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正方形的判定
目标与方法
1．根据平行四边形、矩形、菱形与正方形之间的关系， 归纳出正方形的判定定
理．
2．能运用正方形的判定定理进行简单的计算与证明．
3．能运用正方形的性质定理与判定定理进行比较简单的综合推理与证明．
4．在探究与证明正方形判定定理的过程中， 进一步体会一般与特殊的辩证关
系，提高分析问题与解决问题的能力．
基础与巩固
1．矩形ABCD 加上一个条件：_________，就可以得到正方形ABCD．
2．菱形ABCD 加上一条条件：_________，就可以得到正方形ABCD．
3．下列条件中，能判定四边形是正方形的有（ ）．
A．4 个角都是直角 B．对角线互相平分且垂直
C．对角线相等且互相平分 D．对角线相等、互相垂直，且互相平分
4．下列条件中，不能判定四边形是正方形的是（ ）．
A．对角线互相垂直且相等的四边形; B．一条对角线平分一组对角的矩形
C．对角线相等的菱形; D．对角线互相垂直的矩形
5．已知：如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CD 是角平分线，DE⊥AC，
DF⊥BC，垂足分别为E、F．求证：四边形ECFD 是正方形．
拓展与延伸
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B
A
C
E
D
F
6．已知：如图，矩形ABCD 的外角平分线围成四边形EFGH．
求证：四边形EFGH 是正方形．
7．如图，在△ABC 中，AB=AC，点D 在边BC
上，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F．请探究，当∠A 满足什么条件或点D 在
什么位置时，四边形AEDF 将成为矩形？四边形AEDF 将成为
正方形？画出符合条件的图形，并证明．
后花园
妙趣角 （1）四年一度的国际数学家大会于2002 年8 月20 日在北京召开．
大会会标如图①所示，它是由4 个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一
个大正方形．若大正方形的面积为13，每个直角三角形两条直角边的和是5．求
中间小正方形的面积；
（2）现有一张长为6.5cm，宽为2cm 的纸片，如图②所示，请你将它们分割成
6 块，再拼合成一个如图①的正方形（要求先在图②中画出分割线，再画出拼成的
正方形， 并标明相应的数据）．
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B
A
C
Q
E
D
P
N
M
H
G
F
B
A
C
E
D
F
①
②
参考答案
1．AB=BC 或AC⊥BD．
2．AC=BD 或∠BAC=90°． 3．D 4．A
5．∵CD 是角平分线，∴矩形ECFD 是正方形．
6．由△EAB 与△GCD、△FBC 与△HAD 是两对全等的等腰直角三角形，
推得EA+ AH=EB+BF=GC+FC=GD+DH，即EH=EF=GF=GH．∴四边形
EFGH 是菱形．
又∵∠E=90°， ∴四边形EFGH 是正方形．
7．当∠A 为直角时，四边形AEDF 将成为矩形；
当∠A 为直角，且点D 为BC 的中点时， 四边形AEDF 将成为正方形．证
明略．
妙趣角 （1）设直角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为b，
则小正方形的边长为a-b．根据题意，得
②2-①，得2ab=12，∴ab=6，∴（a-b）2=（a+b）2-4ab=52-4×6=1，
即小正方形的面积为1； （2）如图所示．
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