文档文本内容
第 04 讲 直线与圆、圆与圆的位置关系
目录
第一部分：基础知识...............................................................................................1
第二部分：高考真题回顾........................................................................................5
第三部分：高频考点一遍过....................................................................................6
高频考点一：直线与圆的位置关系...................................................................6
高频考点二：圆的切线问题..............................................................................7
高频考点三：圆弦长问题..................................................................................7
高频考点四：圆与圆的位置关系.....................................................................10
高频考点五：圆与圆的公共弦问题.................................................................10
第四部分：新定义题.............................................................................................11
第一部分：基础知识
知识点一：直线与圆的位置关系
1、直线与圆的三种位置关系
直线与圆
的位置关
系的图象 C l C C
l
l
直线与圆的 相交 相切 相离
位置关系
2、判断直线与圆的位置关系的两种方法几何法（优先推荐）
图象
C l C C
d
d
l d
r r r l
位置 相交 相切 相离
关系
判定
方法 ； ； ；
。 。 。
圆心 到直线 的距 圆心 到直线 的距 圆心 到直线 的距
离： 。 离： 。 离： 。
圆与直线相交。 圆与直线相切。 圆与直线相离。
代数法
直线 ： ；圆
联立 消去“ ”得到关于“ ”的一元二次函数
① 直线 与圆 相交
② 直线 与圆 相切
③ 直线 与圆 相离
知识点二：圆与圆的位置关系
1、圆与圆的位置关系
(1)圆与圆相交，有两个公共点；
(2)圆与圆相切(内切或外切)，有一个公共点；
(3)圆与圆相离(内含或外离)，没有公共点.
图象 位置关系 图象 位置关系
外 外
C C 离 C C 切
1 2 1 2相 内
C C 交 C C 切
1 2 1 2
内
C 含
C
2
1
2、圆与圆的位置关系的判定
几何法
设 的半径为 ， 的半径为 ，两圆的圆心距为 .
①当 时，两圆相交；
r
C 2 C
1
2
r
1
②当 时，两圆外切；
C C
1 r r 2
1 2
③当 时，两圆外离；
C C
1 2
r r
1 2
④当 时，两圆内切；
r
C
2
C
2
1
r
1⑤当 时，两圆内含.
C r
C 2 2
1
r
1
代数法
设 :
:
联立 消去“ ”得到关于“ ”的一元二次方程 ，求出其
① 与设设 相交
② 与设设 相切（内切或外切）
③ 与设设 相离（内含或外离）
知识点三：直线与圆相交
记直线 被圆 截得的弦长为 的常用方法
1、几何法（优先推荐）
①弦心距（圆心到直线的距离）
②弦长公式：
2、代数法
直线 ： ；圆
联立 消去“ ”得到关于“ ”的一元二次函数
弦长公式：
知识点四：圆与圆的公共弦
1、圆与圆的公共弦
圆与圆相交得到的两个交点，这两点之间的线段就是两圆的公共弦.2、公共弦所在直线的方程
设 :
:
联立作差得到： 即为两圆共线方程
知识点五：圆上点到直线的最大（小）距离
设圆心到直线的距离为 ，圆的半径为
①当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为： ，最小距离为： ；
②当直线与圆相切时，圆上的点到直线的最大距离为： ，最小距离为： ；
③当直线与圆相交时，圆上的点到直线的最大距离为： ，最小距离为： ；
第二部分：高考真题回顾
1．（2024·全国·高考真题（甲卷文））已知直线 与圆 交于 两
点，则 的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
2．（2024·全国·高考真题（新课标Ⅱ卷））抛物线C： 的准线为l，P为C上的动点，过P作
的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（ ）
A．l与 相切
B．当P，A，B三点共线时，
C．当 时，
D．满足 的点 有且仅有2个第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：直线与圆的位置关系
典型例题
例题1．（23-24高二下·广东梅州·阶段练习）已知圆 ，则直线 与圆C
（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切
例题2．（2024·四川南充·二模）已知圆 ，直线 与圆C（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切
例题3．（23-24高二上·广西南宁·阶段练习）直线 与圆 的位置关系为
（ ）
A．相交且过圆心 B．相交且不过圆心
C．相切 D．相离
练透核心考点
1．（23-24高二上·四川乐山·阶段练习）已知直线 ，圆 ，点 在圆内，
则（ ）
A．直线l与圆C相交 B．直线l与圆C相切
C．直线l与圆C相离 D．不确定
2．（22-23高二上·北京·期中） 轴与圆 的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
3．（23-24高二下·上海·期中）已知直线 与圆 ，点 ，则下列
说法错误的是（ ）
A．若点 在圆 上，则直线 与圆 相切
B．若点 在圆 内，则直线 与圆 相离
C．若点 在圆 外，则直线 与圆 相离
D．若点 在直线 上，则直线 与圆 相切高频考点二：圆的切线问题
典型例题
例题1．（2024高二·全国·专题练习）过点 引圆 的切线，则切线方程为
（ ）
A．
B．
C． 或
D． 或
例题2．（2024高二上·江苏·专题练习）已知直线l过点 ，且与圆 相切，求直线l的
方程.
练透核心考点
1．（23-24高二上·福建漳州·期末）圆 在点 处的切线方程为 .
2．（23-24高二上·山西大同·阶段练习）过点M（2，4）向圆（x－1）2＋（y＋3）2＝1引切线，求其切线
的方程．
高频考点三：圆弦长问题
典型例题
例题1．（24-25高二上·江西赣州·开学考试）若圆C经过点 和 ，且圆心在x轴上，则：
(1)求圆C的方程．
(2)直线 与圆C交于E、F两点，求线段 的长度．
例题2．（23-24高二下·山东菏泽·开学考试）已知点 ，圆 .
(1)求过点 的圆的切线方程；(2)若直线 与圆相交与A，B两点，且弦 的长为 ，求 的值.
例题3．（2024高二上·新疆·学业考试）已知圆 的圆心在直线 上，与x轴相切于点 ．
(1)求圆 的方程；
(2)过坐标原点 的直线 被圆 截得的弦长为 ，求直线 的方程．
例题4．（23-24高二上·福建南平·期末）已知圆 的圆心在直线 上且圆 与 轴相切于点
.
(1)求圆 的方程；
(2)已知直线 与圆 相交于 两点，求 的面积.
例题5．（23-24高二上·河南·期中）设 为坐标原点，已知 与直线 相
交于 两点．
(1)若 ，求 的值；
(2)过点 的直线 与 相互垂直，直线 与圆 相交于 两点，求四边形 的面积的最大值．
练透核心考点
1．（24-25高二上·天津·阶段练习）已知直线 与圆 相交于 两
点，则 的最小值为（ ）A．4 B． C． D．
2．（23-24高二下·宁夏吴忠·开学考试）圆 的圆心为 ，且过点 .
(1)求圆 的标准方程；
(2)直线 ： 与圆 交 ， 两点，且 ，求 .
3．（23-24高二上·江苏南京·开学考试）已知圆 ： ， .
(1)过点 作圆 的切线 ，求直线 的方程
(2)过点 作直线 与圆 相交，所得弦长不小于 ，求直线 的斜率的取值范围.
4．（23-24高二上·湖北黄石·期末）已知直线 与圆 相切.
(1)求 的值及圆 的方程；
(2)已知直线 与圆 相交于 ， 两点，若 的面积为 ，求直线 的方程.
5．（23-24高二上·云南临沧·期末）已知圆 ．
(1)过点 作圆 的切线，求切线的斜率
(2)直线 与圆 交于 两点， 是 上的动点，求三角形 面积的最大值高频考点四：圆与圆的位置关系
典型例题
例题1．（24-25高二上·江苏连云港·阶段练习）圆 和圆 的位置关系是
（ ）
A．外离 B．相交 C．外切 D．内含
例题2．（23-24高二上·北京丰台·期末）已知圆 与圆 ，则圆 与圆
的位置关系是（ ）
A．相离 B．相交 C．内切 D．外切
例题3．（24-25高二上·全国·课后作业）已知圆 ，圆 ，则圆
的位置关系为（ ）
A．内含 B．外切 C．相交 D．外离
练透核心考点
1．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知圆 的面积被直线
平分，圆 ，则圆 与圆 的位置关系是（ ）
A．外离 B．相交 C．内切 D．外切
2．（23-24高二上·浙江宁波·期末）已知圆 ： ，圆 ： ，则两圆的
位置关系为（ ）
A．内切 B．相交 C．外切 D．外离
3．（23-24高二上·浙江湖州·期末）已知圆 ： （ ， ）与圆 ：
，则圆 与圆 的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．外离 D．与m的取值有关
高频考点五：圆与圆的公共弦问题
典型例题
例题1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知圆 与圆 交于 两
点，则 （ ）A． B． C． D．
例题2．（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）圆 ： 与圆 ： 相交于
、 两点，则 ．
例题3．（23-24高二下·河北张家口·开学考试）已知圆 是以点 和点 为直径端点的圆，圆 是
以点 和点 为直径端点的圆．
(1)求圆 ， 的方程；
(2)已知两圆相交于 ， 两点，求直线 的方程及公共弦 的长.
练透核心考点
1．（23-24高二下·山西太原·阶段练习）若过点 向圆C： 作两条切线，切点分别为A，B，
则直线AB的方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知圆 与圆 相交，则相
交弦的长为 .
3．（2024高三下·全国·专题练习）过点 作曲线 的两条切线，切点分别为 ，则
直线 的方程为（ ）
A． B． C． D．
第四部分：新定义题
1．（23-24高二下·江苏南京·开学考试）设点 分别为函数 图象上一点，
定义 为 两点间欧几里得距离， 为 两点
间曼哈顿距离.(1)证明 ；
(2)设函数 ，求 的最小值；
(3)设 为正实数，函数 ，对于函数图象上的点 有 的最小值
为4，求 的取值.
