文档文本内容
专题 01 集合与常用逻辑用语中的参数问题
题型脑图·核心考法构建
考法深研·解题技能通关
题型01 根据元素与集合的关系求参数
核心依据是元素与集合的从属关系：若 ，则 满足集合 中所有限制条件；若 ，则 不满
足对应条件。解题时先把元素代入集合对应的方程、不等式，初步解出参数。重中之重是检验集合元素
的互异性，凡是造成集合内元素重复的参数值必须舍去；若求解取值范围，还要结合题干限制条件、定
义域综合筛选，最终得到合规答案。
1．（2026·上海嘉定·二模）已知集合 ，且 ，则 ___________．
【答案】
【详解】由题意可知， 或 ，即 或 ，
当 时，集合 ，不满足集合元素互异性，舍去；
当 时，集合 ，符合题意，所以 .
2．（25-26高三上·山西吕梁·期末）已知集合 ， ，则 __________．【答案】
【分析】根据元素与集合的关系可得出关于 的等式，利用集合元素满足互异性可得出实数 的值.
【详解】因为 ，所以 或 ，即 或 ，
由集合的互异性知 且 且 ，即 且 ，所以 ．
故答案为： .
3．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知集合 ，且 ，则实数 的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由 ，代入得 ，解得 .
4．（2026高三上·广东湛江·专题练习）已知集合 ，若 且 ，则 的取值范围
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据元素与集合的关系求得 的取值范围.
【详解】因为 ，
又 且 ，则 .
故选：D
5．（2026·安徽滁州·一模）已知集合 ，若 ，且 ，则a的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因式分解得 ；可得 ，
故集合 ；因为 且 ，所以 ，解得 .
所以 的取值范围是 .
6．（2026·安徽合肥·二模）已知集合 ，若 ，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】若 ，则 ，解得 或 ，
所以若 ，则 的取值范围为 .
题型02 根据集合中元素的个数求参数
集合元素个数问题本质等价于对应方程实数根的个数问题，同时结合子集、真子集个数公式辅助判断：
集合有 个元素，则子集个数为 ，真子集个数为 。分两类讨论：①方程为一次型：令一次项系
数为0，判断解的个数；②方程为二次型：利用判别式 判断根的数量， 有两个元素、 仅
有一个元素、 集合为空集。若题目给出子集/真子集数量，先反推出元素个数，再反向求参数。
7．（2026·湖北孝感·二模）如果集合 只有一个元素，则实数 的值是（ ）
A．0或4 B．4 C．0或 D．0
【答案】C
【分析】分 和 两种情况讨论，当 时 ，即可求出 的值.
【详解】集合 ，
表示关于 的方程 的解集，
当 时，解得 ，则 ，符合题意；当 时， ，解得 ，
此时 ，符合题意,
综上可得 或 .
8．（25-26高三下·云南怒江·开学考试）若集合 中只有1个元素，则
（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】D
【详解】若集合 中只有1个元素，
则等价于不等式 只有一个实数解，
等价于对应方程 只有一个实根，
所以 ，解得： ，
当 时， ，满足题意.
9．（2025高三·全国·专题练习）已知集合 有且仅有1个真子集，则实数 的取值
集合为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由集合的真子集个数,判断出集合 中有且只有一个元素，从而转化为方程有两个相等根问题求解
即可.
【详解】由集合 有且仅有1个真子集，可得集合 中有且只有一个元素，
所以方程 有2个相等的实数解，即 ，解得 ，
所以实数 的取值集合为 ，
故选：B.
10．（24-25高三下·辽宁·阶段检测）已知集合 恰有一个元素，则k的取值集合为
______
【答案】
【分析】根据给定条件，化方程为一元二次方程，再利用根的情况列式计算得解.
【详解】方程 化为： ，
由已知集合只有一个元素，
① ，解得 ，
此时方程的解为 ，符合题意；
② 是方程 的一个根，此时 ，方程 即为 ，
此时方程的解为 ，符合题意；
③ 是方程 的一个根，此时 ，方程 即为 ，
此时方程的解为 ，符合题意；
所以k的取值集合为 .
故答案为：
11．（2025高一上·江苏·专题练习）已知 ，集合 有8个子集，
则 的一个值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A【分析】根据已知条件得出集合 中元素的个数，从而得出 的因数个数，即可求出 的值．
【详解】由题意得集合 中有8个子集，
又 ， 集合 中有三个元素，即 有三个正因数，
而在正整数中，恰有3个正因数的数是质数的平方，
设 为质数，则 ，此时正因数为 ，
， ，则 或3，
的值可以为4或9，故A正确．
故选：A．
12．（2026·江苏·一模）设集合 ， ，若 含有4个元素，则 （ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】B
【分析】根据集合元素的互异性及并集的概念求解即可.
【详解】根据集合元素的互异性可知， ， .
因为 含有4个元素，所以 仅含有1个元素，
若 ，则 或 ，所以 或 .
若 ，则 .
结合集合元素的互异性可知 或 .
当 时， ， ， ，符合题意.
当 时， ， ， ，不符合题意.
综上， .
13．（2026·甘肃兰州·模拟预测）已知集合 ， ，若 恰有4个子集，则 的取值
范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【详解】若 恰有4个子集，则 中恰有2个元素，所以 .
14．（2026·上海普陀·二模）设 ，集合 ， ，若集合 ，
且满足条件的A恰有2个，则a的取值范围为______.
【答案】 或
【分析】由题意得出 是一元集，然后按 的正负或0分类讨论求解．
【详解】由题意 的子集恰有2个，所以 是一元集，
若 ，则 ，而 ， 满足题意，
若 ，则 ， ，此时 ，不合题意；
若 ，则 ， ， 只含一个元素，则 ，
综上， 的取值范围是 或 ．
题型03 利用集合元素的互异性求参数
集合元素具有确定性、互异性、无序性，本题型核心考察互异性（集合中任意两个元素互不相等）。解
题步骤：先根据元素关系、集合相等、元素属于集合等条件列出方程，解出所有候选参数；再将候选值
代回原集合，逐一检查是否出现重复元素，剔除违反互异性的解，剩余取值即为最终结果。该题型无论
单选、填空，检验步骤不可省略。
15．（25-26高三上·云南昆明·阶段检测）已知 ，则 的值为（ ）
A． 或 B． 或 C． 或 D．
【答案】B
【分析】根据元素与集合、集合元素的互异性可得出关于实数 的等式或不等式，即可解得实数 的值.
【详解】因为 ，则 或 或 ，
解得 或 .
故选：B.16．（25-26高三上·上海·阶段检测）已知集合 ，若 ，则 ___________．
【答案】4
【分析】先根据元素和集合关系，分两种情况讨论3是集合 的哪个元素，再根据集合元素的互异性验证
结果，确定 的值．
【详解】 集合 ， ，
或 ，
当 时，解得 ，此时 ，集合 ；
当 时，解得 ，此时 ，不符合集合元素的互异性，舍去．
．
故答案为：4．
17．（25-26高三上·河南·阶段检测）已知集合 ，若 ，则 ________．
【答案】3
【分析】根据元素与集合的关系列出方程组，求解并验证即得参数值.
【详解】由 可得 或 ，解得 或 .
当 时， ，不满足集合元素的互异性，故舍去；
当 时， 满足 ，符合题意.
故答案为：3.
题型04 根据集合的包含关系求参数
若 ，表示集合 中所有元素都在集合 内，解题必须优先讨论空集（空集是任何集合的子
集）。①当 ：结合方程无解、不等式无解的条件列式求参数；②当 ：若集合是不等式解
集（区间型），借助数轴直观分析区间包含关系，列出不等式组，重点验证区间端点能否取等号；若集
合是方程解集，根据元素归属列等式求解，最后结合互异性检验。
18．（2026·湖北·模拟预测）已知集合 ， ，若 ，则 （ ）A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据子集的定义，由元素和集合的关系求解.
【详解】由 可知 ，解得 .
此时 ，符合要求.
所以 .
19．（2026·河南开封·三模）已知集合 ， ，若 ，则实数 （ ）
A．0 B．1 C．0或1 D．2
【答案】A
【详解】由 ，得 或 ，解得 或 ．
当 时， ， ， ，符合题意，
当 时，A不满足元素互异性，不符合题意，所以 .
20．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）设集合 ， ，若 ，则由实数 组成的
集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，分 和 ，两种情况讨论，结合 ，列出方程，即可求解.
【详解】当 时，方程 无解，即 ，满足 ；
当 时，由方程 ，解得 ，即 ，
因为 ，可得 或 ，解得 或 ，
所以由实数 组成的集合为 .
21．（2026·广东广州·模拟预测）已知集合 ，若 ，则 的取值范围是
（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由子集的定义，解不等式可得结果.
【详解】由 ，可得 ，解得 .
故选：D.
22．（2026·河南·二模）已知集合 ， ，若 ，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，分 、 ，结合 进行求解．
【详解】当 时， ，符合 ；
当 时， ， ，又 ，
，
综上， ．
23．（25-26高三下·江西景德镇·期中）设集合 ， ，若 ，则a的取值
范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求集合 ，再由 即可求解.
【详解】由题意得： ，所以 ，所以 ，
由 ，所以 .
24．（2026·福建三明·二模）已知集合 ， ，若 ，则实数a的取
值范围为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】解不等式求得集合 ，由 ，可得 ，求解即可.
【详解】由 ，得 ，解得 ，
所以 ，又 ，
由 ，所以 ，解得 ，
所以实数 的取值范围为 .
25．（2026·上海金山·模拟预测）已知集合 ， 且 ，则实数a的取值范
围是_________.
【答案】
【分析】根据子集的包含关系，确定端点值范围即可.
【详解】解：由 ，则 集合中的所有元素必须属于 集合，
所以 ，即a的取值范围为 .
26．（2026·陕西咸阳·三模）已知集合 ，若 ，则实数 的取值范
围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】化简集合 分式不等式 等价于 ，解得 ，即 ，
化简集合 由 得 ，即 ；
根据包含关系求 的范围 表示 中所有元素都属于 ，要让区间 完全落在 内，只需满足： 解得 ，
即 的取值范围为 .
题型05 根据两个集合相等求参数
两个集合相等 两个集合的元素完全相同（不考虑顺序）。常见两种解法：①有限数集：将两个集合
的元素两两对应，联立方程组求解参数，完成后必须检验元素互异性；②方程解集型集合：若两个集合
都是一元二次方程的解集，可利用韦达定理（根与系数关系），由两根和、两根积列式计算。全程规避
元素重复、解集矛盾等问题。
27．（2026·江苏徐州·模拟预测）已知集合 ， ，若 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由集合相等可得一元二次方程的两个根，再由根与系数的关系可得 ，进而可得所求值.
【详解】已知 ， ，所以一元二次方程 的两个根就是 和 .
设一元二次方程 的两根为 ，则： ， ，
所以 ，即 ，因此
28．（2026·江西九江·模拟预测）已知 为实数，集合 ，且 ，则
（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【详解】因为 ，所以 或 ，
解得 ，或 ，（ 不符合集合元素的互异性，舍去）所以 .
29．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知集合 ， ，若 ，则
（ ）
A． B．2 C． D．1
【答案】D
【详解】因为 ，且 ，所以 ，即 ，
所以 .
30．（2026高三·全国·专题练习）设 ， ，其中 ，若 ，则
________．
【答案】1
【分析】由集合元素互异性、和集合相等的概念，分类讨论求解.
【详解】 ，由元素互异性得： ，且 ．
，由元素互异性得： ．
若集合 中 ，则 ，此时 ， ，
由 得 ，所以 ，此时 ， 符合要求；
若集合 中 ，则 ，此时 ，
，这与 矛盾，故这种情况不成立，
综上可知 ， ，故 ．
31．（2026高三·全国·专题练习） ，若 ，则 ______．
【答案】1
【分析】根据题意，利用集合相等和集合中元素的性质，求得 ， ，进而得到答案.【详解】由已知得 ，则 ，所以 ，
于是 ，即 或 ，
又由集合中元素的互异性知 应舍去，故 ，
所以 ．
32．（25-26高三·全国·一轮复习）已知a， ，若 ，则 ______.
【答案】
【分析】利用集合相等可得 ，代值求解即可.
【详解】由已知得 ，则 ，所以 ，
于是 ，即 或 ，
又由集合中元素的互异性知 应舍去，故 ，
所以 .
33．（25-26高三·全国·一轮复习）设集合 ， ，若 ，则 的值为
________．
【答案】
【分析】首先由集合元素的特征得 ，再由集合相等分 和 两种情况解得.
【详解】由集合 ， ，得 ，
又因为 ，则 或 ，
当 时， ， ， ，
于是 ，得 ，因此 ；
当 时，集合 ， ，有 ，则 ，解得 与 矛盾，舍去.
因此 ．题型06 根据交集结果求参数
交集 表示两个集合的公共元素集合。根据交集结果分情况处理：①交集为具体元素：说明该元素
同时属于 ，将元素分别代入两个集合的条件列方程求解；②交集为空集：说明两集合无公共元
素，结合方程无解、区间无重叠列不等式；③交集为区间/范围：利用数轴分析区间重叠部分，建立不等
关系。所有解出的参数都要回代验证，保证交集符合题意。
34．（2026·上海·三模）已知集合 ， ，若 ，则实数 __________．
【答案】
【详解】因为 ，所以 .
得 ，解得， .
当 时， ，满足 ；
当 时， ，满足 ；
综上所述， .
35．（2026·江苏连云港·模拟预测）已知集合 ， ，若 ，则
（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】A
【详解】因为集合 ， ， ，
所以 ，即 ，解得 .
36．（2026·福建泉州·模拟预测）已知集合 ， ，若 ，则
（ ）
A． 或 B． 或 C． 或 D． 或 或
【答案】A【详解】由 ，得 ，又由 ，根据集合元素的互异性，得 ，即 ，
而集合 ，由 ，得 或 ，所以 或 .
故选A.
37．（2026·山东·模拟预测）已知集合 ，若 ，则 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】由 得 ，进而求得 ，再验证即可求解.
【详解】由 ，所以 或 ，解得 或 ，
当 时， ，所以 ，满足题意，
当 时， ，所以 ，不满足题意，
所以 .
38．（25-26高三下·山东烟台·阶段检测）已知集合 或 }， ，且
，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由题意得 ，然后根据集合的包含关系即可求解.
【详解】由题意 ，得 ，
由于集合 或 }， ，
所以 或 ，解得 或 ，
故实数 的取值范围为 ，故D正确.
39．（2026·重庆·模拟预测）已知集合 ， ， ，则
（ ）A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】利用交集的性质可知点 同时属于集合A和B，将该点代入两个集合对应的方程求解即可得到
b的值.
【详解】由 可得，点 同时满足集合 、 的对应函数方程，
将 代入 的方程 ，得 ，解得 ；
将 和 代入 的方程 ，
得 ，解得 ，
因此 .
40．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知集合 ，若 ，则 的最大值为
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
【答案】B
【分析】根据 列不等式，由此求得 的取值范围，进而求得 的最大值.
【详解】依题意， ，
由于 ，
所以 ，解得 ，
所以 的最大值为 .
41．（2026高三·全国·专题练习）已知 ， ，若 ，则实数
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【分析】通过 ，确定 满足的不等式，求解即可.
【详解】 ，
可得 ，解得 ，
即实数 的取值范围是 .
题型07 根据并集结果求参数
并集 表示将两个集合所有元素合并（重复元素只保留一个）。若已知并集的元素、区间范围，核
心思路是转化为子集问题： ，则 且 。对于区间类集合，借助数轴分析两个集
合对总范围的覆盖情况，划定参数取值边界；对于离散数集，结合元素构成分析参数取值，同时遵守集
合元素互异性，排除使元素重复、集合范围异常的参数。
42．（2026·陕西西安·三模）已知集合 ， ，若 ，则a的取值集合是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，得到 ，列出关系式，即可求解.
【详解】因为 ，即 ，结合集合元素的互异性，可得 或 ，解得 或 ．
43．（2026·重庆·二模）已知集合 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】 ，解得 或 ，
当 时，此时 ，不合题意.当 时，此时 ，要使 ，则 .
综上 .
44．（25-26高三下·甘肃金昌·阶段检测）已知集合 ， ，且
，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】由 ，得 ， ，
又 ，且 ，
则 .
45．（2026高三下·河南信阳·专题练习）已知集合 ， ，且 ，
则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为 ， ， ，
所以 ，即实数 的取值范围为 .
46．（25-26高三下·湖北随州·阶段检测）已知集合 ， ．若 ，
则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先化简集合 ，再分析 ，利用 的性质，得或 ，要使 ，需保证 补上 未覆盖的部分且无遗
漏，因此关键是让唯一的“漏洞点” 落在 内，即 ，解得 ．
【详解】 ，
①当 时， ，
此时 ，满足条件．
②当 时， 对所有 成立，所以 ，
要使 ，需要 （否则 会是一个不在 中的点），即 ．
综上， 的取值范围是 ．
47．（25-26高三上·安徽合肥·阶段检测）已知集合 或 ， ，若
，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用并集的结果列式求解.
【详解】集合 或 ， ，由 ，
得 ，解得 ，所以实数 的取值范围是 .
故选：C
题型 08 根据补集结果求参数
补集依托全集 存在， 表示全集中除去集合 剩余的所有元素。解题先理清全集、原集合、补集
三者的元素构成与区间范围：①离散数集：根据“ 与 无公共元素，且 ”，对比元素列等式求参数；②区间集合：根据区间互补关系，确定端点数值，列出不等式或方程计算。计算后核对
全集范围，避免出现元素超出全集的错误。
48．（2026·山东威海·二模）已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据集合的性质以及补集的定义即可求解.
【详解】已知集合 ，
由补集的定义可知 ，即 ，
因此必有 且 ，解得 ，故A正确.
49．（2026·陕西咸阳·模拟预测）设全集 ，集合 ， ，则a的值是
（ ）
A．4 B．5 C．7 D．9
【答案】A
【详解】已知全集 ， ，
则 ，又 ，所以 ，解得 ．
50．（2026·河南驻马店·三模）已知全集 ，集合 ，若 ，则
（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】D
【详解】 全集 ，集合 ， ，
， ，故选项D正确.题型09 根据交并补混合运算求参数
先分步化简每一个集合，再把复杂的交、并、补混合运算转化为基础集合关系，常用等价转化：
、 等。将混合条件拆解为子集、交集、补集等基础
题型后，再按照对应方法列式求解参数，多步运算中注意区间端点、空集、元素互异性的综合检验。
51．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知全集 ，若
，则实数 的值为（ ）
A．1 B．3 C．-1或-3 D．1或3
【答案】D
【分析】求出A中方程的解确定A，再由A的补集与B的交集为空集，确定A与B的包含关系进行分类讨
论，即可确定m的值.
【详解】因为方程 的判别式 ，
所以 ，
根据题意得到集合 ， ，
即 ， ，
因为 ，所以 ，
所以 或 ，
若 ，则 ，解得 ，
若 ，则 ，解得 ，
所以 或 .
故选：D.
52．（2025高三上·河南鹤壁·专题练习）已知集合 ， ，若 ，则 的取值范围为______
【答案】
【分析】由补集和交集的概念可得出答案.
【详解】已知 ，则 ，
，且 ，
所以 .
故答案为：
53．（25-26高一上·安徽合肥·阶段检测）已知集合 ，若
，则实数m的取值范围是_________．
【答案】
【分析】根据题意，先求 或 ，再结合题意，分 和 讨论求解即可．
【详解】 或 ，
又 ，
所以①当 ， ，解得 ；
②当 ， ，解得 ；
综上， 时，实数m的取值范围为 ．
故答案为： ．
54．（25-26高一上·广东东莞·阶段检测）已知 ， ，且
，则 的值等于___________.
【答案】 /【分析】由交集结果得到 ，从而得到方程，求出 ，得到 ， ，代入计算得到
，求出答案.
【详解】 ，故 ，
所以 ，解得 ，
故 ，
又 ，故 ， ，
所以 ，解得 ，
.
故答案为；
55．（2025·新疆喀什·二模）已知集合 ， ， 且
，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先求解集合 ，再得到 ，然后根据 ，即可求解实数 的取值范围.
【详解】因为 ，所以 或 ，
所以 ，
所以 ，因为 ，所以 ，
所以实数 的取值范围为 .
故选： .
题型10 根据充分不必要条件求参数
逻辑关系转化规则：若 是 的充分不必要条件，则 且 ，对应集合关系为： 对应的解
集集合是 对应解集集合的真子集。解题步骤：先分别求解命题 对应的变量取值范围，得到两个
集合；再根据真子集的包含关系，结合数轴列出不等式（组），严格区分端点能否取等，最终解出参数
范围。
56．（2026高三·全国·专题练习）已知条件 ： ，条件 ： ，若 是 的充分
不必要条件，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先化简 求出解集 ,再求出二次不等式 对应方程的两根并分情况写出解集,由 是 的充分
不必要条件,可知 的解集要真包含于 的解集,由此列出约束条件 ,进而求出 .
【详解】由 得 ，根据指数函数单调性可得 ，即 .
方程 的两根为 和 .
不等式 的解集为：
当 时，解集为 ；
当 时，解集为空集；
当 时，解集为 .因为 是 的充分不必要条件，所以 是 解集的真子集，仅当 解集为 时满足条件.
因此满足 且 ，解得 ，即 的取值范围为 .
57．（25-26高二下·海南省直辖县级单位·阶段检测）已知 在 上单调递增，
.若 是 的充分不必要条件，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】对于命题 ，将问题转化为 在 上恒成立，求出 的范围，结合充分不必要
条件的定义即可求解 .
【详解】 在 上单调递增
在 上恒成立.
即 在 上恒成立，
所以： .
又 是 的充分不必要条件，所以集合 是集合 的子集，即 .
58．（25-26高三下·重庆沙坪坝·开学考试）已知非空集合 ，若
是 的充分不必要条件，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意，问题转化为两个集合的包含关系，可求实数 的取值范围.
【详解】非空集合 ，
是 的充分不必要条件，则有集合 是集合 的真子集，所以 ，
即实数 的取值范围为 .59．（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）命题“ ， ”为真命题的一个充分不必要
条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出命题“ ， ”为真命题时a的值，再结合充分不必要条件的定义即可得
解.
【详解】若命题“ ， ”为真命题，
则 ， 恒成立.
令 ，
则函数 在 上单调递减，在 上单调递增，且 ，
所以在当 时， 取得最大值6，可得 ，
所以各选项中只有 是 是 的一个充分不必要条件，
即 是“ ， ”为真命题的一个充分不必要条件.
故选:D.
60．（2026·上海杨浦·模拟预测）对数函数 与双曲线 均存在的一个充分不必要条
件为 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【详解】若对数函数 存在，则底数 且 ；
若 表示双曲线，则 ，即 ，综上，若两者均存在，则 或 .
而2在上述区间内，
所以 是对数函数 与双曲线 均存在的一个充分不必要条件.
61．（2026·北京昌平·二模）设 ，函数 有最大值的一个充分不必要条件是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先求出函数 有最大值的充要条件，再判断哪个选项是其充分不必要条件.
【详解】当 时： ，当 时， 单调递减， ；当 时，
，无最大值.
当 时： 时， 单调递增，当 时， ，无最大值.
当 时： 时， 单调递减，故 ；
时， ，开口向下，对称轴为 .
若 时，即 时， 在 上的最大值为 ，
则 ，解得 ；
若 时，即 时， 在 上单调递增，最大值为 ，
则 即 ，因为 ， ，不等式无解，函数此时无最大值；综上 有最大值的充要条件为 .
因为 ，
所以 有最大值的一个充分不必要条件是 .
62．（2026·江西南昌·三模）设 且 ，函数 的值域为 的一个充分不必
要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分别分析函数在不同区间上的单调性和值域，再根据函数的值域为 确定 的取值范围，最后根
据充分不必要条件的定义判断选项.
【详解】当 时， ，因为函数 在 上单调递增，则 在 上单调
递增，
所以 ，即 在 上的值域为 ；
当 时， ， 且 .
①当 时， 在 上单调递减，所以 ，
即 在 上值域为 ，值域存在上界，整个函数值域无法延伸到正无穷，不满足值
域为 ，不合题意；
②当 时， 在 上单调递增，所以 ，
即 在 上值域为 ，
因为整个函数值域为 ，所以 ，解得 或 ，又因为 ，所以 ，即 .
所以函数 的值域为 的一个充分不必要条件对应的 的取值范围应为 的
真子集，所以B正确.
题型11 根据必要不充分条件求参数
若 是 的必要不充分条件，则 且 ，对应集合关系为： 对应的解集集合是 对应解集
集合的真子集。先分别解出两个命题的取值集合，再依据真包含关系建立不等式。求解时重点分析区间
端点：若端点相等会变成充要条件，需单独排除，保证“不能互相推出”的逻辑关系成立。
63．（2026高三·全国·专题练习）若 是 的必要不充分条件，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由不等式 可得 ，再根据题意可得 ，由此得到 的取值范围.
【详解】由 可知 ,
是 的必要不充分条件，
64．（25-26高三上·陕西咸阳·阶段检测）若“ ”是“ ”的必要不充分条件，则实数 的取
值范围是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据不等式的解法，求得 ，转化为集合 是 的真子集，进而求得实数 的
取值范围，得到答案.
【详解】由不等式 ，可得 ，解得 ，即 ，
因为 是 的必要不充分条件，
所以集合 是集合 的真子集，所以 ，
所以实数 的取值范围为 .
故选：B.
65．（25-26高三上·内蒙古包头·阶段检测）设 ，则“ ”是“ ”的必要而不充分条
件，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据一元二次不等式以及绝对值不等式的求解化简，即可根据必要不充分条件列出不等式求解.
【详解】∵ ，∴ ，∵ ，∴ ，
∴ 是 的必要不充分条件，则 或 ，得 ，
故选：A．
66．（24-25高三上·河北邯郸·阶段检测）已知 ， ，若 是 的必要不充分条件，则实数
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】依题意， 是 的子集，利用子集思想求解即可.【详解】 是 的必要不充分条件，则 是 的子集，
又因为 ， 或 ，所以 .
故选：C.
67．（24-25高二上·重庆·开学考试）已知“ ”是“ ”表示圆的必要不充分
条件，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意先根据圆的一般方程求出“ ”表示圆时m的取值范围，再根据
必要不充分条件得出两个范围的包含关系，从而得出t的取值范围.
【详解】因为 表示圆，
所以根据圆的一般方程， ，
又因为 是 表示圆的必要不充分条件，
所以 能推出 ，而 推不出 ，
即 是 的真子集，
所以 ，
故选: B.
68．（24-25高三·全国·三轮复习）对于函数 ， 在 上单调递增的必要不充
分条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】对函数 求导得 ，对 进行分类讨论可知 不符合题意；
时， ，研究 的符号可得 的单调性及符号，进而可求得在 上单调递增的充要条件，即可求解.
【详解】 ， .
当 时，若 ，则 ，此时 ，
在 上单调递减，不符合题意；
当 时， ，
当 时， 在 上恒成立，
在 上单调递增，且 ，
在 上恒成立，
在 上单调递增，符合题意.
当 时，令 的解为 .
当 时， ，
在 上单调递减，且 ，
在 上恒成立，
在 上单调递减，不符合题意.
综上， 在 上单调递增的充要条件为 .
在 上单调递增的一个必要不充分条件是 .
故选：A.题型12 根据充要条件求参数
若 是 的充要条件，则 ，二者可以互相推出，对应集合关系为：两个命题的解集完全相等
（两集合互为子集）。解题时先分别求出 对应的取值范围，令两个集合完全等同，联立等式、不
等式组求解参数。若为方程、函数类问题，还需结合定义域、函数性质、元素特征综合验证，确保双向
推导都成立。
69．（24-25高一上·全国·课后作业）集合 ，集合 ，若“ ”是“ ”的
充要条件，则 （ ）
A．0 B． C．3 D．5
【答案】B
【分析】由题意可得 ，进而可求 的值.
【详解】因为“ ”是“ ”的充要条件，所以 ，
又 ， ，所以 .
故选：B.
70．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知复数 为虚数单位 的共轭复数为 ，则“ 为
纯虚数”的充分必要条件为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据复数的乘法运算化简复数，再由共轭复数和纯虚数的定义即可求解.
【详解】因为 ，
由 为纯虚数，即 且 ，
即 且 .
故选：D.71．（25-26高三上·宁夏银川·阶段检测）函数 有且只有一个零点的充要条件是
（ ）
A． B． 或 C． D．
【答案】B
【分析】将问题转化为当 时， 无零点，再分 和 两种情况讨论即可.
【详解】当 时， 得 ；
因 有且只有一个零点，
故 时， 无零点，即 在 上无实根，
当 时，方程显然无实根；
当 时， ，得 ，
综上， 有且只有一个零点的充要条件是 或 .
故选：B
72．（2025·江西景德镇·三模）函数 为偶函数的充要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由 为偶函数，得到 对任意的 恒成立，求得 ，利用函数的奇偶性的定
义进行验证，即可求解.
【详解】若 为偶函数，则 对任意的 恒成立，
即 ，
所以 对任意的 恒成立，故 ；
若 ，则 ，所以 ，故 为偶函数，
所以 为偶函数的充要条件为 .
故选：B．
73．（23-24高一上·江苏常州·期末）“函数 在区间 上单调递增”的充要条件是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用导数研究函数的单调性即可得到答案.
【详解】 ，定义域为 ，
，
令 ，解得 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以函数 在区间 上单调递增”的充要条件是 ，
故选：C.
74．（25-26高三上·江西南昌·开学考试） ，已知 ，若“ ”的充要条件
是“ ”，则实数 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用导数得到函数 的单调性后可得其极值，再利用充要条件定义分类讨论即可得.
【详解】由题意， ，由 或 ；由 ，
所以 在 和 上单调递增，在 上单调递减，
则函数 的极大值为 ，极小值为 ，
当 ，解得 或 ，
当 时， ，而 ，“ ”的充要条件是“ ”
当 时， ，不合题意，
所以 的最大值为 .
故选：B.
题型13 根据全称量词命题的真假求参数
全称命题形式： ，含义是集合 内所有元素都满足条件 。①命题为真：等价于不
等式/等式在定义域内恒成立。一次式利用单调性求最值；二次式分二次项系数是否为 0，结合开口方
向、判别式 判断；复杂式子可采用分离参数法，转化为求函数最值，进而确定参数范围。②命题为
假：直接对“命题为真”的参数范围取补集即可。
75．（2026·陕西西安·模拟预测）若命题“ , ”为真命题，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由命题“ ”为真命题，利用判别式，即可确定实数 的取值范围．
【详解】由命题“ ”为真命题，
，
解得： ，76．（25-26高三上·云南昆明·阶段检测）已知命题 为真命题，则实数 的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分 和 两种情况讨论，结合一元二次不等式的解集可求得实数 的取值范围.
【详解】因为命题 为真命题，
所以不等式 的解集为 ，
若 ，则不等式可化为 ，满足题意；
若 ，则根据一元二次不等式解集的形式可知： ，
解得 ，综上所述，实数 的取值范围是 .
故选：D.
77．（25-26高三上·北京·阶段检测）已知命题“ ” 是假命题，则实数 的取值范围
是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，转化为 是真命题，结合二次函数的性质，列出不等式，即可求解.
【详解】由命题 是假命题，可得命题 是真命题，
则满足 ，解得 或 ，
所以实数 的取值范围为 .
故选：B.78．（2025·云南·一模）已知命题“ ”是真命题，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用一次函数的单调性及全称命题的真假计算即可.
【详解】由于该命题是真命题，则 在 上恒成立，
设函数 ，则 ．
因为 ，所以 .
故选:A．
79．（24-25高一上·四川资阳·阶段检测）若 ， 为真命题，则 的取值
范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】变换主元法，化为关于 的一元一次不等式，结合对应一次函数的性质列不等式求参数范围.
【详解】由题意知， ， 恒成立，
设函数 ，即 ， 恒成立.
则 ，即 ，解得 ，或 .
故选：C
80．（25-26高三上·四川内江·阶段检测）若命题“ ， ”是真命题，则 可能是
（ ）
A．8 B．6 C．5 D．3
【答案】D【分析】利用基本不等式求出 ，即可求解.
【详解】由命题“ ， ”是真命题，所以 ，
当 时， ，当且仅当 ，即 时取等号，
所以 ，故D正确.
故选：D.
81．（25-26高三上·安徽六安·阶段检测）若命题“ ”为假命题，则 的值可能为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意可知“ ”为真命题，结合基本不等式可求得a的取值范围，结合选项，
即可得答案.
【详解】由于命题“ ”为假命题，
故命题“ ”为真命题，
因为 ，当且仅当 ，即 时等号成立，
故 ，结合选项可知a的值可能为4.
故选：D
题型14 根据存在性量词命题的真假求参数
存在性命题（特称命题）形式： ，含义是集合 内至少有一个元素满足条件 。①命题为真：等价于式子在定义域内有解，常用分离参数法，求出对应函数的值域，参数落在值域内即满
足条件；②命题为假：等价于它的否定（全称命题）恒成立，再按照全称命题恒成立的方法求解参数。
解题时常结合基本不等式、函数单调性求最值，确定参数边界。
82．（2026·甘肃张掖·模拟预测）命题 “ ，使得不等式 成立”为假命题，则实数
的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】题意说明 ：“ ， 恒成立”是真命题，然后对 分类讨论可得.
【详解】命题 “ ，使得不等式 成立”为假命题，则命题 ：“ ，
恒成立”是真命题，
时，不等式为 恒成立，满足题意，
时，则 ，解得 ，
综上， 的范围是 .
83．（2027高三·全国·专题练习）命题p： ， 为假命题，则实数m的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了特称命题的否定，二次函数恒成立问题，掌握特称命题与全称命题的否定关系是解题
的关键．
先求命题 为真时 的范围，再取补集得假命题时 的范围，或直接转化为全称命题的恒成立问题，用判
别式求解．
【详解】解：若命题p： ， 为真命题，则 ，解得 ，
所以当命题p： ， 为假命题时， ．
故选：B．
84．（25-26高三上·江西·期中）已知 ，使 为真命题，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由 求解即可.
【详解】由题意可得：
解得： ，
故选：B.
85．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期末） ， ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意可得 ，根据基本不等式计算可解.
【详解】由题意可得 ， ，
则 ， ，即 ，
当 时，由基本不等式可得 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
因为 ，所以 ，
所以 的取值范围是 .
故选：A.
86．（2025·陕西汉中·一模）若 ，使得 成立，则实数 的取值范围是（
）
A． B． C． D．【答案】B
【分析】由题意得 ，解出即可求解.
【详解】将题中条件转化为不等式 ，在区间 上至少有一个解，
这等价于 的值大于该区间上x的最小值，
因为当 时，x的最小值为 ，
所以必有 ，解得以 .
故选：B.
87．（25-26高三上·河南·阶段检测）已知a为实数，p: 在
(0，+∞)上单调递增，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】由命题为真分别求出 的范围，再根据充分条件、必要条件的概念求解.
【详解】由 知， 在 上有解，
所以 ；
因为 的对称轴方程为 ，由 知， ，
因为 不能推出 ， ，
所以p是q的必要不充分条件，
故选：B
