文档文本内容
重难点专训01 抽象函数的应用
解题方法及技巧提炼............................................................................................................................1
题型通法及变式提升............................................................................................................................3
题型一：抽象函数的赋值求值............................................................................................................................3
题型二：抽象函数“一次函数模型”................................................................................................................4
题型三：抽象函数“指数函数模型”................................................................................................................7
题型四：抽象函数“对数函数模型”..............................................................................................................11
题型五：抽象函数“幂函数模型”..................................................................................................................14
题型六：抽象函数“二次函数模型”..............................................................................................................16
题型七：抽象函数的奇偶性与对称性..............................................................................................................19
重难专题分层过关练..........................................................................................................................23
巩固过关...............................................................................................................................................................23
创新提升...............................................................................................................................................................32
1、一次函数模型
模型1：若
，则
；
模型2：若
，则
为奇函数；
模型3：若
则
；
模型4：若
则
；
2、指数型模型
模型1：若
，则
；
单调性判断：先得出
，再比较
和1（即
）的大
小关系
模型2：若
，则
；
模型3：若
，则
；
模型4：若
，则
；
3、对数型模型
模型1：若
，则
模型2：若
，则
单调性判断：由
，则有
记
，
，再结合题目给的
在
或
上的正负.
模型3：若
，则
模型4：若
，则
模型5：若
，则
4、幂函数型模型
模型1：若
，则
奇偶性性判断：令
单调性判断：
模型2：若
，则
代入
则可化简为幂函数；
5、二次函数模型
模型：若
则
此结论过于复杂，只做了解无需记忆，大概知道是二
次函数，有个做题方向，实际做题还是赋值法处理；
题型一：抽象函数的赋值求值
典例1-1．设函数
的定义域为
，若
，则
．
典例1-2．函数
的定义域为
，若
，则
（ ）
A．－2
B．－4
C．2
D．4
变式1-1．已知函数
的定义域为
，且
，
，则
．
变式1-2．已知定义在
上的函数
满足对任意的正数
，
，都有
，若
，则
（ ）
A．12
B．6
C．
D．
题型二：抽象函数“一次函数模型”
典例2-1．已知定义在
上的函数
，满足
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
典例2-2．已知定义在
上的函数
，满足
，而且当
时，有
．
（1）求证：
在
上是增函数；
（2）判断
与
的大小，并说明理由．
变式2-1．定义在非零实数集上的函数
对任意非零实数
满足:
,且当
时
.
(1)求
及
的值；
(2)求证:
是偶函数；
(3)解不等式：
.
变式2-2．已知函数
满足
，当
时，
，则（ ）
A．
为奇函数
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
题型三：抽象函数“指数函数模型”
典例3-1．（多选）已知函数
的定义域为R，且
，若
，则下列说法
正确的是（ ）
A．
B．
有最大值
C．
D．函数
是奇函数
典例3-2．已知定义在
上的函数
满足：①对任意的
，都有
；
②当且仅当
时，
成立．
(1)求
；
(2)判断并证明
的单调性；
(3)若对任意的
，不等式
恒成立，求实数
的取值范围．
变式3-1．已知函数
对任意实数
，
恒有
，且当
时，
，又
．
(1)判断
的奇偶性及单调性并证明你的结论；
(2)若对任意
，不等式
恒成立，求
的取值范围．
变式3-2．已知函数
定义域为
，且函数
同时满足下列个条件：①对任意的实数
，
恒成立；②当
时，
；③
.
(1)求
及
的值；
(2)求证：函数
既是
上的奇函数，同时又是
上的增函数；
(3)若
，求实数的取值范围.
题型四：抽象函数“对数函数模型”
典例4-1．下列函数中，满足“
”的单调递增函数是（ ）
A．
B．
C．
D．
典例4-2． 已知：定义在R 上的函数
，对于任意实数a, b 都满足
，且
，当
．
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）证明
在
上是增函数；
（Ⅲ）求不等式
的解集.
变式4-1．如果
且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
变式4-2．（多选）已知定义在
上的函数
同时满足：①
偶函数；②当
时，
；③当
，
时，
，则（ ）
A．
B．
C．
在
上单调递增
D．不等式
的解集为
题型五：抽象函数“幂函数模型”
典例5-1．已知定义在
上的函数
，满足
，对于任意正实数
、
都有
，当
时，
，且
.
(1)求证：
；
(2)证明：
在
上为减函数；
(3)若
，求实数
的值.
变式5-1．若函数
对任意实数x，y 都有
，则称其为“保积函数”．
(1)若“保积函数”
满足
，判断其奇偶性并证明；
(2)对于（1）中的“保积函数”，若
时，
，且
，试求不等式
的解
集．
变式5-2．已知对任意实数
都有
，且
，当
时，
，若
且
，
的取值范围 .
题型六：抽象函数“二次函数模型”
典例6-1．已知函数
的定义域为
，且满足
，则下列结论正确
的是（ ）
A．
B．方程
有解
C．
是偶函数
D．
是偶函数
典例6-2．（多选）已知函数
对任意
恒有
，且
，则
（ ）
A．
B．
可能是偶函数
C．
D．
可能是奇函数
变式6-1．已知函数
对一切
都有
成立.
（1）求
的值；
（2）求
的解析式；
（3）已知
，设
：当
时，不等式
恒成立，
：当
时，
不是单调函数，求满足
为真命题且
为假命题的
的取值范围.
变式6-2．已知定义域为
的函数
满足对任意
，都有
.
（1）求证：
是奇函数；
（2）设
，且
时，
，
①求证：
在
上是减函数；
②求不等式
的解集.
题型七：抽象函数的奇偶性与对称性
典例7-1．（多选）已知函数
的定义域为
，
，
，则（ ）
A．
B．
的图象关于点
对称
C．
的图象关于直线
对称
D．
典例7-2．（多选）已知定义在
上的连续函数
满足
，
，
，当
时，
恒成立，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
是偶函数
C．
D．
的图象关于
对称
变式7-1．（多选）若函数
的定义域为
，且
，
，则
（ ）
A．
B．
为偶函数
C．
的图象关于点
对称
D．
变式7-2．（多选）已知函数
的定义域为
，
，
，都有
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
，都有
C．
关于点
对称
D．若
，则
巩固过关
1．已知函数
的定义域为
，
，且
，
，则下列
结论中一定正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知定义在
上的函数
满足
，且当
时，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知函数
的定义域为
，且
，则
（ ）
A．－3
B．－2
C．0
D．1
4．已知函数
的定义域为
，且
，若
，则（ ）
A．
B．
C．
为增函数
D．
为奇函数
5．（多选）已知函数
的定义域为
，且
，则下列结论正确
的是（ ）
A．
B．函数
是偶函数
C．函数
是周期为4 的周期函数
D．
6．（多选）已知定义在R 上的单调函数
，满足
，
，
，则下列说法正确的
是（ ）
A．
B．
可能是单调递减函数
C．
为奇函数
D．若
，则
7．（多选）已知函数
的定义域为
，
，则（ ）
A．
B．
C．
为减函数
D．
为奇函数
8．（多选）定义在
上的函数
满足
，当
时，
，且
，
则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
是奇函数
C．
在
上单调递减
D．不等式
的解集为
9．（多选）已知函数
的定义域是
，对任意的实数
、
满足
，且
，当
时，
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．函数
为
上的增函数
D．函数
为奇函数
10．设函数
是增函数，对于任意x，
都有
．
(1)写一个满足条件的
并证明；
(2)证明
是奇函数；
(3)解不等式
．
11．函数
的定义域为D，满足对任意的
，都有
.
（1）若
，试判断
的奇偶性并证明你的结论；
（2）若
，且
在定义域D 上是单调函数，满足
，解不等式
.
12．已知函数
定义在
上，对任意
，都有
，且存在正数
满足
，求证：
(1)
是偶函数；
(2)
是
的周期；
(3)当
在
上是减函数时，
的最小正周期是
．
13．已知函数
对任意实数x，y，均有
，
，且存在非零常数
c，使
.
(1)求
的值；
(2)判断
的奇偶性并证明；
(3)求证
是周期函数，并求出
的一个周期.
创新提升
1．（多选）已知定义在
上的函数
满足
，且当
时，
，
则有（ ）
A．
是奇函数
B．
C．
D．
2．已知定义在R 上的函数
满足：对任意实数m，n 均有
，若
，
且
时，
，则关于x 的不等式
的解集为 .
3．（多选）若函数
满足：对任意
，恒有
，则称函数
为
“类余弦型”函数.已知函数
为“类余弦型”，若
，且对任意非零实数
，
.则下列
结论正确的是（ ）
A．
B．若
，则
C．函数
为偶函数
D．若有理数
，
满足
，则
4．（多选）已知定义域为
的函数
满足
，且
，
，则（ ）
A．
B．
为偶函数
C．
D．
