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第 05 讲 空间向量及其应用 (精练）
A夯实基础
一、单选题
1．（2022·河南省实验中学高二阶段练习）设向量 不共面，则下列可作为空间的一个基底的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·吉林·长春外国语学校高二阶段练习）若直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为
，则（ ）
A． B． C． D． 与 斜交
3．（2022·浙江·杭州四中高二期末）已知向量 ， ，且 与 互相平行，则
（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·河北保定·高二阶段练习）如图，在正三棱柱 中， ，E是 的中
点，F是 的中点，若点G在直线 上，且 平面AEF，则 （ ）
A． B． C． D．
5．（2022·四川·棠湖中学高二阶段练习（理））如图， 是正三角形 所在平面外一点， ， 分别
是 和 的中点， ，且 ，则异面直线 与 所成角的余弦
值为（ ）A． B． C． D．
6．（2022·河南·鄢陵一中高二期中（理））如图，在四棱锥 中， 平面 ，
， ， ，已知 是边 的中点，则 与平面 所成角
的正弦值为（ ）
A． B． C． D．2
7．（2022·湖北·襄阳市襄州区第一高级中学高二阶段练习）已知平面 的一个法向量为 ，点
在平面 内，若点 到平面 的距离 ，则 （ ）
A． B． C． 或 D． 或
8．（2022·河南·高二阶段练习）有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种
以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，
这是一个棱数为24，棱长为 的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由
一个正方体截去八个一样的四面体所得.若点 为线段 上的动点，则直线 与直线 所成角的余弦值
的取值范围为（ ）A． B． C． D．
二、多选题
9．（2022·全国·高二课时练习）已知空间向量 ， ，则下列正确的是（ ）
A． B． C． D． ，
10．（2022·辽宁营口·高二开学考试）已知向量 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
11．（2022·全国·高二课时练习）若向量 ， ，其中 ，则 的最小值为
______．
12．（2022·全国·高二专题练习）已知 为平面 的一个法向量， 为直线 的方向向
量.若 ，则 __________.
四、解答题
13．（2022·河南省叶县高级中学高二阶段练习）已知向量 ， ．
(1)求 的值；
(2)求向量 与 夹角的余弦值．14．（2022·湖北孝感·高二阶段练习）如图 ，已知 是边长为 的正三角形， ， ， 分别是
， ， 边的中点，将 沿 折起，使点 到达如图 所示的点 的位置， 为 边的中点．
(1)证明： 平面 ．
(2)若平面 平面 ，求平面 与平面 夹角的余弦值．
B能力提升
15．（2022·云南·昆明市官渡区艺卓中学高二阶段练习）如图，线段PC、BC、DC两两垂直，AD∥BC，CB
＝CD＝CP＝3AD＝3．点F为PA的中点，点E在CD上，且CE＝1．
(1)求证：BE⊥CF；
(2)求平面ADP与平面BPC夹角的余弦值．16．（2022·云南大理·模拟预测）如图，在正三棱柱 中，底面边长为2， ，D为 的
中点，点E在棱 上，且 ，点P为线段 上的动点．
(1)求证： ；
(2)若直线 与 所成角的余弦值为 ，求平面 和平面 的夹角的余弦值．
