专题02 抽象函数的性质：定义域、值域、求值、
单调性、奇偶与对称性、周期性、解析式
题型
考情分析
考向预测
1．抽象函数的定义域、值域
2．抽象函数的求值
3．抽象函数的单调性（定义法）
4．抽象函数的奇偶性
5．抽象函数的对称性
6．抽象函数的周期性
7．抽象函数的解析式（熟记可用于秒杀）
2026 年上海卷：第16 题考查了抽
象函数的值域
2025 年北京卷：第7 题考查了抽
象函数的值域
2024 年新高考卷Ⅰ：第8 题考查了
抽象函数的求值
2023 年新高考卷Ⅰ：第11 题考查了
抽象函数的奇偶性与求值
考查抽象函数的奇偶
性与以及周期性结合
求值
题型1 抽象函数的定义域、值域
抽象函数的定义域的求法
(1)若已知函数f (x)的定义域为[a，b]，则复合函数f (g(x))的定义域由a≤g(x)≤b 求出．
(2)若已知函数f (g(x))的定义域为[a，b]，则f (x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．
注：求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集
合或区间来表示.
1．（25-26 高三下·江西宜春·开学考试）已知函数
f x 的定义域为
0,2 ，则函数
1 ln
2
g x
f x
x
=
-
-
g
的定义域为（ ）
A．
2,3
B．
2,3
C．
1,2
D．
1,3
2．已知函数
(
1)
f x -
的定义域为[ 2,1]
-
，则函数
(2
1)
2
1
f
x
x
-
+
的定义域为（ ）
A．
1 1
,
2 2
æ
ù
-
ç
ú
è
û
B．
1
1, 2
é
ù
-
ê
ú
ë
û
C．
1 ,1
2
æ
ù
-
ç
ú
è
û
D．
1
1
1,
,1
2
2
é
ö
æ
ù
- -
-
÷
ç
ê
ú
ë
ø
è
û
U
3．（25-26 高三上·河南南阳·期中）已知函数
2
f x +
的定义域为
3,5
-
，则函数
2
1
f
x -
的定义域为
（ ）
A．
2,2
-
B．
0,4
C．
3,13
-
D．
7,9
-
4．定义域为R 的函数
y
f x
=
的值域为
,a b ，则函数
y
f x
a
=
-
的值域为（ ）
A．
0,b
a
-
B．
,a b
C．
2 ,a a
b
+
D．
,a b
a
-
-
5．（25-26 高三上·山东菏泽·期中）已知函数
y
f x
=
的定义域和值域分别为
2 2
- ,
和
4,9 ，则函数
1
y
f x
=
-
的定义域和值域分别为（ ）
A．
3, 1
-
-
和
3,8
B．
3, 1
-
-
和
4,9
C．
1,3
-
和
3,8
D．
1,3
-
和
4,9
6．（2025·黑龙江大庆·三模）已知
( )
f x 是定义在R 上的奇函数，( )
g x 是定义在R 上的偶函数，若函数
( )
( )
f x
g x
-
的值域为[ 3,2]
-
，则函数
(3 )
(3 )
f
x
g
x
+
的最大值为（ ）
A．2
B．3
C．6
D．9
题型2 抽象函数的求值
一般采用赋值法，0,1，x,-x 是常见的赋值手段，或者是代入……，
1
1
1,
,0
,1
2
2
-
-
，
，……等特殊值求解；
1．（24-25 高三上·江西·月考）已知函数
f x 的定义域为R ，且
2
f x
y
f x
y
f
y
+
-
-
=
，则
0
f
=
（ ）
A．0
B．1
C．2
D．1
-
2．（2026·福建福州·模拟预测）已知函数
f x 的定义域为R ，且
2
1
f x
y
f x
f
y
xy
+
=
+
+
+ ，
1
0
f
=
，则
6
f
= （ ）
A．34
B．35
C．36
D．37
3．（2025·河北·模拟预测）已知函数
f x 的定义域为
0, ¥
+
，
0
x
" >
，
0
y >
，都有
f xy
f x
f
y
=
+
，且
1
1
4
f æ
ö = -
ç
÷
è
ø
，则
64
f
= （ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
4．（25-26 高三上·山西太原·月考）已知函数
f x 满足：
,x y
"
ÎR ，都有
f
f x
y
f x
f
y
+
=
+
，且
0
1
f
= ，则
2026
2026
f
f
+
-
= （ ）
A．1
-
B．0
C．1
D．2
5．（2025 高三·全国·专题练习）定义在
0, ¥
+
上的函数
f x 满足条件①
0,
x
" Î
+¥ ，
0
f x
，②
,
0,
x y
"
Î
+¥ ，
1
2
f xy
f x f
y
=
，
f x f
y
f x
y
f x
f
y
+
=
+
，则
5
2
f æ
ö
ç
÷
è
ø的值为（ ）
A．2
5
B．4
5
C．5
2
D．8
5
6．（2025 高三·全国·专题练习）已知定义在正整数集上的函数
( )
f x 满足
(
( ))
( )
f x
f y
f x
y
+
=
+
，且有
(1
(1))
2
f
f
+
=
，则（ ）
A．
(2025)
2025
f
<
B．
(2026)
2026
f
<
C．
(2026)
2025
f
<
D．
(2025)
2026
f
<
题型3 抽象函数的单调性（定义法）
1、令式子中出现
1
2
( )
( )
f x
f x
-
的变换判定单调性；
2、单调性与对称性（或奇偶性）结合解不等式问题
①
x
f
在R 上是奇函数，且
x
f
单调递增 若解不等式
0
2
1
>
+
x
f
x
f
，则有
0
2
1
>
+ x
x
；
x
f
在R 上是奇函数，且
x
f
单调递减 若解不等式
0
2
1
>
+
x
f
x
f
，则有
0
2
1
<
+ x
x
；
②
x
f
在R 上是偶函数，且
x
f
在
+¥
,0
单调递增 若解不等式
2
1
x
f
x
f
>
，则有
2
1
x
x >
（不变号加绝对值）；
x
f
在R 上是偶函数，且
x
f
在
+¥
,0
单调递减 若解不等式
2
1
x
f
x
f
>
，则有
2
1
x
x <
（变号
加绝对值）；
③
x
f
关于
b
a,
对称，且
x
f
单调递增 若解不等式
b
x
f
x
f
2
2
1
>
+
，则有
a
x
x
2
2
1
>
+
；
x
f
关于
b
a,
对称，且
x
f
单调递减 若解不等式
b
x
f
x
f
2
2
1
>
+
，则有
a
x
x
2
2
1
<
+
；
④
x
f
关于
a
x =
对称，且
x
f
在
+¥
,a
单调递增 若解不等式
2
1
x
f
x
f
>
，则有
a
x
a
x
-
>
-
2
1
（不变号加绝对值）；
x
f
关于
a
x =
对称，且
x
f
在
+¥
,a
单调递减 若解不等式
2
1
x
f
x
f
>
，则有
a
x
a
x
-
<
-
2
1
（不变号加绝对值）；
1．（2027 高三·全国·专题练习）设函数
f x 的定义域是R ，对于任意实数m ，n ，恒有
f m
n
f m
f n
+
=
×
，且当
0
x >
时，有
0
1
f x
<
< ．
(1)求证：
0
1
f
= ，且当
0
x <
时，有
1
f x > ；
(2)判断
f x 在R 上的单调性．
2．（2025 高三·全国·专题练习）已知定义在
+
R 上的函数
F x 满足条件：
①对定义域上任意,x y ，都有
F x
F y
F xy
+
=
；②当
1
x > 时，
0
F x >
．
(1)求证：
1
F
F x
x
æ
ö = -
ç
÷
è
ø
；
(2)求证：
F x 在
+
R 上单调递增．
3．（2025 高三·全国·专题练习）已知
f x 定义在R 上，且
3
3,
0
2
f x
y
f x
f
y
f æ
ö
+
=
+
-
=
ç
÷
è
ø
，当
3
0
2
x -
>
时，
0
f x <
．
(1)求证：当
0
x <
时，
3
f x >
；
(2)求证：
f x 在R 上单调递减．
4．（2026·湖北孝感·一模）已知定义在R 上的函数
f x 满足以下条件：
①
1
2
f
=
；
②当
0
x >
时，
0
f x >
；
③对
,x y
"
ÎR ，均有
f x
y
f x f
y
f x
f
y
+
=
+
+
，且
1
f x - ．
(1)用
f x 表示
f
x
-
；
(2)判断
f x 的单调性，并证明你的结论；
(3)已知数列
na
满足
3
2
1
2
1
n
n
n
n
f n
f a
f n
-
×
-
=
×
+
，求数列
na
的前n 项和
n
S ．
5．已知函数
f x 在R 上满足
0
1
f x
y
f x f
y
f
+
=
+
- ，且当
0
x >
时，
0
1
f x
<
< ；当
0
x <
时，
1
f x > ．
(1)求
0
f
的值；
(2)判断并证明函数
f x 的单调性；
(3)若
1
1
2
f
=
，求不等式
2
4
f x
x
-
>
的解集．
题型4 抽象函数的奇偶性
令式子中出现
( )
f x 及
(
)
f
x
-
判定抽象函数的奇偶性
1．（2027 高三·全国·专题练习）已知函数
f x （xÎR ，且
0
x
）对任意不等于0 的实数
1
x ，
2x 都有
1
2
1
2
f x x
f x
f x
=
+
，则
f x 为（ ）
A．奇函数
B．偶函数
C．非奇非偶函数
D．既为奇函数也为偶函数
2．已知函数
y
f x
=
对任意实数x ，y 都满足
2 f x f
y
f x
y
f x
y
=
+
+
-
，且
1
1
f
= - ，
0
0
f
，则函数
f x 是（ ）
A．奇函数
B．偶函数
C．既奇又偶函数
D．非奇非偶函数
3．（24-25 高三上·山东济宁·期中）已知函数
f x 的定义域为R ，满足
2024
f
x
y
f
x
f
y
+
-
+
=
é
ù
ë
û
，
则下列说法正确的是（ ）
A．
f x 是偶函数
B．
f x 是奇函数
C．
2024
f x +
是奇函数
D．
2024
f x +
是偶函数
4．（25-26 高三上·江苏宿迁·期末）已知定义在R 上的奇函数
( )
f x ，满足
x
" ÎR ，
(
4)
( )
(2)
f x
f x
f
+
-
=
，则（ ）
A．
(
1)
f x +
一定是奇函数
B．
(
1)
f x +
一定是偶函数
C．
(2
)
f
x
+
一定是奇函数
D．
(2
)
-
f
x 一定是偶函数
5．函数
: R
R
f
®
，对任意的实数x，y，只要
0
x
y
+
，就有
( )
( )
(
)
f x
f y
f xy
x
y
+
=
+
成立，则函数
( )
f x
（
R
xÎ
）（ ）
A．一定是奇函数
B．一定是偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数也不是偶函数
题型5 抽象函数的对称性
1、对称轴：
x
a
f
x
a
f
+
=
-
或者
x
f
x
a
f
=
-
2
x
f
关于
a
x =
对称；
2、对称中心：
b
x
a
f
x
a
f
2
=
+
+
-
或者
b
x
f
x
a
f
2
2
=
+
-
x
f
关于
b
a,
对称；
3、如果
x
f
同时关于
a
x =
对称，又关于
c
b,
对称，则
x
f
的周期
b
a
T
-
=
1．已知函数
y
f x
=
，对于任意的实数,x y ，恒有
2
f x
y
f x
f
y
+
=
+
+
，若函数
2
3
1
x
g x
f x
x
=
+
+ 的最小值为5
- ，则
g x 的最大值为（ ）
A．1
B．3
C．5
D．3
-
2．（2024·甘肃庆阳·一模）已知函数
f x 的定义域为R，
f
f x
y
f x
f
y
+
=
+
，
1
1
f
= ，则下列
结论错误的是（
）
A．
0
0
f
=
B．
f x 是奇函数
C．
2024
2024
f
=
D．
f x 的图象关于点1 ,0
2
æ
ö
ç
÷
è
ø 对称
3．（25-26 高三上·河北邢台·月考）已知函数
f x 及其导函数
g x 的定义域均为R
2
g
x
p
æ
ö
+
ç
÷
è
ø
，
为奇函
数，
2
cos
0
0
，
f x
y
f x
y
f x
y
f
+
+
-
=
=
，若方程
0
f x
m m
=
>
在区间
0,3p 上恰有四个不同的实
数根
1
2
3
4
，，，
x
x
x
x ，则
1
2
3
4
x
x
x
x
+
+
+
= （ ）
A．2p
B．4p
C．8p
D．6p
4．（多选题）设
f x 为定义在整数集上的函数，
1
1
2
0
f
f
=
=
，
，对任意的整数,x y 均有
1
1
f x
y
f x f
y
f
x f
y
+
=
-
+
-
，则（ ）
A．
f x 是奇函数
B．
f x 是偶函数
C．
f x 关于直线
1
x = 对称
D．
f x 关于点
1,1 对称
5．（多选题）（2026·河北衡水·一模）已知函数
f x 的定义域为R ，且对任意实数x ，y ，
1
3
6
5
f x
y
f x
y
f
y
x
f
y
x
y
+
+
-
+
-
+
+
=
+
- 恒成立，则（ ）
A．
1
1
f
=
B．
xf x 的最小值为
1
3
-
C．
2
4
f
<
D．
f x 的图象关于点2 ,0
3
æ
ö
ç
÷
è
ø 对称
题型6 抽象函数的周期性
1、换x 为x
T
+
确定周期性.
2、
a
T
x
f
a
x
f
=
=
+
；
a
T
x
f
a
x
f
2
=
-
=
+
；
a
T
x
f
k
a
x
f
2
=
=
+
；（k 为常数）；
b
a
T
b
x
f
a
x
f
-
=
+
=
+
1．（2025·江苏南通·模拟预测）设
( )
f x 是定义在R 上的函数，对
,x y
"
ÎR ，有
(
)
(
)
(
1) (
1)
f x
y
f x
y
f x
f y
+
-
-
=
+
-
，且
(2)
2
f
= - ，则
( (2025))
f f
=（ ）
A．2
B．-2
C．1
D．-1
2．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
f x 的定义域为R，
1
f x
f
y
f x
y
f x f
y
é
ù
+
=
+
×
-
ë
û ，
1
3
f
= -
，则
101
f
= （ ）
A．
3
-
B．0
C．
3
D．2 3
3．（2025·湖南岳阳·三模）已知函数
f x 满足
2
2
f x
f x
f x f x
+
+
=
+
，
3
3
f
=
，则
2025
f
=
（ ）
A．3
B．3
2
C．5
D．5
2
4．函数
( )
f x 满足对任意的x ，y 均有
(
)
( )
( )
f x
y
f y
f x
-
×
=
，且
(1)
2
f
=
，则
(2)
(3)
(4)
(2024)
(1)
(2)
(3)
(2023)
f
f
f
f
f
f
f
f
+
+
+
+
=
L
（ ）
A．4048
B．4046
C．2024
D．2023
5．（24-25 高三上·河北沧州·月考）已知定义域为R 的函数
f x 不是常函数，且满足
f x
y
f x
y
f x f
y
+
+
-
=
，
1
0
f
=
，则
2026
1
( )
i
f i
=
=
å
（ ）
A．2
-
B．2
C．2026
-
D．2026
6．已知定义在
0, ¥
+
上的函数
f x ，满足
1
f xy
f x
f
y
+ =
+
，且
1
0
2
f æ
ö =
ç
÷
è
ø
，则
10
2
f
= （ ）
A．1
B．10
C．11
D．1024
题型7 抽象函数的解析式（熟记可用于秒杀）
1、常见的抽象函数模型
【反比例函数模型】
反比例函数：
( ) ( )
(
)
( )
( )
f x f y
f x
y
f x
f y
+
=
+
，则
(1)
( )
f
f x
x
=
，
,
( ),
( ),
(
)
0
x f x
f y
f x
y
é
ù
ë
û
+
均不为
【一次函数模型】
模型1：若
(
)
( )
( )
f x
y
f x
f y
=
，则
( )
(1)
f x
f
x
=
；
模型2：若
(
)
( )
( )
f x
y
f x
f y
=
，则
( )
f x 为奇函数；
模型3：若
(
)
( )
( )
,
f x
y
f x
f y
m
+
=
+
+
则
( )
[
1
]
f x
f
m x
m
=
+
-
；
模型4：若
(
)
( )
( )
,
f x
y
f x
f y
m
-
=
-
+
则
( )
[
1
]
f x
f
m x
m
=
-
+
；
【指数函数模型】
模型1：若
(
)
( ) ( )
f x
y
f x f y
+
=
，则
( )
[ (1)]x
f x
f
=
；
( )
0
f x >
模型2：若
( )
(
)
( )
f x
f x
y
f y
-
=
，则
( )
[ (1)]x
f x
f
=
；
( )
0
f x >
模型3：若
(
)
( ) ( )
f x
y
f x f y m
+
=
，则
1
( )
x
f
m
f x
m
é
ù
ë
û
=
；
模型4：若
( )
(
)
( )
f x
f x
y
m f y
-
=
，则
1
( )
x
f
f x
m
m
é
ù
=
ê
ú
ë
û
；
【对数函数模型】
模型1：若
(
)
( )
n
f x
nf x
=
，则
( )
log
0
1,
0
a
f x
f a
x a
x
=
>
>
且
模型2：若
(
)
( )
( )
f xy
f x
f y
=
+
，则
( )
log
0
1, ,
0
a
f x
f a
x a
x y
=
>
>
且
模型3：若
( )
( )
( )
x
f
f x
f y
y =
-
，则
( )
log
0
1, ,
0
a
f x
f a
x a
x y
=
>
>
且
模型4：若
(
)
( )
( )
f xy
f x
f y
m
=
+
+
，则
( )
log
0
1, ,
0
a
f x
f a
m
x m a
x y
é
ù
=
+
-
>
>
ë
û
且
模型5：若
( )
( )
( )
x
f
f x
f y
m
y =
-
+
，则
( )
log
0
1, ,
0
a
f x
f a
m
x m a
x y
é
ù
=
-
+
>
>
ë
û
且
【幂函数模型】
模型1：若
(
)
( ) ( )
f xy
f x f y
=
，则
log
0
1
a x
f x
f a
a
=
>
且
模型2：若
( )
( )
( )
x
f x
f y
f y
=
，则
log
0
1,
0,
0
a x
f x
f a
a
y
f
y
=
>
且
代入
f a 则可化简为幂函数；
【正弦函数模型】
对于正弦函数
，与其对应的抽象函数为
注： 此抽象函数对应于正弦平方差公式：
【余弦函数模型】
对于余弦型函数
，涉及2 种余弦的和差化积公式
1、公式一：
其抽象函数模型是：
2、公式二：
其抽象函数模型是：
3、若
(
)
(
)
( ) ( )
( )
0
f x
y
f x
y
kf x f y
f x
+
+
-
=
不恒为
，则
2
( )
cos
f x
wx
k
=
【正切函数模型】
模型：若
( )
( )
(
)
( ) ( )
1
1
( ) ( )
f x
f y
f x
y
f x f y
f x f y
=
，则
( )
tan
f x
wx
=
2、其他技巧
（1）观察不等式两端的特点，化为同类函数；
（2）借助函数的单调性，脱掉“
”；
( )
sin
f x
kx
=
2
2
(
) (
)
( )
( )
f x
y f x
y
f
x
f
y
+
-
=
-
2
2
sin
sin
sin(
)sin(
)
a
b
a
b
a
b
-
=
+
-
( )
cos
f x
kx
=
cos
cos
2cos
cos
2
2
a
b
a
b
a
b
+
-
+
=
( )
( )
2
2
2
x
y
x
y
f x
f y
f
f
+
-
æ
ö
æ
ö
+
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
cos(
)
cos(
)
cos
cos
2
a
b
a
b
a
b
+
+
-
=
2 ( ) ( )
(
)
(
)
f x f y
f x
y
f x
y
=
+
+
-
f
（3）注意定义域及单调区间，特别是对数函数中真数大于0.
1．（2025·安徽·模拟预测）已知函数
( )
f x 满足
(
)
( )
( ) 1
f x
y
f x
f y
+
=
+
- ，则以下结论错误
．．的是（ ）
A．
(0)
1
f
=
B．
2
f x
f
x
+
-
=
C．
(
1)
(
1)
(2 ) 1
f x
f x
f
x
+
+
-
=
+
D．
(1
)
(1
)
0
f
x
f
x
+
+
-
=
2．（23-24 高三上·河南·月考）下列函数中，满足
1
f xy
f x
f
y
=
+
- 的为（ ）
A．
lg 1
f x
x
=
+
B．
1 lg
f x
x
= +
C．
12
x
f x
+
=
D．
1
2x
f x = +
3．（2024·四川德阳·模拟预测）已知函数
f x 的定义域为R ，且
2
2
2
f x
y
f x
y
f x
f
y
y
+
-
-
+
-
=
-
，则
2024
f
= （ ）
A．0
B．1
C．2024
D．2025
4．（2024·福建泉州·模拟预测）已知函数
f x 满足
2
f x
y
f x
f
y
xy
+
=
+
+
，若
1
1
f
= ，则
25
f
=
（ ）
A．25
B．125
C．625
D．15625
5．（2025·福建泉州·模拟预测）已知定义在Z上的函数
( )
f x 满足
(
)
( )
( )
2
1
f x
y
f x
f y
xy
+
=
+
+
- ，且
(2)
7
f
=
，则（ ）
A．
(1)
4
f
=
B．方程
( )
0
f x =
有解
C．
(
1)
(
)
f x
f
x
-
=
-
D．
(
1)
( )
f x
f x
+
=
1．（25-26 高三上·江西·月考）已知定义在R 上的函数
f x 满足
f x
f x
y
f
y
-
-
= -
，则
2
f
=
（ ）
A．0
B．1
C．2
D．-2
2．（24-25 高三上·山东菏泽·期中）已知函数
2
1
f
x +
的定义域为
1,2 ，则函数
1
f x -
的定义域为
（ ）
A．
1,2
B．
4,6
C．
5,9
D．
3,7
3．（25-26 高三上·陕西商洛·月考）已知函数
( )
f x 的定义域和值域均为[0,2]，则函数
2 (2 ) 1
y
f
x
=
+ 的定义
域和值域分别为（ ）
A．[0,4]和[1,5]
B．[0,4]和[1,3]
C．[0,1]和[1,5]
D．[0,1]和[1,3]
4．（25-26 高三上·湖北黄冈·月考）已知定义域为R 的函数
f x 满足
f
x f
y
f
xy
x
y
=
+
+
，则
100 =
f
（ ）
A．102
B．101
C．100
D．99
5．已知函数
( )
f x 的定义域为R，且对任意实数x，y，都有
( )
( )
2 (
) (
)
2
2
x
y
x
y
f x
f y
f
f
+
-
+
=
.若
(1)
1
f
= - ，
则
3
(
)
2
f -
=（ ）
A．
3
2
-
B．-1
C．
1
2
-
D．0
6．（23-24 高三上·浙江宁波·期末）已知函数
f x 的定义域为R ，且
f x
y f x f
y
f x
y
f x
f
y
+
=
+
-
-
，
1
3
f
=
，则
2024
1
k
f k
=
=
å
（ ）
A．2024
B．1012 3
C．
3
D．0
7．（2025·辽宁·一模）对任意,x yÎR ，都有
2
2
f x
y f x
y
f
x
f
y
+
-
=
-
，且
f
y 不恒为0，函数
2
2
(1
)
sin
1
x
x
g x
f x
x
-
+
=
+
+
，则
2
2
g
g
+
-
= （ ）
A．0
B．2
C．4
D．6
8．（25-26 高三上·甘肃武威·月考）已知函数
( )
f x 的定义域为R ，
( )
0
f x >
，且3 (
)
( ) ( )
f x
y
f x f y
+
=
，
(1)
9
f
=
，则
( )
(2
)
f x
f
x
+
-
的最小值为（ ）
A．9
B．12
C．16
D．18
9．（24-25 高三下·浙江·开学考试）定义在
0, ¥
+
的增函数
f x 满足：
1
f x
f
y
f xy
+
=
- ，且
2
0,
1
n
f
f a
n
=
=
- .已知数列
na
的前n 项和为
n
S ，则使得
2025
n
S <
成立的n 的最大值是（
）
A．8
B．9
C．10
D．11
10．（25-26 高三上·山东青岛·月考）已知函数
f x ，对任意的,
R
x yÎ
，恒有
2
f x
y
f x
y
f x
f
y
+
+
-
=
×
，且
1
1
2
f
=
，则下列说法正确的是（ ）
A．
0
0
f
=
B．
f x 为奇函数
C．
f x 为周期函数D．
2025
1
f
=
11．（2025·甘肃定西·模拟预测）若定义在Z 上的函数
f x 满足对任意,x yÎZ均有
2
2
f x
y
f x f
y
f
x f
y
+
=
-
+
-
，则称
f x 为“
2
S -
函数”.已知
f x 为“
2
S -
函数”，且
2
1
f
= ，
1
0
f -
<
，则
0
47
f
f
+
= （ ）
A．
2
2
-
B．0
C．
2
2
D．1
12．（2025 高三·全国·专题练习）函数
( )
f x 的定义域为
,
,
,
(
1)
(
1)
(
)
(
)
x y
f x
f y
f x
y
f x
y
"
Î
+
×
+
=
+
-
-
R
R
，
若
(0)
0
f
，则
(2026)
f
= （ ）
A．－2
B．－4
C．2
D．4
13．（2024·山西·一模）已知函数
f x 是定义在
0
x x
∣
上不恒为零的函数，若
2
2
f x
f
y
f xy
y
x
=
+
，
则（ ）
A．
1
1
f
=
B．
1
1
f -
=
C．
f x 为偶函数
D．
f x 为奇函数
14．（2024·广西南宁·一模）已知函数
f x 的定义域为
2
2
R, f x
y f x
y
f
x
f
y
+
-
=
-
，且当
0
x >
时，
0
f x >
，则（ ）
A．
0
1
f
=
B．
f x 是偶函数
C．
f x 是增函数
D．
f x 是周期函数
15．已知定义在R 上的函数
( )
f x ，满足对任意的实数x，y，均有
1
f x
y
f x
f
y
+
=
+
- ，且当
0
x >
时，
( )
1
f x < ，则下列说法错误的是（ ）
A．
(0)
1
f
=
B．
(1)
( 1)
1
f
f
+
-
=
C．函数
( )
f x 为减函数
D．函数
( )
y
f x
=
的图象关于点
0,1 对称
16．（24-25 高三上·江苏·月考）已知函数
f x 的定义域为R，且满足
2
2
f x
f
y
f x
y
xy
+
=
+
-
+
，
1
2
f
=
，则下列结论正确的是（ ）
A．
4
12
f
=
B．方程
2
f x
x
=
有解
C．
f x 是偶函数
D．
1
2
f
x
æ
ö
-
ç
÷
è
ø 是偶函数
17．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
f x 的定义域为R ，值域为
0, ¥
+
，且
2
f x
y
f x
y f
y
+
=
-
，则下列结论不正确的是（ ）
A．
0
1
f
=
B．
2
2
=
f
x
f
x
C．
2
f x
f
x
+
-
≥
D．
f x 是增函数
18．（2025·湖北武汉·三模）已知函数
f x 的定义域为
0
¥
+
，
，对任意的,
0
x y >
，均有
( )
( )
1
(
1)
f x
f y
x
f
x
y
y
-
<
+
，且
1
1
f
= - ，则下列结论中一定正确的是（
）
A．
2
0
f
<
B．2 (3)
(2)
f
f
<
C．
(4)
(3)
ln 2
(3)
(2)
f
f
f
f
+
>
D．3 (4)
(3)
f
f
<
19．（2026·河南许昌·模拟预测）已知函数
f x 的定义域为R ，
1
0
f
=
，若
1
f xy
f x f
y
f x
y
-
=
+
- ，则下列说法正确的是（ ）
A．
0
1
f
=
B．
19
1
190
n
f n
=
=
å
C．函数
1
f x +
是奇函数
D．函数
1
f x + 是偶函数
20．（2025·浙江温州·三模）已知函数
f x 的定义域为R ，
x
y
"
ÎR
，
，
f x f
y
f x
y
=
+
，且
1
1
2
f
=
，则（ ）
A．
0
0
f
=
B．
1
1
2
f -
= -
C．
1
f x
f x
+
<
D．
2
1
1
f x
f x
f x
f x
+
-
+
<
+
-
21．（24-25 高三上·福建厦门·月考）定义域为R 的函数
f x ，对任意x，yÎR ，
2
f x
y
f x
y
f x f
y
+
+
-
=
，且
f x 不恒为0，下列说法中正确的是（ ）
A．
0
2
f
=
B．
f x 为偶函数
C．
0
0
f x
f
+
£
D．若
1
0
f
=
，则
2024
1
4048
i
f i
=
=
å
22．（25-26 高三上·北京顺义·期末）已知函数
( )
f x 满足
( )
0
f x ³
，则“
( )
f x 单调递减”是“存在
0
h >
，对任
意的
R
xÎ
，均有
(
)
( )
( )
f x
h
f x
f h
+
<
+
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要
条件
23．已知定义在R 上的函数
f x ，
g x 不恒为0 ，且满足
2 f x
g y
f x
y
f x
y
×
=
+
+
-
，
0
0
f
=
，
1
0
g
=
，则下列说法不正确
．．．的是（ ）
A．
0
1
g
=
B．
f x 为奇函数
C．点
2,0 是函数
f x 图象的对称中心D．
f x 为周期函数且周期为2
24．（多选题）（23-24 高三上·山东·月考）已知
f x 是定义在R 上的不恒为零的函数，对于任意
,
R
x yÎ
都满足
2
f x
f x
y
f
y
-
=
+
-
，且
1
f x +
为偶函数，则下列说法正确的是（ ）
A．
0
2
f
=
B．
f x 为奇函数
C．
f x 关于点
0,2 对称
D．
23
1
46
n
f n
=
=
å
25．（多选题）已知函数
( )
f x 对任意,
R
x y Î
，总有
( )
( )
(
)
4
f x
f y
f x
y
+
=
+
+
，当
0
x >
时，
( )
4
f x <
，若
(1)
2
f
=
，则下列选项正确的是（ ）
A．
( 2)
0
f -
=
B．
( )
4
y
f x
=
-
为奇函数
C．
(8 )
8 ( )
28
f
x
f x
=
-
D．
( )
f x 在[ 1,5]
-
上的最小值为-6
26．（25-26 高三上·安徽·月考）已知定义在R 上的函数
f x 满足：
2
f x
y
f x
f
y
+
=
+
-
.
0
x
" >
，
2
f x >
.
(1)证明：函数
f x 在R 上单调递增；
(2)证明：曲线
y
f x
=
是中心对称图形，并求其对称中心.
27．（25-26 高三上·江西·月考）已知定义在R 上的函数
f x 满足：对于任意的
1
mn < ，均有
0
1
m
n
f m
f n
f
mn
+
æ
ö
+
-
=
ç
÷
-
è
ø
，且当
0
x >
时，
0
f x >
.
(1)求
0
f
；
(2)探究
f x 的奇偶性；
(3)用定义法证明
f x 在区间
1,1
-
上单调递增.
