专题05
圆的压轴题（学生版）
1．圆的方程
(1)圆的方程①标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心坐标为
，半径为
.
②一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，圆心坐标为
，半径r=
。
(2)点与圆的位置关系
①几何法：利用点到圆心的距离d 与半径r 的关系判断：d>r⇔点在圆外，d＝r⇔点在圆上；d<r⇔点在圆内．
②代数法：将点的坐标代入圆的标准(或一般)方程的左边，将所得值与r2(或0)作比较，大于r2(或0)时，点
在圆外；等于r2(或0)时，点在圆上；小于r2(或0)时，点在圆内．
2．直线与圆的位置关系
直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)与圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)的位置关系如下表.
方法位置
关系
几何法：根据d＝|Aa＋Bb＋C|
A2＋B2
与
r 的大小关系
代数法：
2
2
2
0
Ax
By
C
x
a
x
b
r
消元得一元二次方程，根据判别式Δ的符号
相交
相切
相离
3．圆与圆的位置关系
表现形式
位置关系
几何表现：圆心距d 与r1、
r2 的关系
代数表现：两圆方程联立组成的方
程组的解的情况
相离
外切
相交
内切
内含
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类型一圆的方程
例1(1).点
1,0
P
，点Q 是圆
2
2
4
x
y
上的一个动点，则线段PQ的中点M 的轨迹方程是（
）
A．
2
2
1
1
2
x
y
B．
2
2
1
4
2
x
y
C．
2
2
1
1
2
x
y
D．
2
2
1
4
2
x
y
(2).过坐标原点，且在x 轴和y 轴上的截距分别为2 和3 的圆的方程为（
）
A．
2
2
2
3
0
x
y
x
y
B．
2
2
2
3
0
x
y
x
y
C．
2
2
2
3
0
x
y
x
y
D．
2
2
2
3
0
x
y
x
y
(3).阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲
线有深刻且系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中，阿波罗尼斯圆是他的研究
成果之一，指的是：已知动点M 与两定点A ，B 的距离之比为
(
0,
1)
，那么点M 的轨迹就是阿波罗
尼斯圆．如动点M 与两定点
9 ,0
5
A
，
5,0
B
的距离之比为3
5 时的阿波罗尼斯圆为
2
2
9
x
y
．下面，我们
来研究与此相关的一个问题：已知圆
2
2
:
4
O x
y
上的动点M 和定点
1,0
A
，
1,1
B
，则2 MA
MB
的
最小值为（
）
A．2
10
B．
21
C．
26
D．
29
(4).现有边长均为1 的正方形､正五边形､正六边形及半径为1 的圆各一个，在水平桌面上无滑动滚动一周，
它们的中心的运动轨迹长分别为1l ，2l ，3l ，4l ，则（
）
A．1
2
3
4
l
l
l
l
B．1
2
3
4
l
l
l
l
C．1
2
3
4
l
l
l
l
D．1
2
3
4
l
l
l
l
练习题
（1）已知点P 在直线
3
y
x
上运动，M 是圆
2
2
1
x
y
上的动点，N 是圆
2
2
(
9)
(
2)
16
x
y
上的动
点，则PM
PN
的最小值为（
）
A．13
B．11
C．9
D．8
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2.“
1
a
”是“方程
2
2
2
2
2
6
5
0
x
y
ax
y
a
表示圆”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3.已知平面内两个定点A ，B 及动点P ，若
PB
PA
（
0
且
1
），则点P 的轨迹是圆.后世把这种圆称为
阿波罗尼斯圆.已知
0,0
O
，
2
0, 2
Q
，直线1 :
2
3
0
l
kx
y
k
，直线2 :
3
2
0
l
x
ky
k
，若P 为1l ，2l
的交点，则3
2
PO
PQ
的最小值为（
）
A．3
3
B．6
3 2
C．9
3 2
D．3
6
4.数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思
维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.平面直角坐标系中，曲线
2
2
:
|
|
|
|
C x
y
x
y
就是一
条形状优美的曲线，若
,
P m n 是曲线C 上任意一点，则
3
m
n
的最小值是（
）
A．
2
2
B．1
C．
2
D．2
5.(多选题)数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面.一些优美的曲线是数学形象美､对称美､和谐
美的结合产物.关于曲线
2
2
:
C x
y
x
y
，则下列结论正确的是（
）
A．曲线C 关于原点成中心对称图形
B．曲线C 关于x 轴，y 轴成轴对称图形
C．曲线C 上任意两点之间的距离都不超过2
D．曲线C 所围成的“花瓣”形状区域的面积大于π
类型二直线与圆的位置关系
例2.(1)已知直线:
4
0
l x
y
与x 轴相交于点A，过直线l 上的动点P 作圆
2
2
4
x
y
的两条切线，切点分
别为C，D 两点，记M 是CD 的中点，则AM 的最小值为（
）
A．2 2
B．3 2
C．17
D．3
(2).若圆
2
2
:
12
10
25
0
C x
y
x
y
上有四个不同的点到直线:3
4
0
l
x
y
c
的距离为3，则c 的取值范围
是（
）
A．
,17
B．
17,13
C．
13,17
D．
12,18
(3).若直线:
2
0
l kx
y
与曲线
2
: 1 (
1)
1
C
y
x
有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是（
）
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A．4 ,2
3
B．4 ,4
3
C．
4
4
2,
,2
3
3
D．4 ,
3
(4).已知圆C ：
2
2
4
3
0
x
y
y
，一条光线从点
2,1
P
射出经x 轴反射，则下列结论不正确的是（
）
A．圆C 关于x 轴的对称圆的方程为
2
2
4
3
0
x
y
y
B．若反射光线平分圆C 的周长，则入射光线所在直线方程为3
2
4
0
x
y
C．若反射光线与圆C 相切于A ，与x 轴相交于点B ，则
2
PB
PA
D．若反射光线与圆C 交于M ，N 两点，则CNM
面积的最大值为
1
2
(5).设圆C 满足：①截y 轴所得弦长为2 ；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3:1，在满足条件①、
②的所有圆C 中.
(1)求圆心到直线1 :
2
0
l
x
y
的距离最小的圆C 的方程；
(2)在（1）的条件下，若圆C 的圆心在第一象限，将C 向左平移1个单位，向下平移1个单位，得到一个圆D ，
点M 为直线2 :
5
0
l
x
y
上一动点，过M 作圆D 的两条切线，切点分别为A 、B ，点N 为弦AB 的中点，
点
4 4
,
5 5
T
，求NT 的取值范围.
练习题
(1).若圆
2
2
:
2
4
3
0
C x
y
x
y
关于直线2
6
0
ax
by
对称，则由点
,a b 向圆所作的切线长的最小值是
（
）
A．2
B．3
C．4
D．6
(2).在平面直角坐标系中，直线
0
y
kx m k
与x 轴和y 轴分别交于A ，B 两点，
2 2
AB
，若CA
CB
，
则当k ，m 变化时，点C 到点
1,1 的距离的最大值为（
）
A．4 2
B．3 2
C．2 2
D．
2
(3).已知
( )
f x 是定义在R 上的增函数，函数
(
1)
y
f x
的图象关于点(1,0) 对称，若不等式
2
16
2 3
(
2)
0
f
x
f
k x
-
的解集为区间
,a b ，且
2
b
a
，则k （
）
A．
3
B．
3
C．2
D．2
(4).数学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数（
0
且
1
）的点的轨迹
是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy 中，
3 0
A , ，动点M 满
足
2
MA
MO
，得到动点M 的轨迹是阿氏圆C .若对任意实数k ，直线l ：
1
y
k x
b
与圆C 恒有公共
点，则b 的取值范围是（
）
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A．
13, 13
B．
14, 14
C．
15, 15
D．
4,4
(5).已知圆心在x 轴上的圆C 与直线: 4
3
6
0
l
x
y
切于点
3 6
,
5 5
M
.
(1)求圆C 的标准方程；
(2)已知
2,1
N
，经过原点且斜率为正数的直线1l 与圆C 交于
1
1
,
P x y
，
2
2
,
Q x
y
.求
2
2
PN
QN
的最大值．
类型三圆与圆的位置关系
例3(1).已知圆
2
2
1 :
1
1
1
C
x
y
，圆
2
2
2 :
4
5
9
C
x
y
，点M、N 分别是圆
1
C 、圆
2
C 上的动点，
点P 为x 轴上的动点，则PN
PM
的最大值是（
）
A．3 5
4
B．9
C．7
D．3 5
2
(2).已知圆
2
2
:
3
4
4
C
x
y
和两点
,0
A
m
，
,0
0
B m
m
，若圆C 上存在点P 使得
90
APB
，
则m 的最大值为（
）
A．8
B．7
C．6
D．5
(3).在平面直角坐标系xOy 中，若圆
2
2
2
1 : (
4)
(
1)
(
0)
C
x
y
r
r
上存在点P ，且点P 关于直线
1
y
x
的对
称点Q 在圆
2
2
2 : (
4)
4
C
x
y
上，则r 的取值范围是（
）
A．(3,7)
B．[3 ]
7
，
C．(3,
)
D．[3,
)
(4).若圆
2
2
:
cos
sin
1
M
x
y
0
2
（
）与圆
2
2
:
2
4
0
N x
y
x
y
交于A、B 两点，则tan∠ANB
的最大值为（
）
A．
1
2
B．3
4
C．4
5
D．4
3
(5).已知圆M ：
2
2
4
2
3
0
x
y
x
y
和圆N ：
2
2
9
x
y
.
(1)若直线l 过点
0, 3
P
，且被圆M 截得的弦长为4，求l 的方程：
(2)求圆M 与圆N 的公共弦的长.
练习题
(1).已知M 是圆
2
2
:
1
C x
y
上一个动点，且直线1 :
3
0
l
mx
ny
m
n
与直线
2
2
2 :
3
0( ,
R,
0)
l
nx
my
m
n
m n
m
n
相交于点P，则PM 的取值范围是（
）
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A．[ 3
1,2 3
1]
B．[ 2
1,3 2
1]
C．[ 2
1,2 2
1]
D．[ 2
1,3 3
1]
(2).已知点P 在直线
4
x
y
上，过点P 作圆
2
2
:
4
O x
y
的两条切线，切点分别为A ，B ，点M 在圆
2
2
:(
4)
(
5)
1
G
x
y
上，则点M 到直线AB 距离的最大值为（
）
A．4
B．6
C．10
1
D．13
1
(3).古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元首262～公元前190 年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的
科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（
0
k
且
1
k ）的点的轨迹是圆，
后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．已知
(0,0)
O
，
(3,0)
A
，圆
2
2
2
:(
2)
(
0)
C
x
y
r
r
上有且仅有一个点P
满足|
| 2 |
|
PA
PO
，则r 的取值可以为（）
A．1
B．2
C．3
D．4
(4).在平面直角坐标系xOy 中，已知点
1,0 ,
5,0
A
B
.若圆
2
2
:(
4)
(
)
16
M
x
y
m
上存在唯一点P ，使得
直线
,
PA PB 在y 轴上的截距之积为5，则实数m 的值为（
）
A．
15
B．3 5
C．
15
和3 5
D．15 和3 5
(5).已知
3,4
M
是半径为1 的动圆C 上一点，P 为圆
2
2
:
1
O x
y
上一动点，过点P 作圆C 的切线，切点分
别为A ，B ，则当AB 取最大值时，△PAB 的外接圆的方程为（
）
A．
2
2
3
4
6
0
x
y
x
y
B．
2
2
3
4
6
0
x
y
x
y
C．
2
2
3
4
0
x
y
x
y
D．
2
2
4
3
0
x
y
x
y
(6).在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O：
2
2
2(
0)
x
y
r
r
与圆M ：
2
2
(
6)
4
x
y
.
(1)若圆O与圆M 有公共点，求正实数r 的取值范围；
(2)求过点
4,3
H
且与圆M 相切的直线l 的方程；
(3)当
2
r
时，设P 为平面上的点，且满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线1l 和2l ，它们分别与圆
O和圆M 相交，且直线1l 被圆O截得的弦长与直线2l 被圆M 截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P
的坐标.
类型四能力提升创新题
1.关于下列命题，正确的个数是（
）
（1）若点
2,1 在圆
2
2
2
2
15
0
x
y
kx
y
k
外，则
2
k
或
4
k ；
（2）已知圆
2
2
:
cos
sin
1
M
x
y
，直线y
kx
，则直线与圆恒相切；
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（3）已知点P 是直线2
4
0
x
y
上一动点，PA 、PB 是圆
2
2
:
2
0
C x
y
y
的两条切线，A 、B 是切点，
则四边形PACB的最小面积是2 ；
（4）设直线系
:
cos
sin
2
2cos
M
x
y
，M 中的直线所能围成的正三角形面积都等于12 3 ．
A．1
B．2
C．3
D．4
2.中国结是一种盛传于民间的手工编织工艺品，它身上所显示的情致与智慧正是中华民族古老文明中的一个
侧面.已知某个中国结的主体部分可近似地视为一个大正方形（内部是16 个全等的边长为1 的小正方形）和
凸出的16 个半圆所组成，如图，点A 是大正方形的一条边的四等分点，点C 是大正方形的一个顶点，点B
是凸出的16 个半圆上的任意一点，则AC AB
的最大值为（
）
A．33
3 17
2
B．33
2 17
2
C．33
17
2
D．9 17
2
3.已知函数
ln
1
1
f x
a
x
a
R 的图象恒过定点A，圆
2
2
:
4
O x
y
上的两点
1
1
,
P x y
，
2
2
,
Q x
y
满
足
PA
AQ
R
，则
1
1
2
2
2
7
2
7
x
y
x
y
的最小值为(
)
A．2 5
B．7
5
C．15
5
D．30
2 5
4.已知集合
2
2
,
(
cos )
(
sin )
4,0
π
P
x y
x
y
∣
.由集合P 中所有的点组成的图形如图中阴影部
分所示，中间白色部分形如美丽的“水滴”.给出下列结论：
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①白色“水滴”区域（含边界）任意两点间距离的最大值为1
3
；
②在阴影部分任取一点M ，则M 到坐标轴的距离小于等于3；
③阴影部分的面积为8π ；
④阴影部分的内外边界曲线长为8π .
其中正确的有
.
5.已知圆C 过点
0,0
O
，
1, 3
A
，
2,2 3
B
.
(1)求圆C 的标准方程；
(2)若过点C 且与x 轴平行的直线与圆C 交于点M ，N ，点P 为直线
5
x
上的动点，直线PM ，PN 与圆C 的
另一个交点分别为E ，F （EF 与MN 不重合），证明：直线EF 过定点.
1.在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B 为圆
2
2
9
x
y
上两动点，点
1,1
P
，且PA
PB
，则AB 的最大
值为（
）
A．3
2
B．3
2
C．4
2
D．4
2
2.AB 为⊙C：(x－2)2＋(y－4)2＝25 的一条弦，
6
AB
，若点P 为⊙C 上一动点，则PA PB
的取值范围是（
）
A．[0，100]
B．[－12，48]
C．[－9，64]
D．[－8，72]
3.已知中心在原点的椭圆C 的左焦点恰好为圆F：
2
2
2
3
0
x
y
x
的圆心，有两顶点恰好是圆F 与y 轴的
交点．若椭圆C 上恰好存在两点关于直线y=x+t 对称，则实数t 的取值范围为（
）
A．
7, 7
B．
7
7
,
7
7
C．
4 3
,
7 7
D．
7
0, 7
4.已知圆C ：
2
2
1
2
25
x
y
，直线l ：
2
1
1
7
4
0
m
x
m
y
m
，直线l 与圆C 交于A 、B ，则
sin
ACB
的最大值为（
）
A．1
B．4
5
C．2 5
5
D．3
5
5.已知直线l：
2
0
x
y
与x 轴、y 轴分别交于M，N 两点，动直线1l ：
y
mx m
R 和2l ：
4
2
0
my
x
m
交于点P，则
MNP
△
的面积的最小值为（
）
A．10
B．5
10
C．2 2
D．2 10
3
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6.已知
2,0
A
，点P 为直线
5
0
x
y
上的一点，点Q 为圆
2
2
1
x
y
上的一点，则
1
2
PQ
AQ
的最小值
为（
）
A．5 2
2
2
B．5 2
2
2
C．11 2
2
D．11 2
4
7.已知O 为坐标原点，
(2,0)
A
，设动点C 满足
2
OC
，动点P 满足
0
PA PC
，则OP 的最大值为（
）
A．
2
B．
3
1
C．2
D．2
2
8.已知实数a，b 满足
2
2
1
2
2
a
b
a
b
，则
2
3
4
1
a
b
的最小值是（
）
A．1
B．2
C．4
D．16
9.已知C，D 是圆O：
2
2
9
x
y
上两个不同动点，直线
1
2
0
m
x
y
m
恒过定点P，若以CD 为直
径的圆过点P，则CD 最小值为（
）
A．4
2
B．4
2
C．8
2 2
D．8
2 2
10.在直角坐标系xOy 中，已知点P 是圆O：
2
2
1
x
y
上一动点，若直线l：
2
3
0
kx
y
k
上存在点Q，
满足线段PQ 的中点也始终在圆O 上，则k 的取值范围是（
）
A．
12 ,0
5
B．
12
,
0,
5
C．
12 ,0
5
D．
12
,
0,
5
.
11.数学中有很多形状优美，寓意美好的曲线，曲线
2
2
:
2
2
0
C x
y
x
y
就是其中之一，则曲线C 所围
成的封闭图形的面积是
.
12.已知圆C 经过
0,1
A
，
4,
0
B
a
a
两点．
(1)如果AB 是圆C 的直径，证明：无论a 取何正实数，圆C 恒经过除A 外的另一个定点，求出这个定点坐
标．
(2)已知点A 关于直线
3
y
x
的对称点A也在圆C 上，且过点B 的直线l 与两坐标轴分别交于不同两点M
和N，当圆C 的面积最小时，试求BM
BN
的最小值.
13.已知以点
2
,
,
0
C t
t
R t
t
为圆心的圆与x 轴交于点O，A，与y 轴交于点O､B，其中O 为坐标原点.
(1)试写出圆C 的标准方程（含t 表示）；
(2)求证：OAB
的面积为定值；
(3)设直线
2
4
y
x
与圆C 交于M，N 两点，若
OM
ON ，求圆C 的标准方程.
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14．已知点
(4,0)
A
和
(4,4)
B
，圆C 与圆
2
2
(
1)
(
2)
4
x
y
关于直线2
4
5
0
x
y
对称．
(1)求圆C 的方程；
(2)点P 是圆C 上任意一点，在x 轴上求出一点M （异于点
)
A 使得点P 到点A 与M 的距离之比
PA
PM 为定值，
并求
1
2
PB
PA
的最小值．
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