专题5.3.1 样本空间与事件&专题5.3.2 事件之间的关系与运算
&5.3.3 古典概型
教学目标
1．理解随机试验、样本点、样本空间的定义，掌握随机事件、必然事件、不可能事
件的概念。
2．掌握事件的包含、并、交、互斥、对立等关系与运算，理解各关系的含义及符号
表示。
3．理解古典概型的特征（有限性、等可能性），掌握其概率计算公式，熟记概率的
基本性质并能运用。
教学重难点
重点：随机事件相关概念；事件的关系与运算；古典概型的判定及概率计算；概率基
本性质的应用。
难点：区分互斥事件与对立事件；古典概型中样本点个数的计数；概率基本性质的灵
活运用。
知识点01 有限样本空间与随机事件
1.随机试验
我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验,简称试验,常用字母
表示.
随机试验具有以下特点:
（1）试验可以在_______条件下重复进行;
（2）试验的所有可能结果是_______的,并且不止一个;
（3）每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个,但事先不能确定出现哪一个结果.
2.试验的样本点和样本空间
项目
定义
字母表示
样本点
我们把随机试验
的每个可能的基本结果称为_______
用
表示样本点
样本空间
全体样本点的集合称为试验
的样本空间
用
表示样本空间
有限样本空间
如果一个随机试验有
个可能结果
则称样本空间
为有限样本空间
3.三种事件的定义
随机事件
我们将样本空间
的子集称为随机事件,简称事件,并把只包含一个样本点的事件称
为基本事件.随机事件一般用大写字母
表示.在每次试验中,当且仅当
中
某个样本点出现时,称为事件
发生
必然事件
作为自身的子集,包含了所有的样本点,在每次试验中_______一个样本点发生,所
以
总会发生,我们称
为必然事件
不可能事件
空集
_______任何样本点,在每次试验中都不会发生,我们称
为不可能事件
【即学即练】
1．（多选）在试验：连续射击一个目标10 次，观察命中的次数中，事件
“至少命中6 次”，则下列
说法正确的是（ ）
A．样本空间中共有10 个样本点
B．事件
中有5 个样本点
C．样本点6 在事件
内
D．事件
中包含样本点11
2．下列现象是必然现象的是（ ）
A．走到十字路口遇到红灯
B．冰水混合物的温度是
C．三角形的内角和为
D．一个射击运动员每次射击都命中
环
知识点02 事件的关系和运算
1.事件的包含关系
定义
一般地,若事件
发生,则事件
_______,我们就称事件
包含事件
(或事件
包含于事件
)
含义
发生导致
发生
符号表示
_______ (或_______)
图形表示
特殊情况
如果事件
包含事件
,事件
也包含事件
,即
且
,则
称事件
与事件
_______,记作_______
2.并事件(或和事件)
定义
一般地,事件
与事件
至少有一个发生,这样的一个事件中的样本点或者在
_______中,或者在_______中,我们称这个事件为事件
与事件
的并事件(或和事
件)
含义
与
至少有一个发生
符号表示
(或
)
图形表示
3.交事件(或积事件)
定义
一般地,事件
与事件
_______发生,这样的一个事件中的样本点既在事件
中,也在事件
中,我们称这样的一个事件为事件
与事件
的交事件(或
积事件)
含义
与
同时发生
符号表示
(或
)
图形表示
4.互斥事件(或互不相容事件)
定义
一般地,如果事件
与事件
_______发生,也就是说
是一个不可能事件,
即
,则称事件
与事件
互斥(或互不相容)
含义
与
不能同时发生
符号表示
图形表示
5.对立事件
定义
一般地,如果事件
和事件
在任何一次试验中_______一个发生，那么称事
件
与事件
互为对立.事件
的对立事件记为
含义
与
有且仅有一个发生
符号表示
,
图形表示
【即学即练】
1．打靶3 次，记事件
表示“共击中i 发”，其中
，那么
表示（ ）
A．“全部击中”
B．“至少击中1 次”
C．“至多击中1 次”
D．“至少击中2 次”
2．某人打靶时连续射击三次，下列事件中与事件“至少一次中靶”互为对立的是（ ）
A．三次都没有中靶
B．三次都中靶
C．至多一次中靶
D．
只有一次中靶
知识点03 古典概型
1.概率
对随机事件发生可能性大小的度量(数值),称为事件的概率,事件
的概率用
表示.
2.古典概型
一般地,如果随机试验的样本空间的样本点只有_______个(简称为有限性),而且可以认为每个样本点发生的
可能性_______(简称等可能性),则称这样的随机试验为古典概型试验,其数学模型称为古典概率模型,简称古
典概型.
3.古典概型概率公式
一般地,设试验
是古典概型,样本空间
包含
个样本点,事件
包含其中的
个样本点,则定义事件
的
概率
_______，其中,
和
分别表示事件
和样本空间
包含的样本点个数.
【即学即练】
1．某学校为调查同学观看“9·3 阅兵”的情况，从600 名同学中抽取30 人进行了解，则每名同学被抽到的
概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．甲乙丙三位同学之间相互踢毽子．假设他们相互间传递毽子是等可能的，并且由甲开始传，则经过3 次
传递后，毽子传到丙处的概率为 ．
知识点04 概率的基本性质
一般地,概率具有如下性质:
性质1:对任意的事件
,都有
_______
性质2:必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即
.
性质3:如果事件
与事件
互斥,那么
_______
如果事件
两两互斥,那么事件
发生的概率等于这
个事件分别发生的
概率之和,即
性质4:如果事件
和事件
互为对立事件,那么
性质5:如果
,那么
.
性质6:设
是一个随机试验中的两个事件,我们有
_______
【即学即练】
1．已知随机事件
满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知一个古典概型，其样本空间中共有12 个样本点，其中事件
有6 个样本点，事件
有4 个样本点，
事件
有8 个样本点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
题型01 样本空间与样本点表示
【例1】从正方形ABCD 的四个顶点及其中心O 这5 个点中，任取两点观察取点的情况，设事件P：这两
点的距离不大于该正方形的边长，则事件P 包含的样本点的个数为 ．
【例2】体育彩票摇奖时，将10 个质地和大小完全相同，分别标有号码0，1，2，…，9 的球放入摇奖器
中，经过充分搅拌后摇出一个球．记“摇到的球的号码小于6”为事件
，则事件
包含的样本点的个数为
（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
【变式1-1】高一(1)班计划从A，B，C，D，E 这五名班干部中选两人代表班级参加一次活动，则样本空间
中样本点的个数为（ ）
A．5
B．10
C．15
D．20
【变式1-2】某市为了了解市民对卫生管理的满意程度，通过问卷调查了学生、在职人员、退休人员共250
人，结果如下表：
学生
在职人员
退休人员
满意
75
y
78
不满意
5
z
12
若
，
，基本事件用
表示，请写出该试验的样本空间，并指出样本点的个数．
【变式1-3】做试验“从
，1，2 这3 个数字中，不放回地取两次，每次取一个数字，构成有序数对
，
为第1 次取到的数字，
为第2 次取到的数字”．
(1)写出这个试验的样本空间；
(2)写出这个试验样本点的总数；
(3)写出“第1 次取出的数字是2”这一事件包含的样本点．
题型02 随机事件的判断
【例3】给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（ ）
①“从二个白球一个红球中取二个球，其中必有一个球是白球”是必然事件；
②“当x 为某一实数时，可使
”是不可能事件；
③“明天上海要下雨”是必然事件；
④“从100 个灯泡中取出5 个，5 个都是次品”是随机事件．
A．①②③
B．②③④
C．①②④
D．①③④
【例4】下列各项中，属于随机事件的是（ ）
A．若正方形边长为
，则正方形的面积为
B．在没有任何辅助情况下，人在真空中也可以生存
C．在一个标准大气压下，温度达到
时水会沸腾
D．抛掷一枚硬币，反面向上
【变式2-1】下列事件是随机事件的是（ ）
①同种电荷，互相排斥；②明天是晴天；③自由下落的物体做匀速直线运动；④函数
在
定义域上是增函数．
A．①③
B．①④
C．②④
D．③④
【变式2-2】在12 件同类产品中，有10 件是正品，2 件是次品，从中任意抽出3 件，则下列事件为必然事
件的是（ ）
A．3 件都是正品
B．至少有2 件是次品
C．3 件都是次品
D．至少有1 件是正品
【变式2-3】判断下面哪些是随机现象，哪些是确定性现象，并列举几个生活中的确定性现象与随机现象
的例子．
（1）明天太阳升起；
（2）明天上海局部地区下雨；
（3）明年小明又大一岁；
（4）小明今天放学回家到路口时恰好碰到绿灯．
题型03 事件间的关系及运算
【例5】某人打靶时连续射击两次，则事件“至少一次中靶”是事件“至多一次中靶”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【例6】（多选）某篮球运动员进行投篮训练，连续投篮两次，设事件A 表示随机事件“两次都投中”，
事件B 表示随机事件“两次都未投中”，事件C 表示随机事件“恰有一次投中”，事件D 表示随机事件
“至少有一次投中”，则下列关系正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3-1】向上抛掷一枚质地均匀的骰子，设事件
“点数为2 或4”，事件
“点数为2 或6”，事件
“点数为偶数”，则事件C 与A，B 的运算关系是 ．
【变式3-2】（多选）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，记事件
“两次都击中飞
机”，事件
“两次都没击中飞机”，事件
“恰有一次击中飞机”，事件
“至少有一次击中飞
机”，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3-3】（多选）如图，一个电路中有甲、乙、丙三个电子元件，设
“甲元件故障”，
“乙元
件故障”，
“丙元件故障”，则能表示电路是通路的事件是（ ）
A．
B．
C．
D．
（1）事件的包含与相等可以从集合的角度理解,事件的包含关系就是集合间的子集与真子集的关系；
（2）进行事件的运算时,一是要紧扣运算的定义,二是要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果,必
要时可利用Venn 图或列出全部的试验结果进行分析.
题型04 互斥事件与对立事件的判断
【例7】不透明的口袋内装有红色绿色和蓝色卡片各
､
2 张，一次性任意取出2 张卡片，则下列事件，与事
件“2 张卡片都为红色”互斥而不对立的个数为（ ）
2
①张卡片都不是红色；
2
②张卡片恰有1 张是红色；
2
③张卡片至少有1 张是红色；
2
④张卡片至多一张为红色.
A．1
B．2
C．3
D．4
【例8】（多选）抛掷一枚质地均匀的骰子，有如下随机事件：
“点数不大于2”；
“点数大于
2”；
“点数大于5”；
“点数为奇数”.则下列说法正确的有（ ）
A．
B．
，
为对立事件
C．
与
互斥
D．
【变式4-1】（多选）抛掷一枚质地均匀的骰子，有如下事件：
“所有样本空间”，
“点数为i”，
其中
，2，3，4，5，6，
“点数不大于2”，
“点数大于2”，
“点数大于4”，则（ ）
A．
与
互斥
B．
，
C．
D．
，
为对立事件
【变式4-2】已知事件
表示“3 粒种子全部发芽”，事件
表示“3 粒种子都不发芽”，则
和
（ ）
A．是对立事件
B．不是互斥事件
C．互斥但不是对立事件
D．是不可能事件
【变式4-3】记“抛掷一颗骰子，向上的点数是4，5，6”为事件
，“抛掷一颗骰子，向上的点数是1，2”
为事件
，“抛掷一颗骰子，向上的点数是1，2，3”为事件
， “抛掷一颗骰子，向上的点数是1，2，
3，4”为事件
，下列判断正确的有 （ ）个
①
与
互斥； ②
与
对立； ③
与
对立； ④
与
互斥；
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
设事件
与
所含的结果组成的集合分别为
.
①若事件件
与
互斥,则集合
;
②若事件件
与
对立,则集合
且
.
题型05 古典概型的计算
【例9】从字母
,
, ,
, 中不放回依次取两个字母，则取到字母
的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例10】一个袋子中有5 个球，其中
个红球，其余为绿球，采用不放回方式从中依次随
机地取出2 个球．
(1)若
，求第二次取到红球的概率；
(2)若取出的2 个球都是红球的概率为
，求
．
【变式5-1】若
，则函数
有零点的概率为（）
A．
B．
C．
D．
【变式5-2】在不超过11 的素数中，随机选取两个不同的数，其和为偶数的概率是 .
【变式5-3】已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共5 个.若从中抽取一球，得到红球或黄球的
概率是
，得到红球或蓝球的概率是
.
(1)求盒中红球、黄球、蓝球的个数；
(2)将这5 个红球、黄球、蓝球按照“红、黄、蓝”的顺序依次编号为1，2，3，4，5.现从盒中一次性任取
两球，设置游戏规则如下：若取出的两个球中有黄球或编号之和不小于7 则甲胜，否则乙胜.试从获胜的概
率角度，判断这个游戏是否公平.
计算古典概型事件的概率步骤：①算出样本点的总个数n；②求出事件A 所包含的样本点个数
;
③代入公式求出概率
.
题型06 有放回和无放回的概率问题
【例11】袋子中有5 个大小质地完全相同的球，其中2 个红球，3 个黄球，从中不放回地依次随机摸出两
个球，则两次都是黄球的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
【例12】一个袋子中有
个红球，
个白球，球的大小和质地相同
(1)若
，
，采取不放回的方式从中依次随机地取出2 个球，求第一次和第二次都取到白球的
概率.
(2)若
，采取有放回的方式从中依次随机地取出 2 个球，已知取出一个红球和一个白球的概率
是
，求
的最大值.
【变式6-1】现有大小和质地相同的6 个球，其中有3 个红球（标号分别为1、2、3），3 个绿球（标号分
别为1、2、3），按一定方式抽取两球，标号之和大于4 即为取球成功.现有三种抽取方式：方式①有放回
依次抽取两球；方式②不放回依次抽取两球；方式③按颜色等比例分层抽取两球.记这三种方式取球成功的
概率分别为
，
，
.则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式6-2】从两名男生（记为
和
）、两名女生（记为
和
）中任意抽取两人，分别采取不放回简
单随机抽样和有放回简单随机抽样．在以上两种抽样方式下，抽到的两人是一男生一女生的概率分别为（
）
A．
B．
C．
D．
【变式6-3】某班元旦联欢会上开展趣味抽奖小游戏，在不透明的盒子里装有标号为1，2 的两个红球和标
号为3，4，5 的三个白球，五个小球除颜色和标号外完全相同，参与游戏的同学从中任取1 个，有放回地
抽取2 次，根据抽到小球的情形分别设置一，二，三等奖．班委会讨论了以下两种规则：
规则一：若抽到两个红球且标号和为偶数获一等奖，抽到两个白球且标号和为偶数获二等奖，抽到两个球
标号和为奇数获三等奖，其余不获奖；
规则二：若抽到两个红球且标号和为奇数获一等奖，抽到两个球的标号和为5 的倍数获二等奖，抽到两个
球标号和为偶数,且不是5 的倍数获三等奖，其余不获奖．
(1)求两种规则下获得二等奖的概率；
(2)请问哪种规则的获奖概率更大，并说明理由．
题型07 互斥事件的概率求法
【例13】已知随机事件A，B，A 和
互斥，且
，则
.
【例14】（多选）已知事件
两两互斥，若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式7-1】某学校新学期开设了丰富的社团供新生选择，高一年级甲同学对理科学社和十三月音乐社产
生了浓厚的兴趣．若甲加入理科学社的概率为0.7，加入十三月音乐社的概率为0.3，两个都加入的概率为
0.21，则甲只加入其中一个社团的概率为
【变式7-2】某商场开展20 周年店庆购物抽奖活动（100%中奖），凡购物满500 元的顾客均可参加该活动，
活动方式是在电脑上设置一个包含1，2，3，4，5，6 的6 个数字编号的滚动盘，随机按下启动键后，滚动
盘上的数字开始滚动，当停止时滚动盘上出现一个数字，若该数字是大于5 的数，则获得一等奖，奖金为
150 元；若该数字是小于4 的奇数，则获得二等奖，奖金为100 元；若该数字出现其它情况，则获得三等
奖，奖金为50 元.现某顾客依次操作两次，则该顾客奖金之和为200 元的概率为 .
【变式7-3】某医院一天派出医生下乡医疗，派出医生人数及其概率如下表：
医生人数
0
1
2
3
4
概率
0.1
0.16
x
y
0.2
z
若派出医生不超过2 人的概率为0.56，则
，若派出医生最多4 人的概率为0.96，最少3 人的
概率为0.44，则
.
题型08 对立事件的概率求法
【例15】设
是一个随机试验中的两个事件，且
，则
【例16】某电子图书平台通过大数据观测发现，读者选择
类图书的概率为
，选择
类图书的概率为
两类图书都不选的概率为
，则
两类图书都选的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式8-1】设随机事件A，
满足
，
，则
（ ）
A．0.4
B．0.35
C．0.25
D．0.1
【变式8-2】黄山市境内风光奇绝，拥有12 处国家级重点风景名胜区，在五一假期期间展现出独特的旅游
魅力．对于
两个旅游景点，通过大数据观测发现，游客选择
景点出游的概率为
，选择
景点出游
的概率为
，
两个景点都不选的概率为
，则
两个景点都选的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式8-3】现有相同的哪吒玩偶和相同的敖丙玩偶足够多，有甲、乙、丙三个小朋友，每人去拿1 个或2
个玩偶，假设每种不同拿取方式是等可能的，则至少有一个小朋友拿到哪吒玩偶的概率为 .
题型09 概率的基本性质的应用
【例17】已知随机事件
满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【例18】设
是一个随机试验中的两个事件，记
为事件
的对立事件，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式9-1】甲、乙两个元件互相不影响，且构成一个并联电路，设事件
“甲元件故障”，事件
“乙元件故障”，且
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式9-2】已知事件
和
是一个随机试验中的两个事件，若
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式9-3】设
，
是一个随机试验中的两个事件，且
，
，
，则
一、单选题
1．以下事件是随机事件的是（ ）
A．标准大气压下，水加热到
，必会沸腾
B．走到十字路口，遇到红灯
C．长和宽分别为
的矩形，其面积为
D．实系数一元一次方程必有一实根
2．从装有1 个红球、1 个白球和1 个黄球的口袋中任取1 个球，则与事件“取出的是红球”互为对立事件
的是（ ）
A．“取出的是白球”
B．“取出的是黄球”
C．“取出的是红球”
D．“取出的不是红球”
3．已知
且
，则
为偶数的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知随机事件A，B 满足
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A 表示随机事件“两枚炮弹都击中飞
机”，事件B 表示随机事件“两枚炮弹都未击中飞机”，事件C 表示随机事件“恰有一枚炮弹击中飞机”，
事件D 表示随机事件“至少有一枚炮弹击中飞机”，则下列关系不正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．某人有
把钥匙，其中
把能打开门．现随机地取把钥匙开门，如果将不能开门的钥匙立即扔掉，那
么第二次才能打开门的概率为
；如果试过的钥匙不扔掉，那么第二次才能打开门的概率为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
7．某比赛为两运动员制定下列发球规则：
规则一：投掷一枚硬币，出现正面向上，甲发球，反面向上，乙发球；
规则二：从装有2 个红球与2 个黑球的布袋中随机地取出2 个球，如果同色，甲发球，否则乙发球；
规则三：从装有3 个红球与1 个黑球的布袋中随机取出2 个球，如果同色，甲发球，否则乙发球.上述规则
对甲、乙公平的有（ ）
A．规则一，规则二
B．规则一，规则三
C．规则二，规则三
D．
规则一，规则二，规则三
二、多选题
8．某人从装有3 个白球和2 个红球的袋中随机取出2 个球，事件
表示取出的2 个球都是白球，事件
表
示取出的2 个球都是红球，事件
表示取出的2 个球中至少有1 个白球，事件
表示取出的2 个球中至少
有1 个红球，则下列事件是对立事件的是（ ）
A．
与
B．
与
C．
与
D．
与
9．连续地掷一枚均匀的骰子两次，所得向上的点数分别为
，记
，则下列说法正确的是
（ ）
A．事件“
”的概率为
B．事件“m 是奇数”的概率为
C．事件“
”与“
”互为对立事件
D．事件“m 是奇数”与“
”互为互斥事件
10．某次数学月考的一道多选题，共4 个选项，全部选对得6 分，部分选对得部分分，若标准答案为两个
选项，则选对一个选项得3 分，若标准答案为三个选项，选对一个选项得2 分，选错得0 分，已知某小题
的标准答案为ABD，甲，乙，丙，丁四位同学都不会做，以下说法正确的是（ ）
A．甲同学仅仅随机选择一个选项，能得2 分的概率为
B．乙同学仅随机选择两个选项，能得4 分的概率为
C．丙同学选择至少两个选项，能得分的概率比乙同学仅随机选择两个选项得分概率高
D．丁同学选择至少一个选项，能得2 分的概率与得4 分的概率相同
三、填空题
11．据先秦典籍《世本》记载：“尧造围棋，丹朱善之.”围棋，起源于中国，至今已有四千多年历史，蕴
含着中华文化的丰富内涵.现从3 名男生和2 名女生中任选2 人参加围棋比赛，则所选2 人中至少有1 名男
生的概率为 .
12．某家族有X，Y 两种遗传性状，该家族某成员出现X 性状的概率为
，出现Y 性状的概率为
，X，Y
两种性状都不出现的概率为
，则该成员X，Y 两种性状都出现的概率为 ．
四、解答题
13．从40 张扑克牌（红桃、黑桃、方块、梅花点数从1~10 各10 张）中，任取一张．设A：抽出红桃，
B：抽出黑桃，C：抽出红色牌，D：抽出黑色牌，E：抽出的牌点数为5 的倍数，F：抽出的牌点数大于
9，G：抽出黑桃10．讨论：
(1)A 与B 的关系；
(2)C 与D 的关系；
(3)B 与D 的关系；
(4)E 与F 的关系；
(5)B、F、G 之间的关系．
14．一个袋子中存大小和质地均相同的四个球，其中有两个红球（标号为1 和2），一个黑球（标号为
3），一个白球（标号为4），从袋中不放回地依次随机摸出两个球，设事件A=“第一次摸到红球”，事件
B=“第二次摸到黑球”，C=“摸到的两个球恰为一个红球一个白球”．
(1)分别求事件
、
、
发生的概率；
(2)求事件A、B、C 中至多有一个发生的概率．
15．小张、小胡两位小朋友玩游戏，两人轮流从装有编号为1，2，3，4，5 的5 个球的口袋中有放回的摸
出一个小球，规定两人谁摸出的球的数字大，谁就获胜，数字相同则为平局．
(1)求两人平局的概率；
(2)玩了几局游戏后，小胡提出“从袋中有放回地随机摸出一个小球，若他们这次摸出的数字之和为偶数，
则小胡获胜，否则小张获胜．”，请问：这个规则是否对小胡有利？
