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第 03 讲复数的概念与运算
（知识清单+4 典例精讲+4 方法技巧+分层训练）
近3年考查情况 题型 分值
复数的乘法运算、复数的模 单项选择题 5
复数的除法运算、共轭复数 单项选择题 5
复数的加减运算、复数的模 单项选择题 5
复数的乘法运算、共轭复数的性质 单项选择题 5
复数的除法运算、共轭复数概念 单项选择题 5
复数的混合运算、复数的模 单项选择题 5
【知识点01】复数的有关概念
(1)复数的定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a 是复数的实部，b 是复数的虚部，i为虚数单
位.
(2)复数的分类：
复数z＝a＋bi(a，b∈R)
{ 实数(b＝0),
复数
虚数(b≠0)(当a＝0时为纯虚数).
(3)复数相等：
a＋bi＝c＋di a ＝ c 且 b ＝ d (a，b，c，d∈R).
⇔
(4)共轭复数：
a＋bi与c＋di互为共轭复数⇔ a ＝ c ， b ＝－ d (a，b，c，d∈R).
(5)复数的模：向量⃗OZ的模叫做复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作 | z |或 | a ＋ b i |，即|z|＝|a＋bi|＝❑√a2 ＋b2(a，b∈R).
【例1】已知复数z=(m2−4m)+(m2−6m+8)i（m∈R）是纯虚数，求实数m的值。
【知识点02】复数的几何意义
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R) 复平面内的点Z(a，b).
⃗OZ
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量 .
→
【例2】已知复数z=1+2i，求：（1）复平面内对应点的坐标；（2）复数z的模；（3）向量OZ的坐标。
【知识点03】复数的四则运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则：
设z ＝a＋bi，z ＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
1 2
①加法：z ＋z ＝(a＋bi)＋(c＋di)＝ ( a ＋ c ) ＋ ( b ＋ d )i ；
1 2
②减法：z －z ＝(a＋bi)－(c＋di)＝ ( a － c ) ＋ ( b － d )i ；
1 2
③乘法：z ·z ＝(a＋bi)·(c＋di)＝ ( ac － bd ) ＋ ( ad ＋ bc )i ；
1 2
z a＋bi (a＋bi)(c−di)
④除法： 1＝ ＝
z c＋di (c＋di)(c−di)
2
ac＋bd bc−ad
＝ ＋ i(c＋di≠0).
c2 ＋d2 c2 ＋d2(2)几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形法则或三角形法则进行.
如图给出的平行四边形 OZ ZZ 可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即⃗OZ＝⃗OZ ＋⃗OZ ，
1 2 1 2
⃗Z Z ＝⃗OZ －⃗OZ .
1 2 2 1
3−2i
【例3】计算 的值。
2+i
【题型一】复数的概念辨析与分类
【例1】（2025·全国一卷·高考真题） 的虚部为（ ）
A． B．0 C．1 D．6
【例2】（2026·甘肃武威·模拟预测）已知a，b都是实数，且 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
【例3】（2026·重庆渝中·模拟预测）若复数 满足 ，则 的虚部为______.
【变式1】（2026·河南新乡·三模）复数 的实部为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．
【变式2】（2026·河北保定·三模）复数 的实部与虚部的和为（ ）
A． B． C． D．3【变式3】（2026·宁夏银川·三模）已知复数 ，其中 为虚数单位，则复数 的模为________.
【题型二】复数的几何意义应用
【例4】（2026·云南昆明·二模）在复平面内，复数 对应的点的坐标是 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【例5】（多选）（2024·湖北荆州·三模）已知复数 ，则下列命题正确的是（ ）
A．若 为纯虚数，则
B．若 为实数，则
C．若 在复平面内对应的点在直线 上，则
D． 在复平面内对应的点不可能在第三象限
【例6】（2024·安徽·模拟预测）若复数 在复平面内对应的点位于第三象限，则实数 的取值范围
是__________.
【变式1】（2026·湖南郴州·模拟预测）若复数z满足 ，则复平面内表示复数z的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【变式2】（多选）（2026·安徽合肥·模拟预测）若复数 ，则下列选项正确的有（ ）
A． B． 的共轭复数为
C． 为实数 D． 在复平面内对应的点位于第四象限
【变式3】（2025·云南昆明·模拟预测）若复数 满足 ，则在复平面内，复数 所对应的点位于第_____
象限.（填“一、二、三、四”中的一个）
【题型三】复数的四则运算
【例7】（2024·全国甲卷·高考真题）设 ，则 （ ）
A． B． C． D．2【例8】（多选）（2026·山东日照·二模）设 为复数（i为虚数单位），下列命题正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【例9】（2026·四川遂宁·模拟预测）设 、 为共轭复数，若 ， ，则 __________ .
【变式1】（2026·四川资阳·模拟预测）已知 是虚数单位， ，则复数z的共轭复数为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（多选）（2026·山东菏泽·二模）已知复数 ，则下列结论正确的有（ ）
A． 的虚部是 B． 的共轭复数是
C． 在复平面内对应的点在第一象限 D．
【变式3】（2026·浙江·三模）在复平面内，i为虚数单位， 对应的复数是 ， 对应的复数是 ，则
对应的复数是_____.
【题型四】复数的综合应用
【例10】（2026·贵州贵阳·二模）若复数z满足 （其中i是虚数单位），则 （ ）
A． B． C．2 D．
【例11】（多选）（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知复数 ，其中 ， 是虚数单位，
则（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 为纯虚数，则 D．若 ，则
【例12】（2026·福建泉州·模拟预测）对于复数 ， ，定义 ♥ 为 的实部.若 ， ♥ ，则 可以
为____________.（写出一个满足条件的答案）【变式1】（2026·青海西宁·二模）已知复数 ，若 ，则 （ ）
A． B． C．4 D．
【变式2】（多选）（2026·湖南永州·三模）已知复数 ，则（ ）
A． B． 的虚部为
C． 在复平面内对应的点位于第二象限 D． 为方程 的一个根
【变式3】（2026·山东菏泽·一模）已知复数 ， .
(1)当 时，求 ；
(2)设 ，记 （ 表示复数z的虚部）.将 图象上所有点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不
变）得到函数 的图象，求 的单调递增区间.
【解题大招01】纯虚数、实数的快速判定技巧
【例1】已知复数z=(m2−4)+(m2−5m+6)i（m∈R），求：（1）z为实数时m的值；（2）z为纯虚数时m
的值。
【解题大招02】复数模的简化计算技巧
z
【例2】已知复数z =3−4i，z =1+2i，求 | 1| 的值。
1 2 z
2【解题大招03】复数除法“分母实数化”快速运算技巧
2−3i
【例3】计算 的值，用快速技巧求解。
2+i
【解题大招04】复数综合题“分步拆解”技巧
m−3i
【例4】已知复数z= （m∈R）的共轭复数´z为纯虚数，求m的值及|z|。
1+i
【基础过关】（共8题）
一、单选题
1．（2026·贵州安顺·模拟预测）已知复数 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2024·全国甲卷·高考真题）若 ，则 （ ）
A． B． C．10 D．
3．（2026·河北保定·二模）已知 ，其中 是实数，则 （ ）
A． B． C． D．4．（2026·山东聊城·模拟预测）已知 为虚数单位，复数 满足 ，则 （ ）
A．14 B．16 C．20 D．24
二、多选题
5．（2025·山东聊城·模拟预测）若 为虚数单位， ，点 在幂函数 的图象上，则（ ）
A． B．
C． D．
6．（2026·江西宜春·一模）已知复数 ，其中 ， 是虚数单位，则（ ）
A．当 时， 为纯虚数 B．当 时，
C．当 时， D．当 时，
三、填空题
7．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）若 为实数，且复数 为纯虚数，则 的值为______．
四、解答题
8．（2024·贵州贵阳·二模）在复数集中有这样一类复数： 与 ，我们把它们互称为共轭复
数， 时它们在复平面内的对应点关于实轴对称，这是共轭复数的特点.它们还有如下性质：
（1）
（2） （当 时，为纯虚数）
（3）
（4）
（5） .
（6）两个复数和､差､积､商（分母非零）的共轭复数，分别等于两个复数的共轭复数的和､差､积､商.
请根据所学复数知识，结合以上性质，完成下面问题：
(1)设 .求证： 是实数；(2)已知 ，求 的值；
(3)设 ，其中 是实数，当 时，求 的最大值和最小值.
【拔高选练】（共6题）
一、单选题
1．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）若 为虚数单位， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2026·吉林延边·三模）若复数z满足 ，则z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
二、多选题
3．（2026·山东济南·模拟预测）已知方程 在复数范围内有n个根，且这n个根在复平面内对应的点n等分单位
圆．下列复数是方程 的根的是（ ）
A．1 B．i C． D．
4．（2026·福建龙岩·三模）已知复数 满足 ，则（ ）
A．
B． 在复平面内所对应的点在第三象限
C．若 ，则 的最大值为
D． 和 是方程 在复数范围内的两个根三、填空题
5．（2026·广东广州·模拟预测）已知数列 （ 为虚数单位），则 的前 项和 为___________．
6．（2026·安徽铜陵·模拟预测）在复平面中，已知 ， ，复数 ， 对应的点分别为 ， ，且满足
，则 的最大值为______．
【错题复盘】（共5题）
一、单选题
1．（2026·山西运城·二模）设正数 ， 分别是复数 的实部、虚部，且 ，则 的最小值
为（ ）
A． B． C． D．4
2．（2026·湖南邵阳·一模）已知在复平面内， 为等边三角形，点 为坐标原点，点 对应的复数为 ，点
在第二象限，则点 对应的复数的虚部为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（2026·湖南浙江·模拟预测）若复数 ， 为虚数单位，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．
C． 在复平面内对应的点位于第四象限
D．若复数 满足 ，则 的最小值为
三、填空题
4．（2026·广东茂名·一模）已知关于 的方程 的两根在复平面 上对应的点分别为 和 ，若
是等边三角形，则 __________.
四、解答题5．（2024·河北·模拟预测）（1）在复数范围内解方程 ；
（2）设 ， 且 ，证明： ；
（3）设复数数列 满足： ，且对任意正整数 ，均有 .证明：对任意正偶数 ，均有
.
