文档文本内容
第 05 讲 指数与指数函数
目录
第一部分：基础知识..................................................1
第二部分：高考真题回顾..............................................2
第三部分：高频考点一遍过............................................3
高频考点一：指数与指数幂的运算...................................3
高频考点二：指数函数的概念.......................................5
高频考点三：指数函数的图象.......................................7
角度1：判断指数型函数的图象...................................7
角度2：根据指数型函数图象求参数...............................8
角度3：指数型函数图象过定点问题...............................9
角度4：指数函数图象应用......................................10
高频考点四：指数（型）函数定义域................................15
高频考点五：指数（型）函数的值域................................17
角度1：指数函数在区间 上的值域...........................17
角度2：指数型复合函数值域....................................17
角度3：根据指数函数值域（最值）求参数........................19
高频考点六：指数函数单调性......................................22
角度1：由指数（型）函数单调性求参数..........................22
角度2：根据指数函数单调性解不等式............................23
高频考点七：指数函数的最值......................................26角度1：求已知指数型函数的值域................................26
角度2：根据指数函数最值求参数................................27
第四部分：新定义题（解答题）.......................................32
第一部分：基础知识
（1）概念：式子 叫做根式，其中 叫做根指数， 叫做被开方数．
（2）性质：
① ( 且 )；
②当 为奇数时， ；当 为偶数时，
2、分数指数幂
①正数的正分数指数幂的意义是 ( ， ，且 )；
②正数的负分数指数幂的意义是 ( ， ，且 )；
③0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．
3、指数幂的运算性质
① ；
② ；
③ .
4、指数函数及其性质
（1）指数函数的概念
函数 ( ，且 )叫做指数函数，其中指数 是自变量，函数的定义域是 ．
（2）指数函数 的图象和性质
底数
图象
性质 定义域为 ，值域为图象过定点
当 时，恒有
当 时，恒有 ；
；
当 时，恒有
当 时，恒有
在定义域 上为增函数 在定义域 上为减函数
指数函数 ( ，且 )的图象和性质与 的取值有关，应分
注意
与 来研究
第二部分：高考真题回顾
1．（2023·天津·统考高考真题）设 ，则 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据对应幂、指数函数的单调性判断大小关系即可.
【详解】由 在R上递增，则 ，
由 在 上递增，则 .
所以 .
故选：D
2．（2022·浙江·统考高考真题）已知 ，则 （ ）
A．25 B．5 C． D．
【答案】C
【分析】根据指数式与对数式的互化，幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出．
【详解】因为 ， ，即 ，所以 ．
故选：C.
3．（2022·北京·统考高考真题）已知函数 ，则对任意实数x，有（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【分析】直接代入计算，注意通分不要计算错误．
【详解】 ，故A错误，C正确；
，不是常数，故BD错误；
故选：C．
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：指数与指数幂的运算
典型例题
例题1．（2024上·湖北·高一校联考期末）计算： ．
【答案】24
【分析】由指数幂运算和对数运算可求.
【详解】 ．
故答案为：24
例题2．（2024上·河南漯河·高一漯河高中期末）计算．
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)3
(2)2
【分析】（1）利用分数指数幂的运算法则计算即可；
（2）先将根式转化为指数幂，利用指数的运算法则计算即可.【详解】（1）
= ；
（2）
.
练透核心考点
1．（2024上·安徽亳州·高一亳州二中校考期末）化简求值.
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)7
【分析】（1）利用分数指数幂和根式的运算公式，即可化解求值；
（2）利用对数运算法则和运算公式，化解求值.
【详解】（1）
；
（2）
.
2．（2024上·湖南长沙·高一统考期末）计算下列各式的值：(1) ；
(2) .
【答案】(1)
(2)1
【分析】（1）根据指数幂的运算法则，化简求值，即得答案；
（2）根据对数的运算法则，化简求值，即得答案；
【详解】（1）原式 .
（2）原式 .
高频考点二：指数函数的概念
典型例题
例题1．（2024上·内蒙古呼伦贝尔·高二校考期末）已知指数函数 且 ，则
（ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】A
【分析】先根据函数值求出 ，再求函数值即可.
【详解】 ，
故选：A.
例题2．（2024上·云南昆明·高一期末）若指数函数 的图象经过点 ，求 的解析式及
的值．
【答案】 ，
【分析】设 ，由 可求出 的值，可得出函数 的解析式，进而可求得
的值.
【详解】解：设指数函数 ，则 ，解得 ，所以， ，
故 .
练透核心考点
1．（多选）（2024·江苏·高一假期作业）若函数 是指数函数，则实数 的值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【分析】根据指数函数的定义求解.
【详解】因为函数 是指数函数，
所以 ，解得 或 .
故选：AB
2．（2024上·山东枣庄·高一校考期末）若指数函数 的图象经过点 ，则
．
【答案】 /
【分析】采用待定系数法，结合指数函数所过点可求得函数解析式，代入 即可.
【详解】设指数函数 且 ，
过点 ， ，解得： ， ，
.
故答案为： .
高频考点三：指数函数的图象
角度1：判断指数型函数的图象
典型例题例题1．（2024下·浙江温州·高一浙江省乐清中学校联考开学考试）在同一直角坐标系中，函数 与
的图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】分 和 两种情况，利用函数的单调性进行判断即可．
【详解】对于A，B，当 时，函数 在R上为单调递减函数；
又 ，所以 在区间 和区间 上单调递减，
且当 时， ，故A和B均错误；
对于C，当 时，函数 在R上为单调递增函数，
又 ，所以 在区间 和区间 上单调递增，故C错误，D正确．
故选：D．
例题2．（2024上·江西宜春·高一校考期末）函数 的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据图象变换可得函数 的图象是由函数 的图象向左平移1个单位长度得到的，由此可得出结论
【详解】因为函数 的图象是由函数 的图象向左平移1个单位长度得到的，
而 的图象过点 ，且在 上是增函数，
所以 的图象过点 ，且在 上是增函数，
故选：A
角度2：根据指数型函数图象求参数
典型例题
例题1．（2024·上海·高一专题练习）若函数 的图象与 轴有公共点，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】 与 有公共点，转化为 与 有公共点，结合函数图象，可得结果.
【详解】 与 有公共点，即 与 有公共点， 图象如图
可知
故选：B
【点睛】本题考查了函数的交点问题，考查了运算求解能力和数形结合思想，属于基础题目.
例题2．（多选）（2024·全国·高一专题练习）函数 的图象如图所示，其中 为常数，则下列
结论正确的是（ ）A． B． C． D．
【答案】AD
【分析】根据 的单调性确定 ，由 确定 .
【详解】 ，由图知 为减函数，故 ，所以 ，故A正确C错误；
由图知 ，所以 ，故B错误D正确.
故选：AD
角度3：指数型函数图象过定点问题
典型例题
例题1．（2024上·重庆·高一重庆市青木关中学校校考期末）函数 且 的定点为
.
【答案】
【分析】根据指数函数过定点的性质即可确定定点的坐标．
【详解】因为 且 ，令 ，得到 ，此时 ，
所以函数 的定点为 ，
故答案为： .
例题2．（2024上·广东江门·高一统考期末）已知函数 （ ，且 ）的图象恒过定点
，则 的坐标为 .
【答案】
【分析】根据指数型函数的性质求解即可.
【详解】由函数 可知，当 时， ，
即函数图象恒过点 .
故答案为：角度4：指数函数图象应用
典型例题
例题1．（2024下·四川遂宁·高三射洪中学校考开学考试）函数 的图象大致为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据函数奇偶性即可排除CD，由特殊点的函数值即可排除A.
【详解】 ，则 的定义域为R，
又 ，
所以 为奇函数，图象关于原点对称，故排除CD，
当 时， ，故排除A.
故选：B.
例题2．（2024上·安徽·高一校联考期末）函数 在 上的大致图象为（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【分析】根据给定函数的奇偶性，结合 即可判断得解.
【详解】依题意， ，因此函数 是偶函数，其图象关于y轴对称，
排除AB；
又 ，选项C不满足，D符合题意.
故选：D
例题3．（2024上·上海·高一上海南汇中学校考期末）已知函数 的定义域为 ，值域为
，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【分析】根据题意画出函数图象，结合指数函数图象相关性质和对数的运算法则进行计算即可.
【详解】由题意得， ，
作出函数图象如图所示，
令 ，解得 或 ，
则当 ， 时， 取得最大值，
此时 .
故选：B
练透核心考点1．（2024上·陕西西安·高一西安市铁一中学校考期末）函数 的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据奇偶性可知函数 为偶函数，结合赋值法和排除法即可求解.
【详解】由题可知， ，
所以函数 的定义域为 ，关于原点对称，
又 ，所以函数 为偶函数，排除A，C；
又 ，排除B．
故选：D．
2．（多选）（2024上·湖南娄底·高一统考期末）在同一直角坐标系中，函数 与 的
图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】按照 、 讨论，结合二次函数及指数函数的性质即可得解.
【详解】若 ，则函数 是R上的增函数，函数 的图象的对称轴方程为 ，故A可能，B不可能；
若 ，则函数 是R上的减函数，
，函数 的图象与 轴的负半轴相交，对称轴为 ，
故C可能，D不可能.
故选：AC.
3．（多选）（2024上·江苏常州·高一统考期末）若函数 （其中 且 ）的图象过第一、
三、四象限，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】根据图象的性质可得： ，即可求解.
【详解】函数 （其中 且 ）的图象在第一、三、四象限，
根据图象的性质可得： ，
即 ，
故选：BD.
4．（多选）（2024下·全国·高一开学考试）已知函数 （ 且 的图象如图所示，则函数
的大致图象不可能为（ ）
A． B．
C． D．【答案】AD
【分析】由指数函数的图象特征，结合幂函数在第一象限的图象特征可得答案.
【详解】根据题意可得 ，
的图象是 向上平移a个单位得到的，
结合幂函数的性质可知 在 上为单调递增函数，
当a为奇数时， 图象如C选项所示；当a为偶数时， 图象如B选项所示，
选项A，D不符合题意．
故选：AD.
5．（2024上·江苏徐州·高三校考开学考试）函数 在区间 上的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】判断函数为奇函数得到选项C错误，计算 ，得到选项D错误，根据 时，
，选项B错误，得到答案.
【详解】函数 ， 的定义域关于原点对称，
，
所以 是奇函数，函数 的图象关于原点对称，选项C错误；
因为 ，所以选项D错误；
当 时， ，选项B错误．
故选：A．
6．（2024上·福建宁德·高一统考期末）函数 （ 且 ）的图象经过的定点坐标为
.【答案】
【分析】由指数型函数的定点问题，令 ，即可得定点坐标．
【详解】由函数 （ 且 ），
令 ，得 ，
所以 ，
所以函数 （ 且 ）的图象经过的定点坐标为 .
故答案为： .
7．（2024上·黑龙江齐齐哈尔·高一统考期末）函数 ，且 的图象恒过定点 ，
点 又在幂函数 的图象上，则 .
【答案】4
【分析】由已知求出定点 的坐标，根据待定系数法求出 ，从而可得结果.
【详解】由 ，得 ，所以定点 ，
设 ，又 ，得 ，所以 ，
所以 ，
故答案为：4.
高频考点四：指数（型）函数定义域
典型例题
例题1．（2024上·山东威海·高一统考期末）函数 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据指数函数的单调性及二次根式的意义可求得原函数的定义域.
【详解】对于函数 ，有 ，可得 ，解得 ，
因此，函数 的定义域为 .
故选：A.
例题2．（2024上·北京·高二统考学业考试）函数 的定义域为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据函数 的解析式有意义，列出不等式，即可求解.
【详解】由函数 有意义，则满足 ，即 ，解得 ，
所以函数 的定义域为 .
故选：C.
练透核心考点
1．（2024·江苏·高一假期作业）函数 的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】函数 的定义域满足 ，解得答案.
【详解】函数 的定义域满足 ，解得 且 .
故答案为：D
2．（2024上·安徽阜阳·高一统考期末）函数 的定义域为 .
【答案】
【分析】根据偶次根式被开方数大于等于 、 中 求解出 的范围，则定义域可知.
【详解】由题意可知 ，解得 且 ，
故函数的定义域为 ．
故答案为： .高频考点五：指数（型）函数的值域
角度1：指数函数在区间 上的值域
典型例题
例题1．（2023上·广西南宁·高一校考期中）函数 的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用指数函数的单调性即可得解.
【详解】因为 是定义域在 上的增函数．
所以当 时， ， ，
所以 的值域为 ．
故选：C.
例题2．（2023上·上海浦东新·高三上海南汇中学校考阶段练习）函数 ， 的值域为
．
【答案】
【分析】根据函数的单调性求得正确答案.
【详解】函数 在区间 上单调递增，
所以 ，
所以值域为 .
故答案为：
角度2：指数型复合函数值域
典型例题
例题1．（2023上·福建三明·高一校联考期中）函数 在 时的值域是．
【答案】
【分析】利用指数函数性质，结合二次函数求出值域即得.
【详解】当 时， ，函数 ，
显然当 ，即 时， ，当 ，即 时， ，
所以所求值域是 .
故答案为：
例题2．（2023上·全国·高一专题练习）已知函数 的图象经过点 .
(1)求实数 的值；
(2)求函数 的定义域和值域.
【答案】(1)
(2)R ；
【分析】（1）把已知点代入函数解析式计算即得；
（2）根据函数解析式只需使分母不等于零，解不等式即得函数定义域，将函数式分离常数成
，再从 的值域开始，从内到外利用不等式性质推导出解析式的取值范围即得值域.
【详解】（1）将点 代入 可得： ，解得： .
（2）由（1）可得： ，要使函数有意义，须使 ，而此式恒成立，故函数的定义域为
.
因 ，当 时， ， ，则 ，故 ，即函数的值域
为 .
例题3．（2023上·河南省直辖县级单位·高一校考阶段练习）求函数 的单调区间与值
域.
【答案】单调减区间是 ，单调增区间是 ；值域是
【分析】单调性根据复合函数的单调性同增异减得出，值域根据换元法得出.
【详解】 函数 ，
设 .，
当 时， ，
，即 .
函数 在 上的值域是 .
又原函数是由 和 两个函数复合而成，
第一个函数是单调减函数，第二个函数在区间 上是单调增函数，在区间 上是单调减函数
函数 的单调减区间是 ，单调增区间是 .
角度3：根据指数函数值域（最值）求参数
典型例题
例题1．（2023下·广东广州·高一校考期中）函数 （ 且 ）的值域是 ，
则实数 （ ）
A．3 B． C．3或 D． 或
【答案】C
【分析】由指数函数的性质分别对 和 的情况讨论单调性并求值域，从而列方程组即可得到答
案.
【详解】函数 （ 且 ）的值域为 ，
又由指数函数的单调性可知，
当 时，函数 在 上单调递减，值域是
所以有 ，即 ，解得 ；
当 时，函数 在 上单调递增，值域是所以有 ，即 ，解得 .
综上所述， 或 .
故选：C.
例题2．（2023上·全国·高一期末）如果函数 且 在区间 上的最大值是
，则 的值为（ ）
A．3 B． C． D．3或
【答案】D
【分析】利用换元法，令 ，转化为二次函数 ，根据单调性及在区间 上的最大值是
，求出 的值即可.
【详解】令 ，则 ．
当 时，因为 ，所以 ，
又因为函数 在 上单调递增，
所以 ，解得 （ 舍去）．
当 时，因为 ，所以 ，
又函数 在 上单调递增，
则 ，
解得 （ 舍去）．
综上知 或 ．
故选：D.
练透核心考点
1．（2023上·新疆喀什·高一统考期末） 的值域是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据函数的单调性，即可求解函数的值域.
【详解】函数 单调递减，所以函数的最大值为 ，
最小值为 ，所以函数的值域为 .
故选：D
2．（2023上·广东东莞·高一东莞市东莞中学校考期中）函数 的值域为 .
【答案】
【分析】根据指数函数的单调性进行求解即可.
【详解】令 ，因为指数函数 在R上单调递增，
所以有 ，而 ，
因此函数 的值域为 .
故答案为：
3．（2023上·黑龙江绥化·高三校考阶段练习）当 时，函数 的值域为 .
【答案】
【分析】利用换元法及二次函数的性质计算可得.
【详解】因为 ，
令 ，由于 ，则 ，
则原函数可化为 ， ，
当 时， 取最小值 ，当 时， 取最大值 ，
故 ，即 .
故答案为：
4．（2023·江苏·高一专题练习）已知函数 在区间 上的值域为 ，则实数 的取值范
围为 .
【答案】
【分析】利用函数的最值求出 ，通过函数的值域，求出 的取值范围
【详解】 ，则 在 上递减，在 上递增，所以当 时，函数取得最小值0，
由 ，得 或 ，
所以函数 在区间 上的值域为 时， ，
故答案为：
5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，若 的值域是 ，求 的值．
【答案】0
【分析】利用换元法，令 ，则 ，则由题意可知 的值域为 ，从而可求出
的值
【详解】令 ，则 ，
因为 的值域是 ，即 的值域是 ，
所以 的值域为 ，
若 ，则 为二次函数，其值域不可能为 ，
若 ，则 ，其值域为 ，
所以
高频考点六：指数函数单调性
角度1：由指数（型）函数单调性求参数
典型例题
例题1．（2024下·内蒙古赤峰·高三校考开学考试）若函数 是 上的减函数，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，利用指数函数、二次函数的单调性，以及分段函数的性质，列出不等式组，即可求解.【详解】由函数 在 上为单调递减函数，
则满足 ，解得 ，
即实数 的取值范围为 .
故选：A.
例题2．（2024上·湖南湘西·高一统考期末）若函数 在区间 上单调递增，则实数 的取
值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由题意得： 在 上单调递增，根据二次函数的性质列不等式即可.
【详解】由题意得： 在 上单调递增，
所以对称轴 ，所以 .
故选：B.
角度2：根据指数函数单调性解不等式
典型例题
例题1．（2024上·广东潮州·高一统考期末）已知函数 ，则满足 的 的取值
范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A【分析】分析函数 的奇偶性及其在 上的单调性，将所求不等式变形为 ，解之即可.
【详解】因为函数 的定义域为 ，且 ，
所以，函数 为偶函数，
则不等式 等价于 ，
因为函数 、 在 上均为增函数，
当 时， 单调递增，
所以， ，可得 ，解得 ，
故原不等式的解集为 .
故选：A.
例题2．（2024上·河北邯郸·高一统考期末）已知函数 ，则 的解集为
．
【答案】
【分析】根据题意，求得函数 的单调性与奇偶性，把不等式转化为 ，即可求解.
【详解】由函数 ，可得其定义域为 ，且 ，
所以 为偶函数，当 时， ，
可得 在 上单调递增，
根据偶函数的性质，不等式 ，即为 ，
可得 ，整理得 ，解得 ，
所以 的解集为 ．
故答案为： ．
练透核心考点
1．（2024·全国·高一专题练习）已知函数 在区间 上是增函数，则 的取值范围是
（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【分析】根据指数型复合函数的单调性，可得关于a的不等式，解不等式即可得答案.
【详解】由题意知函数 由 复合而成，
在 上为增函数，由复合函数的同增异减性，
可知 需为R上的增函数，
故 ，∴ ，∴ 或 ，
故选：D.
2．（2024上·陕西渭南·高一校考期末）已知函数 ，对于任意两个不相等的实数
， ，都有 成立，则实数 的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据函数的单调性列不等式，由此求得 的取值范围.
【详解】由于对于任意两个不相等的实数 ， ，都有 成立，
所以 在 上单调递减，
所以 ，解得 ，
所以 的取值范围是 .
故答案为：
3．（2024上·新疆乌鲁木齐·高一校联考期末）不等式 的解集为 ．
【答案】
【分析】根据函数的单调性、一元二次不等式的解法求得正确答案.
【详解】依题意， ，即 ，
由于 在 上单调递增，所以 ，，
解得 或 ，所以不等式的解集为 .
故答案为：
4．（2024上·山西长治·高一校联考期末）已知函数 ，则不等式 的解集为
．
【答案】
【分析】根据函数的单调性化简不等式 ，由此求得不等式的解集.
【详解】 在 上单调递增， 在 上单调递减， 在 上单调递增，
则由 得 ，解得 ，即不等式的解集为 ．
故答案为：
高频考点七：指数函数的最值
角度1：求已知指数型函数的值域
典型例题
例题1．（2024·全国·高三专题练习）函数 的最小值为 .
【答案】
【解析】根据函数解析式，先令 ，将问题转为求函数 在 上的最值问
题，根据单调性，即可求解.
【详解】因为 ， ，
令 ，则 ，
所以
令 ， ，
因为指数函数 与一次函数 都是增函数，
所以 也是增函数，所以 时， .
故答案为： .
例题2．（2024上·广东深圳·高一校考期末）已知定义在 上的函数 ( )
(1)若 ，求函数 在 上的最大值；
(2)若存在 ，使得 ，求实数 的取值范围．
【答案】(1)8
(2)
【分析】（1）换元，令 ，可得 ，结合二次函数求最值；
（2）由 ，换元令 ，整理得 ，结合函数单调性分析求解.
【详解】（1）若 ，则 ，
因为 ，令 ，
可得 的图象开口向上，对称轴为 ，
可知：当 时， 取得最大值 ，
所以函数 在 上的最大值为8.
（2）因为 ，
即 ，
整理得 ，
令 ，当且仅当 ，即 时，等号成立，
则 ， ，
则 ，整理得 ，
由题意可知：方程 在 内有解，
因为 在 内单调递增，可知 在 内单调递增，则 ，可得 ，
所以实数 的取值范围为 .
角度2：根据指数函数最值求参数
典型例题
例题1．（2024·全国·高三专题练习）已知函数 ．若函数 的最大值为1，则实数
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】令 ，由指数函数的单调性以及二次函数的性质得出 .
【详解】 ，令 ，
则 ，当 时， ，解得 .
故选：B
例题2．（2024上·河南·高三校联考阶段练习）已知函数 ，若 恒成立，则实数
的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】参变分离可得 恒成立，结合基本不等式求出 的最小值，即可求出参数的取值范
围.
【详解】因为 恒成立，即 恒成立，
所以 恒成立，又由 （当且仅当 时取等号），
所以 ．
故选：A．
角度3：含参指数（型）函数最值
典型例题
例题1．（2024上·云南昆明·高一统考期末）已知函数 ， .(1)当 时，求 的最小值；
(2)记 的最小值为 ，求 的解析式.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）当 时代入，再结合换元法和二次函数性质即可；
（2）由（1）知，令 ， ，则原函数可化为 ，根据对称轴与区间位
置关系分情况讨论即可求得 ．
【详解】（1）设 ，因为 ，则 ，
则 ， ，
当 时， ， ，
∴ 时， ，即当 时， .
（2）由（1）知 ， ，
其图象的对称轴为 ．
①当 时， 在 上单调递增，所以 ；
②当 时， ，
③当 时， 在 上单调递减，所以 .
综上，
练透核心考点1．（2024上·北京·高三阶段练习）若函数 有最小值，则t的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设 ，将 转化为关于 的函数，讨论开口方向与对称轴判断即可.
【详解】设 ，则 ， ， 有最小值.
当 时，二次函数 开口向下，无最小值；
当 时， 无最小值；
当 时，若 在 上有最小值，则对称轴 ，解得 .
故选：A
2．（2023上·北京·高一北京市十一学校校考期末）函数 在区间 上的最小值是 ，则
的值是 .
【答案】 或
【分析】分 和 两种情况讨论，结合复合函数单调性即可求解.
【详解】令 ，则 ，其对称轴为 ，
当 时，因为 ，所以 ，
所以函数 在 上单调递减，
所以当 时， ，解得 ，
当 时，因为 ，所以 ，
所以函数 在 上单调递减，
所以当 时， ，解得 .
综上，所以 或 .
故答案为： 或
3．（2024上·吉林·高一长春外国语学校校联考期末）已知函数 ， .(1) 时，求 的值域；
(2)若 的最小值为4，求 的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设 可将原函数转化为二次函数，结合二次函数性质计算即可得；
（2）设 可将原函数转化为二次函数，对 的取值进行分类讨论，结合二次函数性质计算即可得.
【详解】（1）由题意得， ， ，
令 ， ， ，
当 时， ， ， 在 上单调递增，
故 ，
故 的值域为 ；
（2）由（1）得 ， ，对称轴 ，
①当 时， 在 上单调递增，
，解得 ；
②当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，
无解，舍去；
③当 时， 在 上单调递减，
，解得 ，舍去；
综上所述， .
4．（2023上·江苏连云港·高一校考阶段练习）设函数 是定义在 上的奇函数.
(1)求 的值，并判断 的单调性（不证明）；
(2)若 ，且 在 上的最小值为 ，求 的值.
【答案】(1) ，R上单调递增；
(2)【分析】（1）根据奇函数的定义可求 的值，结合指数函数的单调性可直接判定 的单调性；
（2）先根据条件计算 ，利用换元法结合二次函数的性质计算即可.
【详解】（1）由题意可知 ，
此时 ，符合题意，即 ；
因为 均在R上单调递增，故 在R上单调递增；
（2）因为 ，即
所以
，
令 ，由（1）可知 时， ，
则 ，
由二次函数的性质可知，若 时， ，
若 时， ，与前提矛盾舍去；
综上 .
第四部分：新定义题
1．（2023上·上海·高一校考阶段练习）对于定义域在 上的函数 ，定义 ．设区
间 ，对于区间 上的任意给定的两个自变量的值 、 ，当 时，总有
，则称 是 的“ 函数”．
(1)判断函数 是否存在“ 函数”，请说明理由；
(2)若非常值函数 是奇函数，求证： 存在“ 函数”的充要条件是存在常数 ，使得
；
(3)若函数 与函数 的定义域都为 ，且均存在“ 函数”，求实数 的值．
【答案】(1)不存在“ 函数”，理由见解析.
(2)证明见解析(3)
【分析】（1）根据题意，由 即可判断；
（2）根据题意，由“ 函数”的定义，分别验证其充分性以及必要性，即可证明；
（3）根据题意，由“ 函数”的定义可得，若 ， 均存在“ 函数”， 则
存在“ 函数”，然后代入计算，即可得到结果.
【详解】（1） ，当 时， ，当 时， ，
因此 ，则该函数不存在“ 函数”．
（2）充分性：若 ，则 ，
任取 ， ，所以 存在“ 函数”；
必要性：因为 是奇函数，则 ，任取 ，
因为 ， 是一个“ 函数”，
所以 ，则 ，
当 时，则 ， ，
所以 ，即 ，
所以 ，可得 ，从而有 ，
即 是一个常数，设为 ，则 .
（3）假设 ， 均存在“ 函数”，任取 ，
则 ， ，
则 ，
则 存在“ 函数”，
因此 均存在“ 函数”，
令 ，定义域为 关于原点对称，
且 ，则 是定义在 上的奇函数，
由（2）可知，存在 使得 恒成立，则 ，
又 时，若函数 与函数 均为“ 函数”，符合题意.
综上可知， .
【点睛】关键点睛：本题主要考查了新定义中“ 函数”的概念，以及函数奇偶性的应用，难度较大，解
答本题的关键在于利用好题干中“ 函数”的定义，以及利用好（2）中的结论解决（3）中的问题.
