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第5 题 条件等式求最值问题（一题多解）
【山东名校2025 届高三12 月校际联合检测】． 已知正数x，y 满足
，则
的最小值为______．
角度一、利用“1”的妙用结合条件等式先计算
最小值，得出
，由整体思想计算得
；角度二、利用“1”的妙用结合条件等
式计算
，根据一元二次不等式计算即可.
由
，
得
，
所
以
，
因为
，所以
，
所以
，即
，所以
，当且仅当
，且
，即
时，上式取“＝”，所以
的最小值为9．
角度二、因为
，
则
令
，即
1．已知
，
，且
，则
的最小值是（ ）
A．10
B．15
C．18
D．23
（2024 高三·全国·专题练习）
2．已知实数
满足
，
，且
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
设
，引参消元结合判别式法计算最值.
令
，则有
，
，即
．
，
，
即
．
，
，
的最小值为9．
3．已知正数a，b 满足
，则下列结论不正确的是（ ）
A．ab 有最大值
B．
有最小值8
C．
有最小值4
D．
有最小值
（24-25 高二上·河北邢台·期中）
4．曲线
的形状是一个斜椭圆，其方程为
，点
是曲线
上的任意
一点，点
为坐标原点，则下列说法错误的是（ ）
A．曲线
关于
对称
B．
的最大值为
C．该椭圆的离心率为
D．
的最大值为
令
，结合“1”的妙用得
解
一元二次不等式即可.
令
，
则
有
，
，
t 的最小值为9，即
的最小值为9．
（2024·湖北·一模）
5．已知实数
满足
，则
最大值为（ ）
A．2
B．3
C．
D．
利用方程思想消元解得
，再结合柯西不等式
计算最值即可.
由
已
知
得
，
，
又
，
，
，当且仅当
时，“＝”成立，
的最小值为9．
6．已知
，
，
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
（24-25 高三上·陕西西安·阶段练习）
7．已知
，
，则
的最小值为 ．
利用条件等式结合权方和不等式计算得
，再解一元二次不等
式即可.
有
，故
又
，
即
有
，
．
（当且仅当
取等号）
（2024·四川·模拟预测）
8．“权方和不等式”是由湖南理工大学杨克昌教授于上世纪80 年代初命名的．其具体内
容为：设
，则
，当且仅当
时，
等号成立．根据权方和不等式，若
，当
取得最小值时，
的值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
（2024·河南信阳·模拟预测）
9．已知正数
满足
，则
的最小值为 .
两次利用基本不等式配凑系数结合整体思想计算最值.
（取等条件
，即
），
代入有
，解得
，
，
即
，
，有
，即
.
（2024 高三·全国·专题练习）
10．设
表示实数
中最小的数，若
，且
，则
中的最大值为 ．
利用拉格朗日乘数法计算偏导解方程即可.
，
，
令
有
，
令
，有
代入
，即
（
舍），此时
，
.
11．实数a，b 满足
，
，
，则
的最小值是（ ）
A．4
B．6
C．
D．
（24-25 高三上·天津滨海新·期中）
12．已知
且
，则
的最小值为（ ）
A．
B．7
C．15
D．
（24-25 高三上·四川广安·阶段练习）
13．已知正实数x，y 满足
，则
的最小值为（ ）
A．9
B．10
C．11
D．12
（2024 高三·全国·专题练习多选）
14．已知
，
，
，且满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
（24-25 高一上·广东广州·阶段练习）
15．若实数x，y 满足
，则
的最大值是 ．
（2024 高二下·北京·竞赛）
16．对于
，若非零实数
满足
，且使
最大，
则
的最小值为 .
17．若
，则
的最小值为 ．
（24-25 高一上·江苏无锡·期中）
18．权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其
表述如下：设正数a，b，x，y，满足
，当且仅当
时，等号成立，则
函数
的最小值为 ．
（24-25 高一上·河北·期中）
19．若
，
，
，则不等式
，当且仅当
时，等号成立.这个
不等式叫做权方和不等式，
称为该不等式的权，它的特点是分子的幂指数比分母的幂指
数高1 次.权方和不等式是数学中一个重要的不等式.
(1)若
，证明二维形式的权方和不等式：
.
(2)已知
，
，求
的最
小值.
(3)某同学运用权方和不等式解决下列问题，指出这种解法是否正确，并说明理由.
已知正数
，
满足
，求
的最大值.
解：由权方和不等式得
，
所以
的最大值是5.
