重难点培优02 平面向量共线定理及其推论、爪型图（秒
杀）、等和线的应用
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01 知识重构・重难梳理固根基..........................................................................................................1
02 题型精研・技巧通法提能力..........................................................................................................4
题型一 平面向量共线定理及参数问题（★★★★）................................................................................4
题型二 平面向量共线定理的推论（★★★★★）....................................................................................8
题型三 向量三角形爪型图秒杀法（★★★）..........................................................................................12
题型四 等和线解决系数和问题（★★★★★）......................................................................................13
题型五 等和线解决系数差问题（★★★★）..........................................................................................16
题型六 等和线解决其他系数问题（★★★）..........................................................................................18
03 实战检测・分层突破验成效........................................................................................................20
检测Ⅰ组 重难知识巩固..............................................................................................................................20
检测Ⅱ组 创新能力提升..............................................................................................................................31
1、共线向量定理及其推论
（1）定义：如果
，则
；反之，如果
且
，则一定存在唯一的实数
，使
．（口诀：数乘即得平行，平行必有数乘）．
（2）若A、B、C 三点共线
存在唯一的实数
，使得
；
存在唯一的实数
，使得
；
存在唯一的实数
，使得
；
存在
，使得
．
2、向量三角形爪型图秒杀
（1）中线向量定理
如图所示，在
中，若点D 是边BC 的中点，则中线向量
，反之亦正确．
（2）线段定比分点的向量表达式
如图所示，在
中，若点
是边
上的点，且
（
），则向量
．
3、等和线
平面内一组基底
及任一向量
，
，若点
在直线
上或者在平行于
的直线上，则
（定值），反之也成立，我们把直线
以及与直线
平行的直线称为等和
线。
等和线一般性结论：
①当等和线恰为直线
时，
；
②当等和线在
点和直线
之间时，
；
③当直线
在点
和等和线之间时，
；
④当等和线过
点时，
；
⑤若两等和线关于
点对称，则定值
互为相反数；
⑥定值k 的变化与等和线到O 点的距离成正比．
证明：如图1，
为
所在平面上一点，过
作直线
，由平面向量基本定理知：
存在
，使得
B
C
A
D
B
C
A
D
下面根据点
的位置分几种情况来考虑系数和
的值
①若
时，则射线
与无交点，由
知，存在实数
，使得
而
，所以
，于是
②若
时，
（i）如图1，当
在右侧时，过
作
，交射线
于
两点，则
，不妨设
与
的相似比为
由
三点共线可知：存在
使得：
所以
（ii）当
在左侧时，射线
的反向延长线与
有交点，如图1 作
关于
的对称点
，由（i）的
分析知：存在存在
使得：
所以
，于是
综合上面的讨论可知：图1 中
用
线性表示时，其系数和
只与两三角形的相似比有关。
我们知道相似比可以通过对应高线、中线、角平分线、截线、外接圆半径、内切圆半径之比来刻画。因为
三角形的高线相对比较容易把握，我们不妨用高线来刻画相似比，在图1 中，过
作
边的垂线
，设
点
在
上的射影为
，直线
交直线
于点
，则
(
的符号由点
的位置确定)，因此
只需求出
的范围便知
的范围
一般解题步骤：（1）确定单位线（当
时的等和线）；（2）平移等和线，分析何处取得最值；
（3）从长度比计算最值.
题型一 平面向量共线定理及参数问题
【技巧通法·提分快招】
如果
，则
；反之，如果
且
，则一定存在唯一的实数
，使
．
1．已知向量
，
不共线，若
，
，且
，
，
三点共线，则关于实数
，
的
值可以是（ ）
A．
，
B．
，
C．2，
D．
，
【答案】B
【分析】根据向量共线的性质来求解
与
的关系，再据此逐一分析选项.
【详解】因为
，
，
三点共线，则存在实数
，使得
，
即
，即
，所以
，
又因为向量
，
不共线，所以
，解得
，
所以实数
，
的值互为倒数即可求解．
故选：B．
2．已知向量
，
，且
与
方向相反，则实数
的值为（ ）
A．
B．
C．
或
D．或
【答案】B
【分析】分析可知向量
、
不共线，根据题意可知，所以存在实数
使
，
根据平面向量的基本定理可得出关于
、
的方程组，结合
可解得
的值.
【详解】因为
，
，且
，
所以向量
、
不共线，且向量
，
方向相反，
所以存在实数
使
，
即
，
所以
，整理得
，解得
或
，
又
，所以
.
故选：B.
3．在
中，
，点
满足
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据题意，在
中取
中点为
，且点
在直线
上，由数量积运算可得
，从
而得解.
【详解】因为
，易知
为等腰直角三角形且
，
取
中点为
，则
，又点
满足
，则点
在直线
上，
所以
，
由
，则
，结合图知
，所以
.
故选：A
4．设两个向量
，
满足
，
，
，
之间的夹角为
，若向量
与向量
的夹
角为钝角，则实数的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据题意，
，且不能共线反向，再求解即可得实数的取值范围；
【详解】因为
，
，
与
的夹角为
，
所以
，
因为向量
与向量
的夹角为钝角，
所以
且不能共线反向，
若
，
则
，
解得
，
若向量
与向量
共线反向，则有
，
即
，解得
（舍去）或
，所以
，
综上可得实数的取值范围
.
故选：B
5．在
中，
为边
上的中线，
为
上一点，且
，若
，且
（
），则
．
【答案】
【分析】根据已知，可由向量
分别表示出
，再由
可得含有
的等式，又
不共线，可得方程组，计算即得.
【详解】如图所示，
由
为边
的中点，得到
，而
，
因此
，
所以
，
因为
，得
，
因为
，设
（
），所以
，
所以
，即
．
因为
与
不共线，所以
，得
，故
．
故答案为：
.
6．在四边形
中，
，点
是四边形
所在平面上一点，满足
．设
分别为四边形
与
的面积，则
．
【答案】
【分析】若
分别为
的中点，得到
，根据已知得
，且
为梯
形，再应用梯形、三角形面积公式求四边形
与
的面积，即可结果.
【详解】由
，
所以
，若
分别为
的中点，如下图，
则
，即
，又
，则
，
故
，所以
，
综上，
，
令梯形
的高为，则
，
，
所以
.
故答案为：
题型二 平面向量共线定理的推论
【技巧通法·提分快招】
平面向量共线定理推论：若点
互不重合，
是
三点所在平面上的任意点，且
，则
三点共线是
的充要条件.
A
B
P
C
证明：由
三点共线.
由
得
.
即
，
共线，故A，B，C 三点共线.
证明：由
三点共线
.
由A，B，C 三点共线得
，
共线，即存在实数
使得
.
故
.令
，则有
.
1．（2025·湖南·模拟预测）如图，在
中，点
是线段
上靠近点
的三等分点，过点
的直线分
别交直线
、
于点
、
.设
，
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据
，结合平面向量的减法可得出
，结合
，
，
可得出
，利用
、
、
三点共线，可求出
的值.
【详解】连接
，因为点
是线段
上靠近点
的三等分点，则
，
即
，所以，
，
又因为
，
，则
，
因为
、
、
三点共线，设
，则
，
所以，
，且
、
不共线，
所以，
，
，故
，因此，
.
故选：C.
2．在
中，点O 是
的中点，过点O 的直线分别交直线
于不同的两点M，N，若
，则
的最小值为（ ）
A．3
B．8
C．
D．9
【答案】B
【分析】结合图形，利用
三点共线，推出
，再根据基本不等式求解即可.
【详解】
如图，由点O 是BC 的中点，得
，
由
三点共线，得
，则
，
，
则
，
当且仅当
，即
时取等号，所以
取得最小值8.
故选：B
3．在
中，
为
中点，
，设
与
交于点
，则
．
【答案】
/
【分析】以
、
为基底表示出
，再根据平面向量共线定理及推论求出
，即可求出
，
，
即可得解.
【详解】因为
，
所以
，
由
三点共线，可设
，
所以
.
又
三点共线，所以
，
又
、
不共线，所以
，解得
，
所以
，又
，
，
所以
，即
.
故答案为：
4．已知
是直线上不同的三点，点
在直线外，若
，则
．
【答案】2
【分析】根据已知等式，结合向量的线性运算，化简得
，而
三点共线，可
得
，解得
，再代回到条件中，可得
，即可得到
的值.
【详解】由题意，
是直线上不同的三点，点
在直线外，即
，如图．
则
，
即
，
从而
，
得
，解得
．
将
代回原式得
，
则
，即
，
所以
．
故答案为：2.
5．（24-25 高三上·重庆·月考）在
中，点
满足
为线段
的中点，过点
作一条直
线与边
分别交于点
两点.设
，当
与
的面积
比为
时，则
的值为 .
【答案】3
【分析】由
，得
，再由
是
的中点，结合已知条件可得
，从而由
三点共线，得
，因为面积比得出
，化简后求值.
【详解】因为
，所以
，得
.
又
是
的中点，
，
，
所以
.
因为
三点共线，所以
，且
，
所以
，
即
.
故答案为：
题型三 向量三角形爪型图秒杀法
【技巧通法·提分快招】
已知
在线段
上，且
，则
m
n
A
B
C
D
1．设
为
所在平面内一点，且
，则（ ）
A.
B.
C.
D.
【分析】利用爪型图求解即可
A
B
C
D
解析：由
爪型图结论得：
，解得：
故选A
2．（2024·云南昆明·一模）在
中，点
满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】如下图所示：
由爪型图结论得
.
故选：C
3．在
中，点D 在边AB 上，
．记
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】：利用“爪型图”的结论先表示，再间接求解
【解析】由爪型图结论得
．
故选B
题型四 等和线解决系数和问题
【技巧通法·提分快招】
利用等和线求解数值k(k>0) 的基本步骤如下：
（1）连接AB，构造直线AB，
（2）连接（有时需要延长）OP 交直线AB 于点Q，那么k=
，
（3）求
的取值范围时，在动点P 的轨迹内分别作
分别为距离点O 最近与最远
的平行线，下面记
分别为点O 到直线
的距离，记
为点O 到等和线的距离.
又由平面几何知识可得
因为
所以
.
1．在
中，点D 是线段BC 上任意一点，且满足
，若存在实数m 和n，使得
，则m+n=（ ）
A.
B.
C.
D.
【解析】
，则
，
所以
，则
答案：C
2．在矩形ABCD 中，AB=1，AD=2，动点P 是以C 为圆心且与BD 相切的圆上，若
，
则
的最大值为（ ）
A.3 B.
C.
D.2
【解析】：根据图形可知，当点P 在圆上运动到与A 点距离最大时
有最大值，此时
，过A 点作BD 的垂线，如图所示垂足分别为M、N，则
答案：A
3．已知
为
的外心，若
且
，则
（ ）
【解析】过点
作
于
，过点
作
于
，
过点
作
交
的延长线于
，交
的延长线于
，
因为
则
，从而有
,
而三角形
的外接圆的半径为
，所以
,
且
，所以
，所以
,
所以
,故
，由于
，因此
.
4．在平行四边形中ABCD 中，E 和F 分别是CD 和BC 边上的中点，且
,其中
，则
___________.
G
F
E
B
D
C
A
【解析】连接
，交
于G，∵
共线，则
，且
记
，则
，
5．设长方形
的边长分别是
,点
是
内(含边界)的动点,设
,则
的取值范围是_________
【解析】如图,取
中点
,则
此时的等和线为平行于
的直线显然,当点
与点
重合时,
最小为1,当点
与
重合时,
最大,
由于
,
所以
,
于是
的最大值为
所以
的取值范围是
.
题型五 等和线解决系数差问题
1．将两个直角三角形如图拼在一起，当E点在线段AB上移动时，若⃗AE = λ⃗AC + μ⃗AD，当λ取最大值时，
λ−μ的值是 ．
【答案】❑√3−2
【详解】
如图示，设AM // BN且AM = BN，AB = 4 , AC =8，△ABC中BC = 4 ❑√3，
由题意知，当λ取最大值时，点E与点B重合， 又⃗AE = λ⃗AC + μ⃗AD，
则λ = AM
AC = DB
DC =
4
4 + 4 ❑√3 =
❑√3−1
2
，μ= AN
AD = CB
CD =
4 ❑√3
4 + 4 ❑√3 = 3−❑√3
2
，
所以λ−μ= ❑√3−2.
故答案为：❑√3−2
2．如图，在
中，
分别为
上的点，且
，
，
.设
为四边形
内一点（
点不在边界上），若
，则实数
的取值范围为
【答案】
【解析】取BD 中点M,过M 作MH//DE 交DF,AC 分别为G,H,如图：
则由
可知,P 点在线段GH 上运动（不包括端点）
当
与
重合时，根据
,可知
，当
与
重合时,由
共线可知
，即
，结合图形可知
.
3．如图,
，点
在由射线
、线段
及
的延长线围成的区域内(不含边界)运动,且
.当
时，
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
如图，
，
点
在由射线
、线段
及
的延长线围成的区域内(不含边界)运动，
且
.，
由向量加法的平行四边形法则，
为平行四边形的对角线，
该四边形应是以
与
的反向延长线为两邻边，
当
时，要使
点落在指定区域内，即
点应落在
上，
，
的取值范围为
.
故选：B
题型六 等和线解决其他系数问题
1．在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 中点，且满足
，则
的最小值
为（ ）
A．
B．
C．
D．1
【答案】C
【解析】在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，则
，
于是得
，而
，且
与
不共线，
则
，即有
，因此，
，
当且仅当
时取“=”，此时M 为BC 中点，
所以
的最小值为
.
故选：C
2．在
中，点
满足
，当
点在线段
上移动时，若
，则
的最小值为 .
【答案】
【解析】
；
为边
的中点，如图，
则：
；
在线段
上；
设
，
；
又
；
；
即
，且
；
；
时，取最小值
．
故答案为：
．
3．设点P在以A为圆心，半径为1 的圆弧BC上运动（包含B、C两个端点），∠BAC = 2
3 π，且⃑
AP = x⃑AB+ y⃑AC，则x + y + xy的取值范围为 .
【答案】[1,3)
【详解】
设AP与CB相交于M,且⃑AP =m⃑AM
由C，M，B三点共线可得⃑AM = λ⃑AC +(1−λ)⃑AB
即1
m⃑AP = λ⃑AC +(1−λ)⃑AB,所以⃑AP =mλ⃑AC +m(1−λ)⃑AB
又因为⃑AP = x⃑AB+ y⃑AC
所以{
x =mλ
y =m−mλ)
即x + y =m= |⃑AP)
|⃑AM )
当AP⊥BC时，A M min= 1
2,此时x + y =m= |⃑AP)
|⃑AM ) =2
当P与B(或C)点重合时,此时A M max =1,此时x + y =m= |⃑AP)
|⃑AM ) =1
所以x + y ∈[1,2)
由基本不等式x + y ≥2❑√xy,可得xy ≤(x + y)
2
4
当x =0或y =0时,xy =0
当x=1 且y=1 时，x+y=2，xy=1，则xy ∈[0,1)
即(x + y + xy)∈[1,3)
检测Ⅰ组 重难知识巩固
1．已知向量
不共线，
，且
，则实数
（ ）
A．1 或4
B．1 或
C．
或1
D．
或1
【答案】B
【分析】根据条件，利用向量的共线的充要条件建立方程组
，即可求出结果.
【详解】因为
，且
，
所以
，即
，
又向量
不共线，得到
，
消
得到
，解得
或
，
故选：B.
2．（23-24 高三上·安徽亳州·期中）在
中，
，
，
与
交
于点
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．1
【答案】B
【分析】根据题意结合三点共线的判定定理和结论分析可得
和
，运算求解即可.
【详解】因为
，则
为
的中点，可得
，
注意到
三点共线，可得
，
又因为
三点共线，则
∥
，
则存在实数
，使得
，即
，
则
，可得
，
综上所述：
，解得
，可得
.
故选：B.
3．已知
为直线
外一点，且
，若
，
，
三点共线，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．1
D．
【答案】A
【分析】由
，
，
三点共线，可得
，结合基本不等式即可求.
【详解】因为
，
，
三点共线，
所以存在非零实数
，使得
，
所以
，
所以
，
所以
，
所以
.
当
时等号成立，所以
的最小值为
故选：A
4．已知直角梯形ABCD 中，
，
，且
，
，点P 是△BCD 内（含边界）任意一点，
设
（
，
），则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】过点
作BD 的平行线，并分别交AB，AD 的延长线于
，过点
作BD 的平行线，并分别
交AB，AD 的延长线于E，F，设
，根据共线结论可得
，再结合平行关系可得.
【详解】过点
作BD 的平行线，并分别交AB，AD 的延长线于
，
过点
作BD 的平行线，并分别交AB，AD 的延长线于E，F，
因
三点共线，则
，
设
，
，则
，
而
，因此
，
，则得到
，
由题意知
，则四边形BECD 为平行四边形，所以
，
从而
，
则
的取值范围是
．
故选：C
5．在
中，点
满足
，点
在射线AD（不含点A）上移动，若
则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】设
，利用向量的线性运算用
表示
，再代入求出范围即得.
【详解】由点
在射线
（不含点
）上，设
，又
，
则
，于是
，
因此
，
所以
的取值范围是
.
故选：B
6．键线式可以直观地描述有机物的结构，在有机化学中广泛使用．有机物“萘”可以用下左图所示的键
线式表示，其结构简式可以抽象为下右图所示的图形．已知
与
为全等的正六边形．若
点
为右边正六边形
的边界（包括顶点）上的动点，且向量
，则实数
的取
值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由“等和线定理”结合图形分析得解.
【详解】
由平面向量共线定理可得，
，
，则
三点共线的充要条件是
.
下面先证明“等和线定理”，
如图，设
，
，
因为
三点共线，所以存在
，使得
.
，
，
，则
.
由“等和线定理”结合图形可知：当点
在
上时，易得
，
当点
在
上时，易得
，
当点
在
上时，易得
，
当点
在
上时，易得
，
当点
在
上时，易得
，
当点
在
上时，易得
，
综上，可得
.
故选：C．
7．（23-24 高三上·河南·月考）对称性是数学美的一个重要特征，几何中的轴对称，中心对称都能给人以
美感，在菱形
中，
，以菱形
的四条边为直径向外作四个半圆，P 是这四个半圆弧
上的一动点，若
，则
的最大值为（ ）
A．5
B．3
C．
D．
【答案】D
【分析】根据题意，由条件可得当EF 与图形下面半圆相切时，
取得最大值，再结合图形，代入计算，
即可得到结果．
【详解】
如图，设
，
，设P 是直线EF 上一点，
令
，则
，
，又
，所以
因为P 是四个半圆弧上的一动点，所以当EF 与图形下面半圆相切时，
取得最大值，
设线段AB 的中点为M，线段AC 的中点为O1，
连接MP，连接
并延长使之与EF 交于点
，
过M 作
，垂足为N，
因为
，设
，则
，
，
则
，由
，得
，
故
的最大值为
．
故选：D．
8．（2024·内蒙古赤峰·二模）如图，边长为
的等边
，动点
在以
为直径的半圆上.若
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】建立平面直角坐标系，可得半圆弧
的方程为：
，设
，根据向量的坐
标运算法则算出
关于
的式子，利用三角换元与正弦函数的性质求解即可．
【详解】由题意可以
所在直线为x 轴，
的垂直平分线为
轴，建立平面直角坐标系，如图所示：
结合已知得
，
，
，
半圆弧
的方程为：
，
设
，则
，
，
，
由
得：
，
解得：
，
所以
，
因为
在
上，所以
，
又
，
则可设
，
，
，
将
，
代入
整理得：
，
由
得
，
所以
，
，
故
的取值范围是
.
故选：D.
9．（多选题）已知向量
，
不共线，若
，
，且
，
，
三点共线，则关于实
数
，
的值可以是（ ）
A．2，
B．
，
C．2，
D．
，
【答案】AB
【分析】根据
，
，
三点共线，可得出存在
，使得
，从而可得出
，
根据
不共线可得出
，从而得出
，从而可得出正确的选项．
【详解】因为
，
，
三点共线，则存在实数
，使得
，
即
，即
，所以
，
又因为向量
，
不共线，所以
，解得
，
所以实数
，
的值互为倒数即可求解．
故选：AB．
10．（多选题）如图，在直角梯形
中，
，
，E 为AB 的中点，M，N 分别为线段
DE 的两个三等分点，点P 为线段BD 上的任意一点，若
，则
的值不可能是（ ）
A．
B．3
C．7
D．9
【答案】ACD
【分析】建立适当的平面直角坐标系，依次设
和
并结合
和
得关于
的方程组即可求解.
【详解】由题可建立如图以A 为坐标原点的平面直角坐标系，
则
，不妨设
，则
，
则
，
设
，则
，
因为
，所以
，
所以
，整理得
因为
，所以
.
故选：ACD
11．已知
，
为互相垂直的单位向量，
，
，且
与
的夹角为锐角，则实数
的取值
范围为 ．
【答案】
且
【分析】根据题意可知
，
，
，
，可得出
的取值范围，再计算
与
同向时
的
值，即可得
的取值范围.
【详解】因为
与
的夹角为锐角，
所以
，且
与
不同向，
所以
，
因为
，
为互相垂直的单位向量，
所以
，
，
，
所以
，可得
，
当
与
同向时，
，即
，
可得
，可得
，此时不满足
与
的夹角为锐角，
综上所述：实数
的取值范围为
且
.
故答案为：
且
.
12．在矩形
中，
，动点
在以点
为圆心且与
相切的圆上．若
，
则
的最大值为 ．
【答案】3
【分析】过点
作
，交
的延长线于点
，结合已知得
，问题化为求
最大
值，作
，利用相似得
，进而得最大
，即可得.
【详解】如图1，过点
作
，交
的延长线于点
，
由
，则
，
由
共线得
，可得
．
当
最大时，
取到最大值，此时
，
如图2．作
，又
，则
，即
，
由
，即
，则四边形
为平行四边形，故
，
易知
，可得
，
，
而
，
，得
，
所以
，
因此
的最大值为3．
故答案为：3
13．如图，四边形
是边长为1 的正方形，延长CD 至E，使得
．动点P 从点A 出发，沿正
方形的边按逆时针方向运动一周回到A 点，
．则
的取值范围为 ．
【答案】
【分析】建立坐标系，讨论
，
，
，
四种情况，求出
的范围.
【详解】建立如图所示的坐标系，正方形的边长为1，则
，
∵
．
当
时，有
且
，∴
，∴
，
当
时，有
且
，∴
，
当
时，有
且
，∴
，
当
时，有
且
，∴
，
综上，
，
故答案为：
14．如图，直角梯形
中，
，
，若
为
三条边上的一个动点，且
，则下列结论中正确的是 ．（把正确结论的序号都填上）
①满足
的点
有且只有1 个；
②满足
的点
有且只有2 个；
③能使
取最大值的点
有且只有2 个；
④能使
取最大值的点
有无数个．
【答案】②④
【分析】分类讨论，求出当
在边
上，
在边
上，
在边
上时，
的取值范围以及
的
范围，然后根据所求判断正误.
【详解】当
在边
上时，如图，取
中点
，连接
，则
设
，
，
，
又
，
，
，
，
，
当
在边
上时，
，
，
，
当
在边
上时，设
，
，
，
，
，
，
，
；
①当
时，
，此时点
就是点
；或
，此时点
在
上，故错误；
②当
时，有
或
，这样的点
有两个，故正确；
③
的最大值为
，此时
，这样的点
有且只有1 个，故错误；
④
的最大值为
，当
在边
上时，恒有
，这样的点
有无数个，故正确.
故答案为：②④.
【点睛】关键点点睛：本题关键是对
点所在位置分类讨论，结合共线定理将双变量问题转化为单变量问
题.
检测Ⅱ组 创新能力提升
1．
在单位圆
上，
是两个给定的夹角为
的向量，
为单位圆上动点，设
，且设
的最大值为
,最小值为
,则
的值为（ ）
A．2
B．
C．4
D．
【答案】C
【分析】可由等和线分析
的取值范围
【详解】
，由平面向量共线定理知：
当点
在直线
上时，
作图如图所示，当
在
时
取最大值，当
在
时
取最小值，
，故
，
故选：C
2．如图1，“六芒星”由两个全等的正三角形组成，中心重合于点O 且三组对边分别平行，点A，B 是
“六芒星”（如图2）的两个顶点，动点P 在“六芒星”上（包含内部以及边界），若
，
则x＋y 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】讨论几种特殊情况时
的值，再利用图形的对称性即可得解.
【详解】要求x＋y 的范围，只需考虑图中6 个向量的情况即可，讨论如下：
(1)若P 在A 点，因为
，所以
；
(2)若P 在B 点，因为
，所以
；
(3)若P 在C 点，因为
，所以
；
(4)若P 在D 点，因为
，所以
；
(5)若P 在E 点，因为
，所以
；
(6)若P 在F 点，因为
，所以
.
所以
的最大值为，
根据对称性，可知
的最小值为
，
故
的取值范围是
.
故选：C.
3．（多选题）如图所示，在凸四边形
中，对边
，
的延长线交于点
，对边
，
的延
长线交于点
，若
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
的最大值为
D．
【答案】BD
【分析】A.结合图形，利用基底表示向量
；B. 过
作
交
于
,利用平行线的比例关系，求
得
；C.由B 的结果，结合基本不等式判断；根据共线关系，转化
，
再结合基本不等式，即可判断.
【详解】A.
，故A 错误；
B.过
作
交
于
，则
，
，
,由向量关系知：
，即
，
故B 正确；
C.由B 知
,当且仅当
时成立，
故C 错误；
D.由
，
，
，则
当且仅当
时成立，故D 正确.
故选：BD
【点睛】关键点睛：本题考查向量的线性运算共线等的应用，考查利用均值不等式求最值，解答本题的关
键是B 选项，需过
作
交
于点
，得到
，
从而可判断
，
，属于中档题.
4．（多选题）下面四个结论正确的是（ ）
A．点
在
所在的平面内，若
，则点
为
的垂心
B．若对平面中任意一点
，有
，则P，A，B 三点共线
C．在
中，已知
，则
D．如图，扇形的半径为1，圆心角
，点
在弧
上运动，
，则
的最大值是2
【答案】BCD
【分析】根据向量运算及数量积的性质即可判断A，利用共线向量的基本定理可判断B，利用两角和的余
弦公式及同角三角函数基本关系判断C，以
为
轴，以
为原点，建立坐标系，设
，
，根据平面向量基本定理的坐标运算可得：
，再利用三角函数的有界
性，即可判断D.
【详解】对于A，向量
，
，分别表示在边
和
上取单位向量
和
，
它们的差是向量
，当
，即
时，
则点
在
的平分线上，同理由
，知点
在
的平分线上，故
为
的内心，错误；
对于B，因为
，即
，所以
，
即
，又因为
有公共点
，故点P，A，B 三点共线，正确；
对于C，在
中，
，则
，
又
，所以
.
又
，则
，所以
，则
，
所以
，正确；
对于D，以
为
轴，以
为原点，建立坐标系，如图，
设
，
，则
，
，
，
因为
，所以
，
所以
，
，所以
，
，
所以
，
因为
，所以
，所以当
时，
，
即
的最大值是2，正确.
故选：BCD.
5．已知O 为
的外心，满足
，若
的最大值为
，则
．
【答案】
【分析】设
，得
，得
的最大值为
，要使
取最大值，得
是等腰三角形后可
求解问题.
【详解】如图，延长
交
于
，设
，则
，
因为
在
上，所以
，即
，
所以
的最大值为
，
设
外接圆的半径为
，所以
，
当
最大时，即
最小时，即
时，
取最大值，
所以
，解得
，
此时
是等腰三角形，
，
.
故答案为：
.
6．点AB 在单位圆O 上，
、
是两个给定夹角为120°的向量，P 为单位圆上动点，C 为线段OA 上靠
近A 的三等分点，D 为线段OB 上靠近B 的四等分点，设
，则
的最大
值为 .
【答案】4
【分析】在平面直角坐标系中，借助三角函数写出
三点的坐标，利用坐标表示
，再把
用
三角函数表示出来，并求出其最大值即可求解.
【详解】
建立如图所示的平面直角坐标系，
则
，
，即
，
设
，则
，
因为
，
即
，
所以
，所以
，
所以
，
因为
，所以
，
所以当
时，
有最大值2，
所以
有最大值4.
故答案为：4
7．如图在直角梯形
中，
，
，
，动点
在以
为圆心，且与
直线
相切的圆内运动，设
，则
的取值范围是
【答案】
【分析】
以
为坐标原点，建立平面直角坐标系，先求出以点
为圆心，且与直线
相切的圆方程，设
，
再根据
，可求出点
的坐标，再根据
在圆内，可得关于
的一个不等关系，
设
，进而可得出答案.
【详解】如图所示以
为坐标原点，建立平面直角坐标系，则
，
直线
的方程为
，化简得
，
点
到
的距离
，
可得以点
为圆心，且与直线
相切的圆方程为
，
设
，则
，
，
，
，
，
可得
且
，
的坐标为
，
在圆内，
，
设
，则
，代入上式化简整理得
，
若要上述不等式有实数解，则
，
化简得
，解得
，即
，
取值范围是
．
故答案为：
．
【点睛】关键点点睛：利用向量的坐标表示将点
的坐标用
表示是解决本题的关键.
8．如图，边长为4 的正方形
中，半径为1 的动圆
的圆心
在边
和
上移动（包含端点
），
是圆
上及其内部的动点，设，
，则
的取值范围是
.
【答案】
【分析】建立如图所示平面直角坐标系，可得
的坐标，进而可得
的坐标．分类讨论，当动圆圆
心
在边
或
上运动时，利用圆的参数方程相关知识，设出点
坐标，再利用三角函数求
的最
值．
【详解】解：建立如图所示平面直角坐标系，可得，
，由
可得
，
当点
在
上运动时，设
，
则点
在圆
：
上及内部，
故可设
，
则
，
，故
，
其中锐角
满足
，
由于
，
,
当
时，
取最小值为
，即
；
当
时，
取最大值为
，即
，
的取值范围是
；
当点
在
上运动时，设
，
则
在圆
：
上及其内部，
故可设
，
则
，
，故
，
其中锐角
满足
，
由于
，
,
当
时，
取最小值为
；
当
时，
取最大值为
，即
，
的取值范围是
；
综上可得
的取值范围是
；
故答案为：
【点睛】关键点点睛：当点
在
上运动时，则点
在圆
：
上及内部，故可设
，当点
在
上运动时，则
在圆
：
上及其
内部，故可设
.
