文档文本内容
任意角的三角函数
课前必备知识
课标要求
1.了解任意角的概念．了解弧度制的概念，能进行弧度制与角度制的互化．2.借助单位圆
理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义，掌握三角函数的象限符号规律及三角函
数的定义域.3.掌握扇形的弧长公式及面积公式．
知识梳理
1．角的概念
(1)任意角：角可以看成一条射线绕它的端点旋转所成的图形．旋转开始时的射线OA
叫做角的__始边__，射线的端点O 叫做角的__顶点__．一条射线绕其端点按__逆__时针方
向旋转形成的角叫做正角，按__顺__时针方向旋转形成的角叫做负角．如果一条射线没有
做任何旋转，就称它形成了一个__零__角．
(2)象限角：把角置于直角坐标系中，使角的顶点与__原点__重合，角的始边与__x 轴
的非负半轴__重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角．
(3)终边相同的角：所有与角α 终边相同的角，连同角α 在内，可构成一个集合__S ＝
{ β | β ＝
k ·360
° ＋
α ，
k ∈ Z } __或__S ＝
{ β | β ＝
2 k π ＋
α ，
k ∈ Z } __，即任一与角α 终边相同的角，都
可以表示成角α 与整数个周角的和．
2．弧度制
(1)定义：把长度等于__半径__长的圆弧所对的__圆心角__叫1 弧度的角．以弧度作为
单位来度量角的单位制，叫做__弧度制__．
正角的弧度数是一个__正数__，负角的弧度数是一个__负数__，零角的弧度数是
__0__．
(2)角度与弧度的换算：180°＝__π__rad，
1°＝____rad
，
1 rad
＝
__
( ) ° __．
(3)扇形的弧长和面积公式
设扇形的半径为R，弧长为l，面积为S，圆心角为α(0<α<2π)，则l＝__α R __，S＝
__lR__．
3．任意角的三角函数
设α 是任意一个角，α∈R，它的终边OP 与单位圆相交于点P(x，y)，那么，sin α＝
__y__；cos α＝__x__；tan α＝____(x≠0).
常用结论
1．任意角的三角函数(推广)
设P(x，y)是角α 终边上异于原点的任一点，它到原点的距离为r(r>0)，那么，sin α
＝，cos α＝，tan α＝(x≠0).
2．三角函数值的符号规律
三角函数
第一象限
第二象限
第三象限
第四象限
sin α
＋
＋
－
－
cos α
＋
－
－
＋
tan α
＋
－
＋
－
可概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦．
课前训练
1．将－885°化为α＋k·360°(k∈Z，α [0
∈
°，360°))的形式是( )
A．－165°＋(－2)×360°
B．195°＋(－3)×360°
C．195°＋(－2)×360°
D．165°＋(－3)×360°
解析：B 由α [0
∈
°，360°]知－885°＝195°－1080°＝195°＋(－3)×360°.故选B.
2．已知角α 的顶点在坐标原点，始边在x 轴的正半轴上，终边与单位圆交于第二象限
的点P，且点P 的纵坐标为，则cos α＝( )
A． B．－
C． D．－
解析：D 依题意，得P(－，)，根据三角函数的定义，得cos α＝－.故选D.
3．(教材母题必修5.2.1 练习T4)已知点P(tan α，cos α)在第四象限，则角α 的终边在(
)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：C 因为点P 在第四象限，所以有由此可判断角α 的终边在第三象限．故选C.
4．已知角α 的终边在如图阴影表示的范围内(不包含边界)，那么角α 的集合是
________．
解析：{α|k·360°＋45°<α<k·360°＋150°，k∈Z}
观察图形可知，角α 的集合是{α|k·360°＋45°<α<k·360°＋150°，k∈Z}．
5．(教材母题必修习题5.1T9)已知扇形的圆心角为，圆心角所对的弧长为，则该扇形
的面积为________．
解析： 设扇形的弧长为l，圆心角为α，半径为r，面积为S.
由弧长公式l＝αr，可知＝r，解得r＝4，
所以扇形的面积S＝××4＝.
课堂核心考点
考点1 任意角及其表示
【例1】 (1)(多选)下列条件中，能使α 和β 的终边关于y 轴对称的是( )
A．α＋β＝180°
B．α＋β＝k·360°＋90°(k∈Z)
C．α＋β＝k·360°(k∈Z)
D．α＋β＝(2k＋1)180°(k∈Z)
(2)设角α 是第三象限角，且|sin |＝－sin ，则角是第________象限角．
解析：(1)AD 假设α，β 为0°～180°内的角，如图所示．
因为α，β 的终边关于y 轴对称，所以α＋β＝180°，所以A 满足条件；
结合终边相同的角的概念，可得α＋β＝k·360°＋180°＝(2k＋1)180°(k∈Z)，所以D 满足
条件，B、C 都不满足条件．故选AD.
(2)四 由α 是第三象限角，知2kπ＋π<α<2kπ＋(k∈Z)，则kπ＋<<kπ＋(k∈Z)，
所以是第二或第四象限角．
再由|sin |＝－sin 知sin <0，
所以只能是第四象限角．
(1)正确理解任意角的概念，既要考虑大小，还要考虑方向．
(2)正确理解象限角的概念，特别注意当终边落在坐标轴上时，这样的角是非象限角．
(3)α 所在象限与所在象限的关系：
当α 属于第一、第二象限时，属于第一或第三象限；
当α 属于第三、第四象限时，属于第二或第四象限．
变式探究
1．已知角α 的终边在图中阴影部分内，试指出角α 的取值范围．
解析：{α|30°＋k·180°≤α<105°＋k·180°，k∈Z}
30°角的终边所在直线上的角的集合为
S1＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}，
180°－75°＝105°角的终边所在直线上的角的集合为
S2＝{α|α＝105°＋k·180°，k∈Z}，
因此，终边在图中阴影部分内的角α 的取值范围为
{α|30°＋k·180°≤α<105°＋k·180°，k∈Z}．
2．(2025·广东佛山一模)若点A(cos θ，sin θ)关于原点对称的点为B(cos (－θ)，sin (－
θ))，则θ 的一个取值为__________．
解析：(答案不唯一，θ＝＋kπ，k∈Z 均可)
因为A(cos θ，sin θ)和B(cos (－θ)，sin (－θ))关于原点对称．
所以θ 与－θ 的终边在一条直线上．
即θ＝－θ＋(2k＋1)π，k∈Z，所以θ＝＋kπ，k∈Z.
令k＝0 得θ＝.
考点2 弧度制的应用
【例2】 (1)(2024·湖南一模)出土于鲁国故城遗址的“战国出廓双龙勾云纹玉璜”(图
1)的璜身雕刻勾云纹，体扁平，呈扇面状．出廓透身外耧雕“S”型双龙，造型精美．现要
计算璜身面积(厚度忽略不计)，测得各项数据(图2)：AB≈8 cm，AD≈2 cm，AO≈5 cm.若sin
37°≈，π≈3.14，则璜身(即曲边四边形ABCD)面积近似为( )
A．6.8 cm2
B．9.8 cm2
C．14.8 cm2
D．22.4 cm2
(2)(2025·上海宝山模拟)如图所示，圆心为原点O 的单位圆的上半圆周上，有一动点
P(x，y)(y>0).设A(1，0)，点B 是P 关于原点O 的对称点，分别连接PA，PB，AB，如此形
成了三个区域，标记如图所示．使区域Ⅰ的面积等于区域Ⅱ、Ⅲ面积之和的点P 的个数是(
)
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：(1)C 显然△AOB 为等腰三角形，OA＝OB＝5 cm，AB＝8 cm，
则cos ∠OAB＝＝，
sin ∠OAB＝，又sin 37°≈，
所以∠OAB≈37°，
于是∠AOB＝180°－2×37°＝106°＝，
所以璜身的面积近似为∠AOB·(OA2－OD2)＝××(52－32)≈14.8(cm2).故选C.
(2)C 设射线OP 对应的角为θ 且θ (0
∈
，π)，
故区域Ⅰ的面积为2××1×1×sin θ＝sin θ，
区域Ⅱ的面积为×θ×12－×1×1×sin θ＝－sin θ，
区域Ⅲ的面积为×(π－θ)×12－×1×1×sin (π－θ)＝－sin θ.
由题设有sin θ＝－sin θ＋－sin θ，
整理得sin θ＝，因为θ (0
∈
，π)，
故此时θ 仅有两解，故选C.
在解决扇形问题时要注意：
(1)扇形的圆心角α、弧长l、半径r 之间的关系：|α|＝.
(2)扇形的面积S 与圆心角α、弧长l、半径r 之间的关系：S＝πr2＝lr.
(3)扇形的周长为C＝2r＋l.
变式探究
3．已知扇形的圆心角是α(α>0)，半径为R.若α＝60°，R＝10 cm，则扇形的弧长l 为
________cm.若扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角α 为________弧度时，这个扇形的面
积最大，最大面积是________cm2.
解析： 2 25
因为α＝60°＝rad，
所以l＝αR＝×10＝(cm).
由已知得，l＋2R＝20(cm)，
所以S＝lR＝(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25，
所以当R＝5 cm 时，S 取得最大值25 cm2，此时l＝10 cm，α＝2.
4．设圆O 的半径为2，点P 为圆周上给定一点，如图，放置边长为2 的正方形
ABCD(实线所示，正方形的顶点A 与点P 重合，点B 在圆周上).现将正方形ABCD 沿圆周
按顺时针方向连续滚动，当点A 首次回到点P 的位置时，点A 所走过的路径的长度为(
)
A．(1－2)π B．(2＋)π
C．4π
D．(3＋)π
解析：B 由图可知，圆O 的半径为r＝2，正方形ABCD 的边长为a＝2，
以正方形的边为弦所对的圆心角为，正方形在圆上滚动时点的顺序如图所示，
当点A 首次回到点P 的位置时，正方形滚动了3 圈，共12 次．
设第i 次滚动时，点A 的路程为mi，
则m1＝×|AB|＝，m2＝×|AC|＝π，
m3＝×|AD|＝，m4＝0，
因此，点A 所走过的路程为3(m1＋m2＋m3＋m4)＝(2＋)π.故选B.
考点3 任意角的三角函数
【例3 】 (1) 已知角α 终边经过点P(x ，－)(x≠0) ，且cos α ＝x ，则tan α ＝
_____________.
(2)(2025·河南一模)以坐标原点为顶点，x 轴非负半轴为始边的角α，其终边落在直线y
＝x 上，则有( )
A．sin α＝－
B．cos α＝
C．sin α＋cos α＝±
D．tan α＝±1
解析：(1)± 因为P(x，－)(x≠0)，
所以点P 到原点的距离r＝.
又cos α＝x，所以cos α＝＝x.
因为x≠0，所以x＝±，
所以r＝2.
当x＝时，P 点坐标为(，－)，由三角函数的定义，有sin α＝－，tan α＝＝－；
当x＝－时，同理可求得tan α＝.
(2)C 因为角α 的终边落在直线y＝x 上，故α＝＋2kπ 或α＝＋2kπ，k∈Z.
对于A，当α＝＋2kπ，k∈Z 时，sin α＝，A 错误；
对于B，当α＝＋2kπ，k∈Z 时，cos α＝－，B 错误；
对于C，当α＝＋2kπ，k∈Z 时，sin α＝，cos α＝，则sin α＋cos α＝，当α＝＋2kπ，
k∈Z 时，sin α＝－，cos α＝－，则sin α＋cos α＝－，C 正确；
对于D，当α＝＋2kπ，k∈Z 时，tan α＝1；当α＝＋2kπ，k∈Z 时，tan α＝1.D 错误．
故选C.
(1)三角函数的定义有两种等价形式，其一是利用单位圆进行定义，其二是利用角的终
边上一点的坐标进行定义．
(2)一个角的三角函数只与这个角的终边位置有关，利用定义求三角函数值时，要注意
角的终边所在象限，当终边所在象限不定时，要注意根据终边位置分类讨论．
(3)利用单位圆的三角函数定义时，要理解角α 的意义，注意角的始边及旋转方向．
变式探究
5．已知角α 的终边上一点P 的坐标为(sin ，cos )，则角α 的最小正值为( )
A．
B．
C．
D．
解析：D 因为sin >0，cos <0，
所以角α 的终边在第四象限，
根据三角函数的定义，可知sin α＝cos ＝－，
故角α 的最小正值为α＝2π－＝.故选D.
6．已知角θ 的终边经过点P(sin 84°，cos 84°)，则cos (θ＋24°)＝( )
A．
B．
C．－
D．－
解析：B r＝＝1，sinθ＝cos 84°，cos θ＝sin 84°，cos (θ＋24°)＝sin 84°cos 24°－cos
84°sin 24°＝sin 60°＝.故选B.
7．在平面直角坐标系中，点P 在射线y＝x(x>0)上，点Q 在过原点且倾斜角为θ(θ 为
锐角)的直线上．若∠POQ＝，则tan θ＝________.
解析： 设射线y＝x(x>0)的倾斜角为θ1，且<θ1<，tan θ1＝，
由题意可得θ＝θ1－，
所以tan θ＝tan (θ1－)＝＝.
