主要方法有：
（1）单调性法：当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或
幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较；
（2）中间值法：当底数、指数、真数都不同时，要比较多个数的大小，就需要寻找中间变
量0、1 或者其它能判断大小关系的中间量，然后再各部分内再利用函数的性质比较大小，
借助中间量进行大小关系的判定．
（3）作差法、作商法：
①一般情况下，作差或者作商，可处理底数不一样的对数比大小；②作差或作商的难点在
于后续变形处理，注意此处的常见技巧与方法.
（4）估算法：
①估算要比较大小的两个值所在的大致区间；②可以对区间使用二分法(或利用指对转化)
寻找合适的中间值，借助中间值比较大小.
（5）构造函数法：
构造函数，观察总结“同构”规律，很多时候三个数比较大小，可能某一个数会被可以的
隐藏了“同构”规律，所以可能优先从结构最接近的的两个数来寻找规律，灵活的构造函
数来比较大小.
（6）放缩法：
①对数，利用单调性，放缩底数，或者放缩真数；②指数和幂函数结合来放缩；③利用均
值不等式的不等关系进行放缩.
3.解题经验分享：第一、熟练掌握函数的性质与图象，只有准确把握图象和性
质，才能进行后续的解题步骤. 第二、要善于积累构造函数的方法，学会灵活
的构造函数.第三、合理估算和找中间量.
