文档文本内容
第 06 讲 函数 的图象及其应用
(精讲）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
高频考点一：函数 的图象变换
高频考点二：根据图象确定函数 的解析式
高频考点三：五点法作图
高频考点四：三角函数图象、性质的综合应用
角度1：图象与性质的综合应用
角度2：函数的零点（方程的根）的问题
角度3：三角函数模型
第四部分：高考真题感悟
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
1、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)在正弦函数 , 的图象上,五个关键点是:
(2)在余弦函数 , 的图象上,五个关键点是:
2、五点法作图
必备方法： 五点法步骤
③
①
②
对于复合函数 ，
第一步：将 看做一个整体，用五点法作图列表时，分别令 等于 ， ， ， ，
，对应的 则取 ， ， ， ， 。，（如上表中，先列出序号①②两行）
第二步：逆向解出 （如上表中，序号③行。）
第三步：得到五个关键点为： ， , , ,
3、由 的图象变换得到 ( ， )的图象的两种方法
(1)先平移后伸缩 (2)先伸缩后平移4、根据图象求解析式
形如 的解析式求法：
1、 求法：
①观察法： 代表偏离平衡位置的最大距离； 平衡位置.
②代数法：记 的最大值为 ,最小值为 ；则： ，联立求解.
2、 求法：通过观察图象，计算周期 ，利用公式 ，求出 .
3、 求法：
①第一关键点法：通过观察图象找出第一关键点 ，将第一关键点 代入 求解.
（第一关键点判断方法：图象呈上升状态与平衡位置的交点,且该点离 轴最近）
② 最 值 代 入 法 ： 通 过 观 察 图 象 的 最 高 点 （ 或 者 最 低 点 ） 代 入 解 析 式
求解.
③特殊点法：当图象给出的信息缺乏①②中的条件，可以寻找图象的其它特殊点 代入解析式
求解，但用此法求解，若有多个答案注意根据条件取舍答案.
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．（2022·湖南·雅礼中学高二开学考试）将曲线 ： 上的点向右平移 个单位长度，再
将各点横坐标缩短为原来的 ，纵坐标不变，得到曲线 ，则 的方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·河南信阳·高一期末）为了得到函数 的图象，只需将函数 的
图象上所有的点（ ）
A．向左平移 个单位长度 B．向左平移 个单位长度
C．向右平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度3．（2022·陕西·宝鸡市陈仓区教育体育局教学研究室高一期末）已知函数 ，则函数
的图象可以由 的图象（ ）
A．向左平移 得到 B．向右平移 得到
C．向左平移 得到 D．向右平移 得到
4．（2022·浙江·高三专题练习）函数 的图象如图所示，现将 的图象
向右平移 个单位长度，所得图象对应的函数解析式为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·北京·人大附中高一阶段练习）如图，一个质点在半径为2的圆 上以 点为起始点，沿逆时针
方向运动，每 转一圈.则该质点到 轴的距离 关于时间 的函数解析式是（ ）
A． B．
C． D．
第三部分：典 型 例 题 剖 析
高频考点一：函数 的图象变换典型例题
例题1．（2022·四川省广汉中学高二开学考试（理））要得到函数 的图象，只需将函数
的图象（ ）
A．向左平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度
C．向左平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度
例题2．（2022·河北衡水中学高三阶段练习）要得到函数 的图象，只需将函数
的图象（ ）
A．向左平移 个单位 B．向右平移 个单位
C．向上平移 个单位 D．向下平移 个单位
例题3．（2022·江西省万载中学高一阶段练习）函数 的图像如何由函数 的图像平
移得到（ ）
A．向左平移 个单位长度 B．向左平移 个单位长度
C．向右平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度
例题4．（多选）（2022·全国·高一）要得到函数 的图象，只需将函数 图象上
所有点的坐标（ ）
A．向右平移 个单位长度，再将横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变）
B．向左平移 个单位长度，再将横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变）
C．横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），再向左平移 个单位长度
D．横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），再向右平移 个单位长度
题型归类练
1．（2022·全国·高一课时练习）为了得到函数 的图象，可以将函数 图象
上所有的点（ ）A．向右平移 个单位长度 B．向左平移 个单位长度
C．向右平移 个单位长度 D．向左平移 个单位长度
2．（2022·广东·测试·编辑教研五高一阶段练习）将函数 的图象向右平移 单位后，所
得图象对应的函数解析式为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·陕西·延安市第一中学高一期中）要得到 的图像，只需将函数 的图像
（ ）
A．向左平移 个单位 B．向右平移 个单位
C．向左平移 个单位 D．向右平移 个单位
4．（2022·北京铁路二中高一期中）要得到函数 的图象，只需将函数 的
图象至少向右平移______个单位．
高频考点二：根据图象确定函数 的解析式
典型例题
例题1．（2022·浙江·高三专题练习）函数 的图象如图所示，现将
的图象向右平移 个单位长度，所得图象对应的函数解析式为（ ）
A． B． C． D．例题2．（2022·河南开封·模拟预测（理））如图为函数 的部分图像，将
的图像上各点的横坐标变为原来的两倍，再向左平移 个单位长度，得到函数 的图像，则
（ ）
A． B． C． D．
例题3．（2022·湖北·测试·编辑教研五高一阶段练习）函数
的部分图象如图所示，将 的图象向左平移 个单位长度得到函数 的图象，则函数
的解析式是（ ）
A．
B．
C．
D．
例题4．（多选）（2022·广东茂名·高一期中）函数 在一个周期内的图
象如图所示， 为图象的最高点， ， 为图象与 轴的交点，且 为正三角形，则下列结论中正
确的是（ ）
A． 的最小正周期为4
B． 在 上单调递减C． 的值域为
D． 图象上所有的点向右平移 个单位长度后，图象关于 轴对称
题型归类练
1．（2022·浙江宁波·高二期末）已知函数 的部分图象如图所示，
则下列说法错误的是（ ）
A．
B．
C． 的图象关于直线 对称
D． 的图象向右平移 个单位长度后的图象关于原点对称
2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，将函数 的图象
向左平移 个单位长度，得到函数 的部分图象如图所示，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2022·广东惠州·高三阶段练习）已知函数 的部分图像如图所
示，则将 的图像向左平移 个单位后，所得图像的函数解析式为（ ）A． B．
C． D．
4．（多选）（2022·全国·高一）函数 的图像如图，把函数 的图像
上所有的点向右平移 个单位长度，可得到函数 的图像，下列结论正确的是（ ）
A．
B．函数 的单调递减区间为 ，
C．函数 在区间 上单调递增
D．直线 是函数 的一条对称轴
高频考点三：五点法作图
典型例题
例题1．（2021·甘肃·静宁县第一中学高一阶段练习（理））已知函数 .
(1)试用“五点法”画出它的图象；
列表：x
y
作图：
(2)求它的振幅､周期和初相；
(3)根据图象写出它的单调递减区间.
例题2．（2020·黑龙江·哈尔滨三中高一期末）已知函数
（1）写出函数 单调递减区间和其图象的对称轴方程；
（2）用五点法作图，填表并作出 在 的图象.
x
y题型归类练
1．（2021·广东·高一单元测试）(1)利用“五点法”画出函数 在长度为一个周期的闭
区间的简图.
列表:
x
y作图:
(2)并说明该函数图象可由 的图象经过怎么变换得到的.
(3)求函数 图象的对称轴方程.
2．（2022·海南·海口中学高一期末）已知函数 .(1)利用“五点法”完成下面表格，并画出函数 在区间 上的图像.
(2)解不等式 .
高频考点四：三角函数图象、性质的综合应用
角度1：图象与性质的综合应用
典型例题例题1．（2022·全国·高一课时练习）已知函数 是奇函数.
(1)求 的值；
(2)若将函数 的图象向右平移 个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标扩大到原来的4倍，得
到函数 的图象，求 .
例题2．（2022·四川南充·高一期末）已知函数 的部分图象，如
图所示.
(1)求函数 的解析式；
(2)将函数 的图象向右平移 个单位长度，再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的 ，纵坐标
不变，得到函数 的图象，当 时，求函数 的值域.
例题3．（2022·北京市第三十五中学高一阶段练习）设函数 .
(1)求函数 的最小正周期和最大值，并指出取得最大值时 的值；
(2)将函数 图像上所有点的横坐标变为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数 的图像，写出
表达式和单调递增区间.例题4．（2022·全国·高一单元测试）已知函数 .
(1)求函数 的最小正周期及其单调递增区间；
(2)当 ，时， 恒成立，求 的最大值.
题型归类练
1．（2022·天津·南开中学高三阶段练习）已知函数 ．
(1)求 的最小正周期及其图象的对称轴方程；
(2)若 的图象可由 的图象向左平移 个单位长度得到，求函数 在 上的值
域．2．（2022·浙江·杭州市富阳区江南中学高一开学考试）已知函数 ，若将函数f（x）的图象向
左平移 个单位长度，再向上平移 个单位长度得到函数g（x）的图象.
(1)求函数g（x）的解析式和值域；
(2)若对任意的 ， 恒成立，求实数m的取值范围.
3．（2022·浙江·高三专题练习）已知函数 .
(1)求函数 在 上单调递增区间；
(2)将函数 的图象向右平移 个单位长度，纵坐标变为原来的2倍，横坐标缩小为原来的 ，向上平移
1个单位长度得到函数 的图象，求函数 在 上的最值.
角度2：函数的零点（方程的根）的问题
典型例题
例题1．（2022·黑龙江·齐齐哈尔市第八中学校高二开学考试）已知函数 .
(1)求 的最小正周期和对称轴方程；
(2)若函数 在 存在零点，求实数 的取值范围.例题2．（2022·陕西汉中·高一期末）已知函数 的部分图象如
图．
(1)求 的表达式；
(2)将函数 的图象向右平移 个单位长度得到曲线 ，把 上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为
原来的2倍得到函数 的图象．若关于 的方程 在 上有两个不同的实数解，求实数
的取值范围．
例题3．（2022·广东·阳江市第三中学高一期中）已知函数
(1)求 的最小正周期和最大值；
(2)将 的图像向右平移 个单位得到函数 的图像，求 在 上的零点.例题4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，其中常数 ．
(1)若 ，将函数 的图象向左平移 个单位，得到的函数 的图象，求 ；
(2)若 在 ， 上单调递增，求 的取值范围；
(3)对（1）中的 ，区间 ， ， 且 满足： 在 ， 上至少含有30个零点，在
所有满足上述条件的 ， 中，求 的最小值．
题型归类练
1．（2022·河南河南·高一期末）已知函数 ．
(1)当 时，求 的取值范围；
(2)若关于x的方程 在区间 上恰有两个不同的实数根，求实数m的取值范围．
2．（2022·河南驻马店·高一期中（文））已知函数 在一个周期内
的图像如图所示.(1)求函数 的解析式；
(2)设 ，且方程 有两个不同的实数根，求实数 的取值范围.
3．（2022·宁夏·吴忠中学高一期末）已知函数 的图象如图．
(1)求函数 的解析式；
(2)将函数 的图象向右平移 个单位长度得到曲线 ，把 上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为
原来的 倍得到 的图象，且关于 的方程 在 上有解，求 的取值范围．
角度3：三角函数模型
典型例题
例题1．（2022·全国·高一单元测试）如图所示，滚珠 ， 同时从点 出发沿圆形轨道匀速运
动，滚珠 按逆时针方向每秒钟转 弧度，滚珠 按顺时针方向每秒钟转 弧度，相遇后发生碰撞，各自
按照原来的速度大小反向运动．(1)求滚珠 ， 第一次相遇时所用的时间及相遇点的坐标；
(2)求从出发到第二次相遇滚珠 ， 各自滚动的路程．
例题2．（2022·湖北大学附属中学高一阶段练习）某研究小组调查了某港口水深情况，发现在一天（24
小时）之内呈周期性变化，且符合函数 ，其中 为水深（单
位：米）t为时间（单位：小时） .研究小组绘制了水深图，部分信息如下：
(1)求 解析式
(2)某艘货船满载时吃水深度为4.5米，空载时2.5米，按安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙（船底
与海底距离），问：
（i）该船满载时一天之内何时能进出港口？
（ii）该船凌晨3点已经在港口卸货完毕准备空载离港;为确保安全，需在安全水深到达前半小时提前离
港，问最迟在几点之前离港才能确保安全？
例题3．（2022·全国·高一课时练习）一半径为 的水轮（如图所示），水轮圆心 离水面 ，已知
水轮逆时针转动，每 转一圈，且当水轮上点 从水中浮现时（图中点 ）开始计算时间.(1)试建立适当的坐标系，将点P距离水面的高度 表示为时间 的函数；
(2)点 第一次到达最高点大约要多长时间？
题型归类练
1．（2022·全国·高一）下图是某简谐运动的图像.试根据图像回答下列问题：
（1）写出这个简谐运动的振幅､周期与频率
（2）从 点算起，到曲线上的哪一点，表示完成了一次往复运动？如果从 点算起呢？
（3）写出这个简谐运动的函数表达式.
2．（2022·全国·高一课时练习）某地农业检测部门统计发现：该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重
复出现，但生猪养殖成本逐月递增．下表是今年前四个月的统计情况：
月份 1月份 2月份 3月份 4月份
收购价格（元/斤） 6 7 6 5
养殖成本（元/斤） 3 4 4．6 5
现打算从以下两个函数模型：① ，（ ， ， ）；②
中选择适当的函数模型，分别来拟合今年生猪收购价格（元/斤）与相应月份之间的函数关系、养殖成本（元/斤）与相应月份之间的函数关系．
（1）请你选择适当的函数模型，分别求出这两个函数模型解析式；
（2）按照你选定的函数模型，帮助该部门分析一下，今年该地区生猪养殖户在接下来的月份里有没有可
能亏损？
3．（2022·全国·高一课时练习）建设生态文明是关系人民福祉、关乎民族未来的长远大计．某市通宵营业
的大型商场，为响应国家节能减排的号召，在气温低于 时，才开放中央空调，否则关闭中央空调．如
图是该市冬季某一天的气温（单位： ）随时间 （ ，单位：小时）的大致变化曲线，若该曲线
近似满足 关系．
(1)求 的表达式；
(2)请根据(1)的结论，求该商场的中央空调在一天内开启的时长．
第四部分：高考真题感悟
1．（2022·天津·高考真题）已知 ，关于该函数有下列四个说法：
① 的最小正周期为 ；
② 在 上单调递增；
③当 时， 的取值范围为 ；
④ 的图象可由 的图象向左平移 个单位长度得到．以上四个说法中，正确的个数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高考真题（文））将函数 的图像向左平移 个单位长度后得到曲
线C，若C关于y轴对称，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·浙江·高考真题）为了得到函数 的图象，只要把函数 图象上所有的点
（ ）
A．向左平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度
C．向左平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度
4．（2021·全国·高考真题（理））把函数 图像上所有点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不
变，再把所得曲线向右平移 个单位长度，得到函数 的图像，则 （ ）
A． B．
C． D．
