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平面向量的基本运算
目录
题型一：平面向量的线性运算................................................................1
题型二：平面向量的数量积....................................................................3
题型三：极化恒等式与等和线................................................................4
题型四：奔驰定理与三角形四心............................................................5
题型五：平面向量的综合应用................................................................6
多选题练习................................................................................................8
题型一：平面向量的线性运算
1．设
是非零向量，则
是
成立的（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
2．下列说法不正确的是（ ）
A．两个相等向量，若它们的起点相同，则终点也相同
B．零向量的方向是任意的
C．若
，则四边形ABCD 不一定是平行四边形
D．若
，
，则
3．如图，平行四边形
中，
与
交于点
，
为
的中点，
为
的重
心，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知点
为
内一点，满足
，若
，则
（ ）
A．-2
B．
C．
D．2
5．在
中，
为三角形所在平面内一点，且
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
6．已知向量
不共线，
，则
是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
7．在平行四边形
中，
分别是
的中点，点
在线段
上，
且
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
8．在平行四边形
中，点
是
边上的点，
，点
是线段
的中点，
若
，则
（ ）
A．
B．1
C．
D．
9．已知向量
是两个单位向量，则“
”是“
为锐角”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
题型二：平面向量的数量积
1．已知
为单位向量，且
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知
是单位向量，则
的最大值为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
3．在四边形
中，
，
，
．若四边形
的面
积为
，则实数
的值为（ ）．
A．3
B．
C．
D．
4．单位向量
满足
，则
与
的夹角为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知向量
，
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．5
D．6
6．向量
，
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
7．在菱形
中，
，
，E 为边
上的动点（包括端点），F 为
的
中点，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．在空间中，若三个非零向量
满足
，则
的形状一定是（ ）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．无法判断
9．如图，已知
的半径为
为该圆的两条切线，
为切点，那么
的最
小值为（ ）．
A．
B．
C．
D．
10．已知边长为2 的菱形
中，
，点
满足
，则
.
题型三：极化恒等式与等和线
1．设正方形
的边长为4，动点
在以
为直径的
上，如图，则
的取值
范围是 ．
2．如图，边长为2 的等边三角形
的外接圆为圆
为圆
上任一点，若
，则
的最大值为 ．
3．已知
是边长为6 的等边三角形，若点
满足
，且
，其
中
，则
的取值范围为 .
4．已知在
中，
，若
的最小值是2，则对于
内一点
的最小值是 ．
5．直角梯形中，
，
，
，点
，
为
的中点，
在
边上运动(包含端点)，则
的取值范围为 .
6．已知圆
，过点
的直线与圆
交于
两点.则
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
题型四：奔驰定理与三角形四心
1．设
是
的外心，点
满足
，则
是
的（ ）
A．内心
B．任意一点
C．垂心
D．重心
2．
中，
、
、
的对边分别为
、
、，若
且
，则
的形状是（ ）
A．顶角为
的等腰三角形
B．等边三角形
C．等腰直角三角形
D．直角三角形
3．已知平面上四个点A，B，C，D，其中任意三个点不共线.若
则直线
BD 一定经过三角形ABC 的（ ）
A．垂心
B．内心
C．重心
D．外心
4．若
，
，
分别表示
，
的面积，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．设点
是面积为4 的
内部一点，且有
，则
的面积为
（ ）
A．1
B．
C．
D．
6．已知点
是非等边
的外心，
是平面
内的一点且
，则
是
的（ ）
A．垂心
B．重心
C．内心
D．外心
7．
为
平面内一定点，该平面内一动点
满足
，则
的（ ）一定属于
集合
.
A．重心
B．垂心
C．外心
D．内心
8．已知
为线段
上一点，
为直线
外一点，满足
，
，
，
为
上一点，且
，则
的值
为（ ）．
A．
B．2
C．
D．0
题型五：平面向量的综合应用
1．在
中，
为
的中点，
为平面
内一点，且
，则（ ）
A．
的最大值为
B．
的最大值为
C．
的最大值为
D．
的最大值为
2．已知向量
，且
，则
．
3．椭圆
的长轴的顶点为
，动点
在椭圆内，且
，则
的取值范围是 ．
4．平面内互不重合的点
、
、
、
、
、
，若
，
，
则
的取值范围是 .
5．已知菱形
的边长为
，
，点
分别在直线
上，
，
.若
，
，则
模的最小值为 ．
6．在
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，满足
，
，且
，则
；若在线段AB 上存在动点P 使得
，则xy 的最大值为 ．
7．已知
分别为
三个内角
的对边，向量
，且
.
(1)求
；
(2)若
，求
的面积.
8．在
中，角
、
、
的对边分别为
，
，，向量
，
，且
.
(1)求角
的值；
(2)若
，
是
边上的中线，
，求
的面积.
9．已知向量
，
，记函数
.
(1)若
为偶函数，求
的最小值；
(2)把
图象向右平移
个单位长度，得到函数
图象.若函数
在区间
内恰有20 个零点，求
的最小值.
10．已知
的内角
的对边分别为
，且
.
(1)求
；
(2)若
的面积为
，且
，求
的最小值.
多选题练习
1．下列四个命题中，说法不正确的是（ ）
A．空间任意两个单位向量必相等
B．对于非零向量，由
，则
C．
是
共线的充分不必要条件
D．若向量
满足
，则
2．下列说法错误的有（ ）
A．如果非零向量
与
的方向相同或相反，且
，那么
的方向必与
或
的方
向相同
B．若向量
，
方向相反，且
，则向量
的方向与向量
的方向相反
C．若
，则A，B，C 一定为一个三角形的三个顶点
D．若
，
均为非零向量，则
3．下列命题中正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，且
，则
D．若非零向量
，满足
，则
4．下列关于空间向量的命题中，正确的是（ ）
A．空间中所有的单位向量的模都相等
B．空间中两个向量相等，则它们的起点与终点相同
C．若两个非零向量
，
与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则
，
共线
D．设
是空间中任意一点，若
，则
，
，
，
四点共面
5．已知向量
，
，
与
不共线，向量
，OC 平分
，则下
列结论一定正确的是（ ）
A．
B．
C．向量
，
在
上的投影向量相等
D．
6．已知向量
，
，则下列结论正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
与
的夹角为
，则
D．若
与
方向相反，则
在
上的投影向量的坐标是
7．在
中，角
均不为直角，角
的对边分别为
，
是一动点，则下列
命题正确的是（ ）
A．
B．若
，则
过
的垂心
C．若
，则
过
的重心
D．若
，则
过
的外心
