重难点14：破解圆锥曲线离心率：圆锥曲
线中离心率的值与范围问题
（培优固本提能讲义）
知识网络·核心根基深扎牢....................................................................................1
实战演练·能力进阶攀高峰....................................................................................5
题型一、定义法求离心率................................................................................5
题型二、利用双曲线渐近线求离心率............................................................6
题型三、构造a,c 的一、二次方程或不等式求离心率..................................7
题型四、利用正弦余弦定理求离心率............................................................8
题型五、利用圆锥曲线焦半径求离心率........................................................9
题型六、利用圆锥曲线共焦点求离心率......................................................10
题型七、利用焦点三角形求离心率..............................................................10
题型精析・方法突破提能力..............................................................................11
圆锥曲线求解离心率的解题步骤遵循 “目标导向、条件转化、代数运算” 的核心逻
辑，无论题目条件如何变化，最终均需回归到离心率的定义式e=c
a
。以下是一套通用且可
落地的四步解题法，并结合典型示例说明，帮助快速拆解问题、高效求解。
步骤 1：定曲线、明目标：确定曲线类型——明确题目考查的是椭圆还是双曲线。明
确核心目标——最终需求e=c
a ，本质是建立“仅含a和c的比例式”，因此所有条件
均需向 “消去b、保留a和c” 转化。
步骤 2：抓条件、建模型：题目给出的条件多为几何语言（如角度、距离、位置关
系），需先识别条件对应的 “核心模型”，再调用模型的性质拆解条件。
步骤 3：转等式、消参数：将第二步拆解的条件转化为含a，b，c的代数等式，再
利用 c
2=a
2±b
2消去b，得到仅含a，c的方程。
知识网络・核心根基深扎牢
一、解题思路
步骤 4：求比值、验范围：求比值——将含a，c的方程整理为c
a
的比例式（即
e或e
2），直接求解。验范围——结合椭圆（0<e<1）或双曲线（e>1）的离心率范
围，剔除不合理的解（如负数、超出范围的值）。
知识点
1 ：圆锥曲线第一定义
椭 圆：平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹
叫做椭圆。数学表达式：|PF1|+|PF2|=2a（其中P为轨迹上任意一点，
2a>2c⇒a>c>0，2c为两焦点F1，F2间的距离）。
注意：若常数2a等于|F1F2|，轨迹为线段F1F2；若常数小于|F1F2|，无轨迹。
双曲线：平面内与两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数（小于|F1F2|且大于
0）的点的轨迹叫做双曲线。数学表达式：||PF1| |
−PF2||=2a（其中P为轨迹上任意
一点，0<2a<2c
0<
⇒
a<c，2c 为两焦点F1，F2间的距离）；
注意：若常数2a等于|F1F2|，轨迹为以F1，F2为端点的两条射线；若常数等于0，
轨迹为线段F1F2的垂直平分线；若常数大于|F1F2|，无轨迹。
知识点
2 ：圆锥曲线第二定义
椭 圆：平面内与一个定点F 的距离和到一条定直线l（定点F 不在定直线l 上）的距离之
比等于常数e（0<e<1）的点的轨迹叫做椭圆。数学表达式：|PF|
d
=e（其中P 为轨迹上
任意一点，F 为焦点，d 为点P 到定直线l（准线）的距离。
注意：定点必须不在定直线上，常数e 的取值范围是0<e<1，超出此范围轨迹不为椭
圆。
双曲线：平面内与一个定点F 的距离和到一条定直线l（定点F 不在定直线l 上）的距离之
比等于常数e（e>1）的点的轨迹叫做双曲线。数学表达式：|PF|
d
=e（其中P 为轨迹上
任意一点，F 为焦点，d 为点P 到定直线l（准线）的距离。
注意：定点必须不在定直线上，常数e 的取值范围是(1,+∞)，若e=1则轨迹为抛物
线。
知识点
3 ：圆锥曲线第三定义
椭 圆：平面内与两个定点A，B（此两点为椭圆的两个顶点，且关于原点对称，通常为
长轴顶点）连线的斜率之积等于常数k（1<
−
k<0）的点的轨迹(除去两个定点A，B)叫做
椭
圆
。
数
学
表
达
式
：
若
A(−a,0)、B(a,0)，P(x,y)为轨迹上任意一点(x≠±a)，
则
kPA·kPB=y
x+a ·y
x−a =y
2
x
2−a
2 =k（其中1<
−
k<0，且k=−b
2
a
2 ，a，b分别为椭圆的
长半轴、短半轴长。
注意：定点A，B需关于原点对称，斜率之积为负常数且绝对值小于1，轨迹需除去
定点A，B。
双曲线：平面内与两个定点A，B（此两点为双曲线的两个顶点，且关于原点对称，通常
为实轴顶点）连线的斜率之积等于常数k（k>0）的点的轨迹(除去两个定点A，B)叫做双
曲线。
二、方法技巧
数学表达式：若A(−a,0)、B(a,0)，P(x,y)为轨迹上任意一点(x≠±a)，则
kPA·kPB=y
x+a ·y
x−a =y
2
x
2−a
2 =k（其中k>0，且k=b
2
a
2 ，a，b分别为双曲线的实半
轴、虚半轴长）；
注意：定点A，B需关于原点对称，斜率之积为正常数，轨迹需除去定点A，B。
知识点
4 ：圆锥曲线弦中点性质
椭 圆：设椭圆x
2
a
2 +y
2
b
2 =1，a>b>0，过椭圆内一点M(x0,y0)的弦为AB（M为AB中
点），则弦AB的斜率kAB与线段OM（O为原点）的斜率kOM之积为定值−b
2
a
2 ，即：
kAB·kOM=−b
2
a
2
双曲线：设双曲线x
2
a
2 −y
2
b
2 =1，a>0,b>0S，过双曲线内（或外，需保证弦存在）一点
M(x0,y0)的弦为AB（M为AB中点），则弦AB的斜率kAB与线段OM（O为原点）的
斜率kOM之积为定值b
2
a
2 ，即：kAB·kOM= b
2
a
2 。
知识点
5 ：圆锥曲线焦半径与点坐标的性质
椭 圆：P(x0,y0)为椭圆上任意一点
焦点在x 轴时：左焦半径：|PF1|=a+ex0；右焦半径|PF2|=a−ex0；
焦点在y 轴时：下焦半径：|PF1|=a+ey0，上焦半径：|PF2|=a−ey0。
双曲线：P(x0,y0)为双曲线上任意一点
焦点在x 轴时：当P在右支上时：|PF1|=ex0+a，|PF2|=ex0−a，当P在左支上时：
|PF1|=−ex0−a，|PF2|=−ex0+a；
焦点在y 轴时：当P在上支上时：|PF1|=ey0+a，|PF2|=ey0−a，当P在下支上时：
|PF1|=−ey0−a，|PF2|=−ey0+a。
知识点
6 ：圆锥曲线焦半径与倾斜角的性质
椭 圆：设椭圆方程为x
2
a
2 +y
2
b
2 =1，a>b>0，焦点为F1(−c,0)、F2(c,0)，过焦点的
直线A,B 与椭圆交于A,B 点，直线的倾斜角为θ（与 x 轴正方向夹角，0≤θ<π），
则：
|A F1|=b
2
a−ccosθ
，
|BF1|=b
2
a+ccosθ
，
|A B|=
2ab
2
a
2−c
2cos
2θ
，
1
|A F1| +1
|BF1| = 2a
b
2 ，e∙cosθ= μ−1
μ+1 ，e=
❑√1+k
2|
μ
1
−
μ+1 |，其中μ=|A F1|
|BF1| ，
k=tanθ。
双曲线：设双曲线方程为x
2
a
2 −y
2
b
2 =1，a>0,b>0S，焦点为F1(−c,0)、F2(c,0)，过
焦点的直线与双曲线交于A,B 点，直线的倾斜角为θ，则：
|A F1|= b
2
|a−ccosθ|
，
|BF1|=b
2
a+ccosθ
，
|A B|=
2ab
2
|a
2−c
2cos
2θ|
，
1
|A F1| +1
|BF1| = 2a
b
2 ，e∙cosθ= μ−1
μ+1 ，e=
❑√1+k
2|
μ
1
−
μ+1 |，其中μ=|A F1|
|BF1| ，
k=tanθ。（当A,B 位于y 轴同侧取正，否则取负）
注意：若焦点在y 轴，则cosθ换成sinθ，k换成1
k
知识点
7 ：双曲线渐近线
1.双曲线x
2
a
2 −y
2
b
2 =1，a>0,b>0（焦点在x 轴）的渐近线方程为：y=±b
a x。
2.双曲线y
2
a
2 −x
2
b
2 =1，a>0,b>0（焦点在y 轴）的渐近线方程为：y=±a
b x。
3.与双曲线x
2
a
2 −y
2
b
2 =1共渐近线的双曲线方程可表示为：x
2
a
2 −y
2
b
2 =λ，λ≠0，λ>0时
焦点在x 轴，λ<0时焦点在y 轴。
4.等轴双曲线：当a = b时，双曲线为等轴双曲线，渐近线方程为y=±x，两渐近线互相垂
直，离心率e= ❑√2。
5.共轭双曲线：双曲线x
2
a
2 −y
2
b
2 =1与y
2
b
2 −x
2
a
2 =1互为共轭双曲线，二者渐近线相同（均为
y=±b
a x），离心率分别为e1，e2，满足1
e1
2 +1
e2
2 =1。
知识点
8 ：圆锥曲线焦点三角形面积
椭 圆：设椭圆椭圆x
2
a
2 +y
2
b
2 =1，a>b>0，焦点F1(−c,0)、F2(c,0)，P(x0,y0)为
椭圆上一点，∆PF1F2中∠F1PF2=θ，|PF1|= m ，|PF2|=n，则面积为：
基本公式：S=1
2 mnsinθ；
坐标公式：S=c|y0|，因|y0|≤b，故面积最大值为Smax= bc；
角度关联公式：S= b
2tanθ
2
。
双曲线：设双曲线x
2
a
2 −y
2
b
2 =1，a>0,b>0S，焦点F1(−c,0)、F2(c,0)，P(x0,y0)
为双曲线上一点，∆PF1F2中∠F1PF2=θ，|PF1|= m ，|PF2|=n，则面积为：
基本公式：S=1
2 mnsinθ；
坐标公式：S=c|y0|，因|y0|≥0，面积可无限增大；
角度关联公式：S=b
2
tanθ
2
。
注意：当P处于椭圆短轴端点时，θ最大。
知识点
9 ：圆锥曲线焦点三角形内切圆
椭 圆：设椭圆x
2
a
2 +y
2
b
2 =1，a>b>0，焦点F1(−c,0)、F2(c,0)，P(x0,y0)为椭圆
上一点，∆PF1F2的内切圆圆心为I(xI ,yI )，半径为r。则：
r=S
a+c =
b
2tanθ
2
a+c
，xI =ex0，yI = ey0
1+e
双曲线：设双曲线x
2
a
2 −y
2
b
2 =1，a>0,b>0S，焦点F1(−c,0)、F2(c,0)，P(x0,y0)
为
双
曲
线
上
一
点
（
右
支
）
，
∆PF1F2的
内
切
圆
圆
心
为
I(xI ,yI )，|PF1|= m ，|PF2|=n，半径为r。则：
r=b
2
(m −a+c)tanθ
2
，xI=−a（P在左支），xI=a（P在右支）。
【1-1】已知F1，F2分别为双曲线C：x
2
a
2 −y
2
b
2 =1（a>0，b>0）的左、右焦点，A 为双曲
线C 上的一点，且A F1⊥F1 F2，|A F1)=3，|F1 F2)=3 ❑√3，则双曲线C 的离心率为（
）
A．2❑√3
B．3
2
C．❑√3
D．3
实战演练・能力进阶攀高峰
题型一、圆锥曲线定义法求离心率
典例探究
【典型例题】已知椭圆E 的焦点为F1(−1,0), F2(1,0)，过F2的直线与椭圆E 交于
A，B 两点若| AB|=|B F1),|A F2)=2|F2B)，则椭圆E 的离心率为（ ）
A．
❑√2
2
B．
❑√3
3
C．1
2
D．
❑√5
5
举一反三
【1-2】设椭圆C： x
2
a
2 + y
2
b
2 =1 （ a>b>0 ）的左、右焦点分别为 F1、F2，P 是C 上
的点 P F2⊥F1 F2，∠P F1 F2=30° ，则C 的离心率为（ ）
A．
❑√6
6
B．1
3
C．1
2
D．
❑√3
3
【1-3】已知F1，F2分别为双曲线C：x
2
a
2 −y
2
b
2 =1（a>0，b>0）的左、右焦点，A 为双曲
线C 上的一点，且A F1⊥F1 F2，|A F1)=3，|F1 F2)=3 ❑√3，则双曲线C 的离心率为（
）
A．2❑√3
B．3
2
C．❑√3
D．3
题型二、利用双曲线渐近线求离心率
典例探究
【典型例题】若双曲线C ：x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a，b>0)的一条渐近线方程为y = 4
3 x，则该双
曲线（ ）
A．离心率为5
4 ，焦距为10
B．离心率为5
3，焦距为10
C．离心率为5
4 ，焦距无法确定
D．离心率为5
3，焦距无法确定
举一反三
【2-1】已知双曲线C : x
2
a
2 −y
2
b
2 =1（a>0，b>0）的离心率为
❑√5
2 ，则C的渐近线方程为（
）
A．y =± 1
4 x
B．y =± 1
3 x
C．y =± 1
2 x
D．
y =±2 x
【2-2】已知双曲线C : x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)一条渐近线的斜率为2❑√2，则C的离心率为
（ ）
A．3
B．6
C．9
D．12
【2-3】已知直线y = 1
2 x是双曲线C : x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的一条渐近线，则C的离心率
为（ ）
A．
❑√3
2
B．
❑√5
2
C．2
D．❑√5
题型三、构造a,c 的一、二次方程或不等式求离心率
典例探究
【典型例题】已知椭圆C：x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，以F2为
圆心的圆与x轴交于F1，B两点，与y轴正半轴交于点A，线段A F1与C交于点M.若
|BM |与C的焦距的比值为
❑√31
3 ，则C的离心率为（ ）
A．
❑√3−1
2
B．1
2
C．
❑√3+1
4
D．
❑√7−1
2
【3-1】已知椭圆x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的右焦点和上顶点分别为点F (c ,0)(b>c)和点A，直
线l:❑√2 x−y −4 =0交椭圆于P，Q 两点，若F 恰好为△APQ的重心，则椭圆的离心率为
（ ）
A．
❑√3
3
B．2❑√3
3
C．
❑√6
3
D．
❑√2
2
【3-2】已知双曲线C : x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的右焦点为F，若F关于直线y =3 x的对称
点P在C上，则双曲线C的离心率为（ ）
A．
❑√10
2
B．❑√10
C．
❑√5
2
D．❑√5
【答案】A
【3-3】已知椭圆M : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在M上，Q为
P F2的中点，且F1Q⊥P F2，|F1Q)=b，则M的离心率为（ ）
A．
❑√3
3
B．1
3
C．1
2
D．
❑√2
2
举一反三
题型四、利用正余弦定理求离心率
【4-1】已知椭圆C：x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的左右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆
C于A，B 两点，若|A F1)=3|A F2)，点M满足⃗F1 M =3⃗M F2，且AM ⊥F1B，则椭圆
C 的离心率为（ ）
A．1
3
B．
❑√3
3
C．2
3
D．
❑√6
3
【4-2】设F1, F2分别是双曲线C : x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a,b>0)的左右焦点，过双曲线C上一点P作
切线PT交x轴于点T，若∠F2 PT =30
∘，∠F2TP = 45
∘，则该双曲线的离心率是（ ）
A．3
2
B．2
C．
❑√5
2
D．
❑√6
2
【4-3】已知双曲线：x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1, F2，过点F2作直线交
双曲线右支于M , N两点（M点在x轴上方），使得⃗M F2=3⃗F2 N.若
典例探究
【典型例题】已知F 是椭圆 x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0) 的一个焦点，若直线 y =kx 与椭圆
相交于 A ，B 两点，且 ∠AFB =60° ，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．(
❑√3
2 ，1)
B．(0，
❑√3
2 )
C．(0，1
2 )
D．
( 1
2 ，1)
举一反三
(⃗M F1+⃗MN)⋅⃗F1 N =0，则双曲线的离心率为（ ）
A．
❑√6
2
B．❑√2
C．❑√3
D．2
【5-1】已知椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的右焦点为F ,经过点F的直线l的倾斜角为45° ,
且直线l交该椭圆于A ,B两点，若AF
→
=2 FB
→
，则该椭圆的离心率为（ ）
A．
❑√3
3
B．
❑√2
2
C．
❑√2
3
D．
❑√3
2
【5-2】已知过椭圆C ：x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的左焦点F且斜率为
❑√3
3 的直线与椭圆C相交
于A ，B两点，若⃗AF =3⃗FB，则椭圆C的离心率为（ ）
A．1
3
B．
❑√3
3
C．1
5
D．
❑√5
5
【5-3】已知椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(−c ,0), F2(c ,0)，点
题型五、利用圆锥曲线焦半径求离心率
典例探究
【典型例题】已知椭圆 C ：x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0) 的离心率为
❑√3
2 ，过右焦点 F 且
斜率为 k(k >0) 的直线与 C 相交于 A 、B 两点．若 ⃗AF =3⃗FB ，则 k =
A．1
B．❑√2
C．❑√3
D．2
举一反三
A，B 在C上，直线F1 A倾斜角为π
3 ，且⃗F1 A =2 F2B，则C的离心率为（ ）
A．1
3
B．
❑√2
3
C．1
2
D．2
3
【6-1】已知椭圆C1: x
2
m
2 + y
2
n
2 =1(m>n>0)与双曲线C2: x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)有共同的
焦点F1, F2，点P为两曲线的一个公共点，且∠F1 P F2=60
∘，椭圆的离心率为e1，双曲线
的离心率为e2，那么e1
2+e2
2最小为（ ）
A．2+ ❑√3
4
B．2+ ❑√3
2
C．3+2❑√2
4
D．
3+2❑√2
2
【6-2】已知椭圆和双曲线有共同的焦点F1，F2，P 是它们的一个交点，且∠F1 P F2= π
3 ，
记椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1⋅e2的最小值为（ ）
题型六、利用圆锥曲线共焦点求离心率
典例探究
【典型例题】设椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的右焦点为F.P为C上一点，⊙P的半径为
|PF)，过P作y轴的垂线，交⊙P于M , N两点，M在N的左侧.记C的离心率为e，点
M轨迹的离心率为e1，点N轨迹的离心率为e2，则（ ）
A．e1<e2
B．e2<e1
C．e1<e
D．e<e2
举一反三
A．
❑√5
2
B．
❑√3
2
C．1
D．1
2
【6-3】】已知椭圆和双曲线有共同的焦点F1，F2，P 是它们的一个交点，且
∠F1 P F2= 2π
3 ，记椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2.则
3
e1
2 + 1
e2
2 =()
A．4
B．2❑√3
C．2
D．3
【6-1】已知圆C ：x
2+ y
2−4 ❑√3 y −4 =0经过椭圆Ω：x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的两个焦点
F1，F2，圆C 和椭圆Ω在第二象限的交点为N，⃗N F1⋅⃗N F2=16 ❑√3−24，则椭圆的离心
率为（ ）
A．
❑√3
2
B．
❑√6
3
C．
❑√2
2
D．1
2
题型七、利用圆锥曲线共焦点求离心率
典例探究
【典型例题】已知F1, F2分别为双曲线C : x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的左、右焦点，点A
是C上一点，点B满足2⃗B F1=−3⃗B F2，∠F1 A F2= 4 ∠F1 AB =120°，则C的离心率
为（ ）
A．
❑√7
2
B．
❑√13
2
C．❑√7
D．❑√13
举一反三
【6-2】已知双曲线C ：x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的
直线与双曲线的右支交于A，B 两点．| A F2|=2|B F2|，∠F1 A F2=60°，则双曲线C
的离心率为（ ）
A．2
B．❑√3
C．
❑√13
3
D．❑√5
【6-3】双曲线x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1, F2，点M是双曲线左支上
一点，∠F1 M F2=90
∘，直线M F2交双曲线的另一支于点N，|MN )=2|N F2)，则双曲
线的离心率（ ）
A．3
B．9
C．❑√5
D．2
【突破提升训练・1】双曲线 x
2−4 y
2= 4 的离心率为（ ）。
A．
❑√3
2
B．
❑√5
2
C．5
4
D．❑√5
【突破提升训练・2】已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足M F1⊥M F2的点M总在椭圆
内部．则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．(0，1
2 ) B．(0，
❑√2
2 )
C．( 1
2 ，
❑√2
2 )
D．(
❑√2
2 ，1)
【突破提升训练・3】如图，在△ABC中，∠BAC =120
∘，其内切圆与AC边相切于点D，
且AD =1.延长BA至点E.使得BC = BE，连接CE.设以C , E两点为焦点且经过点A的椭圆
的离心率为e1，以C , E两点为焦点且经过点A的双曲线的离心率为e2，则e1e2的取值范围
是（ ）
题型精析・方法突破提能力
A．[
❑√3
2 ,+∞)
B．(
❑√3
2 ,+∞)
C．[1,+ ∞)
D．
(1,+∞)
【突破提升训练・4】已知双曲线C : x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a,b>0)左顶点为A，右焦点为F，以AF
为直径的圆与双曲线C的右支相交于M , N两点．若四边形AMFN是正方形，则双曲线C
的离心率为（ ）
A．2❑√2+1
B．2+ ❑√3
C．2+ ❑√2
D．
2❑√3+1
【突破提升训练・5】已知椭圆x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)，点F为左焦点，点P为下顶点，平行
于FP的直线l交椭圆于A ，B两点，且AB的中点为M (1，1
2 )，则椭圆的离心率为
（ ）
A．
❑√2
2
B．1
2
C．1
4
D．
❑√3
2
【突破提升训练・6】已知椭圆C：x
2
a
2 + y
2
b
2 =1（a>b>0）的离心率为
❑√3
2 ，过右焦点F 且斜
率为K（k>0）的直线于C 相交于A、B 两点，若AF
→
=3 FB
→
，则K =（ ）
A．1
B．❑√2
C．❑√3
D．2
【突破提升训练・7】已知双曲线C : x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的左，右焦点分别为
F1, F2,O为坐标原点，P为C左支上一点，P F2与C的右支交于点Q ,Q F1中点为M，若
PM ⊥Q F1, MO⊥QO，则双曲线C的离心率为（ ）
A．❑√2
B．❑√3
C．❑√5
D．❑√7
【突破提升训练・8】已知双曲线C : x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1, F2，
双曲线的右支上有一点A , A F1与双曲线的左支交于B，线段A F2的中点为M，且满足
BM ⊥A F2，若∠F1 A F2= π
3 ，则双曲线C的离心率为（ ）
A．❑√3
B．❑√5
C．❑√6
D．❑√7
【突破提升训练・9】已知椭圆Γ : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2
的直线l 与椭圆Γ相交于A、B 两点，与y 轴相交于点C．连接F1C，F1 A．若O 为坐标原
点，F1C ⊥F1 A，S△CO F2=2S△A F1 F2，则椭圆Γ的离心率为（ ）
A．
❑√10
5
B．
❑√5
5
C．
❑√10
10
D．
❑√5
10
【突破提升训练・10】F1、F2分别是椭圆x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的左右焦点，过F2作直线交
椭圆于A、B 两点，已知AF1 BF
⊥
1，∠ABF1=30°，则椭圆的离心率为
A．
❑√6−❑√2
2
B．
❑√6−❑√3
2
C．❑√6−❑√2
D．
❑√6−❑√3
【突破提升训练・11】已知双曲线E: x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是y =2 x，
则E的离心率是（ ）
A．5
2
B．
❑√5
2
C．5
D．❑√5
【答案】D
【突破提升训练・12】已知F1，F2是椭圆C：x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的左、右焦点，B是C
的下顶点，直线B F2与C的另一个交点为A，且满足⃗F1 A ⊥⃗F1B，则C的离心率为
（ ）
A．
❑√5
5
B．2❑√5
5
C．1
2
D．
❑√3
2
【突破提升训练・13】设椭圆x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1, F2，直线l过
点F1，若点F2关于l的对称点P恰好在椭圆C上，且⃗F1 P⋅⃗F1 F2=b
2，则C的离心率为（
）
A．1
3
B．2
3
C．
❑√17−2
3
D．
❑√13−2
3
【突破提升训练・14】已知椭圆C：x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-c.0)，
F2(c，0)，点A，B 在C 上，且满足⃗F1 A =2⃗F2B，⃗F1B∙⃗AB = 4 c
2−a
2
16 ，则C 的离心率为
( )
A．2❑√2
3
B．
❑√6
3
C．2
3
D．
❑√3
3
【突破提升训练・15】设椭圆C的两个焦点是F1, F2，过点F1的直线与C交于点P ,Q，若
|P F2)=|F1 F2)，且3|P F1)= 4|Q F1)，则椭圆C的离心率（ ）
A．
❑√3
2
B．5
7
C．3
4
D．2
7
【突破提升训练・16】已知椭圆 C ：x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0) 的离心率为
❑√3
2 ，过右焦点
F 且斜率为 k(k >0) 的直线与 C 相交于 A 、B 两点．若 ⃗AF =3⃗FB ，则 k = （
）
A．1
B．❑√2
C．❑√3
D．2
【突破提升训练・17】已知椭圆C1: x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)和双曲线
C2: x
2
m
2 −y
2
n
2 =1(m>0,n>0)有相同的焦点F1, F2, P为两曲线在第一象限的交点，e1,e2分
别为曲线C1,C2的离心率.若∠P F1 F2=∠F2 PO，则e2+ 2
e1
的最小值为（ ）
A．2❑√2
B．3 ❑√2
C．4 ❑√2
D．6 ❑√2
【突破提升训练・18】费马定理是几何光学中的一条重要原理，在数学中可以推导出圆锥
曲线的一些光学性质.例如，点P为双曲线(F1, F2)为焦点）上一点，点P处的切线平分
∠F1 P F2.已知双曲线C：x
2
a
2 −y
2
b
2 =1,O为坐标原点，点P(3,
❑√5
2 )处的切线为直线l，过
左焦点F1作直线l的垂线，垂足为M，若|OM )=2，则双曲线C的离心率为（ ）
A．2
B．
❑√5
2
C．❑√5
D．2❑√5
【突破提升训练・19】已知椭圆C：x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的离心率为
❑√3
2 ，过右焦点F 且斜
率为k（k＞0）的直线与C 相交于A、B 两点，若AF
→=3FB
→
，则k=
【突破提升训练・20】已知F1, F2是椭圆C的两个焦点，P为C上一点，且
∠F1 P F2=120
∘,|P F1)=3|P F2)，则C的离心率为（ ）
A．
❑√13
4
B．
❑√13
8
C．
❑√7
4
D．
❑√7
8
【突破提升训练・21】已知椭圆C1：x
2
36 + y
2
n
2 =1（0<n<6）与双曲线C2：
x
2
a
2 −
y
2
16−a
2 =1（0<a<4）共焦点F1，F2，过F1引直线l与双曲线左、右两支分别交于点
M，N，过O作OA ⊥l，垂足为A，且|OA |=a（O为坐标原点），若tan∠F1 N F2= 4
3 ，
则C1与C2的离心率之和为（ ）
A．4+3 ❑√5
6
B．4 +3 ❑√13
6
C．4 +3 ❑√5
3
D．
4 +3 ❑√13
3
【突破提升训练・22】已知椭圆和双曲线有相同的焦点F1、F2，它们的离心率分别为e1、
e2，点P为它们的一个交点，且∠F1 P F2= 2π
3 ，则e1
2+e2
2的范围是（ ）
A．[ 1+ ❑√3
2
，+∞)
B．[ 2+ ❑√3
2
，+∞)
C．(2，+ ∞)
D．
(3，+ ∞)
