【题型突破08：函数与导数的热点问题】
1．（2026·江西新余·一模）已知f (x)=k ⋅2
(k −1) x−x−log2 x在(1,8)上有两个不同零点，则k的取值范围
为（ ）
A．[
5
4 ,1+log2e
2e
)
B．(
5
4 ,1+log2e
2e
)
C．(
11
8 ,1+log2e
e
)
D．[
11
8 ,1+log2e
e
)
2．（2025·四川南充·一模）已知函数f (x)=e
x−x , g(x)= x−ln x，若直线y =a与两条曲线y = f (x)和
y = g(x)共有四个不同的交点(x1, y1)、(x2, y2)、(x3, y3)、(x4, y4)，且x1< x2< x3< x4，则
x1+ x4
x2+ x3
的值
为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
3．（2026·湖北·二模）已知函数f ( x)={
xe
x−2, x ≥0
−x
2−4 x , x<0)．若函数g( x)= f ( x)−|k x
2−2e x)(k ∈R)（e
为自然对数的底数）恰有4 个零点，则k 的取值范围是 ．
4．（2026·河北邢台·一模）若函数f (x)=e
ax
x +(a−1) x−2ln x在定义域内有零点，则实数a 的取值范围为
.
命题角度1：利用导数研究函数的零点
5．（2025·江苏镇江·模拟预测）若函数f (x)=(x−2)e
x−1
2 a x
2+ax有3 个不同的零点，则实数a的取值范
围 .
6．（2025·广东·模拟预测）已知函数f (x)={
−1
2 (x
3−5 x), x ≤0
ln x , x>0
)
,g(x)= f (x)−kx +1.若g(x)恰有4 个零
点，则实数k的取值范围是 .
7．（2025·山东聊城·模拟预测）已知实数a，b 满足2ln a−2cos(a+b)≥5a
2+2ab+b
2−ln(4e
3)，则ab
的值为 .
8．（25-26 高三上·山东日照·期中）已知函数f (x)=(e
x+e
−x−a)(ln x −b)(x −a)，若f (x)≥0，则b−2a
的最大值为 .
9．（25-26 高三上·江苏盐城·月考）已知函数f (x)=(x−2b)e
x，g(x)=ax−2ab，若f (x)≥g(x)恒成立，
则b
a的取值范围是 .
10．（2025·陕西西安·模拟预测）设函数f (x)=(e
x−m)ln (x +n)，若f (x)≥0恒成立，则m+n的最小值为
.
11．（2025·黑龙江大庆·一模）对于任意的x∈R，不等式(e
x+ x−a−lna)[x
2−e
x−(a+2) x +3a)≤0恒
成立，则实数a= .
12．（2025·安徽六安·模拟预测）设函数f ( x)=(e
x−1−ax)(ln x−ax)，若f ( x)<0，则a的取值范围是
．
13．（23-24 高三下·广东云浮·月考）若实数a，b满足ln (2a)−ln (b)≥a
2+ 1
b
2 −1，则a+b= ．
14．（22-23 高三上·江西·月考）已知正数a，b 满足2a
4+ 2
b
4 ≤2(ln2a−ln b)+1，则a
2+b
2= .
15．（2023·河南开封·模拟预测）实数x，y 满足e
x−2≤(x−3 y −1)e
3 y，则x
3 −y的值为 ．
16．（21-22 高三上·重庆沙坪坝·期中）已知函数f ( x)的导函数f
′( x)满足：f
′( x)−f ( x)=e
2 x，且
f (0)=1，当x∈(0,+ ∞)时，x(f ( x)−a)≥1+ ln x恒成立，则实数a 的取值范围是 ．
17．（2026·江西九江·一模）已知实数m,n满足lnm+e
n≤n−1
m +2，则m−n的值为（ ）
A．-2
B．-1
C．2
D．1
18．（2025·广东佛山·一模）若e
a+lnb>a+b，则下列结论可能成立的是（ ）
命题角度2：利用导数研究函数恒成立（有解）问
命题角度3：利用导数解决不等式问题
A．0<a<lnb
B．lnb<a<0
C．1<e
a<b
D．e
a<b<1
19．（23-24 高三上·江苏苏州·月考）已知正数a,b满足e
2a
8 +2b≤a+ 1
2 lnb+1，则e
a+b=（ ）
A．9
4
B．3
2
C．1
D．3
4
20．（2026·河北·模拟预测）已知a>0，0<b<1，a(be
1
a + ln b−1)=−be
1
a，则a
b的最小值为 ．
21．（2023·山西临汾·模拟预测）已知t >0，t m
2(ln m−ln n)+t n
2+tmn−t
2mn≥mn恒成立，则t =
．
22．（25-26 高三上·河北·月考）已知正实数a，b满足不等式(❑√e)
a
2
+2eln
1
2❑√be ≤a
2e
2 −4 be，则下列结
论正确的是（ ）
A．a
2−b< 3
2
B．a−b
2> 3
2
C．a
2+b>2
D．a+b
2>2
23．（2025 高三·全国·专题练习）已知6 ln m=m+a,6n=e
n+a，其中m≠e
n，则m+e
n的取值范围为
（ ）
A．(0,6 ln 2)
B．(0,12)
C．(6 ln 2,+∞)
D．(12,+ ∞)
24．（23-24 高三上·湖北·开学考试）已知实数x，y满足ln y =e
2 x
y −ln(2 x)，则y的最小值为（ ）
A．1
e
2
B．1
e
C．e
D．e
2
25．（2024·河北衡水·模拟预测）已知函数f (x)=ln x +1−ax有两个零点x1, x2，且x1< x2，则下列命题正
确的是（ ）
A．a>1
B．x1+ x2< 2
a
C．x1⋅x2<1
D．x2−x1> 1
a −1
26．（22-23 高二下·四川成都·期中）已知函数f (x)= ln x +1−ax有两个零点x1、x2，且x1< x2，则下列命
题正确的个数是（ ）
①0<a<1；②x1+ x2< 2
a；③x1⋅x2>1；④x2−x1> 1
a −1；
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
27．【多选题】（24-25 高二下·广东广州·期中）已知函数f (x)=e
x+sin x，f
′ (x)为f (x)的导函数，则
命题角度4：利用导数解决双变量问题
命题角度5：利用导数解决极值点偏移问题+双变量
（ ）
A．曲线y = f (x)在(0,f (0))处的切线方程为y = x +1
B．f (x)在区间(0,+ ∞)上单调递增
C．f (x)在区间(−π,0)上有极小值点x0，且−1<f (x0)<0
D．若x1、x2∈(0,π
2 )，f (x1)−e x1−1= f (x2)−e x2−1，且g(x)= f (x)−e x−1在x =t处取极值，
则x1+ x2>2t
28．【多选题】（23-24 高二下·云南玉溪·月考）已知函数f (x)= ln x
2
x
，下列说法正确的是（ ）
A．f (x)= ln x
2
x
与 g(x)= 2ln x
x
的定义域不同
B．f (x)的单调递减区间为(e,+∞)
C．若f (x)=a有三个不同的解，则−2
e <a< 2
e
D．对任意两个不相等正实数x1, x2，若f (x1)= f (x2)，则x1⋅x2>e
2
29．【多选题】（23-24 高二下·广东广州·月考）关于函数f ( x)= 2
x +ln x，下列说法正确的是（ ）
A．x =2是f ( x)的极大值点
B．函数y = f ( x)−x有且只有1 个零点
C．存在正整数k，使得f ( x)>kx恒成立
D．对任意两个正实数x1, x2，且x1≠x2，若f ( x1)= f ( x2)，则x1+ x2>4
30．【多选题】（23-24 高三上·山东淄博·期末）已知函数f (x)= xe
x，g(x)= x ln x，则下列说法正确的是
（ ）
A．函数f (x)与函数g(x)有相同的极小值
B．若方程f (x)=a有唯一实根，则a 的取值范围为a≥0
C．若方程g(x)=a有两个不同的实根x1, x2，则x1 x2>a
2
D．当x>0时，若f (x1)= g(x2)=t，则x1 x2=t成立
31．（25-26 高三上·甘肃酒泉·期末）若x>0时，2mx −xe
2 x+mln x ≤0，则实数m的最大值为 .
32．（2026·云南大理·二模）已知函数f ( x)=e
x−ln x −(a−1)x −ln a，若f ( x)≥0恒成立，则实数a 的
取值范围为 ．
33．（2026·四川巴中·一模）若不等式 e
x
2−x−a−ln(x−1)≥ln x +a 恒成立，则 a 的取值范围 .
34．（2026·重庆南岸·模拟预测）已知函数f ( x)=e
x，g( x)= ln x，若a>0，a x
a−1g( x)≤f ( x)对于任意
命题角度6：函数的同构问题
x>1都成立，则a 的最大值为 .
35．（25-26 高三上·湖北黄冈·期中）对于任意x∈(0,1)，不等式x +lna
e
x
≥aln x
x
恒成立，则正数a的取
值范围是 .
36．（2025·四川眉山·模拟预测）已知函数f (x)=1+ae
xln x.若不等式f (x)≥e
x(x
a−x)(a<0)对
x∈(1,+∞)恒成立，则实数a的取值范围 .
37．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）设函数f ( x)=(2 x−1)(e
x−a)+a(a<1)，若f ( x)≤0有且仅有2 个整
数解，则a的最大值为（ ）
A．1
4e
B．1
2e
C．3
4e
D．1
e
38．（2025·甘肃·模拟预测）若关于x的不等式(ax−2)e
−x≥x−2(a>0)有且只有两个整数解，则实数a的
取值范围是（ ）
A．（0,1]
B．[2−e,1）
C．(0,1)
D．[e−2,1）
39．（25-26 高三上·福建泉州·期中）已知函数f (x)=(1−ax)e
x（a∈R），若关于x的不等式
f (x)>a(1−x)无整数解，则a的取值范围为 .
40．（2024·广东·模拟预测）已知x0满足 x0
2e
x0+ln x0=0(0< x0<1)，则e
x0−3ln x0+1
x0
= ．
41．（2025·河北沧州·模拟预测）若方程e
x =aln(x−2)+alna−2a在(2,+∞)上有解，则实数a的取值范
围是（ ）
A．[3,+ ∞)
B．(0,3)
C．[e
3,+ ∞)
D．(0,e
3)
42．（2025·辽宁大连·三模）已知f (x)= xe
ax−ln x−ax，若存在x0∈R，使得f (x0)=1，则实数a的取值
范围是（ ）
A．(−∞, 1
e)
B．[−1
e ,+∞)
C．(−1
e ,0)
D．(0, 1
e)
命题角度7：函数中的整数解问题+隐零点
