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第 05 讲 复数 (精讲）
目录
第一部分：知识点必背................................................2
第二部分：高考真题回归..............................................4
第三部分：高频考点一遍过............................................6
高频考点一：复数的概念...........................................6
高频考点二：复数的几何意义.......................................8
高频考点三：复数分类............................................11
高频考点四：复数模..............................................13
高频考点五：待定系数求复数 ...............................16
高频考点六：复数的四则运算......................................18
高频考点七：共轭复数............................................21
第四部分：数学思想方法.............................................22
①数形结合的思想................................................22
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1、复数的概念
我们把形如 的数叫做复数,其中 叫做虚数单位,满足 .全体复数所构成的集合
叫做复数集.
复数的表示:复数通常用字母 表示,即 ,其中的 与 分别叫做复数 的实部与虚
部.
2、复数相等
在复数集 中任取两个数 ， ，（ ），我们规定
.
3、复数的分类
对于复数 ( ),当且仅当 时,它是实数；当且仅当 时,它是实数0；当 时,
它叫做虚数；当 且 时,它叫做纯虚数.这样,复数 ( )可以分类如下:
4、复数的几何意义
（1）复数的几何意义——与点对应
复数的几何意义1：复数 复平面内的点
（2）复数的几何意义——与向量对应
复数的几何意义2：复数 平面向量
5、复数的模
向量 的模叫做复数 )的模，记为 或
公式： ，其中
复数模的几何意义：复数 在复平面上对应的点 到原点的距离；
特别的， 时，复数 是一个实数，它的模就等于 ( 的绝对值).
6、共轭复数
（1）定义
一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数；虚部不等于0的两
个共轭复数也叫共轭虚数.（2）表示方法
表示方法：复数 的共轭复数用 表示，即如果 ，则 .
7、复数代数形式的加法（减法）运算
（1）复数的加法法则
设 ， ，（ ）是任意两个复数，那么它们的和：
显然：两个复数的和仍然是一个确定的复数
（2）复数的减法法则
类比实数集中减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足：
的复数 叫做复数 减去复数 的差，记作
注意：①两个复数的差是一个确定的复数；
②两个复数相加减等于实部与实部相加减，虚部与虚部相加减.
8、复数的三角表示式及复数的辐角和辐角的主值
（1）复数的三角形式
一般地，任何一个复数 都可以表示成 的形式.其中 是复数 的模； 是以
轴的非负半轴为始边，向量 所在射线（射线 ）为终边的角，叫做复数 的辐角.
叫做复数 的三角表示式，简称三角形式.为了与三角形式区分开来， 叫做复
数的代数表示式，简称代数形式.
注意：复数三角形式的特点口诀：
“模非负，角相同，余弦前，加号连”
（2）复数的俯角
任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差 的整数倍.
复数0的辐角也是任意的，不讨论它的辐角主值.
我们规定在 范围内的辐角 的值为辐角的主值.
通常记作 ，即 .
（3）复数代数形式和三角形式的互化
复数的代数形式可以转化为三角形式，三角形式也可以转化为代数形式.我们可以根据运算的需要，将
复数的三角形式和代数形式进行互化.
复数的代数形式化三角形式的步骤:
①先求复数的模；
②决定辐角所在的象限；
③根据象限求出辐角(常取它的主值)；
④写出复数的三角形式．（4）三角形式下复数的相等
两个用三角形式表示的复数相等的充要条件：
两个非零复数相等当且仅当它们模与辐角的主值分别相等．
9、复数三角形式的乘法
设 ， 的三角形式分别是： ， ，则
简记为 ：模数相乘，幅角相加
10、复数三角形式的除法
设 ， ，且 ，
因为 ，
所以根据复数除法的定义，有 .
这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐
角减去除数的辐角所得的差.
简记为 ：模数相除，幅角相减
第二部分：高考真题回归
1．（2022·浙江·高考真题）已知 （ 为虚数单位），则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】 ，而 为实数，故 ，
故选：B.
2．（2022·北京·高考真题）若复数z满足 ，则 （ ）
A．1 B．5 C．7 D．25
【答案】B
【详解】由题意有 ，故 ．
故选：B．
3．（2022·全国（乙卷文）·高考真题）设 ，其中 为实数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【详解】因为 R， ，所以 ，解得： ．
故选：A.
4．（2022·全国（甲卷理）·高考真题）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
故选 ：C
5．（2022·全国（新高考Ⅱ卷）·高考真题） （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】 ，
故选：D.
6．（2022·全国（甲卷文）·高考真题）若 ．则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为 ，所以 ，所以 ．
故选：D.
7．（2022·全国（乙卷理）·高考真题）已知 ，且 ，其中a，b为实数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
由 ,结合复数相等的充要条件为实部、虚部对应相等，
得 ,即
故选:
8．（2022·全国（新高考Ⅰ卷）·高考真题）若 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D【详解】由题设有 ，故 ，故 ，
故选：D
9．（2022·天津·高考真题）已知 是虚数单位，化简 的结果为_______．
【答案】 ##
【详解】 ．
故答案为： ．
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：复数的概念
典型例题
例题1．（2023·高一课时练习）下列类比推理命题（其中 为有理数集， 为实数集， 为复数集）：
①“若 、 ，则 ”类比推出“若 、 ，则 ”；
②“若 、 、 、 ，则复数 ， ”类比推出“若 、 、 、 ，则
， ”；
③“若 、 ，则 ”类比推出“若 、 ，则 ”．
其中，类比结论正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【详解】对①，在复数范围内若 ，也必然有 ，故①正确；
对②，由实数和虚数的区别类比于有理数和无理数的区别，
由对应相等，故②正确；
对③，当虚部不为零时，复数不能比较大小，故③错误.
故选：C.
例题2．（多选）（2023·高一单元测试）在复平面内，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．若 ，则 D．若复数 满足 ，则 是纯虚数
【答案】AD
【详解】对于A， ，故A正确；对于B， ，故B不正确；
对于C，两个虚数不能比较大小，故C不正确；
对于D，设 ，则 ， ，则 ，解得 ，故
是虚数，故D正确；
故选：AD
练透核心考点
1．（2023·高一课时练习）以下命题中，正确的是（ ）
A．若 ，复数 中，实部为 ，虚部为
B．若 ，当 是虚数时，则 且
C．若 ，当 时，复数 为纯虚数
D．若 ，当 时，复数 为实数
【答案】D
【详解】解： 选项中，若 ，复数 中，实部为 ，虚部为 ，故选项 错；
选项中，若 ，当 是虚数时，则 ，故选项 错；
选项中，若 ，当 且 时，复数 为纯虚数，故选项 错；
选项正确.
故选： .
2．（多选）（2023·湖南衡阳·校考模拟预测）已知 为虚数单位，则以下四个说法中正确的是（ ）
A． B．
C．若复数 为纯虚数，则 D．复数 的虚部为
【答案】AD
【详解】对于A中，由虚数的运算性质，可得 ，所以A正确；
对于B中，根据虚数不能比较大小，所以B不正确；
对于C中，例如：当 时， ，此时 ，所以C不正确；
对于D中，根据复数的概念，可得复数 的虚部为 ，所以D正确.
故选：AD.
高频考点二：复数的几何意义
典型例题例题1．（2023·全国·高一专题练习）已知平面直角坐标系中 是原点，向量 对应的复数分别为
， ，那么向量 对应的复数是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】向量 对应的复数分别记作 ， ，
根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量 ， ，
由向量减法的坐标运算可得向量 ，
根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量 对应的复数是5－5i.
故选：B
例题2．（2023·甘肃武威·统考一模）设复数 在复平面内对应的点的坐标为 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为复数 在复平面内对应的点的坐标为 ，
所以 ，
所以 ．
故选：D.
例题3．（2023·全国·高三专题练习）若复数 在复平面内对应的点位于第二象限，则（ ）
A． 不可能为纯虚数
B． 在复平面内对应的点可能位于第二象限
C． 在复平面内对应的点一定位于第三象限
D． 在复平面内对应的点可能位于第四象限
【答案】D
【详解】由 为第二象限，其对应辐角范围为 ，
所以 对应辐角为 ，
故 在复平面内对应的点可能位于第三、四象限及y轴的负半轴.
所以A、B、C错误，D正确.
故选：D
例题4．（多选）（2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨德强学校校考阶段练习）已知复数 对应的向量
为 ，复数 对应的向量为 ，则（ ）A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 与 在复平面上对应的点关于实轴对称，则
D．若 ，则
【答案】ABC
【详解】因为 ，所以 ，
则 ，即 ，则 ，故选项 正确；
因为 ，所以 ，
即 ，则 ，故选项 正确；
设 ，因为 与 在复平面上对应的点关于实轴对称，
则 ，所以 ， ，则 ，
故选项 正确；
若 ， 满足 ，而 ，故选项 错误；
故选：ABC.
练透核心考点
1．（2023春·四川成都·高三成都七中校考开学考试）已知 ，则 在复平面内对应的点位于
（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【详解】由题意得 ，
所以复数 在复平面内对应的点为 ，位于第三象限，
故选：C
2．（2023春·浙江·高三校联考开学考试）复数 ，复数 满足 ，则下列关于 的说法
错误的是（ ）
A． B．
C． 的虚部为 D． 在复平面内对应的点在第二象限
【答案】C【详解】对于A，由已知可得，
，故A正确.
对于B，因为 ，所以 ，故B正确；
对于C，根据复数的概念可知 的虚部为 ，故C错误；
对于D，根据复数的概念可知 在复平面内对应的点为 ，故D正确.
故选：C.
3．（2023秋·江西抚州·高三临川一中校考期末）在复平面内，复数 ， 对应的向量分别是 ，
，则复数 对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【详解】因复数 ， 对应的向量分别是 ， ，则 ， ，
于是得 ，
所以复数 对应的点 位于第二象限.
故选：B
4．（2023·高三课时练习）复数 与 在复平面上对应的向量分别为 与 ，已知 ，
，且 ，则复数 ______.
【答案】 或
【详解】依题意， ，设 ，
由 得： ，由 得： ，
联立解得 或 ，即 或 ，
所以 或 .
故答案为： 或高频考点三：复数分类
典型例题
例题1．（2023春·上海宝山·高三上海交大附中校考开学考试）已知复数 ， ，且
为纯虚数，则实数 ___________
【答案】 ##
【详解】由 可得 ，
∵ ，
∴ ，
∵ 为纯虚数，
∴ ，即 .
故答案为：
例题2．（2023·高一单元测试）已知复数 ，其中 ， 为虚数单位．
(1)若 为实数，求 的值；
(2)若 为纯虚数，求 的虚部．
【答案】(1)
(2)8
【详解】（1）解：若z为实数，则 ，解得 ．
（2）解：由题意得 解得 ，
∴ ，故 ，
∴ 的虚部为8．
例题3．（2023·高一课时练习）设复数 ， ．
(1)若 是实数，求 ；(2)若 是纯虚数，求 的共轭复数．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：因为 ， ，
，又 为实数，
所以 ，
，所以 ，
；
（2）解： ，
是纯虚数，
，即 ，所以 ．
．
练透核心考点
1．（2023·高一单元测试）已知 是虚数单位，复数 ．
(1)若 是纯虚数，求 的值；
(2)若复数 对应的点位于第二象限，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1） 是纯虚数，
．
（2） 复数 对应的点位于第二象限2．（2023·高一单元测试）复数 ，当m取何实数时：
(1)z为实数；
(2)z为纯虚数；
(3)z对应的点在复平面上实轴的上半部分．
【答案】(1) 或
(2)
(3) 或
【详解】（1）因为z为实数，所以 ，解得 或
（2）由z为纯虚数，则 解得
（3）由z对应的点在复平面上实轴的上半部分，则 ，解得 或
3．（2023·高一单元测试）已知复数 （ ）．
（1）若复数z为纯虚数，求实数a的值；
（2）若复数z在复平面内对应的点在第二象限，求实数a的取值范围．
【答案】（1） ；（2） ．
【详解】解：（1）由题意， 解得 ．
（2）∵复数z在复平面内对应的点在第二象限，
∴ ，
解得： ．∴实效a的取值范围是 ．
高频考点四：复数模
典型例题
例题1．（2023秋·浙江绍兴·高三统考期末）设复数 （ 为虚数单位），则 （ ）
A．2 B． C． D．1
【答案】D
【详解】 ，所以 ；
故选：D例题2．（2023春·广东·高三校联考阶段练习）若复数 满足 （其中 是虚数单位），复
数 的共轭复数为 ，则 （ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【详解】因为复数 满足 ，则 ，
所以复数 的共轭复数为 ，则 ，
故选： .
例题3．（2023春·上海浦东新·高三上海市实验学校校考开学考试）设 ， 为复数，下列命题一定成
立的是（ ）
A．如果 ， 是正实数，那么
B．如果 ，那
C．如果 ， 是正实数，那么
D．如果 ，那么
【答案】A
【详解】设 ，
对A：∵ ，则 ，
∴ ，A正确；
对B：∵ ，即 ，则 ，
不能得到 ，更不能得到 ，
例如 ，则 ，但 ，B错误；
对C：∵ ，则 ，
但只有实数才能比较大小，对于虚数无法比较大小，C错误；
对D：∵ ，则
可得
，不能得到 ，
例如 ，则 ，但显然 ，D错误.故选：A.
例题4．（2023春·广西柳州·高三统考阶段练习）已知 ,且 , 为虚数单位,则 的最
大值是_______．
【答案】4
【详解】解:记 ,因为 ,
即 ,所以复数z表示以 为圆心,半径为1的圆C,
而 ,表示圆C上的点到 的距离,
所以距离最大为圆心到 的距离再加上半径,
故 的最大值为 .
故答案为:4
练透核心考点
1．（2023秋·广东深圳·高二校考期末）设复数z满足 ，则 的虚部为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】D
【详解】由 可得 ，
故 ，则 的虚部为2，
故选：D
2．（2023·高一课时练习）已知 、 ，且 ，若 ，则 的最大值是（ ）．
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】C
【详解】设 ， ，故 ， ，则 ，
，
，当 时， 有最大值为4.
故选：C
3．（2023春·全国·高三竞赛）若 为虚数单位，复数 ，且 ，则实数 ______．
【答案】
【详解】，
，
解得 或 或 ，
，
，
当 时， ，不符合题意；
当 时， ，不符合题意；
当 时， ，符合题意；
所以 ；
故答案为: .
4．（2023·高一单元测试）已知 ，且 ， 为虚数单位，则 的最大值是__．
【答案】8
【详解】解：因为 且 ，
所以，根据复数模的几何意义， 表示以 为圆心，3为半径的圆，
所以， 表示圆上的点和点 的距离，
因为圆心 到点 的距离为 ，
，
故答案为：
高频考点五：待定系数求复数
典型例题
例题1．（2023·江西上饶·高三校联考阶段练习）若 ，则 可能为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设 ，
则
观察得仅 满足
故选：D.
例题2．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）若复数 是方程 的一个根，则 的虚部为
（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【详解】设 ，依题意， ，
即有 ，因此 ，显然 ，解得 ，
则有 或 ，即 或 ，
所以 的虚部为1.
故选：D
例题3．（2023·高一单元测试）已知复数 满足 ，且 为实数，则 ______．
【答案】 或 或 ．
【详解】设
化简得
解得 或
将 代入 可得 ，
（1）当 时，即 则有 ，此时
（2）当 时，则 ，故有 则有 或
综上所述故 或 或 ．
故答案为： 或 或 ．
练透核心考点
1．（2023春·江西·高三校联考开学考试）已知复数 满足 （ 为虚数单位），则 的虚部是
（ ）
A． B． C． D．2【答案】D
【详解】设 ， ，解得
故选：D
2．（多选）（2023秋·福建福州·高二福州三中校考期末）已知 为虚数单位， ， ，则
（ ）
A． B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】CD
【详解】对于A， ，错误；
对于B，复数不可以比较大小，错误；
对于C， ，正确；
对于D， ，正确；
故选：CD.
3．（2023·高三课时练习）在复数范围内，方程 的解的个数是( )
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】A
【详解】设 ，
则 ，
即 ，
则
由②得 或 ，
当 时，①化为 ，
或 (舍)， ， ，
当 时，①化为 ，∵ ，∴该方程无实数根．
综上，在复数范围内，方程 的解为 ，解的个数为2．
故选：A．高频考点六：复数的四则运算
典型例题
例题1．（2023·湖南·模拟预测）设 是虚数单位，已知复数 满足 ，且复数
是纯虚数，则实数 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由 ，得
，
又因为 为纯虚数，所以 ，
故选：D．
例题2．（2023·河南·校联考模拟预测）已知复数 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：因为 ，
所以 ，
所以 ．
故选：D．
例题3．（2023·江西南昌·统考一模）设复数 满足 ，则 （ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【详解】因为 ，
所以 ，于是 ，
故选：C
例题4．（2023·陕西西安·统考一模）复数 满足 ，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设复数 ，则由 可得 ，
即 ，
则 ，整理得 ，
当 时，解得 ，此时 ，
当 时，即 ，
则结合各选项，该式均不成立，
故选：B
练透核心考点
1．（2023·广东佛山·统考一模）设复数z满足 ，则z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【详解】∵ ，则 ，
∴z在复平面内对应的点为 ，位于第三象限.
故选：C.
2．（2023·江西上饶·统考一模）若 （ 为虚数单位），则 （ ）
A． B．5 C．3 D．1
【答案】A
【详解】 ，
.
故选：A.
3．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）若z满足 ，则 （ ）
A．10 B． C．20 D．
【答案】B
【详解】由已知得 ，
所以 ．
故选：B．4．（2023·辽宁阜新·校考模拟预测） 的虚部为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为 ，
所以 的虚部为 .
故选：B.
高频考点七：共轭复数
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知复数 是纯虚数， 是实数，则 （ ）
A．－ B． C．－2 D．2
【答案】A
【详解】由题意设 ，
则 ，
因为 是实数，所以 ，得 ，
所以 ，
所以 ，
故选：A.
例题2．（2023春·全国·高三校联考开学考试）已知复数 满足 ，则 的共轭复数在复平
面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【详解】根据题意，得 ，所以 ．
所以 在复平面内对应的点为 ，位于第四象限．
故选：D．
例题3．（2023·全国·高三专题练习）设 ，则 __________.【答案】4
【详解】 ，则 ，
故 ，
故答案为：4
练透核心考点
1．（2023·全国·高三专题练习）已知复数z满足 ，则 （ ）
A． B．0 C．4 D．5
【答案】D
【详解】由 ，则有 ，
所以 .
故选:D．
2．（2023·全国·模拟预测）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为 ，所以 .
故选：D．
3．（2023秋·甘肃天水·高二天水市第一中学校考期末）已知 ，则复数 在复平面内对应的
点在第__________象限．
【答案】四
【详解】因为 ，则 ，其在复平面内对应点为 ，
在第四象限.
故答案为：四.
第四部分：数学思想方法
①数形结合的思想
1．（2023·全国·高一专题练习）设 ，满足 ，其在复平面对应的点为 ，求点 构成的
集合所表示的图形面积（ ）
A．1 B．5 C． D．【答案】D
【详解】设复数 ，则 ， .
则 等价于 ，即有 .
所以复平面对应的点为 表示复平面上以 为圆心，以2，3为半径的两个圆所夹的圆环（包括
边界），故其面积为 ．
故选：D.
2．（多选）（2023·全国·高一专题练习）已知复数 满足 ，则（ ）
A．复数 虚部的最大值为2
B．复数 实部的取值范围是
C． 的最小值为1
D．复数 在复平面内对应的点位于第一、三、四象限
【答案】ABC
【详解】解：满足 的复数 在复平面内对应点的轨迹是以 为圆心，以 为半径的圆，如
图，
由图可知，虚部最大的复数 ，即复数z虚部的最大值为2．A正确；
实部最小的复数 ，实部最大的复数 ，所以实部的取值范围是 ，B正确；
表示复数 在复平面内对应点到 的距离，所以 的最小值为 ，C正确；
由图可知，复数 在复平面内对应点位于第一、二、三、四象限，故D错误．
故选：ABC3．（2023·上海·统考模拟预测）设 且 ，满足 ，则 的取值范围为
________________．
【答案】
【详解】设 ，
，则 ，
所以 ，
，所以 ，
即 对应点 在以 为圆心，半径为 的圆 上.
， 对应点为 ，
与 关于 对称，
所以点 在以 为圆心，半径为 的圆 上，
表示 与 两点间的距离，
圆 与圆 相交，圆心距为 ，如图所示，
所以 的最小值为 ，最大值为 ，
所以 的取值范围为 .
故答案为：
4．（2023·全国·高一专题练习）设全集 ， ， ，若 ，则复数 在复平面内对应的点形成图形的面积为______．
【答案】
【详解】设 .
由 ，可知 ，即 ，即 .
因为， ， ，所以 ，
则 可化为 ，解得 .
即集合A在复平面内表示的图形为圆 及其内部，集合B在复平面内表示的图形为直线 的左
侧，集合 在复平面内表示的图形为直线 的右侧（包括直线 ），如图所示.所以，复数 在复平
面内对应的点形成的图形即为图中的弓形 部分.
弓形 的面积为扇形 的面积减去 的面积，易知扇形的圆心角 ，圆
的半径 ，
则扇形的面积 ， ，
所以弓形 的面积为 .
故答案为： .
