专题5.3.1 样本空间与事件&专题5.3.2 事件之间的关系与运算
&5.3.3 古典概型
教学目标
1．理解随机试验、样本点、样本空间的定义，掌握随机事件、必然事件、不可能事
件的概念。
2．掌握事件的包含、并、交、互斥、对立等关系与运算，理解各关系的含义及符号
表示。
3．理解古典概型的特征（有限性、等可能性），掌握其概率计算公式，熟记概率的
基本性质并能运用。
教学重难点
重点：随机事件相关概念；事件的关系与运算；古典概型的判定及概率计算；概率基
本性质的应用。
难点：区分互斥事件与对立事件；古典概型中样本点个数的计数；概率基本性质的灵
活运用。
知识点01 有限样本空间与随机事件
1.随机试验
我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验,简称试验,常用字母
表示.
随机试验具有以下特点:
（1）试验可以在相同条件下重复进行;
（2）试验的所有可能结果是明确可知的,并且不止一个;
（3）每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个,但事先不能确定出现哪一个结果.
2.试验的样本点和样本空间
项目
定义
字母表示
样本点
我们把随机试验
的每个可能的基本结果称为样本点
用
表示样本点
样本空间
全体样本点的集合称为试验
的样本空间
用
表示样本空间
有限样本空间
如果一个随机试验有
个可能结果
则称样本空间
为有限样本空间
3.三种事件的定义
随机事件
我们将样本空间
的子集称为随机事件,简称事件,并把只包含一个样本点的事件称
为基本事件.随机事件一般用大写字母
表示.在每次试验中,当且仅当
中
某个样本点出现时,称为事件
发生
必然事件
作为自身的子集,包含了所有的样本点,在每次试验中总有一个样本点发生,所以
总会发生,我们称
为必然事件
不可能事件
空集
不包含任何样本点,在每次试验中都不会发生,我们称
为不可能事件
【即学即练】
1．（多选）在试验：连续射击一个目标10 次，观察命中的次数中，事件
“至少命中6 次”，则下列
说法正确的是（ ）
A．样本空间中共有10 个样本点
B．事件
中有5 个样本点
C．样本点6 在事件
内
D．事件
中包含样本点11
【答案】BC
【详解】样本空间中共有11 个样本点，故A 错误；
事件
中有5 个样本点，包括样本点6，故BC 正确；
样本点中没有11，故D 错误．
故选：BC.
2．下列现象是必然现象的是（ ）
A．走到十字路口遇到红灯
B．冰水混合物的温度是
C．三角形的内角和为
D．一个射击运动员每次射击都命中
环
【答案】C
【详解】选项A，十字路口遇到红灯，这个事件可能发生也可能不发生，为随机现象；
选项B，标准大气压下，冰水混合物的温度是
，事件冰水混合物的温度是
不是必然现象；
选项C，三角形的内角和为
，这个事件为必然现象；
选项D，一个射击运动员每次射击都命中7 环，这个事件可能发生也可能不发生，为随机现象．
故选：C.
知识点02 事件的关系和运算
1.事件的包含关系
定义
一般地,若事件
发生,则事件
一定发生,我们就称事件
包含事件
(或事件
包含于事件
)
含义
发生导致
发生
符号表示
(或
)
图形表示
特殊情况
如果事件
包含事件
,事件
也包含事件
,即
且
,则
称事件
与事件
相等,记作
2.并事件(或和事件)
定义
一般地,事件
与事件
至少有一个发生,这样的一个事件中的样本点或者在事件
中,或者在事件
中,我们称这个事件为事件
与事件
的并事件(或和事件)
含义
与
至少有一个发生
符号表示
(或
)
图形表示
3.交事件(或积事件)
定义
一般地,事件
与事件
同时发生,这样的一个事件中的样本点既在事件
中,也在事件
中,我们称这样的一个事件为事件
与事件
的交事件(或积
事件)
含义
与
同时发生
符号表示
(或
)
图形表示
4.互斥事件(或互不相容事件)
定义
一般地,如果事件
与事件
不能同时发生,也就是说
是一个不可能事件,
即
,则称事件
与事件
互斥(或互不相容)
含义
与
不能同时发生
符号表示
图形表示
5.对立事件
定义
一般地,如果事件
和事件
在任何一次试验中有且仅有一个发生，那么称事
件
与事件
互为对立.事件
的对立事件记为
含义
与
有且仅有一个发生
符号表示
,
图形表示
【即学即练】
1．打靶3 次，记事件
表示“共击中i 发”，其中
，那么
表示（ ）
A．“全部击中”
B．“至少击中1 次”
C．“至多击中1 次”
D．“至少击中2 次”
【答案】C
【详解】由题意，
表示共击中0 次，
表示共击中1 次，
所以
表示打靶3 次，其中“至多击中1 次”，或“击中不超过1 次”.
故选：C
2．某人打靶时连续射击三次，下列事件中与事件“至少一次中靶”互为对立的是（ ）
A．三次都没有中靶
B．三次都中靶
C．至多一次中靶
D．
只有一次中靶
【答案】A
【详解】根据对立事件的概念，事件“至少一次中靶”的对立事件为“三次都没有中靶”.
故选：A
知识点03 古典概型
1.概率
对随机事件发生可能性大小的度量(数值),称为事件的概率,事件
的概率用
表示.
2.古典概型
一般地,如果随机试验的样本空间的样本点只有有限个(简称为有限性),而且可以认为每个样本点发生的可能
性相等(简称等可能性),则称这样的随机试验为古典概型试验,其数学模型称为古典概率模型,简称古典概型.
3.古典概型概率公式
一般地,设试验
是古典概型,样本空间
包含
个样本点,事件
包含其中的
个样本点,则定义事件
的
概率
，其中,
和
分别表示事件
和样本空间
包含的样本点个数.
【即学即练】
1．某学校为调查同学观看“9·3 阅兵”的情况，从600 名同学中抽取30 人进行了解，则每名同学被抽到的
概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】从600 名同学中抽取30 人进行了解，每名同学被抽到的概率为
.
故选：D.
2．甲乙丙三位同学之间相互踢毽子．假设他们相互间传递毽子是等可能的，并且由甲开始传，则经过3 次
传递后，毽子传到丙处的概率为 ．
【答案】
/0.375
【详解】设甲乙丙分别为
，毽子由甲开始传，经过3 次传递后的所有可能结果如树状图：
3 次传递后的基本事件是种，毽子传到丙处的事件含有基本事件数是3 种，
所以经过3 次传递后，毽子传到丙处的概率
.
故答案为：
.
知识点04 概率的基本性质
一般地,概率具有如下性质:
性质1:对任意的事件
,都有
性质2:必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即
.
性质3:如果事件
与事件
互斥,那么
如果事件
两两互斥,那么事件
发生的概率等于这
个事件分别发生的
概率之和,即
性质4:如果事件
和事件
互为对立事件,那么
性质5:如果
,那么
.
性质6:设
是一个随机试验中的两个事件,我们有
【即学即练】
1．已知随机事件
满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因为
，
即
，解得
.
故选：B
2．已知一个古典概型，其样本空间中共有12 个样本点，其中事件
有6 个样本点，事件
有4 个样本点，
事件
有8 个样本点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】根据概率公式计算可得
，
，
；
由概率的加法公式可知
，代入计算可得
故选：D
题型01 样本空间与样本点表示
【例1】从正方形ABCD 的四个顶点及其中心O 这5 个点中，任取两点观察取点的情况，设事件P：这两
点的距离不大于该正方形的边长，则事件P 包含的样本点的个数为 ．
【答案】8
【详解】两点距离不大于正方形的边长的线段有：OC，OA，OB，OD，AB，BC，CD，DA，样本点个数
为8.
故答案为：8
【例2】体育彩票摇奖时，将10 个质地和大小完全相同，分别标有号码0，1，2，…，9 的球放入摇奖器
中，经过充分搅拌后摇出一个球．记“摇到的球的号码小于6”为事件
，则事件
包含的样本点的个数为
（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】C
【详解】由题意可知，事件
,共
个样本点.
故选：C.
【变式1-1】高一(1)班计划从A，B，C，D，E 这五名班干部中选两人代表班级参加一次活动，则样本空间
中样本点的个数为（ ）
A．5
B．10
C．15
D．20
【答案】B
【详解】从A，B，C，D，E 五人中选两人，
不同的选法有：
，
所以样本空间中样本点的个数为10．
故选：B.
【变式1-2】某市为了了解市民对卫生管理的满意程度，通过问卷调查了学生、在职人员、退休人员共250
人，结果如下表：
学生
在职人员
退休人员
满意
75
y
78
不满意
5
z
12
若
，
，基本事件用
表示，请写出该试验的样本空间，并指出样本点的个数．
【答案】样本空间
，个数为9．
【详解】由表可知学生人数为80，退休人员人数为90，
所以在职人员人数为
（人），即
，
因为
，
，
所以样本空间
，样本点的个数为9.
【变式1-3】做试验“从
，1，2 这3 个数字中，不放回地取两次，每次取一个数字，构成有序数对
，
为第1 次取到的数字，
为第2 次取到的数字”．
(1)写出这个试验的样本空间；
(2)写出这个试验样本点的总数；
(3)写出“第1 次取出的数字是2”这一事件包含的样本点．
【答案】(1)答案见解析
(2)6
(3)
，
【分析】
【详解】（1）这个试验的样本空间
．
（2）易知这个试验的样本点的总数是6．
（3）“第1 次取出的数字是2”这一事件包含的样本点为：
，
.
题型02 随机事件的判断
【例3】给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（ ）
①“从二个白球一个红球中取二个球，其中必有一个球是白球”是必然事件；
②“当x 为某一实数时，可使
”是不可能事件；
③“明天上海要下雨”是必然事件；
④“从100 个灯泡中取出5 个，5 个都是次品”是随机事件．
A．①②③
B．②③④
C．①②④
D．①③④
【答案】C
【详解】对于①，从二个白球一个红球中取二个球，其中必有一个球是白球”是必然事件，所以①正确，
对于②，“当x 为某一实数时，可使
”是不可能事件，所以②正确，
对于③，“明天上海要下雨”是不确定的，是随机事件，所以③错误，
对于④，“从100 个灯泡中取出5 个，5 个都是次品”是随机事件，所以④正确.
故选：C
【例4】下列各项中，属于随机事件的是（ ）
A．若正方形边长为
，则正方形的面积为
B．在没有任何辅助情况下，人在真空中也可以生存
C．在一个标准大气压下，温度达到
时水会沸腾
D．抛掷一枚硬币，反面向上
【答案】D
【详解】对于A，若正方形边长为
，由面积公式可知其面积为
，这是必然事件，故A 不合题意；
对于B，真空中没有空气，在没有任何辅助情况下，人不能在真空中生存，这是不可能事件，故B 不合题
意；
对于C，在一个标准大气压下，只有温度达到
，水才会沸腾，当温度是
时，水不会沸腾，这是
不可能事件，故C 不合题意；
对于D，扡掷一枚硬币时，结果可能是正面向上，也可能反面向上，这是随机事件,故D 符合题意.
故选：D.
【变式2-1】下列事件是随机事件的是（ ）
①同种电荷，互相排斥；②明天是晴天；③自由下落的物体做匀速直线运动；④函数
在
定义域上是增函数．
A．①③
B．①④
C．②④
D．③④
【答案】C
【详解】由于①是物理学定律，从而是必然事件；
由于根据自由落体的相关理论，自由下落的物体做匀加速直线运动，故③是不可能事件；
而明天的天气是不确定的，故②可能发生也可能不发生；
函数
在定义域上是增函数当且仅当
，所以④可能发生也可能不发生.
根据随机事件的定义，知是随机事件的是②④.
故选：C.
【变式2-2】在12 件同类产品中，有10 件是正品，2 件是次品，从中任意抽出3 件，则下列事件为必然事
件的是（ ）
A．3 件都是正品
B．至少有2 件是次品
C．3 件都是次品
D．至少有1 件是正品
【答案】D
【详解】因为12 件产品中，只有2 件是次品，从中取3 件，其中必定至少有1 件是正品.
故选：D
【变式2-3】判断下面哪些是随机现象，哪些是确定性现象，并列举几个生活中的确定性现象与随机现象
的例子．
（1）明天太阳升起；
（2）明天上海局部地区下雨；
（3）明年小明又大一岁；
（4）小明今天放学回家到路口时恰好碰到绿灯．
【答案】确定性现象，随机现象，确定性现象，随机现象，举例见解析.
【详解】（1）明天太阳升起是确定性现象；
（2）明天上海局部地区下雨是随机现象；
（3）明年小明又大一岁是确定性现象.
（4）小明今天放学回家到路口时恰好碰到绿灯是随机现象.
如：导体通电时发热、抛一块石头下落都是确定性现象；
掷一枚硬币出现正面、某人射击一次中靶、一个电影院某天的上座率超过50%都是随机现象.
题型03 事件间的关系及运算
【例5】某人打靶时连续射击两次，则事件“至少一次中靶”是事件“至多一次中靶”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【详解】连续射击两次，基本事件有A：“两次都中靶”，B：“两次都没中靶”，C：“第一次中靶且第
二次没中靶”，D：“第一次没中靶且第二次中靶”.
事件“至少一次中靶”包含了A，C，D.事件“至多一次中靶”包含了B，C，D，
所以事件“至少一次中靶”是事件“至多一次中靶”的既不充分也不必要条件.
故选：D.
【例6】（多选）某篮球运动员进行投篮训练，连续投篮两次，设事件A 表示随机事件“两次都投中”，
事件B 表示随机事件“两次都未投中”，事件C 表示随机事件“恰有一次投中”，事件D 表示随机事件
“至少有一次投中”，则下列关系正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【详解】事件A 表示表示“两次都投中”；事件B 表示“两次都未投中”；
事件C 表示“恰有一次投中”；事件D 表示“至少有一次投中”，即表示“两次都投中”或“恰有一次投
中”，
A：事件A 表示表示“两次都投中”，事件D 表示“至少有一次投中”，故
，故A 正确；
B：事件B 和事件D 是对立事件，故
，故B 正确；
C：事件
表示“两次都投中”或“两次都未投中”，
而事件
表示“两次都未投中”、 “两次都投中”或“恰有一次投中”，故C 错误；
D：事件
表示“两次都投中”或“恰有一次投中”，故
，故D 正确.
故选：ABD.
【变式3-1】向上抛掷一枚质地均匀的骰子，设事件
“点数为2 或4”，事件
“点数为2 或6”，事件
“点数为偶数”，则事件C 与A，B 的运算关系是 ．
【答案】
【详解】设事件
“点数为2 或4”，事件
“点数为2 或6”，事件
“点数为偶数”
“点数为2 或
4 或6”，
则
.
故答案为：
.
【变式3-2】（多选）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，记事件
“两次都击中飞
机”，事件
“两次都没击中飞机”，事件
“恰有一次击中飞机”，事件
“至少有一次击中飞
机”，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【详解】对于A，事件A 包含于事件D，故A 正确；
对于B，由于事件B，D 不能同时发生，故
，故B 正确；
对于C，至少有一次击中飞机包含两种情况：
两次都击中飞机和恰有一次击中飞机，故
，故C 正确；
对于D，由于
，不是必然事件，而
为必然事件，故D 不正确．
故选：ABC
【变式3-3】（多选）如图，一个电路中有甲、乙、丙三个电子元件，设
“甲元件故障”，
“乙元
件故障”，
“丙元件故障”，则能表示电路是通路的事件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【详解】A. 由题意得，
“甲元件正常”，
“乙、丙元件同时故障”，
“乙原件和丙原
件至少有一个正常”，故
表示电路是通路.
B.
“甲、乙元件同时故障”，
“甲原件和乙原件至少有一个正常”，
“乙、丙元件同时
故障”，
“乙原件和丙原件至少有一个正常”，
不能得到甲原件一定正常，故不能表示电
路是通路.
C.
“甲元件正常”，
“乙元件正常”，
“丙元件正常”，
“乙原件和丙原件至少
有一个正常”，故
表示电路是通路.
D.
“甲、乙元件均正常”，
“甲、丙元件均正常”， 故
表示电路是通路.
故选：ACD.
（1）事件的包含与相等可以从集合的角度理解,事件的包含关系就是集合间的子集与真子集的关系；
（2）进行事件的运算时,一是要紧扣运算的定义,二是要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果,必
要时可利用Venn 图或列出全部的试验结果进行分析.
题型04 互斥事件与对立事件的判断
【例7】不透明的口袋内装有红色绿色和蓝色卡片各
､
2 张，一次性任意取出2 张卡片，则下列事件，与事
件“2 张卡片都为红色”互斥而不对立的个数为（ ）
2
①张卡片都不是红色；
2
②张卡片恰有1 张是红色；
2
③张卡片至少有1 张是红色；
2
④张卡片至多一张为红色.
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【详解】6 张卡片中一次性任意取出2 张卡片的情况有：“2 张都是红色”、“2 张都是蓝色”、“2 张都
是绿色”、“1 张红色和1 张蓝色”、“1 张红色和1 张绿色”、“1 张蓝色和1 张绿色”.
“2 张卡片都不是红色”与“2 张卡片都为红色”是互斥而不对立事件；
“2 张卡片恰有1 张是红色” 与“2 张卡片都为红色”是互斥而不对立事件；
“2 张卡片至少有1 张是红色”与“2 张卡片都为红色”不是互斥事件；
“2 张卡片至多一张为红色” 与“2 张卡片都为红色” 是对立事件.
所以事件“2 张卡片都为红色”互斥而不对立的个数为2.
故选：
.
【例8】（多选）抛掷一枚质地均匀的骰子，有如下随机事件：
“点数不大于2”；
“点数大于
2”；
“点数大于5”；
“点数为奇数”.则下列说法正确的有（ ）
A．
B．
，
为对立事件
C．
与
互斥
D．
【答案】BD
【详解】对于A，
“点数大于2”
“点数大于5”
“点数大于2”
，故A 错误；
对于B，点数大于2 与点数不大于2 不可能同时发生，且必有一个发生，即
为对立事件，故B 正确；
对于C，点数为奇数与点数大于2 可能同时发生，即
与
不是互斥事件，故C 错误；
对于D，点数为奇数与点数大于5 不可能同时发生，故
，故D 正确.
故选：BD.
【变式4-1】（多选）抛掷一枚质地均匀的骰子，有如下事件：
“所有样本空间”，
“点数为i”，
其中
，2，3，4，5，6，
“点数不大于2”，
“点数大于2”，
“点数大于4”，则（ ）
A．
与
互斥
B．
，
C．
D．
，
为对立事件
【答案】ABC
【详解】由题知
与
不可能同时发生，所以
与
互斥，A 正确；
事件
包含基本事件
，事件
包含基本事件
，
因此
，
，B 正确；
事件
包含基本事件
，故
，C 正确；
与
不可能同时发生，但也可能都不发生，不互为对立事件，D 错误．
故选：ABC
【变式4-2】已知事件
表示“3 粒种子全部发芽”，事件
表示“3 粒种子都不发芽”，则
和
（ ）
A．是对立事件
B．不是互斥事件
C．互斥但不是对立事件
D．是不可能事件
【答案】C
【详解】事件
表示“3 粒种子全部发芽”，事件
表示“3 粒种子都不发芽”，
所以事件
和事件
不会同时发生，是互斥事件，
因为3 粒种子可能只发芽1 粒，
所以事件
和事件
可以都不发生，则
和
不是对立事件.
故选：C
【变式4-3】记“抛掷一颗骰子，向上的点数是4，5，6”为事件
，“抛掷一颗骰子，向上的点数是1，2”
为事件
，“抛掷一颗骰子，向上的点数是1，2，3”为事件
， “抛掷一颗骰子，向上的点数是1，2，
3，4”为事件
，下列判断正确的有 （ ）个
①
与
互斥； ②
与
对立； ③
与
对立； ④
与
互斥；
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】B
【详解】抛掷一颗骰子，向上的点数可能为，
，，
，，
，
对①②，则事件
与
不可能同时发生，也可以都不发生，故
与
互斥，但是不对立，故①正确，②错
误；
对③，事件
与
不可能同时发生，但是
与
一定有一个会发生，故
与
对立，故③正确；
对④，事件
与
可以同时发生，如出现
点，事件
与事件
均发生，故
与
不互斥，故④错误；
故正确只有①③共
个.
故选：B
设事件
与
所含的结果组成的集合分别为
.
①若事件件
与
互斥,则集合
;
②若事件件
与
对立,则集合
且
.
题型05 古典概型的计算
【例9】从字母
,
, ,
, 中不放回依次取两个字母，则取到字母
的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】从
这5 个字母中不放回依次取2 个字母，属于有序选取，则
第一次取字母，有5 种选择，由于不放回，第二次取字母，有4 种选择.
因此，基本事件总数为：
.
第一次取到
，对应基本事件：
，有4 种选择；
第二次取到
，对应基本事件：
，有4 种选择；
因此，“取到字母
”包含的基本事件数为：
.
根据古典概型的概率公式有
.
故选：B
【例10】一个袋子中有5 个球，其中
个红球，其余为绿球，采用不放回方式从中依次随
机地取出2 个球．
(1)若
，求第二次取到红球的概率；
(2)若取出的2 个球都是红球的概率为
，求
．
【答案】(1)
；
(2)3.
【分析】
【详解】（1）由题可知袋中共有5 个球，记作
，
从中依次不放回取出2 个球，样本点有
，
，
，
共20 个样本点，
记＂第次取到红球＂为事件
，则＂第次取到绿球＂为事件
，
不妨设
为红球，
为绿球．两次都取到红球，则
．
先取到绿球再取到红球，则
，
于是
，
即第二次取到红球的概率为
.
（2）两次都取到红球为事件
.
所以两次取出红球的概率为
，
即
，解得
．
【变式5-1】若
，则函数
有零点的概率为（）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】记
为样本点，则总体样本空间
，共有25 个样本点，
①当
时，
，函数有零点，则
，
所以满足函数有零点的样本点有
共4 个；
②当
时，若函数
有零点，则
，即
，
所以满足函数有零点的样本点有
，共7 个，
记“函数
有零点的概率”为事件A，
则
，
故选：D
【变式5-2】在不超过11 的素数中，随机选取两个不同的数，其和为偶数的概率是 .
【答案】
.
【详解】因为不超过11 的素数有2，3，5，7，11 五个数，
从中选取两个不同的数的样本点有
，
共10 个；
其中和为偶数的样本点有
，
共6 个；
所以和为偶数的概率为
.
故答案为：
【变式5-3】已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共5 个.若从中抽取一球，得到红球或黄球的
概率是
，得到红球或蓝球的概率是
.
(1)求盒中红球、黄球、蓝球的个数；
(2)将这5 个红球、黄球、蓝球按照“红、黄、蓝”的顺序依次编号为1，2，3，4，5.现从盒中一次性任取
两球，设置游戏规则如下：若取出的两个球中有黄球或编号之和不小于7 则甲胜，否则乙胜.试从获胜的概
率角度，判断这个游戏是否公平.
【答案】(1)2,1,2；
(2)不公平
【分析】
【详解】（1）设盒中红球
个，黄球
个，则篮球（
）个，
由题意：
.
所以盒中红球、黄球、蓝球的个数分别为：2,1,2.
（2）红球的编号为1,2，黄球的编号为3，篮球的编号为4,5.
因为从盒中一次性任取两球，有
共10 个样本点，
根据规则，甲获胜的样本点有：
，共6 个样本点，
所以甲获胜的概率为
，
从而乙获胜的概率为：
.
因为
，所以这个游戏不公平.
计算古典概型事件的概率步骤：①算出样本点的总个数n；②求出事件A 所包含的样本点个数
;
③代入公式求出概率
.
题型06 有放回和无放回的概率问题
【例11】袋子中有5 个大小质地完全相同的球，其中2 个红球，3 个黄球，从中不放回地依次随机摸出两
个球，则两次都是黄球的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】分别记2 个红球和3 个黄球分别为
和
，
记
为随机试验的样本点，
分别表示第一次和第二次摸到的球，
则从中不放回地依次随机摸出两个球的试验的样本空间为
，共20 个样本点，
记事件
“从中不放回地依次随机摸出两个球，则两次都是黄球”，
则
共6 个样本点.
所以
.
故选：C
【例12】一个袋子中有
个红球，
个白球，球的大小和质地相同
(1)若
，
，采取不放回的方式从中依次随机地取出2 个球，求第一次和第二次都取到白球的
概率.
(2)若
，采取有放回的方式从中依次随机地取出 2 个球，已知取出一个红球和一个白球的概率
是
，求
的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】
【详解】（1）设2 个红球为
，3 个白球为
，依次取出2 个球的样本空间
，
共20 种，
设第一次和第二次都取到白球为事件
，则
共6 种，
所以
；
（2）有放回取球两次，每次取到红球的概率为
，取到白球的概率为
，
先取白球再取红球的概率为
；先取红球再取白球的概率为
，
所以
，当且仅当
时，等号成立，
所以
的最大值为
.
【变式6-1】现有大小和质地相同的6 个球，其中有3 个红球（标号分别为1、2、3），3 个绿球（标号分
别为1、2、3），按一定方式抽取两球，标号之和大于4 即为取球成功.现有三种抽取方式：方式①有放回
依次抽取两球；方式②不放回依次抽取两球；方式③按颜色等比例分层抽取两球.记这三种方式取球成功的
概率分别为
，
，
.则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】设方式①的样本空间为
，方式②的样本空间为
，方式③的样本空间为
，
方式①：有放回依次抽取两球，那么每次抽球都有6 种可能，则
其中“标号之和大于4”的基本事件有：
（红2、红3），（红2、绿3），（绿2、红3），（绿2、绿3），（红3、红2），（红3、绿2），（绿
3、红2），（绿3、绿2），（红3、红3），（红3、绿3），（绿3、红3），（绿3、绿3），共12 个.
所以
；
方式②：不放回依次抽取两球，那么第一次有 6 种，第二次有 5 种，则
其中“标号之和大于4”的基本事件有：
（红2、红3），（红2、绿3），（绿2、红3），（绿2、绿3），（红3、红2），（红3、绿2），（绿
3、红2），（绿3、绿2），（红3、绿3），（绿3、红3），共10 个.
所以
；
方式③：按颜色等比例分层抽取两球，那么第一次从红球中抽一个（3 种），第二次从绿球中抽一个（3
种），顺序可能固定为红→绿，则
其中“标号之和大于4”的基本事件有：
（红2、绿3），（红3、绿2），（红3、绿3），共3 个，所以
；
所以
.
故选：D.
【变式6-2】从两名男生（记为
和
）、两名女生（记为
和
）中任意抽取两人，分别采取不放回简
单随机抽样和有放回简单随机抽样．在以上两种抽样方式下，抽到的两人是一男生一女生的概率分别为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】从两名男生（记为
和
）、两名女生（记为
和
）中任意抽取两人，
记事件
“抽到的两人是一男生一女生”，
在无放回简单随机抽样方式下的样本空间为:
共12 个样本点，
其中
有8 个样本点，所以
.
在有放回简单随机抽样方式下的样本空间为:
共16 个样本点，
其中
有8 个样本点，所以
.
故选：A.
【变式6-3】某班元旦联欢会上开展趣味抽奖小游戏，在不透明的盒子里装有标号为1，2 的两个红球和标
号为3，4，5 的三个白球，五个小球除颜色和标号外完全相同，参与游戏的同学从中任取1 个，有放回地
抽取2 次，根据抽到小球的情形分别设置一，二，三等奖．班委会讨论了以下两种规则：
规则一：若抽到两个红球且标号和为偶数获一等奖，抽到两个白球且标号和为偶数获二等奖，抽到两个球
标号和为奇数获三等奖，其余不获奖；
规则二：若抽到两个红球且标号和为奇数获一等奖，抽到两个球的标号和为5 的倍数获二等奖，抽到两个
球标号和为偶数,且不是5 的倍数获三等奖，其余不获奖．
(1)求两种规则下获得二等奖的概率；
(2)请问哪种规则的获奖概率更大，并说明理由．
【答案】(1)
(2)两种规则的获奖概率一样大，理由见解析
【详解】（1）据题意，两次抽取小球的所有可能结果为：
记规则一获得二等奖为事件
，记规则二获得二等奖为事件
，
事件
包含
五个样本点，故
，
事件
包含
五个样本点，故
．
所以两种规则下获得二等奖的概率均为
.
（2）两种规则的获奖概率一样大．理由如下：
记规则一获得一、二、三等奖分别为事件
由(1)可知事件
包含
两个样本点，所以
事件
包含
,共12 个样本点，所以
由(1)知
，
所以规则一的获奖概率为
记规则二下获得一、二、三等奖分别为事件
事件
包含
两个样本点，
；
事件
包含
，共十二个样本点，
；
由(1)知
，
所以规则二的获奖概率
.
所以两种规则的获奖概率一样大．
题型07 互斥事件的概率求法
【例13】已知随机事件A，B，A 和
互斥，且
，则
.
【答案】
/
【详解】因为
和
互斥，所以
，
所以
，解得
，
故答案为：
.
【例14】（多选）已知事件
两两互斥，若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【详解】A 选项，因为事件
互斥，所以
，故
，A 错误；
BC 选项，因为事件
两两互斥，
，
所以
，B 正确，C 错误；
D 选项，
，D 正确.
故选：BD.
【变式7-1】某学校新学期开设了丰富的社团供新生选择，高一年级甲同学对理科学社和十三月音乐社产
生了浓厚的兴趣．若甲加入理科学社的概率为0.7，加入十三月音乐社的概率为0.3，两个都加入的概率为
0.21，则甲只加入其中一个社团的概率为
【答案】
/
【详解】设事件甲加入理科学社为
，事件甲加入十三月音乐社为
，
由已知
，
，
，
事件甲同时加入两个社团可表示为
，
事件甲只加入其中一个社团可表示为
，
且事件
，
互斥，
所以
，
故答案为：
.
【变式7-2】某商场开展20 周年店庆购物抽奖活动（100%中奖），凡购物满500 元的顾客均可参加该活动，
活动方式是在电脑上设置一个包含1，2，3，4，5，6 的6 个数字编号的滚动盘，随机按下启动键后，滚动
盘上的数字开始滚动，当停止时滚动盘上出现一个数字，若该数字是大于5 的数，则获得一等奖，奖金为
150 元；若该数字是小于4 的奇数，则获得二等奖，奖金为100 元；若该数字出现其它情况，则获得三等
奖，奖金为50 元.现某顾客依次操作两次，则该顾客奖金之和为200 元的概率为 .
【答案】
【详解】由题意得，抽奖两次滚动盘上出现两个数字的情况为
，
，共36 种情况，
两次抽奖奖金之和为200 元包括三种情况：
①第一次与第二次都中二等奖，其包含的情况为
，概率为
；
②第一次中一等奖，第二次中三等奖，其包含的情况为
，概率为
；
③第一次中三等奖，第二次中一等奖，其包含的情况为
，概率为
，
所以该顾客两次抽奖后获得奖金之和为200 元的概率为
.
故答案为：
.
【变式7-3】某医院一天派出医生下乡医疗，派出医生人数及其概率如下表：
医生人数
0
1
2
3
4
概率
0.1
0.16
x
y
0.2
z
若派出医生不超过2 人的概率为0.56，则
，若派出医生最多4 人的概率为0.96，最少3 人的
概率为0.44，则
.
【答案】
/
/
【详解】由派出医生不超过2 人的概率为
，得
，
，
由派出医生最多4 人的概率为
，得
，
，
由派出医生最少3 人的概率为
，得
，
.
故答案为：
；
.
题型08 对立事件的概率求法
【例15】设
是一个随机试验中的两个事件，且
，则
【答案】
【详解】因为
，
因为
互斥，
所以
，
解得
，所以
故答案为：
.
【例16】某电子图书平台通过大数据观测发现，读者选择
类图书的概率为
，选择
类图书的概率为
两类图书都不选的概率为
，则
两类图书都选的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】设事件
“读者选择
类图书”， 事件
“读者选择
类图书”，
则
，
可得
，
又
，
所以
.
故选：
.
【变式8-1】设随机事件A，
满足
，
，则
（ ）
A．0.4
B．0.35
C．0.25
D．0.1
【答案】D
【详解】注意到
，
，则
，
又
，
则
.
故选：D
【变式8-2】黄山市境内风光奇绝，拥有12 处国家级重点风景名胜区，在五一假期期间展现出独特的旅游
魅力．对于
两个旅游景点，通过大数据观测发现，游客选择
景点出游的概率为
，选择
景点出游
的概率为
，
两个景点都不选的概率为
，则
两个景点都选的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】记事件
为“选择景点
”，事件
为“选择景点
”，
则事件
为“
两个景点都不选”，事件
为“
两个景点都选”.
由题意得，
由
得，
，
∴
.
故选：B.
【变式8-3】现有相同的哪吒玩偶和相同的敖丙玩偶足够多，有甲、乙、丙三个小朋友，每人去拿1 个或2
个玩偶，假设每种不同拿取方式是等可能的，则至少有一个小朋友拿到哪吒玩偶的概率为 .
【答案】
【详解】如果每个人拿1 个玩偶，可以是哪吒或敖丙，如果拿2 个玩偶，可以是：两个哪吒，两个敖丙，
一个哪吒和一个敖丙共5 种不同的拿法，
故甲、乙、丙三个小朋友，每人去拿1 个或2 个玩偶共有
种不同的拿法，
甲、乙、丙三个小朋友没有拿哪吒的拿法有
，
所以甲、乙、丙三个小朋友没有拿哪吒的概率为
，
所以甲、乙、丙三个小朋友至少有一个小朋友拿到哪吒玩偶的概率为
.
故答案为：
.
题型09 概率的基本性质的应用
【例17】已知随机事件
满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由题意可得，
.
故选：A
【例18】设
是一个随机试验中的两个事件，记
为事件
的对立事件，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为
，所以
.
又
所以
.
故
.
故选：D.
【变式9-1】甲、乙两个元件互相不影响，且构成一个并联电路，设事件
“甲元件故障”，事件
“乙元件故障”，且
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】甲、乙两个元件互相不影响，故
事件相互独立，
，
.
故选：A
【变式9-2】已知事件
和
是一个随机试验中的两个事件，若
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由
，得
，
又
，则
，而
，
所以
.
故选：A
【变式9-3】设
，
是一个随机试验中的两个事件，且
，
，
，则
【答案】
【详解】由
，得
，解得
，
由
，得
，解得
，
由
，得
，解得
，
所以
.
故答案为：
一、单选题
1．以下事件是随机事件的是（ ）
A．标准大气压下，水加热到
，必会沸腾
B．走到十字路口，遇到红灯
C．长和宽分别为
的矩形，其面积为
D．实系数一元一次方程必有一实根
【答案】B
【详解】解：A．标准大气压下，水加热到100℃必会沸腾，是必然事件；故本选项不符合题意；
B．走到十字路口，遇到红灯，是随机事件；故本选项符合题意；
C．长和宽分别为
的矩形，其面积为
是必然事件；故本选项不符合题意；
D．实系数一元一次方程必有一实根，是必然事件．故本选项不符合题意．
故选：B．
2．从装有1 个红球、1 个白球和1 个黄球的口袋中任取1 个球，则与事件“取出的是红球”互为对立事件
的是（ ）
A．“取出的是白球”
B．“取出的是黄球”
C．“取出的是红球”
D．“取出的不是红球”
【答案】D
【详解】从装有1 个红球、1 个白球和1 个黄球的口袋中任取1 个球，结果有“取出的是红球”， “取出
的是白球” 和“取出的是黄球”，故与事件“取出的是红球”互为对立事件的是“取出的不是红球”.
故选：D.
3．已知
且
，则
为偶数的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因为
，
其中偶数有
，所以
为偶数的概率为
．
故选：B．
4．已知随机事件A，B 满足
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】依题意，
.
故选：D
5．对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A 表示随机事件“两枚炮弹都击中飞
机”，事件B 表示随机事件“两枚炮弹都未击中飞机”，事件C 表示随机事件“恰有一枚炮弹击中飞机”，
事件D 表示随机事件“至少有一枚炮弹击中飞机”，则下列关系不正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】对于A，“至少有一枚炮弹击中飞机”包含两种情况：一种是恰有一枚炮弹击中飞机，
另一种是两枚炮弹都击中飞机，即
发生，
必发生，因此
，A 正确；
对于B，显然事件
是事件
的对立事件，因此
，B 正确；
对于C，“恰有一枚炮弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没击中或第一枚没击中第二枚击中，因此
，C 正确；
对于D，
包含该试验的所有样本点，为必然事件，而事件
表示“两个炮弹都击中飞机或者都没
击中飞机”，
因此
，D 错误.
故选：D
6．某人有
把钥匙，其中
把能打开门．现随机地取把钥匙开门，如果将不能开门的钥匙立即扔掉，那
么第二次才能打开门的概率为
；如果试过的钥匙不扔掉，那么第二次才能打开门的概率为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】将能打开门的两把钥匙记为
和
，不能打开门的两把钥匙记为
和
，
记事件
“第二次才能打开门”，
表示开门两次事件的样本点，
和
表示第一次和第二次取到
的钥匙记号，
则将不能开门的钥匙立即扔掉且开门两次的事件的总样本空间为：
共12 个样本点，
则
共4 个样本点，
所以如果将不能开门的钥匙立即扔掉，第二次才能打开门的概率为
.
如果试过的钥匙不扔掉且开门两次的事件的总样本空间为：
共16 个样本点，
则
共4 个样本点，
所以如果试过的钥匙不扔掉，第二次才能打开门的概率为
，
则
.
故选：B.
7．某比赛为两运动员制定下列发球规则：
规则一：投掷一枚硬币，出现正面向上，甲发球，反面向上，乙发球；
规则二：从装有2 个红球与2 个黑球的布袋中随机地取出2 个球，如果同色，甲发球，否则乙发球；
规则三：从装有3 个红球与1 个黑球的布袋中随机取出2 个球，如果同色，甲发球，否则乙发球.上述规则
对甲、乙公平的有（ ）
A．规则一，规则二
B．规则一，规则三
C．规则二，规则三
D．
规则一，规则二，规则三
【答案】B
【详解】对于规则一，每人发球的概率都是
，是公平的；
对于规则二，记
个红球分别为红，红
，
个黑球分别为黑、黑
，
则随机取出
个球的所有可能的情况有
（红，红
），（红，黑），（红，黑
），（红
，黑），（红
，黑
），（黑，黑
），共
种，
其中同色的情况有
种，所以甲发球的可能性为
，不公平；
对于规则三，记个红球分别为红、红
、红，则随机取出
个球所有可能的情况有
（红，红
），（红，红），（红，黑），（红
，红），（红
，黑），（红，黑），共
种，
其中同色的情况有种，所以两人发球的可能性均为
，是公平的.
因此，对甲、乙公平的规则是规则一和规则三.
故选：B.
二、多选题
8．某人从装有3 个白球和2 个红球的袋中随机取出2 个球，事件
表示取出的2 个球都是白球，事件
表
示取出的2 个球都是红球，事件
表示取出的2 个球中至少有1 个白球，事件
表示取出的2 个球中至少
有1 个红球，则下列事件是对立事件的是（ ）
A．
与
B．
与
C．
与
D．
与
【答案】BC
【详解】由题意可知
与
是互斥事件，但不是对立事件，
与
是对立事件，
与
是对立事件，
与
不是互斥事件，即
与
不是对立事件.
故选：BC.
9．连续地掷一枚均匀的骰子两次，所得向上的点数分别为
，记
，则下列说法正确的是
（ ）
A．事件“
”的概率为
B．事件“m 是奇数”的概率为
C．事件“
”与“
”互为对立事件
D．事件“m 是奇数”与“
”互为互斥事件
【答案】BD
【详解】连续地掷一枚均匀的骰子两次，所得向上的点数有：
，
，
，
，
，
，共36 种；
对于A，事件“
”所包含的基本事件为：
，共8 个，
所以事件“
”的概率为
，即A 错误，
对于B，事件“
是奇数”的共有18 个，
因此事件“
是奇数”的概率为
，可得B 正确，
对于C，易知
的所有取值为
，
当
时，可知事件“
”与“
”可以同时发生，
因此C 错误，
对于D，若
，则
，此时
是偶数，
因此“
是奇数”与“
”不可能同时发生，
互为互斥事件，可得D 正确，
故选：BD.
10．某次数学月考的一道多选题，共4 个选项，全部选对得6 分，部分选对得部分分，若标准答案为两个
选项，则选对一个选项得3 分，若标准答案为三个选项，选对一个选项得2 分，选错得0 分，已知某小题
的标准答案为ABD，甲，乙，丙，丁四位同学都不会做，以下说法正确的是（ ）
A．甲同学仅仅随机选择一个选项，能得2 分的概率为
B．乙同学仅随机选择两个选项，能得4 分的概率为
C．丙同学选择至少两个选项，能得分的概率比乙同学仅随机选择两个选项得分概率高
D．丁同学选择至少一个选项，能得2 分的概率与得4 分的概率相同
【答案】BD
【详解】A 选项，甲同学仅仅随机选择一个选项，共有4 种情况，分别为A，B，C，D，
其中有3 种情况满足要求，分别为A，B，D，故能得2 分的概率为
，A 错误；
B 选项，乙同学仅随机选择两个选项，共有6 种情况，
分别为AB，AC，AD，BC，BD，CD，其中能得4 分的情况有3 种，为AB，AD，BD，
故乙同学仅随机选择两个选项，能得4 分的概率为
，B 正确；
C 选项，丙同学可以选择两个选项，三个选项和四个选项，共有11 种情况，
分别为AB，AC，AD，BC，BD，CD，ABC，ABD，ACD，BCD，ABCD，
其中得分的情况有4 种，为AB，AD，BD，ABD，故得分的概率为
，
由B 可知，乙同学仅随机选择两个选项，能得分的概率为
，
，故丙同学选择至少两个选项，能得分的概率比乙同学仅随机选择两个选项得分概率低，C 错误；
D 选项，丁同学选择至少一个选项，共有15 种情况，
分别为A，B，C，D，AB，AC，AD，BC，BD，CD，ABC，ABD，ACD，BCD，ABCD，
能得2 分的情况为A，B，D，故能得2 分的概率为
，
能得4 分的情况为AB，AD，BD，故能得4 分的概率为
，
丁同学选择至少一个选项，能得2 分的概率与得4 分的概率相同，D 正确.
故选：BD
三、填空题
11．据先秦典籍《世本》记载：“尧造围棋，丹朱善之.”围棋，起源于中国，至今已有四千多年历史，蕴
含着中华文化的丰富内涵.现从3 名男生和2 名女生中任选2 人参加围棋比赛，则所选2 人中至少有1 名男
生的概率为 .
【答案】
【详解】设3 名男生为
，2 名女生为
，
则任选2 人有：
，10 种情况，
其中至少有1 名男生有：
，9 种情况，
则至少有1 名男生的概率为
，
故答案为：
12．某家族有X，Y 两种遗传性状，该家族某成员出现X 性状的概率为
，出现Y 性状的概率为
，X，Y
两种性状都不出现的概率为
，则该成员X，Y 两种性状都出现的概率为 ．
【答案】
/0.1
【详解】设该家族某成员出现X 性状为事件A，出现Y 性状为事件B，
则X，Y 两种性状都不出现为
，两种性状都出现为
，
由题
，
，
，
所以
，
又
，
所以
．
故答案为：
.
四、解答题
13．从40 张扑克牌（红桃、黑桃、方块、梅花点数从1~10 各10 张）中，任取一张．设A：抽出红桃，
B：抽出黑桃，C：抽出红色牌，D：抽出黑色牌，E：抽出的牌点数为5 的倍数，F：抽出的牌点数大于
9，G：抽出黑桃10．讨论：
(1)A 与B 的关系；
(2)C 与D 的关系；
(3)B 与D 的关系；
(4)E 与F 的关系；
(5)B、F、G 之间的关系．
【答案】(1)是互斥事件，不是对立事件；
(2)既是互斥事件，又是对立事件；
(3)
；
(4)
；
(5)
【分析】
【详解】（1）从40 张扑克牌（红桃、黑桃、方块、梅花点数从1~10 各10 张）中，任取一张,“抽出红桃”
和“抽出黑桃”是不可能同时发生，所以A 与B 是互斥事件，
但不能保证其中必有一个发生，因为可能抽出“方块”或“梅花”，所以事件A 与B 不是对立事件，
所以A 与B 是互斥事件，不是对立事件；
（2）从40 张扑克牌（红桃、黑桃、方块、梅花点数从1~10 各10 张）中，任取一张,“抽出红色牌”和“抽
出黑色牌”是不可能同时发生，且其中必有一个发生，
所以C 与D 既是互斥事件，又是对立事件；
（3）从40 张扑克牌（红桃、黑桃、方块、梅花点数从1~10 各10 张）中，任取一张，抽出的是黑桃，一
定是黑色牌，
但抽出的是黑色牌，不一定是黑桃，有可能是梅花，
所以事件B 发生时，事件D 一定发生，而事件D 发生时，事件B 不一定发生，
所以
；
（4）从40 张扑克牌（红桃、黑桃、方块、梅花点数从1~10 各10 张）中，任取一张，抽出的牌点数大于
9，即牌点数为10，一定是5 的倍数，
而抽出的牌点数为5 的倍数，可能牌的点数为5，也可能是10，
所以事件F 发生时，事件E 一定发生，而事件E 发生时，事件F 不一定发生，
所以
；
（5）从40 张扑克牌（红桃、黑桃、方块、梅花点数从1~10 各10 张）中，任取一张，
若抽出的是黑桃，且牌点数大于9，则抽出的一定是黑桃10，
所以
14．一个袋子中存大小和质地均相同的四个球，其中有两个红球（标号为1 和2），一个黑球（标号为
3），一个白球（标号为4），从袋中不放回地依次随机摸出两个球，设事件A=“第一次摸到红球”，事件
B=“第二次摸到黑球”，C=“摸到的两个球恰为一个红球一个白球”．
(1)分别求事件
、
、
发生的概率；
(2)求事件A、B、C 中至多有一个发生的概率．
【答案】(1)
，
，
；
(2)
.
【分析】
【详解】（1）样本空间
，
共
有12 个基本事件；
事件
，共有6 个样本点，
所以
，
事件
，共有3 个样本点，所以
，
事件
，共有4 个样本点，所以
．
（2）事件
中至多有一个发生的情况有
，共有8 种，
所以
．
15．小张、小胡两位小朋友玩游戏，两人轮流从装有编号为1，2，3，4，5 的5 个球的口袋中有放回的摸
出一个小球，规定两人谁摸出的球的数字大，谁就获胜，数字相同则为平局．
(1)求两人平局的概率；
(2)玩了几局游戏后，小胡提出“从袋中有放回地随机摸出一个小球，若他们这次摸出的数字之和为偶数，
则小胡获胜，否则小张获胜．”，请问：这个规则是否对小胡有利？
【答案】(1)
(2)是
【分析】
【详解】（1）两人有放回的摸出一个小球，
总的情况有：
，
，
，共25 种情况，
其中两人平局的情况有：
，共5 种情况，
所以两人平局的概率为
.
（2）由（1）知，两人有放回地摸出一个小球，共25 种情况，
小胡获胜的情况有：
，共13 种情
况，
则小张获胜的情况有12 种情况，
所以小胡获胜概率为
，则小张获胜的概率为
，
显然，这个规则对小胡有利.
