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人教版数学九年级下学期
第28 章《锐角三角函数》单元测试卷
（满分120 分，限时120 分钟）
一、选择题（共10 小题，每小题3 分，共30 分）
1.sin60°的值等于（ ）
A．
B．
C．
D．
2.已知α 为锐角，sin（α
20°
﹣
）=
，则α=（ ）
A．20°
B．40°
C．60°
D．80°
3.在正方形网格中，∠α 的位置如图所示，则tanα 的值是（ ）
α
A．
B．
C．
D．2
4.在△ABC 中，∠C=90°，a、b、c 分别为∠A、∠B、∠C 的对边，下列各式成立的是（ ）
A．b=a•sinB
B．a=b•cosB C．a=b•tanB D．b=a•tanB
5.在Rt△ABC 中，各边都扩大5 倍，则角A 的三角函数值（ ）
A．不变 B．扩大5 倍
C．缩小5 倍 D．不能确定
6.在△ABC 中，∠C=90°，tanA=
，则cosA 的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
7.在△ABC 中，∠A=120°，AB=4，AC=2，则sinB 的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
8.如图，山顶一铁塔AB 在阳光下的投影CD 的长为6 米，此时太阳光与地面的夹角∠ACD=60°，则铁塔AB 的
高为（ ）
C
D
B
A
A．3 米 B．6
米
C．3
米 D．2
米
9.坡度等于1：
的斜坡的坡角等于（ ）
A．30°
B．40°
C．50°
D．60°
10.济南大明湖畔的“超然楼”被称作“江北第一楼”，某校数学社团的同学对超然楼的高度进行了测量，如
图，他们在A 处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往楼的方向前进60m 至B 处，测得仰角为60°，若学生的身高忽
略不计，
≈1.7，结果精确到1m，则该楼的高度CD 为（ ）
A．47m B．51m C．53m
D．54m
二、填空题（共6 小题，每小题3 分，共18 分）
11.求值：sin60°
tan30°=
﹣
．
12.如图，在直角三角形ABC 中，∠C=90°，AC=5
，AB=10，则∠A=
度．
C
B
A
13.如图，将∠AOB 放置在5×5 的正方形网格中，则cos∠AOB 的值是 ．
O
B
A
14.△ABC 中，∠C=90°，斜边上的中线CD=6，sinA=
，则S△ABC= ．
15.如图，身高1.6m 的小丽用一个两锐角分别为30°和60°的三角尺测量一棵树的高度，已知她与树之间的距
离为6m，那么这棵树高为（其中小丽眼睛距离地面高度近似为身高）
．
16.在我们生活中通常用两种方法来确定物体的位置．如小岛A 在码头O 的南偏东60°方向的14 千米处，若以
码头O 为坐标原点，正东方向为x 轴的正方向，正北方向为y 轴的正方向，1 千米为单位长度建立平面直角坐
标系，则小岛A 也可表示成_________________．
三、解答题(共8 题，共72 分)
17.（本题8 分）已知α 为一锐角，sinα=
，求tanα．
18.（本题8 分）如图，在△ABC 中，∠C=90°，BC=1，AB=2，求sinA 的值．
C
B
A
19.（本题8 分）如图，已知AC=4，求AB 和BC 的长．
105°
30°
C
B
A
AB 于点D，根据三角函数的定义在Rt△ACD 中，在Rt△CDB 中，即可求出CD，AD，BD，从而求解．
20.（本题8 分）如图所示，把一张长方形卡片ABCD 放在每格宽度为12mm 的横格纸中，恰好四个顶点都在横
格线上，已知∠α=36°，求长方形卡片的周长．（精确到1mm）（参考数据：sin36°≈0.60，cos36°≈0.80，
tan36°≈0.75）
21.（本题8 分）如图是某货站传送货物的平面示意图．为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与
地面的夹角，使其由45°改为30°． 已知原传送带AB 长为4
米．求新传送带AC 的长度．
D
22.（本题10 分）某校一栋教学大楼的顶部竖有一块“传承文明，启智求真”的宣传牌CD．小明在山坡的坡脚
A 处测得宣传牌底部D 的仰角为45°，沿山坡向上走到B 处测得宣传牌底部C 的仰角为30°．已知山坡AB 的
坡度i=1：
，AB=10 米，AE=15 米，求这块宣传牌CD 的高度．
23.（本题10 分）如图，在一笔直的海岸线上有A，B 两个观测站，A 观测站在B 观测站的正东方向，有一艘小
船在点P 处，从A 处测得小船在北偏西60°方向，从B 处测得小船在北偏东45°的方向，点P 到点B 的距离是3
千米．（注：结果有根号的保留根号）
（1）求A，B 两观测站之间的距离；
（2）小船从点P 处沿射线AP 的方向以
千米/时的速度进行沿途考察，航行一段时间后到达点C 处，此时，
从B 测得小船在北偏西15°方向，求小船沿途考察的时间．
24.（本题12 分）如图，某办公楼AB 的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22°时，办公楼在建筑物的
墙上留下高2 米的影子CE，而当光线与地面夹角是45°时，办公楼顶A 在地面上的影子F 与墙角C 有25 米的
距离（B，F，C 在一条直线上）．
（1）求办公楼AB 的高度；
（2）若要在A，E 之间挂一些彩旗，请你求出A，E 之间的距离．
（参考数据：sin22°≈
，cos22°≈
，tan22°≈
）
第28 章《锐角三角函数》单元测试卷解析
一、选择题
1. 【答案】sin60°=
．故选C．
2.【答案】∵α 为锐角，sin（α
20°
﹣
）=
，∴α
20°=60°
﹣
，∴α=80°，故选D．
3.【答案】由图可得，tanα=2÷1=2．故选D．
α
4.【答案】A、∵sinB=
，∴b=c•sinB，故选项错误；
B、∵cosB=
，∴a=c•cosB，故选项错误；
C、∵tanB=
，∴a=
，故选项错误；
D、∵tanB=
，∴b=a•tanB，故选项正确．
故选D．
5.【答案】∵各边都扩大5 倍，
∴新三角形与原三角形的对应边的比为5：1，
∴两三角形相似，
∴∠A 的三角函数值不变，
故选A．
6. 【答案】如图，
C
B
A
∵tanA=
，∴设BC=x，则AC=3x，∴AB=
x，∴cosA=
=
．
故选D．
7. 【答案】延长BA 过点C 作CD⊥BA 延长线于点D，
∵∠CAB=120°，∴∠DAC=60°，∴∠ACD=30°，
∵AB=4，AC=2，∴AD=1，CD=
，BD=5，
∴BC=
=2
，∴sinB=
=
=
．
故选：B．
D
C
B
A
8.【答案】设直线AB 与CD 的交点为点O．
∴
．∴AB=
．∵∠ACD=60°．∴∠BDO=60°．
在Rt△BDO 中，tan60°=
．
∵CD=6．∴AB=
×CD=6
．
故选B．
O
C
D
B
A
9.【答案】坡角α，则tanα=1：
，则α=30°．故选A．
10.【答案】根据题意得：∠A=30°，∠DBC=60°，DC⊥AC，
∴∠ADB=∠DBC﹣∠A=30°，
∴∠ADB=∠A=30°，
∴BD=AB=60m，
∴CD=BD•sin60°=60×
=30
≈51（m）．
故选B．
二、填空题
11.【答案】原式=
﹣
=
﹣
=
．故答案为
．
12.【答案】∵∠C=90°，AC=5
，AB=10，
∴cosA=
=
=
，
∴∠A=30°，
故答案为：30°．
13.【答案】由图可得cos∠AOB=
．
故答案为：
．
O
C
B
A
14.【答案】在Rt△ABC 中，
∵斜边上的中线CD=6，∴AB=12．
∵sinA=
，∴BC=4，AC=8
．∴S△ABC=
AC•BC=16
．
15. 【答案】由题意得：AD=6m，
在Rt△ACD 中，tanA=
∴CD=2
，又AB=1.6m
∴CE=CD+DE=CD+AB=2
+1.6，
所以树的高度为（2
+1.6）m．
16.【答案】过点A 作AC⊥x 轴于C．
o
y
x
C
A
在直角△OAC 中，∠AOC=90°
60°=30°
﹣
，OA=14 千米，则AC=
OA=7 千米，OC=7
千米．
因而小岛A 所在位置的坐标是（7
，﹣7）．
故答案为：（7
，﹣7）．
三、解答题
17.【解答】由sinα=
，设a=4x，c=5x，则b=3x，故tanα=
．
α
c
b
a
18.【解答】sinA=
=
．
19.【解答】作CD⊥AB 于点D，
105°
30°
C
D
B
A
在Rt△ACD 中，∵∠A=30°，∴∠ACD=90°﹣∠A=60°，CD=
AC=2，AD=AC•cosA=2
．
在Rt△CDB 中，∵∠DCB=∠ACB﹣∠ACD=45°，∴BD=CD=2，∴BC=2
，∴AB=AD+BD=2+2
．
20. 【解答】作BE⊥l 于点E，DF⊥l 于点F．
∵
+∠DAF=180 º-∠BAD=180 º-90 º=90 º, ∠ADF+∠DAF=90 º, ∴∠ADF=36 º.
根据题意，得BE=24mm，DF=48mm．
在Rt△ABE 中，sin
=
，∴AB=
=
=40mm
在Rt△ADF 中，cos∠ADF=
=
，∴AD=
=
mm．
∴矩形ABCD 的周长=2（40+60）=200mm．
21.【解答】如图，
在Rt△ABD 中，AD=ABsin45°=4
×
=4．
在Rt△ACD 中，∵∠ACD=30°，∴AC=2AD=8．
即新传送带AC 的长度约为8 米；
22. 【解答】过B 作BF⊥AE，交EA 的延长线于F，作BG⊥DE 于G．
在Rt△ABG 中，i=tan∠BAG=
，∴∠BAG=30°，
∴BG=
AB=5，AG=5
．∴BF=AG+AE=5
+15．
在Rt△BFC 中，
∵∠CBF=30°，∴CF：BF=
，∴CF=5+5
．
在Rt△ADE 中，∠DAE=45°，AE=15，
∴DE=AE=15，∴CD=CF+FE
DE=5
﹣
+5
+5
15=
﹣
（5
5
﹣）m．
答：宣传牌CD 高约（5
5
﹣）米．
23. 【解答】（1）如图，过点P 作PD⊥AB 于点D．
在Rt△PBD 中，∠BDP=90°，∠PBD=90°
45°=45°
﹣
，∴BD=PD=3 千米．
在Rt△PAD 中，∠ADP=90°，∠PAD=90°
60°=30°
﹣
，
∴AD=
PD=3
千米，PA=6 千米．∴AB=BD+AD=3+3
（千米）；
（2）如图，过点B 作BF⊥AC 于点F．
根据题意得：∠ABC=105°，在Rt△ABF 中，∠AFB=90°，∠BAF=30°，
∴BF=
AB=
千米，AF=
AB=
+3 千米．
在△ABC 中，∠C=180°﹣∠BAC﹣∠ABC=45°．
在Rt△BCF 中，∠BFC=90°，∠C=45°，
∴CF=BF=
千米，∴PC=AF+CF
AP=3
﹣
千米．
故小船沿途考察的时间为：3
÷
=3（小时）．
24.【解答】（1）如图，
过点E 作EM⊥AB，垂足为M．设AB 为x．
Rt△ABF 中，∠AFB=45°，∴BF=AB=x，∴BC=BF+FC=x+25，
在Rt△AEM 中，∠AEM=22°，AM=AB
BM=AB
CE=x
2
﹣
﹣
﹣，
tan22°=
，则
，解得：x=20．
即教学楼的高20m．
（2）由（1）可得ME=BC=x+25=20+25=45．
在Rt△AME 中，cos22°=
．∴AE=
，
即A、E 之间的距离约为48m
