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第 01 讲 导数的概念及运算 (精练）
A 夯实基础
一、单选题
1．已知函数 在 处的导数为2，则 （ ）
A．－2 B．2 C．－1 D．1
【答案】B
【详解】∵函数 在 处的导数为2，
∴ .
故选：B.
2．宁启铁路线新开行“绿巨人”动力集中复兴号动车组，最高时速为 ．假设“绿巨人”开出站一
段时间内，速度 与行驶时间 的关系为 ，则出站后“绿巨人”速度首次达到 时
加速度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为 ，
所以 ；
令 ，得 ，
解得 或 （舍去)；
则当 时， ，
即速度首次达到 时加速度为 ．
故选：B.
3．下列求导正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】 ，A选项错误.
，B选项正确.，C选项错误.
，D选项错误.
故选：B
4．若 ，则 等于（ ）
A．-3 B．3 C．-6 D．6
【答案】D
【详解】由 ，
即 ，
故选：D
5．曲线 在点 处的切线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】 ， ，
当 时， ，
在点 处的切线方程为： ，
即： .
故选：A.
6．已知函数f（x）在 上可导，其部分图象如图所示，设 ，则下列不等式正确的是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】因为 函数的增长越来越快，所以函数在该点的斜率越来越大，又 ，所以 ，
故选：A
7．设函数 ，曲线 在点 处的切线为 ，则 （ ）
A． B．1
C． D．2
【答案】D
【详解】解：因为 ，所以 ，则 ， ，即切点为 ，切
线的斜率 ，所以 ，解得 ，所以 ；
故选：D
8．过函数 图像上一个动点作函数的切线，则切线领斜角范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】由题意，函数 ，可得 ，
因为 ，所以 ，即切线的斜率 ，
设切线的倾斜角为 ，则
又因为 ，所以 或 ，
即切线的倾斜角的范围为 .
故选：B.
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．若 不存在，则曲线 在点 处也可能有切线
B．若曲线 在点 处有切线，则 必存在
C．若 不存在，则曲线 在点 处的切线斜率不存在
D．若曲线 在点 处没有切线，则 有可能存在
【答案】AC【详解】 ， 不存在只能说明曲线在该点处的切线斜率不存在；
当斜率不存在时，切线也可能存在，其切线方程为 ，故AC正确.
故选：AC.
10．给出定义：若函数 在 上可导，即 存在，且导函数 在 上也可导，则称 在 上
存在二阶导函数，记 ，若 在 上恒成立，则称 在 上为凸函数.以下四个函数
在 上是凸函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【详解】对于A选项， ，
则 ，
当 时，恒有 ，是凸函数；
对于B选项， ，
则 ，当 上，恒有 ，是凸函数；
对于C选项，若 ，
则 在 上恒成立，是凸函数；
对于D选项，若 ，
则 ，则 在 上恒成立，
故不是凸函数.
故选：ABC.
三、填空题
11．已知函数 的导函数为 ，且满足 ，则 ______．
【答案】 ##-0.25
【详解】解：由 ，则 ，所以 ，则 .
故答案为： .
12．曲线 在点 处的切线与 轴、直线 所围成的三角形的面积为 ，则 ________.
【答案】
【详解】解： ，
，
，
曲线在点 处的切线方程为 ，
即 ，令 ，得 ，
切线与 轴，直线 所围成的三角形的面积为 ，解得 ．
故答案为： ．
四、解答题
13．求下列函数的导数：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【答案】(1) (2) (3) (4)
(1)
(2)
(3)
(4)
14．已知函数 的图象在 处的切线方程为 ．求实数 ， 的值；
【答案】 ； ．【详解】解：因为 ，所以 ．
由题知 ，解得 ．
因此 ，而 ，
于是 ，解得 ．
所以 ； ．
B 能力提升
1．已知函数 及点P，过点P作直线l与曲线 相切．
(1)求曲线在点 处的切线l方程；
(2)求曲线过点 的切线l的斜率．
【答案】(1) ；
(2) 或 .
【解析】(1)
因为 ，所以 ，
所以切线l的斜率为 ，又 ，
所以切线l方程为 ，即 ；
(2)设切点为 ，所以切线l的斜率为 ，
所以切线l方程为 ，该切线过 ，
所以有 ，化简，得
，解得 ，
当 时，切线的斜率为 ，
当 时，切线的斜率为 ，
所以切线的斜率为 或 .
2．（1）已知函数 ．若曲线 在点（x，f（x））处的切线斜率为 ，求x 的
0 0 0
值；
（2）若函数f（x）满足 ， 求 的值
【答案】（1） ，（2） .【详解】（1）函数f（x）的定义域为R，
求导得 ，
因为曲线y＝f（x）在点（x，f（x））处的切线斜率为 ，
0 0
所以 ，
即 ，
解得 ；
（2）因为 ，
所以 ，
令x＝1，则 ，
所以 .
