专题02 抽象函数的性质：定义域、值域、求值、
单调性、奇偶与对称性、周期性、解析式
题型
考情分析
考向预测
1．抽象函数的定义域、值域
2．抽象函数的求值
3．抽象函数的单调性（定义法）
4．抽象函数的奇偶性
5．抽象函数的对称性
6．抽象函数的周期性
7．抽象函数的解析式（熟记可用于秒杀）
2026 年上海卷：第16 题考查了抽
象函数的值域
2025 年北京卷：第7 题考查了抽
象函数的值域
2024 年新高考卷Ⅰ：第8 题考查了
抽象函数的求值
2023 年新高考卷Ⅰ：第11 题考查了
抽象函数的奇偶性与求值
考查抽象函数的奇偶
性与以及周期性结合
求值
题型1 抽象函数的定义域、值域
抽象函数的定义域的求法
(1)若已知函数f (x)的定义域为[a，b]，则复合函数f (g(x))的定义域由a≤g(x)≤b 求出．
(2)若已知函数f (g(x))的定义域为[a，b]，则f (x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．
注：求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集
合或区间来表示.
1．（25-26 高三下·江西宜春·开学考试）已知函数
f x 的定义域为
0,2 ，则函数
1 ln
2
g x
f x
x
=
-
-
g
的定义域为（ ）
A．
2,3
B．
2,3
C．
1,2
D．
1,3
【答案】B
【分析】根据函数有意义建立不等式组求解即可.
【详解】由函数
f x 的定义域为
0,2 ，
所以函数
g x 要有意义则：
0
1
2
1
3
2
0
2
x
x
x
x
<
- £
<
£
ì
ì
Þ
í
í
-
>
>
î
î
，解得：2
3
x
<
£
，
所以函数
g x 的定义域为：
2,3 .
2．已知函数
(
1)
f x -
的定义域为[ 2,1]
-
，则函数
(2
1)
2
1
f
x
x
-
+
的定义域为（ ）
A．
1 1
,
2 2
æ
ù
-
ç
ú
è
û
B．
1
1, 2
é
ù
-
ê
ú
ë
û
C．
1 ,1
2
æ
ù
-
ç
ú
è
û
D．
1
1
1,
,1
2
2
é
ö
æ
ù
- -
-
÷
ç
ê
ú
ë
ø
è
û
U
【答案】A
【分析】由
(
1)
f x -
的定义域得
f x 的定义域，进而得
3
2
1
0
2
1
0
x
x
- £
- £
ì
í
+ >
î
，解出即可求解.
【详解】由函数
(
1)
f x -
的定义域为[ 2,1]
-
，所以2
1
3
1
0
x
x
- £
£ Þ - £
- £
，
所以
f x 的定义域为
3,0
-
，所以
1
1
3
2
1
0
1
1
2
2
1
0
1
2
2
2
x
x
x
x
x
ì- £
£
ï
- £
- £
ì
ï
Þ
Þ -
<
£
í
í
+ >
î
ï > -
ïî
，
则
(2
1)
2
1
f
x
x
-
+
的定义域为
1 1
,
2 2
æ
ù
-
ç
ú
è
û ，故A 正确.
故选：A.
3．（25-26 高三上·河南南阳·期中）已知函数
2
f x +
的定义域为
3,5
-
，则函数
2
1
f
x -
的定义域为
（ ）
A．
2,2
-
B．
0,4
C．
3,13
-
D．
7,9
-
【答案】B
【分析】根据函数定义域的概念，以及抽象函数定义域的求法，根据换元法，求出结果即可.
【详解】因为
2
f x +
的定义域为
3,5
-
，所以3
5
x
- <
<
，所以1
2
7
x
- <
+
<
.
则
f x 的定义域为
1,7
-
，故对于
2
1
f
x -
，令1
2
1
7
x
- <
- <
，解得0
4
x
<
<
.
故
2
1
f
x -
的定义域为
0,4 ，
故答案为：B.
4．定义域为R 的函数
y
f x
=
的值域为
,a b ，则函数
y
f x
a
=
-
的值域为（ ）
A．
0,b
a
-
B．
,a b
C．
2 ,a a
b
+
D．
,a b
a
-
-
【答案】B
【分析】由函数图像的平移变换，即可得到结果.
【详解】因为函数
y
f x
a
=
-
是由函数
y
f x
=
向右
0
a >
或向左
0
a <
平移a 个单位得到，所以函数
y
f x
a
=
-
的值域与函数
y
f x
=
的值域相同.
故选：B
5．（25-26 高三上·山东菏泽·期中）已知函数
y
f x
=
的定义域和值域分别为
2 2
- ,
和
4,9 ，则函数
1
y
f x
=
-
的定义域和值域分别为（ ）
A．
3, 1
-
-
和
3,8
B．
3, 1
-
-
和
4,9
C．
1,3
-
和
3,8
D．
1,3
-
和
4,9
【答案】D
【分析】本题考查函数定义域和值域的概念以及函数图象的平移变换，解题的关键在于理解函数图象平移
对定义域和值域的影响.
【详解】函数
y
f x
=
的图像向右平移1 个单位长度得到函数
1
y
f x
=
-
的图像，故定义域为
1,3
-
，值
域不变
4,9 ；
故选：D
6．（2025·黑龙江大庆·三模）已知
( )
f x 是定义在R 上的奇函数，( )
g x 是定义在R 上的偶函数，若函数
( )
( )
f x
g x
-
的值域为[ 3,2]
-
，则函数
(3 )
(3 )
f
x
g
x
+
的最大值为（ ）
A．2
B．3
C．6
D．9
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用奇偶函数的性质，结合函数值域的意义求出最大值.
【详解】由函数
( )
( )
f x
g x
-
的值域为[ 3,2]
-
，得
(
)
(
)
2
3
f
x
x
g
-
-
-
£
£
-
，
由
( )
f x 是定义在R 上的奇函数，得
(
)
( )
f
x
f x
-
= -
，由( )
g x 是定义在R 上的偶函数，得(
)
( )
g
x
g x
-
=
，
则
( )
( )
2
3
f x
x
g
-
-
-
£
£
，则
3
2
( )
( )
x
x
f
g
+
£
£
-
，而函数
(3 )
(3 )
f
x
g
x
+
与
( )
( )
f x
g x
+
的值域相同，
所以函数
(3 )
(3 )
f
x
g
x
+
的最大值为3.
故选：B
题型2 抽象函数的求值
一般采用赋值法，0,1，x,-x 是常见的赋值手段，或者是代入……，
1
1
1,
,0
,1
2
2
-
-
，
，……等特殊值求解；
1．（24-25 高三上·江西·月考）已知函数
f x 的定义域为R ，且
2
f x
y
f x
y
f
y
+
-
-
=
，则
0
f
=
（ ）
A．0
B．1
C．2
D．1
-
【答案】A
【分析】令
0
y =
代入题设关系式，即可求
0
f
.
【详解】令
0
y =
，则
0
0
2
0
f x
f x
f
+
-
-
=
Þ
0
0
f
=
.
故选：A
2．（2026·福建福州·模拟预测）已知函数
f x 的定义域为R ，且
2
1
f x
y
f x
f
y
xy
+
=
+
+
+ ，
1
0
f
=
，则
6
f
= （ ）
A．34
B．35
C．36
D．37
【答案】B
【详解】在
2
1
f x
y
f x
f
y
xy
+
=
+
+
+ 中，且
1
0
f
=
，
令
1
x
y
=
= ，得
1 1
1
1
2 1 1 1
2
3
f
f
f
f
+
=
+
+ ´ ´ + Þ
=
，
令
1,
2
x
y
=
=
，得
1
2
1
2
2 1 2 1
3
8
f
f
f
f
+
=
+
+ ´ ´ + Þ
=
，
令
3
x
y
=
=
，得
3
3
3
3
2 3 3 1
6
35
f
f
f
f
+
=
+
+ ´ ´ + Þ
=
.
3．（2025·河北·模拟预测）已知函数
f x 的定义域为
0, ¥
+
，
0
x
" >
，
0
y >
，都有
f xy
f x
f
y
=
+
，且
1
1
4
f æ
ö = -
ç
÷
è
ø
，则
64
f
= （ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】A
【分析】赋值法得到
1
1
2
2
f æ
ö = -
ç
÷
è
ø
，
1
0
f
=
，
1
2
2
f
=
，
4
1
f
= ，从而
64
2
8
2
2
4
3
f
f
f
f
é
ù
=
=
+
=
ë
û
【详解】因为
1
1
1
4
2
2
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
+
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
f
f
f
，
1
1
4
f æ
ö = -
ç
÷
è
ø
，所以
1
1
2
2
f æ
ö = -
ç
÷
è
ø
，
又
1
1
1
f
f
f
=
+
，有
1
0
f
=
，
又由
1
1
2
2
f
f
f
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø
，有
1
2
2
f
=
，故
4
2
2
1
f
f
=
= ，
64
2
8
2
2
4
3
f
f
f
f
é
ù
=
=
+
=
ë
û
．
故选：A．
4．（25-26 高三上·山西太原·月考）已知函数
f x 满足：
,x y
"
ÎR ，都有
f
f x
y
f x
f
y
+
=
+
，且
0
1
f
= ，则
2026
2026
f
f
+
-
= （ ）
A．1
-
B．0
C．1
D．2
【答案】D
【分析】令
0
x
y
=
=
，得出
1
2
f
=
，再令y
x
= - 即可求出.
【详解】令
0
x
y
=
=
，则
0
0
0
f
f
f
f
=
+
，
因
0
1
f
= ，则
1
2
f
=
，
令y
x
= - ，则
0
1
2
f
f
f
f x
f
x
=
=
+
-
=
，
则
2026
2026
2
f
f
+
-
=
.
故选：D
5．（2025 高三·全国·专题练习）定义在
0, ¥
+
上的函数
f x 满足条件①
0,
x
" Î
+¥ ，
0
f x
，②
,
0,
x y
"
Î
+¥ ，
1
2
f xy
f x f
y
=
，
f x f
y
f x
y
f x
f
y
+
=
+
，则
5
2
f æ
ö
ç
÷
è
ø的值为（ ）
A．2
5
B．4
5
C．5
2
D．8
5
【答案】B
【分析】令
1
x
y
=
= 求出
1
f
，即可求出
2
f
，再令
1
2
x
y
=
=
求出
1
2
f æ
ö
ç
÷
è
ø，最后根据
5
1
2
2
2
f
f
æ
ö
æ
ö
=
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø 计
算可得.
【详解】
,
0,
x y
¥
"
Î
+
Q
，
1
2
f xy
f x f
y
=
，令
1
x
y
=
= ，得
2
1
1
1
2
f
f
=
，
又
1
0
f
，
1
2
f
\
=
，
1
1
2
1 1
1
1
1
f
f
f
f
f
f
×
\
=
+
=
=
+
，
再令
1
2
x
y
=
=
，
1
1
1
1
2
2
1
1
1
2
2
2
2
f
f
f
f
f
f
æ
ö
æ
ö
×
ç
÷
ç
÷
æ
ö
è
ø
è
ø
=
=
ç
÷
æ
ö
æ
ö
è
ø
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
1
2
1
4
2
f
f
æ
ö
\
=
=
ç
÷
è
ø
，
1
2
5
1
4
2
2
1
2
2
5
2
2
f
f
f
f
f
f
æ
ö
×
ç
÷
æ
ö
æ
ö
è
ø
\
=
+
=
=
ç
÷
ç
÷
æ
ö
è
ø
è
ø
+
ç
÷
è
ø
.
故选：B
6．（2025 高三·全国·专题练习）已知定义在正整数集上的函数
( )
f x 满足
(
( ))
( )
f x
f y
f x
y
+
=
+
，且有
(1
(1))
2
f
f
+
=
，则（ ）
A．
(2025)
2025
f
<
B．
(2026)
2026
f
<
C．
(2026)
2025
f
<
D．
(2025)
2026
f
<
【答案】D
【分析】先应用赋值法计算得出
(
1)
( )
1
f x
f x
+
-
= ，进而得出
f x
x
=
，进而判断各个选项.
【详解】取
1
x
y
=
= ，得
(1
(1))
(1) 1
f
f
f
+
=
+ ，
又
(1
(1))
2
f
f
+
=
，故
(1)
1
f
= ．
取
1
y = ，得
(
(1))
( ) 1
f x
f
f x
+
=
+ ，即
(
1)
( )
1
f x
f x
+
=
+ ，
所以对正整数x，
(
1)
( )
1
f x
f x
+
-
= ，
得
1
1
2
2
1
1
f x
f x
f x
f
x
x
=
-
+ =
-
+
=
=
+
- =
L
，
(2025)
2025
2026
f
=
<
，A 选项错误；D 选项正
确；
2026
2026
f
=
，B 选项错误；C 选项错误；
故选:D．
题型3 抽象函数的单调性（定义法）
1、令式子中出现
1
2
( )
( )
f x
f x
-
的变换判定单调性；
2、单调性与对称性（或奇偶性）结合解不等式问题
①
x
f
在R 上是奇函数，且
x
f
单调递增 Þ 若解不等式
0
2
1
>
+
x
f
x
f
，则有
0
2
1
>
+ x
x
；
x
f
在R 上是奇函数，且
x
f
单调递减 Þ 若解不等式
0
2
1
>
+
x
f
x
f
，则有
0
2
1
<
+ x
x
；
②
x
f
在R 上是偶函数，且
x
f
在
+¥
,0
单调递增 Þ 若解不等式
2
1
x
f
x
f
>
，则有
2
1
x
x >
（不变号加绝对值）；
x
f
在R 上是偶函数，且
x
f
在
+¥
,0
单调递减 Þ 若解不等式
2
1
x
f
x
f
>
，则有
2
1
x
x <
（变号
加绝对值）；
③
x
f
关于
b
a,
对称，且
x
f
单调递增 Þ 若解不等式
b
x
f
x
f
2
2
1
>
+
，则有
a
x
x
2
2
1
>
+
；
x
f
关于
b
a,
对称，且
x
f
单调递减 Þ 若解不等式
b
x
f
x
f
2
2
1
>
+
，则有
a
x
x
2
2
1
<
+
；
④
x
f
关于
a
x =
对称，且
x
f
在
+¥
,a
单调递增 Þ 若解不等式
2
1
x
f
x
f
>
，则有
a
x
a
x
-
>
-
2
1
（不变号加绝对值）；
x
f
关于
a
x =
对称，且
x
f
在
+¥
,a
单调递减 Þ 若解不等式
2
1
x
f
x
f
>
，则有
a
x
a
x
-
<
-
2
1
（不变号加绝对值）；
1．（2027 高三·全国·专题练习）设函数
f x 的定义域是R ，对于任意实数m ，n ，恒有
f m
n
f m
f n
+
=
×
，且当
0
x >
时，有
0
1
f x
<
< ．
(1)求证：
0
1
f
= ，且当
0
x <
时，有
1
f x > ；
(2)判断
f x 在R 上的单调性．
【答案】(1)证明见解析
(2)
f x 在R 上单调递减
【分析】（1）先用赋值法证明
(0)
1
f
= ，再通过将自变量拆分成一个负数与它的相反数，利用已知正数范
围函数值的性质，推导出负数时的函数值大于1；
（2）利用指数型函数性质，取任意两个实数，通过它们的差为正数，将较大的函数值表示为较小的函数
值与一个正数对应的函数值的乘积，结合已知正数时的函数值范围，判断出函数在全体实数上单调递减.
【详解】（1）证明: 由题可知对任意实数m ，n ，恒有
f m
n
f m
f n
+
=
×
，令
1
m = ，
0
n =
，则
1
1 ·
0
f
f
f
=
．
因为当
0
x >
时，有
0
1
f x
<
< ，所以
0
1
f
= ．
令
0
m
x
=
<
，
0
n
x
= - >
，则
0
f
f x
f
x
=
×
-
，
0
1
f
x
<
-
< ，
所以
0
1
1
f
f x
f
x
f
x
=
=
>
-
-
．
即当
0
x <
时，有
1
f x > ．
（2）不妨设
1
2
x
x
<
，则
2
1
0
x
x
-
>
，所以0
2
1
1
f x
x
<
-
< ．
由（1）知，
1
0
f x
>
，
所以
2
1
2
1
1
1
2
1
1
1
f x
f x
f
x
x
x
f x
f x
x
f x
f x
é
ù
-
=
-
+
-
=
-
×
-
ë
û
1
2
1
1
0
f x
f x
x
é
ù
=
×
-
-
<
ë
û
，
即
2
1
f x
f x
<
，所以
f x 在R 上单调递减．
2．（2025 高三·全国·专题练习）已知定义在
+
R 上的函数
F x 满足条件：
①对定义域上任意,x y ，都有
F x
F y
F xy
+
=
；②当
1
x > 时，
0
F x >
．
(1)求证：
1
F
F x
x
æ
ö = -
ç
÷
è
ø
；
(2)求证：
F x 在
+
R 上单调递增．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）利用赋值法可得答案；
（2）设
1
2
0
x
x
<
<
，利用已知结合单调函数的定义可得答案．
【详解】（1）令
1
x
y
=
= 得
1
0
F
=
，
令
1
y
x
=
，则
1
1
F
F x
F
x
æ
ö +
=
ç
÷
è
ø
，即
1
F
F x
x
æ
ö = -
ç
÷
è
ø
；
（2）设
1
2
0
x
x
<
<
，则
2
1
1
x
x > ，故
2
1
0
x
F
x
æ
ö >
ç
÷
è
ø
，
因为
2
2
1
2
1
1
1
0
x
F x
F x
F x
F
F
x
x
æ
ö
æ
ö
-
=
+
=
>
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
所以
2
1
>
F x
F x
，即
F x 在
+
R 上单调递增．
3．（2025 高三·全国·专题练习）已知
f x 定义在R 上，且
3
3,
0
2
f x
y
f x
f
y
f æ
ö
+
=
+
-
=
ç
÷
è
ø
，当
3
0
2
x -
>
时，
0
f x <
．
(1)求证：当
0
x <
时，
3
f x >
；
(2)求证：
f x 在R 上单调递减．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）根据函数满足的表达式及其函数值，由
3
0
2
f æ
ö =
ç
÷
è
ø
并结合不等式性质可证明；
（2）利用函数单调性定义证明即可.
【详解】（1）由题可知
3
3
3
3
3
3
3
2
2
2
2
f
f
f
f
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
+
=
+
-
= -
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
，
由
3
3
3
0
f x
f
x
f
+
-
=
+
=
，得
3
f x
f
x
= -
-
，
而
3
3
3
3
2
2
f
x
f
f
x
æ
ö
æ
ö
-
=
+
-
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，当
0
x <
时，3
3
3
,
0
2
2
2
x
f
x
æ
ö
-
>
-
<
ç
÷
è
ø
，
从而
3
3
3
3
3
2
2
f
x
f
f
x
æ
ö
æ
ö
-
=
+
-
-
< -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，即
3
3
f x
f
x
= -
-
>
．
另解：
3
3
3
0
3
2
2
2
f
f
x
x
f
x
f x
é
ù
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
=
-
+
=
-
+
-
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ê
ú
è
ø
è
ø
è
ø
ë
û
，
3
3
3
2
f x
f
x
æ
ö
=
-
-
>
ç
÷
è
ø
．
（2）对于任意的
1
2
x
x
<
，
1
2
1
2
2
1
2
3
f x
f
x
x
x
f x
f x
x
é
ù
=
+
-
=
+
-
-
ë
û
，
由于
1
2
0
x
x
-
<
，所以有
1
2
3
f x
x
-
> ，
故
1
2
1
2
2
3
f x
f x
f x
x
f x
=
+
-
-
>
，
即
f x 在R 上单调递减．
4．（2026·湖北孝感·一模）已知定义在R 上的函数
f x 满足以下条件：
①
1
2
f
=
；
②当
0
x >
时，
0
f x >
；
③对
,x y
"
ÎR ，均有
f x
y
f x f
y
f x
f
y
+
=
+
+
，且
1
f x - ．
(1)用
f x 表示
f
x
-
；
(2)判断
f x 的单调性，并证明你的结论；
(3)已知数列
na
满足
3
2
1
2
1
n
n
n
n
f n
f a
f n
-
×
-
=
×
+
，求数列
na
的前n 项和
n
S ．
【答案】(1)
1
f x
f
x
f x
-
-
= +
(2)
f x 是R 上的单调递增函数，证明见解析
(3)
1
1
1 2
2
2
n
n
n n
S
n
+
+
=
-
-
×
-
【分析】（1）先令
1
x = ，
0
y =
得
0
0
f
=
，再令y
x
= - 即可求得
1
f x
f
x
f x
-
-
= +
.
（2）先判断
f x 的单调性，再结合函数法则利用单调性定义证明即可.
（3）先求得
2n
n
f a
f n
n
=
-
×
，然后利用
f x 是R 上的单调递增函数得
2n
na
n
n
=
- ×
，进而结合等差数
列和等比数列求和公式，利用分组求和法及错位相减法求和即可.
【详解】（1）对③式，令
1
x = ，
0
y =
，则
1
1
0
1
0
f
f
f
f
f
=
×
+
+
，
即
1
1
0
0
f
f
é
ù
+
×
=
ë
û
，又∵
1
0
f
>
，∴
0
0
f
=
，
对③式，令y
x
= - ，则
0
0
f
f x
f
x
f x
f
x
=
×
-
+
+
-
=
，
又∵
1
f x - ，即
1
0
f x
+
，∴
1
f x
f
x
f x
-
-
= +
.
（2）
f x 是R 上的单调递增函数，
证明：
1
2
,
x x
"
ÎR ，且
1
2
x
x
<
，则
1
2
1
2
1
1
f x
f x
f x
f
x
x
x
é
ù
-
=
-
-
+
=
ë
û
1
2
1
1
2
1
1
f x
f x
x
f x
f x
x
f x
é
ù
-
-
×
+
-
+
ë
û
2
1
1
2
1
2
1
1
1
f x
x
f x
f x
x
f x
x
f x
é
ù
é
ù
= -
-
×
+
-
= -
-
×
+
ë
û
ë
û ，
∵
1
2
x
x
<
，∴
2
1
0
x
x
-
>
，
又∵
0
x >
时，
0
f x >
，∴
2
1
0
f x
x
-
>
，
∵当
0
x <
时，
0
x
- >
，则
0
1
f x
f
x
f x
-
-
=
>
+
，∴
1
0
f x
- <
<
，
又∵
0
x >
时，
0
f x >
，而
0
0
f
=
，∴
1
f x > - ，
∴
1
0
f x + >
，∴
1
1
0
f x
+ >
，
∴
1
2
2
1
1
1
0
f x
f x
f x
x
f x
é
ù
-
= -
-
×
+
<
ë
û
，即
1
2
f x
f x
<
，
∴
f x 是R 上的单调递增函数.
（3）对③式，令
1
y = ，则
1
1
1
3
2
f x
f x
f
f x
f
f x
+
=
×
+
+
=
+
，
∴
1
3
3
2
1
2
1
3
2
1
3
2
1
1
2
1
2
1
1
3
2
1
2
1
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
f n
f n
f n
f a
f n
f n
f n
-
é
ù
-
×
-
+
-
-
×
-
-
×
-
-
ë
û
=
=
=
é
ù
×
+
×
-
+
×
-
+
+
ë
û
1
2
3
3
2
2
2
1
3
2
2
1
2
2
2
2
1
2
1
3
2
2
2
1
n
n
n
n
n
n
n
n
n
f n
f n
f n
n
f n
n
f n
f n
n
f n
-
-
é
ù
-
×
-
+
-
-
×
-
-
-
×
-
ë
û
=
=
=
=
=
- ×
é
ù
×
-
+
×
-
+
×
-
+
+
ë
û
L
，
又∵
f x 是R 上的单调递增函数，∴
2n
na
n
n
=
- ×
，
∴
1
2
1
2
1 2
2 2
2n
n
S
n
n
=
+
+
+
-
´
+ ´
+
+ ´
L
L
，
设
1
2
1 2
2
2
2n
nT
n
= ´
+
´
+
+
´
L
，①
则
2
3
1
2
1 2
2 2
2n
nT
n
+
= ´
+ ´
+
+
´
L
，②
②
①
-
得：
1
2
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
n
n
n
n
nT
n
n
+
+
+
= -
-
-
-
+ ´
=
-
+ ´
L
，
∴
1
1
1 2
2
2
n
n
n n
S
n
+
+
=
-
-
×
-
.
5．已知函数
f x 在R 上满足
0
1
f x
y
f x f
y
f
+
=
+
- ，且当
0
x >
时，
0
1
f x
<
< ；当
0
x <
时，
1
f x > ．
(1)求
0
f
的值；
(2)判断并证明函数
f x 的单调性；
(3)若
1
1
2
f
=
，求不等式
2
4
f x
x
-
>
的解集．
【答案】(1)
(0)
1
f
= ；
(2)
( )
f x 在R 上单调递减，证明见解析；
(3)(
, 1)
(2,
)
-¥ -
È
+¥ .
【分析】（1）令
0
x
y
=
=
得
(0)
1
f
= ± ，再令
0
y =
并结合已知确定
0
f
的值；
（2）由
f x
y
f x f
y
+
=
得
1
1
2
2
1
2
2
( )
f x
f x
x
x
f x
x
f x
=
-
+
=
-
，讨论
1
2
0
x
x
>
>
、
1
2
0
x
x
>
>
，并
结合
(0)
1
f
= 及已知即可证；
（3）首先求得
2
4
f -
=
，再依据单调性解不等式求解集.
【详解】（1）令
0
x
y
=
=
，则
0
0
0
0
0
1
f
f
f
f
+
=
+
- ，故
2 0
1
f
= ，可得
(0)
1
f
= ± ，
令
0
y =
，则
0
0
1
f x
f x f
f
=
+
- ，
当
(0)
1
f
= - ，则
2
f x
f x
= -
-
，即
( )
1
f x = - ，与题设不符，
所以
(0)
1
f
= ；
（2）
( )
f x 在R 上单调递减，证明如下：
当
0
x >
时，
0
1
f x
<
< ；当
0
x <
时，
1
f x > ，
由（1）知
f x
y
f x f
y
+
=
，
由
1
1
2
2
1
2
2
( )
f x
f x
x
x
f x
x
f x
=
-
+
=
-
，
当
1
2
0
x
x
>
>
，即
1
2
0
1
f x
x
<
-
< ，
1
0
(
)
1
f x
<
< ，
2
0
1
f x
<
< ，
所以
1
1
2
2
2
( )
f x
f x
x
f x
f x
=
-
<
，即
( )
f x 在(0,
)
+¥ 上单调递减，
当
1
2
0
x
x
>
>
，则
1
2
0
1
f x
x
<
-
< ，
1
(
)
1
f x
> ，
2
1
f x
> ，
所以
1
1
2
2
2
( )
f x
f x
x
f x
f x
=
-
<
，即
( )
f x 在(
,0)
-¥
上单调递减，
综上，结合
(0)
1
f
= ，易知
( )
f x 在R 上单调递减，得证.
（3）令y
x
= - ，则
1
( )
(
)
f x
f
x
=
-
，故
1
1
(1)
( 1)
2
f
f
=
=
-
，即
( 1)
2
f -
=
，
所以
2
1
1
4
f
f
f
-
=
-
-
=
，则
2
( 2)
f x
x
f
-
>
-
，
由（2）知，
2
2
x
x
-
< - ，即
2
2
0
x
x
-
-
>
，可得
1
x < - 或
2
x >
，
所以不等式解集为(
, 1)
(2,
)
-¥ -
È
+¥ .
题型4 抽象函数的奇偶性
令式子中出现
( )
f x 及
(
)
f
x
-
判定抽象函数的奇偶性
1．（2027 高三·全国·专题练习）已知函数
f x （xÎR ，且
0
x
）对任意不等于0 的实数
1
x ，
2x 都有
1
2
1
2
f x x
f x
f x
=
+
，则
f x 为（ ）
A．奇函数
B．偶函数
C．非奇非偶函数
D．既为奇函数也为偶函数
【答案】B
【分析】先利用赋值法求出特殊点的函数值，再通过将变量替换为其相反数，结合已知的函数方程推导出
函数图像关于y 轴对称的性质，从而判断出函数的奇偶性.
【详解】函数
f x 定义域为
0
0
-¥
È
+ ¥
，
，
，关于原点对称.
令
1
2
1
x
x
=
= 得
1
1
1
f
f
f
=
+
，即
1
0
f
=
，
令
1
2
1
x
x
=
= - 得
1
1
1
f
f
f
=
-
+
-
，即
1
0
f -
=
，
令
1
1
x = - ，
2x
x
=
得
1
f
x
f
f x
-
=
-
+
，即
f
x
f x
-
=
，
所以
f x 是偶函数，
故选：B．
2．已知函数
y
f x
=
对任意实数x ，y 都满足
2 f x f
y
f x
y
f x
y
=
+
+
-
，且
1
1
f
= - ，
0
0
f
，则函数
f x 是（ ）
A．奇函数
B．偶函数
C．既奇又偶函数
D．非奇非偶函数
【答案】B
【分析】用赋值法，先令
0
x
y
=
=
求得
(0)
f
，再令
0
x =
求解后即可判断．
【详解】在
2 f x f
y
f x
y
f x
y
=
+
+
-
中，
令
0
x
y
=
=
，则
2
2
(0)
(0)
(0)
f
f
f
=
+
，又
(0)
0
f
，所以
(0)
1
f
= ，
令
0
x =
得2 (0) ( )
( )
(
)
f
f y
f y
f
y
=
+
-
，所以
( )
(
)
f y
f
y
=
-
，
所以
( )
f x 是偶函数，
故选：B．
3．（24-25 高三上·山东济宁·期中）已知函数
f x 的定义域为R ，满足
2024
f
x
y
f
x
f
y
+
-
+
=
é
ù
ë
û
，
则下列说法正确的是（ ）
A．
f x 是偶函数
B．
f x 是奇函数
C．
2024
f x +
是奇函数
D．
2024
f x +
是偶函数
【答案】C
【分析】根据抽象函数，利用奇偶函数的性质直接判断即可.
【详解】因为
2024
f
x
y
f
x
f
y
+
-
+
=
é
ù
ë
û
，
所以令
0
x
y
=
=
，可得
0
2024
f
= -
，
令y
x
= - ，则
0
2024
f
f x
f
x
-
-
-
=
，
所以
4048
f
x
f x
-
= -
-
，
则
f x 既不是奇函数又不是偶函数，
且
2024
2024
f
x
f x
-
+
= -
+
é
ù
ë
û ，
所以
2024
f x +
是奇函数.
故选：C
4．（25-26 高三上·江苏宿迁·期末）已知定义在R 上的奇函数
( )
f x ，满足
x
" ÎR ，
(
4)
( )
(2)
f x
f x
f
+
-
=
，则（ ）
A．
(
1)
f x +
一定是奇函数
B．
(
1)
f x +
一定是偶函数
C．
(2
)
f
x
+
一定是奇函数
D．
(2
)
-
f
x 一定是偶函数
【答案】C
【分析】通过赋值求得
2
0
f
=
，可得
(
4)
( )
f x
f x
+
=
，由奇偶性可得
4
f x
f
x
+
= -
-
，从而即可判断
函数
(
2)
f x +
的奇偶性．
【详解】因为
( )
f x 是定义在R 上的奇函数，且满足
x
" ÎR ，
(
4)
( )
(2)
f x
f x
f
+
-
=
(*)，
令
2
x = - ，可得
2
2
2
f
f
f
-
-
=
，所以
2
0
f -
=
，则
2
2
0
f
f
= -
-
=
，
代入(*)，可得
(
4)
( )
f x
f x
+
=
，又
f x
f
x
= -
-
，
则
4
f x
f
x
+
= -
-
，即得
(
4)
(
)
0
f x
f
x
+
+
-
=
，
则有
(
2)
(
2)
0
+
+
- +
=
f x
f
x
，
所以
(
2)
f x +
为奇函数，经验证，其它选项均不符合题意．
故选：C.
5．函数
: R
R
f
®
，对任意的实数x，y，只要
0
x
y
+
，就有
( )
( )
(
)
f x
f y
f xy
x
y
+
=
+
成立，则函数
( )
f x
（
R
xÎ
）（ ）
A．一定是奇函数
B．一定是偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数也不是偶函数
【答案】C
【分析】根据给定的函数关系，利用赋值法推理计算得
( )
0
f x =
（
R
xÎ
），再利用奇偶性定义判断作答.
【详解】对任意的实数x，y，
0
x
y
+
，有
( )
( )
(
)
f x
f y
f xy
x
y
+
=
+
成立，
令
0
y
x
=
，则有
2
( )
( )
( )
(
)
f x
f x
f x
f x
x
x
x
+
=
=
+
，又
2
2
(
)
(
)
(
)
(
)
[(
) ]
f
x
f
x
f
x
f x
f
x
x
x
x
-
+
-
-
=
-
=
= -
- -
，
因此
(
)
( ),
0
f
x
f x x
-
= -
，显然
(0)
(1)
(0)
(0)
(1)
0 1
f
f
f
f
f
+
=
=
+
+
，得
(1)
0
f
=
，
( 1)
(1)
0
f
f
-
= -
=
，
又
(0)
( 1)
(0)
[0 ( 1)]
(0)
0 1
f
f
f
f
f
+
-
=
´ -
=
= -
-
，于是
(0)
0
f
=
，
当
0
x
且
1
x - 时，
( )
(1)
( )
( )
1
1
f x
f
f x
f x
x
x
+
=
=
+
+
，整理得
( )
0
xf x =
，于是
( )
0
f x =
，
因此
R
xÎ
，
( )
0
f x =
，有
0
f
x
f x
-
=
= -
且
0
f
x
f x
-
=
=
，
所以函数
( )
f x （
R
xÎ
）既是奇函数又是偶函数．
故选：C
题型5 抽象函数的对称性
1、对称轴：
x
a
f
x
a
f
+
=
-
或者
x
f
x
a
f
=
-
2
Þ
x
f
关于
a
x =
对称；
2、对称中心：
b
x
a
f
x
a
f
2
=
+
+
-
或者
b
x
f
x
a
f
2
2
=
+
-
Þ
x
f
关于
b
a,
对称；
3、如果
x
f
同时关于
a
x =
对称，又关于
c
b,
对称，则
x
f
的周期
b
a
T
-
=
1．已知函数
y
f x
=
，对于任意的实数,x y ，恒有
2
f x
y
f x
f
y
+
=
+
+
，若函数
2
3
1
x
g x
f x
x
=
+
+ 的最小值为5
- ，则
g x 的最大值为（ ）
A．1
B．3
C．5
D．3
-
【答案】A
【分析】先令
0
x
y
=
=
得
0
2
f
= - ，再令y
x
= - 得
4
f x
f
x
+
-
= - ，从而
4
g x
g
x
+
-
= - ，即
g x
的图象关于
0, 2
-
对称，进而利用对称性及
g x 的最小值求解
g x 的最大值即可.
【详解】令
0
x
y
=
=
，得
0
2
0
2
f
f
=
+
，所以
0
2
f
= - ，
令y
x
= - ，得
0
2
f
f x
f
x
=
+
-
+
，所以
4
f x
f
x
+
-
= - ，
所以
2
2
3
3
4
1
1
x
x
g x
g
x
f x
f
x
x
x
é
ù
é
ù
+
-
=
+
+
-
-
= -
ê
ú
ê
ú
+
+
ë
û
ë
û
，
所以函数
g x 的图象关于
0, 2
-
对称，
故由
g x 的最小值为5
- ，得
g x 的最大值为
2
2
5
1
´ -
- -
= .
故选：A
2．（2024·甘肃庆阳·一模）已知函数
f x 的定义域为R，
f
f x
y
f x
f
y
+
=
+
，
1
1
f
= ，则下列
结论错误的是（
）
A．
0
0
f
=
B．
f x 是奇函数
C．
2024
2024
f
=
D．
f x 的图象关于点1 ,0
2
æ
ö
ç
÷
è
ø 对称
【答案】D
【分析】利用赋值法
1
0
x
y
=
=
，
可得
0
0
f
=
，即可判断A，利用y
x
= - ，即可根据奇函数的定义判断
B，结合奇函数的性质，即可求解C，利用
1
1
1
1
f
f x
x
f x
f
x
f x
f
x
+ -
=
+
-
Þ =
+
-
可判断
f x 的图象关于点1 1
2 2
æ
ö
ç
÷
è
ø
，对称，即可判断D.
【详解】对于A，取
1
0
x
y
=
=
，
，则
1
1
0
f
f
f
f
=
+
，
即
1
1
0
f
f
f
=
+
，得
0
0
f
=
，故A 正确；
对于B，取y
x
= - ，则
f
f x
x
f x
f
x
-
=
+
-
，
得
0
0
f
f x
f
x
=
+
-
=
，故
f x 是奇函数，B 正确；
对于C，对任意的x 都有
1
1
f
f x
x
f x
f
x
+ -
=
+
-
，
可得
1
1
f x
f
x
=
+
-
，即
1
1
f x
f x
=
-
+ ，
因此
2
1
1
2
3
2
1
3
4
3
1
4
2024
2024
f
f
f
f
f
f
f
=
+ =
=
+ =
=
+ =
=
L
，
，
，，
，故C 正确；
对于D，由于
1
1
f x
f
x
=
+
-
，
因此
f x 的图象关于点1 1
,
2 2
æ
ö
ç
÷
è
ø 对称，故D 错误.
故选：D.
3．（25-26 高三上·河北邢台·月考）已知函数
f x 及其导函数
g x 的定义域均为R
2
g
x
p
æ
ö
+
ç
÷
è
ø
，
为奇函
数，
2
cos
0
0
，
f x
y
f x
y
f x
y
f
+
+
-
=
=
，若方程
0
f x
m m
=
>
在区间
0,3p 上恰有四个不同的实
数根
1
2
3
4
，，，
x
x
x
x ，则
1
2
3
4
x
x
x
x
+
+
+
= （ ）
A．2p
B．4p
C．8p
D．6p
【答案】D
【分析】利用赋值法先推出
f x 是奇函数，再得到
f x
f x
p
+
= -
从而周期为2p ，又由
2
g
x
p
æ
ö
+
ç
÷
è
ø 为奇
函数，得到
f x 图象关于直线
2
x
p
=
对称，结合周期性和对称性，可知方程
0
f x
m
=
>
在
0,3p 上四个根
具有对称分布关系，因此它们的和为两个对称轴位置之和的两倍，进而求出
1
2
3
4
x
x
x
x
+
+
+
的值.
【详解】取
0
x =
，得
2
0 cos0
0
f
y
f
y
f
+
-
=
=
，即
f x 为奇函数；
取
2
y
p
=
，得
0
2
2
f
x
f
x
p
p
æ
ö
æ
ö
+
+
-
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，所以
f x
f x
p
+
= -
，
所以
2
f x
f x
f x
p
p
+
= -
+
=
，所以
f x 的周期为2p ．
由
2
g
x
p
æ
ö
+
ç
÷
è
ø 为奇函数，得
0
2
2
2
2
g
x
g
x
g
x
g
x
p
p
p
p
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
+
= -
-
Þ
+
+
-
=
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
，
即
0
2
2
f
x
f
x
p
p
¢
¢
æ
ö
æ
ö
+
+
-
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，于是
'
0
2
2
f
x
f
x
p
p
é
ù
æ
ö
æ
ö
+
-
-
=
ç
÷
ç
÷
ê
ú
è
ø
è
ø
ë
û
，因此
2
2
f
x
f
x
C
p
p
æ
ö
æ
ö
+
-
-
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
,
取
0
x =
，则
0
2
2
f
f
C
C
p
p
æ
ö
æ
ö
-
=
Þ
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，即
0
2
2
f
x
f
x
p
p
æ
ö
æ
ö
+
-
-
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
2
2
f
x
f
x
p
p
æ
ö
æ
ö
+
=
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø ，故
f x 关于
2
x
p
=
对称
又
f x 的周期为2p ，故直线
5
2
x
p
=
也是
f x 图象的对称轴，
又方程
0
f x
m m
=
>
在区间
0,3p 上恰有四个不同的实数根
1
2
3
4
，，，
x
x
x
x ，
由对称性可知，四个根两两分别关于直线
2
x
p
=
和
5
2
x
p
=
对称，故
1
2
x
x
p
+
=
，
3
4
5
x
x
p
+
=
，
即
1
2
3
4
6
x
x
x
x
p
+
+
+
=
．
故选：D
4．（多选题）设
f x 为定义在整数集上的函数，
1
1
2
0
f
f
=
=
，
，对任意的整数,x y 均有
1
1
f x
y
f x f
y
f
x f
y
+
=
-
+
-
，则（ ）
A．
f x 是奇函数
B．
f x 是偶函数
C．
f x 关于直线
1
x = 对称
D．
f x 关于点
1,1 对称
【答案】AC
【分析】利用赋值法结合奇偶性及对称性对选项逐一分析即可.
【详解】令
1
x
y
=
= ，则
(2)
(1) (0)
(0) (1)
0
f
f
f
f
f
=
+
=
，
可得
(0)
0
f
=
，
对于CD ：令
1
y = ，则
(
1)
( ) (0)
(1
) (1)
f x
f x f
f
x f
+
=
+
-
，
即
(
1)
(1
)
f x
f
x
+
=
-
，所以
f x 关于直线
1
x = 对称，故C 正确，D 错误；
对于AB：令y
x
= - ，则
(0)
( ) (1
)
(1
) (
)
0
f
f x f
x
f
x f
x
=
+
+
-
-
=
，
即
( ) (1
)
(1
) (
)
0
f x f
x
f
x f
x
+
+
+
-
=
，
所以
(1
)[ ( )
(
)]
0
f
x
f x
f
x
+
+
-
=
，
因为
(1
)
f
x
+
不恒为0，所以
( )
(
)
0
f x
f
x
+
-
=
，
即
(
)
( )
f
x
f x
-
= -
，所以
f x 是奇函数，故A 正确，B 错误.
故选：AC.
5．（多选题）（2026·河北衡水·一模）已知函数
f x 的定义域为R ，且对任意实数x ，y ，
1
3
6
5
f x
y
f x
y
f
y
x
f
y
x
y
+
+
-
+
-
+
+
=
+
- 恒成立，则（ ）
A．
1
1
f
=
B．
xf x 的最小值为
1
3
-
C．
2
4
f
<
D．
f x 的图象关于点2 ,0
3
æ
ö
ç
÷
è
ø 对称
【答案】ABD
【详解】令
0
y =
，得
2
1
3
5
f x
f
x
f
x
+
-
+
=
- ，
以
x
- 替代x ，得
2
1
3
5
f
x
f x
f
x
-
+
+
=-
-
，
消去
f
x
-
，得
3
1
9
5
f x
f
x
+
=
- .
再令
1
x = ，得
4
1
4
f
=
，即
1
1
f
= ，
所以
3
9
6
f x
x
=
-
，即
3
2
f x
x
=
-
，
则
1
1
f
= ，
2
4
f
=
，A 正确，C 错误.
而
2
2
1
1
3
2
3
3
3
xf x
x
x
x
æ
ö
=
-
=
-
-
ç
÷
è
ø
，
当
1
3
x =
时，
xf x 取得最小值，且最小值为
1
3
-
，B 正确.
因为
4
4
3
2
3
2
0
3
f
x
f x
x
x
æ
ö
-
+
=
-
-
+
-
=
ç
÷
è
ø
，
所以
f x 的图象关于点2 ,0
3
æ
ö
ç
÷
è
ø 对称，D 正确.
题型6 抽象函数的周期性
1、换x 为x
T
+
确定周期性.
2、
a
T
x
f
a
x
f
=
Þ
=
+
；
a
T
x
f
a
x
f
2
=
Þ
-
=
+
；
a
T
x
f
k
a
x
f
2
=
Þ
=
+
；（k 为常数）；
b
a
T
b
x
f
a
x
f
-
=
Þ
+
=
+
1．（2025·江苏南通·模拟预测）设
( )
f x 是定义在R 上的函数，对
,x y
"
ÎR ，有
(
)
(
)
(
1) (
1)
f x
y
f x
y
f x
f y
+
-
-
=
+
-
，且
(2)
2
f
= - ，则
( (2025))
f f
=（ ）
A．2
B．-2
C．1
D．-1
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用赋值法探讨函数的周期，再求出函数值.
【详解】函数
( )
f x ，对
,x y
"
ÎR ，有
(
)
(
)
(
1) (
1)
f x
y
f x
y
f x
f y
+
-
-
=
+
-
，
取
1
x
y
=
= ，得
(2)
(0)
(2) (0)
f
f
f
f
-
=
，而
(2)
2
f
= - ，则
(0)
2
f
=
，
对
x
" ÎR ，令
1
y = ，得
(
1)
(
1)
(
1) (0)
2 (
1)
f x
f x
f x
f
f x
+
-
-
=
+
=
+
，
即
(
1)
(
1)
f x
f x
+
= -
-
，因此
(
4)
(
2)
[
( )]
( )
f x
f x
f x
f x
+
= -
+
= - -
=
，函数
( )
f x 周期为4，
令
0
x
y
=
=
，得
(1) ( 1)
0
f
f -
=
，而
(
1)
(
1)
f x
f x
+
= -
-
，则
(1)
( 1)
0
f
f
= -
-
=
，
所以
( (2025))
( (1))
(0)
2
f f
f f
f
=
=
=
.
故选：A
2．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
f x 的定义域为R，
1
f x
f
y
f x
y
f x f
y
é
ù
+
=
+
×
-
ë
û ，
1
3
f
= -
，则
101
f
= （ ）
A．
3
-
B．0
C．
3
D．2 3
【答案】C
【分析】利用条件通过列举法得出函数的周期，利用周期的性质可求答案.
【详解】令
0
x
y
=
=
得
2
0
0
0
1
0
f
f
f
f
é
ù
+
=
-
ë
û ，解得
0
0
f
=
．
令
1
y = 得
1
1 1
1
f x
f
f x
f x
f
é
ù
+
=
+
-
´
ë
û ．
因为
1
3
f
= -
，所以
3
1 1
3
f x
f x
f x
é
ù
-
=
+
+
ë
û ，
令
1
x = 得
1
3
2
1
3
1
f
f
f
é
ù
-
=
+
ë
û ，解得
2
3
f
=
，
令
2
x =
得
2
3
3
1
3
2
f
f
f
é
ù
-
=
+
ë
û ，解得
3
0
f
=
，
令
3
x =
得
3
3
4
1
3
3
f
f
f
é
ù
-
=
+
ë
û ，解得
4
3
f
= -
，
令
4
x =
得
4
3
5
1
3
4
f
f
f
é
ù
-
=
+
ë
û ，解得
5
3
f
=
，
令
5
x =
得
5
3
6
1
3
5
f
f
f
é
ù
-
=
+
ë
û ，解得
6
0
f
=
，…，
所以函数
f x 是周期为3 的周期函数，
又
1
2
3
3
3
0
0
f
f
f
+
+
= -
+
+
=
，所以
101
3 33
2
2
3
f
f
f
=
´
+
=
=
．
故选：C
3．（2025·湖南岳阳·三模）已知函数
f x 满足
2
2
f x
f x
f x f x
+
+
=
+
，
3
3
f
=
，则
2025
f
=
（ ）
A．3
B．3
2
C．5
D．5
2
【答案】B
【分析】构造函数
1
g x
f x
=
- ，通过其周期性，确定
f x 的周期性，即可求解.
【详解】
2
2
f x
f x
f x f x
+
+
=
+
可得：
2
2
1
1
f x f x
f x
f x
+
-
-
+
+ = ，
即
1
2
1
1
f x
f x
é
ù é
ù
-
+
-
=
ë
û ë
û
，
令
1
g x
f x
=
- ，
则
1
2
g x
g x
+
=
，
可得
1
4
2
g x
g x
g x
+
=
=
+
，
所以
1
g x
f x
=
- 是以4 为周期的函数，
所以
f x 也是以4 为周期的函数，
所以
2025
506 4 1
1
f
f
f
=
´ +
=
，
令
1
x = 可得：
1
3
1
3
f
f
f
f
+
=
，
结合
3
3
f
=
，可得
3
1
2
f
=
，
所以
3
2025
2
f
=
.
故选：B
4．函数
( )
f x 满足对任意的x ，y 均有
(
)
( )
( )
f x
y
f y
f x
-
×
=
，且
(1)
2
f
=
，则
(2)
(3)
(4)
(2024)
(1)
(2)
(3)
(2023)
f
f
f
f
f
f
f
f
+
+
+
+
=
L
（ ）
A．4048
B．4046
C．2024
D．2023
【答案】B
【分析】根据抽象函数的性质，化简即可得解.
【详解】对任意的x ，y 均有
(
)
( )
( )
f x
y
f y
f x
-
×
=
，
所以当
1
y = 时，
( )
(
1)
(1)
( )
(1)
2
(
1)
f x
f x
f
f x
f
f x
-
×
=
Þ
=
=
-
，
所以
(2)
(3)
(4)
(2024)
2
2
2
2 2023
4046
(1)
(2)
(3)
(2023)
f
f
f
f
f
f
f
f
+
+
+
+
=
+
+
+
=
´
=
L
L
，
故选：B
5．（24-25 高三上·河北沧州·月考）已知定义域为R 的函数
f x 不是常函数，且满足
f x
y
f x
y
f x f
y
+
+
-
=
，
1
0
f
=
，则
2026
1
( )
i
f i
=
=
å
（ ）
A．2
-
B．2
C．2026
-
D．2026
【答案】A
【分析】依次算得
0
2
f
=
，
f x 的一个周期为4，进一步结合已知得
3
1
0,
2
0
2,
4
0
2
f
f
f
f
f
f
= -
=
= -
= -
=
=
，由此得
1
2
3
4
0
f
f
f
f
+
+
+
=
，然后利用周期
性即可求解.
【详解】由题意，令
0
y =
，得
2
0
f x
f x f
=
，又
y
f x
=
不是常函数，所以
0
2
f
=
，
再令
1
y = ，得
1
1
1
f x
f x
f x f
+
+
-
=
，即
1
1
0
f x
f x
+
+
-
=
，
则
2
f x
f x
+
= -
，即
4
2
f x
f x
f x
+
= -
+
=
，
所以函数
y
f x
=
的一个周期为4，由
2
f x
f x
+
= -
，令
1
x = ，
得
3
1
0,
2
0
2,
4
0
2
f
f
f
f
f
f
= -
=
= -
= -
=
=
，
所以
1
2
3
4
0
f
f
f
f
+
+
+
=
，
所以
2026
1
( )
506[ (1)
(2)
(3)
(4)]
(2025)
(2026)
(2025)
(2026)
i
f i
f
f
f
f
f
f
f
f
=
=
+
+
+
+
+
=
+
=
å
1
2
2
f
f
+
= - .
故选：A.
6．已知定义在
0, ¥
+
上的函数
f x ，满足
1
f xy
f x
f
y
+ =
+
，且
1
0
2
f æ
ö =
ç
÷
è
ø
，则
10
2
f
= （ ）
A．1
B．10
C．11
D．1024
【答案】C
【分析】根据
1
f xy
f x
f
y
+ =
+
进行赋值，得到
1
2
x
f x
f æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø
进而求解答案即可.
【详解】因为定义在
0, ¥
+
上的函数
f x ，满足
1
f xy
f x
f
y
+ =
+
，
所以令
1
x
y
=
= ，得
1
1
1
1
f
f
f
+ =
+
，所以
1
1
f
= ，
令
1
2
y =
，得
1
1
2
2
x
f
f x
f
æ
ö
æ
ö
+ =
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø ，
因为
1
0
2
f æ
ö =
ç
÷
è
ø
，所以
1
2
x
f x
f æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø
，
所以
10
9
8
2
2
1
2
2
2
9
1
10
11
f
f
f
f
f
=
+ =
+
=
=
+
=
+
=
L
.
故选：C
题型7 抽象函数的解析式（熟记可用于秒杀）
1、常见的抽象函数模型
【反比例函数模型】
反比例函数：
( ) ( )
(
)
( )
( )
f x f y
f x
y
f x
f y
+
=
+
，则
(1)
( )
f
f x
x
=
，
,
( ),
( ),
(
)
0
x f x
f y
f x
y
é
ù
ë
û
+
均不为
【一次函数模型】
模型1：若
(
)
( )
( )
f x
y
f x
f y
±
=
±
，则
( )
(1)
f x
f
x
=
；
模型2：若
(
)
( )
( )
f x
y
f x
f y
±
=
±
，则
( )
f x 为奇函数；
模型3：若
(
)
( )
( )
,
f x
y
f x
f y
m
+
=
+
+
则
( )
[
1
]
f x
f
m x
m
=
+
-
；
模型4：若
(
)
( )
( )
,
f x
y
f x
f y
m
-
=
-
+
则
( )
[
1
]
f x
f
m x
m
=
-
+
；
【指数函数模型】
模型1：若
(
)
( ) ( )
f x
y
f x f y
+
=
，则
( )
[ (1)]x
f x
f
=
；
( )
0
f x >
模型2：若
( )
(
)
( )
f x
f x
y
f y
-
=
，则
( )
[ (1)]x
f x
f
=
；
( )
0
f x >
模型3：若
(
)
( ) ( )
f x
y
f x f y m
+
=
，则
1
( )
x
f
m
f x
m
é
ù
ë
û
=
；
模型4：若
( )
(
)
( )
f x
f x
y
m f y
-
=
，则
1
( )
x
f
f x
m
m
é
ù
=
ê
ú
ë
û
；
【对数函数模型】
模型1：若
(
)
( )
n
f x
nf x
=
，则
( )
log
0
1,
0
a
f x
f a
x a
x
=
>
>
且
模型2：若
(
)
( )
( )
f xy
f x
f y
=
+
，则
( )
log
0
1, ,
0
a
f x
f a
x a
x y
=
>
>
且
模型3：若
( )
( )
( )
x
f
f x
f y
y =
-
，则
( )
log
0
1, ,
0
a
f x
f a
x a
x y
=
>
>
且
模型4：若
(
)
( )
( )
f xy
f x
f y
m
=
+
+
，则
( )
log
0
1, ,
0
a
f x
f a
m
x m a
x y
é
ù
=
+
-
>
>
ë
û
且
模型5：若
( )
( )
( )
x
f
f x
f y
m
y =
-
+
，则
( )
log
0
1, ,
0
a
f x
f a
m
x m a
x y
é
ù
=
-
+
>
>
ë
û
且
【幂函数模型】
模型1：若
(
)
( ) ( )
f xy
f x f y
=
，则
log
0
1
a x
f x
f a
a
=
>
且
模型2：若
( )
( )
( )
x
f x
f y
f y
=
，则
log
0
1,
0,
0
a x
f x
f a
a
y
f
y
=
>
且
代入
f a 则可化简为幂函数；
【正弦函数模型】
对于正弦函数
，与其对应的抽象函数为
注： 此抽象函数对应于正弦平方差公式：
( )
sin
f x
kx
=
2
2
(
) (
)
( )
( )
f x
y f x
y
f
x
f
y
+
-
=
-
2
2
sin
sin
sin(
)sin(
)
a
b
a
b
a
b
-
=
+
-
【余弦函数模型】
对于余弦型函数
，涉及2 种余弦的和差化积公式
1、公式一：
其抽象函数模型是：
2、公式二：
其抽象函数模型是：
3、若
(
)
(
)
( ) ( )
( )
0
f x
y
f x
y
kf x f y
f x
+
+
-
=
不恒为
，则
2
( )
cos
f x
wx
k
=
【正切函数模型】
模型：若
( )
( )
(
)
( ) ( )
1
1
( ) ( )
f x
f y
f x
y
f x f y
f x f y
±
±
=
，则
( )
tan
f x
wx
=
2、其他技巧
（1）观察不等式两端的特点，化为同类函数；
（2）借助函数的单调性，脱掉“
”；
（3）注意定义域及单调区间，特别是对数函数中真数大于0.
1．（2025·安徽·模拟预测）已知函数
( )
f x 满足
(
)
( )
( ) 1
f x
y
f x
f y
+
=
+
- ，则以下结论错误
．．的是（ ）
A．
(0)
1
f
=
B．
2
f x
f
x
+
-
=
C．
(
1)
(
1)
(2 ) 1
f x
f x
f
x
+
+
-
=
+
D．
(1
)
(1
)
0
f
x
f
x
+
+
-
=
【答案】D
【分析】令
0
y
x
=
=
、y
x
= - ，代入已知关系式判断A、B；用
1,
1
x
x
+
- 代换,x y 判断C；利用特殊函数
( )
1
f x
x
=
+ 判断D.
【详解】令
0
y
x
=
=
，有
0
2
0
1
f
f
=
- ，从而
0
1
f
= ，A 正确；
令y
x
= - ，得
(0)
( )
(
) 1
f
f x
f
x
=
+
-
- ，故
( )
(
)
2
f x
f
x
+
-
=
，B 正确；
由题意得，
(
1)
(
1) 1
(
1
1)
f x
f x
f x
x
+
+
-
- =
+ +
-
，即
(
1)
(
1)
(2 ) 1
f x
f x
f
x
+
+
-
=
+ ，C 正确；
令
( )
1
f x
x
=
+ ，则
(
)
1
f x
y
x
y
+
=
+
+ ，
( )
1
f y
y
=
+ ，满足
(
)
( )
( ) 1
f x
y
f x
f y
+
=
+
- ，
但
(1
)
(1
)
1
1 1
1
4
0
f
x
f
x
x
x
+
+
-
= +
+ + -
+ =
，即不满足
(1
)
(1
)
0
f
x
f
x
+
+
-
=
，D 错误.
故选：D.
( )
cos
f x
kx
=
cos
cos
2cos
cos
2
2
a
b
a
b
a
b
+
-
+
=
( )
( )
2
2
2
x
y
x
y
f x
f y
f
f
+
-
æ
ö
æ
ö
+
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
cos(
)
cos(
)
cos
cos
2
a
b
a
b
a
b
+
+
-
=
2 ( ) ( )
(
)
(
)
f x f y
f x
y
f x
y
=
+
+
-
f
2．（23-24 高三上·河南·月考）下列函数中，满足
1
f xy
f x
f
y
=
+
- 的为（ ）
A．
lg 1
f x
x
=
+
B．
1 lg
f x
x
= +
C．
12
x
f x
+
=
D．
1
2x
f x = +
【答案】B
【分析】方法1：令
1
g x
f x
=
- ，证明
g xy
g x
g y
=
+
，找到满足此条件的函数；
方法2：令
1
x
y
=
= ，得
1
1
f
= ，找到满足条件的选项．
【详解】（方法1）令
1
g x
f x
=
- ，则
1
g xy
f xy
=
- ，
2
g x
g y
f x
f
y
+
=
+
-
．
由于
1
f xy
f x
f
y
=
+
- ，即
1
2
f xy
f x
f
y
- =
+
-
，
所以
g xy
g x
g y
=
+
．
而满足
g xy
g x
g y
=
+
的函数有对数函数
loga
g x
x
=
（
0
a >
，
1
a ），
所以
1
1 loga
f x
g x
x
=
+ = +
，只有B 选项符合题意，其它选项均不符合．
（方法2）令
1
x
y
=
= ，则
1
1
1
1
f
f
f
=
+
- ，得
1
1
f
= ．在四个选项中，只有B 选项满足
1
1
f
= ，
其它选项均不符合．
故选：B
3．（2024·四川德阳·模拟预测）已知函数
f x 的定义域为R ，且
2
2
2
f x
y
f x
y
f x
f
y
y
+
-
-
+
-
=
-
，则
2024
f
= （ ）
A．0
B．1
C．2024
D．2025
【答案】D
【分析】利用赋值法，先令
0
x
y
=
=
求出
0
f
，再令
0
x =
，结合方程组法可求解析式，则答案可得.
【详解】令
0
x
y
=
=
可得
2
0
2
f
-
= - ，所以
0
1
f
= ，
再令
0
x =
可得
2
0
2
2
f
y
f
y
f
f
y
y
-
-
+
-
=
-
，
即
2
3
f
y
f
y
y
-
-
-
=
- ①，
将上式中的y 全部换成
y
-
可得
2
3
f
y
f
y
y
-
-
-
= - - ②，
联立①②可得
1
f
y
y
=
+ ,
所以
2024
2024 1
2025
f
=
+ =
，
故选：D
4．（2024·福建泉州·模拟预测）已知函数
f x 满足
2
f x
y
f x
f
y
xy
+
=
+
+
，若
1
1
f
= ，则
25
f
=
（ ）
A．25
B．125
C．625
D．15625
【答案】C
【分析】利用赋值法结合条件可得
2
f n
n
=
进而即得；或构造函数
2
f x
x
=
求解.
【详解】解法一：由题意取
,
1
x
n n
y
=
Î
=
N
，可得
(
1)
( )
(1)
2
f n
f n
f
n
+
=
+
+
1
2
1
2
1
2
f n
f
n
n
=
-
+
+
-
+
2
3
1
2
2
2
1
2
f n
f
n
n
n
=
-
+
+
-
+
-
+
1
1
2 1
2
n
f
n
=
+
+
+
+
+
L
1
1
1
n
f
n n
=
+
+
+
即知
2
1
1
1
,
f n
nf
n n
n
n n
n
=
+
-
=
+
-
=
则
25
625
f
=
.
解法二：令
2
g x
f x
x
=
-
，则
2
(
)
g x
y
f x
y
x
y
+
=
+
-
+
2
2
2
2
(
)
f x
f
y
xy
x
y
f x
f
y
x
y
g x
g y
=
+
+
-
+
=
+
-
-
=
+
，
所以
2
1
1
1
1
1
0
g n
g n
g
ng
n f
=
-
+
=
=
=
-
=
L
，
即
2
0
g n
f n
n
=
-
=
，所以
2
f n
n
=
，则
25
625
f
=
.
解法三：由
2
f x
y
f x
f
y
xy
+
=
+
+
可构造满足条件的函数
2
f x
x
=
，
可以快速得到
25
625
f
=
.
故选：C.
5．（2025·福建泉州·模拟预测）已知定义在Z上的函数
( )
f x 满足
(
)
( )
( )
2
1
f x
y
f x
f y
xy
+
=
+
+
- ，且
(2)
7
f
=
，则（ ）
A．
(1)
4
f
=
B．方程
( )
0
f x =
有解
C．
(
1)
(
)
f x
f
x
-
=
-
D．
(
1)
( )
f x
f x
+
=
【答案】C
【分析】根据抽象函数式，一般考虑赋值法，利用函数的单调性，奇偶性，累加法、累乘法推理计算即可.
【详解】因
(
)
( )
( )
2
1
f x
y
f x
f y
xy
+
=
+
+
- 和
(2)
7
f
=
，
对于A，令
1
x
y
=
= ，则
(2)
(1)
(1)
2
1
7
f
f
f
=
+
+
- =
，即
(1)
3
f
=
，故A 错误；
对于B，令
0
x
y
=
=
，则
(0
0)
(0)
(0)
0
1
f
f
f
+
=
+
+
- ，可得
(0)
1
f
= ，
令
1
y = ，当
2
x ³
时，则
(
1)
( )
(1)
2
1
( )
2
2
f x
f x
f
x
f x
x
+
=
+
+
- =
+
+ ，
即
(
1)
( )
2
2
f x
f x
x
+
-
=
+
，
( )
(
1)
2(
1)
2
f x
f x
x
-
-
=
-
+
，L，
(2)
(1)
2 1
2
f
f
-
=
´ +
，
则
( )
( )
(
1)
(
1)
(
2)
(2)
(1)
(1)
f x
f x
f x
f x
f x
f
f
f
=
-
-
+
-
-
-
+
+
-
+
L
2
(
1)(1
1)
3
2[1
2
(
1)]
2(
1)
2
1
2
1
2
x
x
x
x
x
x
x
-
+
-
=
+
+
+
+
-
+
-
=
+ +
´
=
+
+
L
，
其中
(1)
3,
f
=
(0)
1
f
= 也符合，因
2
2
1
3
1
(
)
0
2
4
x
x
x
+
+ =
+
+
>
，故方程
( )
0
f x =
无实数解，即B 错误；
对于C，令y
x
= - ，则
2
(0)
1
(
)
( )
(
)
2
1
f
f x
x
f x
f
x
x
= =
-
=
+
-
-
- ，得到
2
(
)
1
f
x
x
x
-
=
-
+ ，
由
2
2
(
1)
(
1)
(
1)
1
1
(
)
f x
x
x
x
x
f
x
-
=
-
+
-
+ =
-
+ =
-
，则C 正确；
对于D，
2
2
(
1)
(
1)
(
1)
1
3
3
f x
x
x
x
x
+
=
+
+
+
+ =
+
+ 与
2
( )
1
f x
x
x
=
+
+ 不能恒相等，故D 错误.
故选：C.
1．（25-26 高三上·江西·月考）已知定义在R 上的函数
f x 满足
f x
f x
y
f
y
-
-
= -
，则
2
f
=
（ ）
A．0
B．1
C．2
D．-2
【答案】A
【分析】通过赋值法先求出
0
f
，
1 ,
f
继而求得
2
f
.
【详解】由
f x
f x
y
f
y
-
-
= -
得，
令
1,
0
x
y
=
=
，则
1
1
0
f
f
f
-
= -
，得
0
0
f
=
；
令
1
x
y
=
= ，则
1
0
1
f
f
f
-
= -
，得
1
0
f
=
；
令
2,
1
x
y
=
= ，则
2
1
1
f
f
f
-
= -
，得
2
0
f
=
.
故选：A.
2．（24-25 高三上·山东菏泽·期中）已知函数
2
1
f
x +
的定义域为
1,2 ，则函数
1
f x -
的定义域为
（ ）
A．
1,2
B．
4,6
C．
5,9
D．
3,7
【答案】B
【分析】对于函数
2
1
f
x +
，先由
1,2
xÎ
求出(2
1)
[3,5]
x +
Î
，而对于函数
1
f x -
，应使(
1)
[3,5]
x -
Î
，
解出
[4,6]
xÎ
，即得函数
1
f x -
的定义域.
【详解】因为函数
2
1
f
x +
的定义域为
1,2 ，由
1,2
xÎ
可得
2
1
3,5
x + Î
，
对于函数
1
f x -
，由3
1
5
x
£
- £
可得4
6
x
£
£
，
即函数
1
f x -
的定义域为
4,6 ．
故选：B．
3．（25-26 高三上·陕西商洛·月考）已知函数
( )
f x 的定义域和值域均为[0,2]，则函数
2 (2 ) 1
y
f
x
=
+ 的定义
域和值域分别为（ ）
A．[0,4]和[1,5]
B．[0,4]和[1,3]
C．[0,1]和[1,5]
D．[0,1]和[1,3]
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用抽象函数的定义域及值域求解判断即可.
【详解】函数
( )
f x 的定义域为[0,2]，则在函数
2 (2 ) 1
y
f
x
=
+ 中，0
2
2
x
£
£
，解得0
1
x
£
£ ，
因此函数
2 (2 ) 1
y
f
x
=
+ 的定义域为[0,1]；
由函数
( )
f x 的值域为[0,2]，得函数
(2 )
f
x 的值域为[0,2]，即0
(2 )
2
f
x
£
£
，
则1
2 (2 ) 1
5
f
x
£
+ £
，故函数
2 (2 ) 1
y
f
x
=
+ 的值域为[1,5].
故选：C
4．（25-26 高三上·湖北黄冈·月考）已知定义域为R 的函数
f x 满足
f
x f
y
f
xy
x
y
=
+
+
，则
100 =
f
（ ）
A．102
B．101
C．100
D．99
【答案】B
【分析】令
0
x
y
=
=
得
0
0
f
=
或1，验证后得到
0
0
f
=
不成立，
0
1
f
= 满足要求，此时
1
f
y
y
=
+ ，
从而得到答案.
【详解】
f
x f
y
f
xy
x
y
=
+
+
中，令
0
x
y
=
=
得
0
0
0
f
f
f
=
，
解得
0
0
f
=
或1，
令
0
x =
得
0
0
f
f
y
f
y
=
+
，若
0
0
f
=
，上式整理得
0
y =
，
但y 不一定等于0，故
0
0
f
=
不成立，
若
0
1
f
= ，则
1
f
y
y
=
+ ，
此时
1
1
1
f x f
y
x
y
xy
x
y
=
+
+
=
+
+
+ ，
1
f xy
x
y
xy
x
y
+
+
=
+ +
+
，满足
f
x f
y
f
xy
x
y
=
+
+
，满足要求，
故
100
100 1
101
f
=
+ =
.
故选：B
5．已知函数
( )
f x 的定义域为R，且对任意实数x，y，都有
( )
( )
2 (
) (
)
2
2
x
y
x
y
f x
f y
f
f
+
-
+
=
.若
(1)
1
f
= - ，
则
3
(
)
2
f -
=（ ）
A．
3
2
-
B．-1
C．
1
2
-
D．0
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用赋值法依次求出
1
(0),
( )
2
f
f
，进而探讨函数
( )
f x 的性质求得答案.
【详解】对任意实数x，y，都有
( )
( )
2 (
) (
)
2
2
x
y
x
y
f x
f y
f
f
+
-
+
=
，
(1)
1
f
= - ，
取
1
x
y
=
= ，得
(1)
(1)
2 (1) (0)
f
f
f
f
+
=
，即2
2 (0)
f
- = -
，解得
(0)
1
f
= ，
取
1,
0
x
y
=
=
，得
1
1
(1)
(0)
2 ( ) ( )
2
2
f
f
f
f
+
=
，即
2
1
2[ ( )]
0
2
f
=
，解得
1
( )
0
2
f
= ，
任意
R,
x
y
x
Î
= - ，则
( )
(
)
2 (0) ( )
2 ( )
f x
f
x
f
f x
f x
+
-
=
=
，因此
(
)
( )
f
x
f x
-
=
，
取
3
1
,
2
2
x
y
=
=
，得
3
1
1
( )
( )
2 (1) ( )
2
2
2
f
f
f
f
+
=
，则
3
( )
0
0
2
f
+
=
，
3
( )
0
2
f
=
，
所以
3
3
(
)
( )
0
2
2
f
f
-
=
= .
故选：D
【点睛】关键点点睛：涉及抽象函数等式，利用赋值法求解是解决问题的关键.
6．（23-24 高三上·浙江宁波·期末）已知函数
f x 的定义域为R ，且
f x
y f x f
y
f x
y
f x
f
y
+
=
+
-
-
，
1
3
f
=
，则
2024
1
k
f k
=
=
å
（ ）
A．2024
B．1012 3
C．
3
D．0
【答案】D
【分析】根据表达式得出规律，即可求出
2024
1
k
f k
=å
的值.
【详解】由题意，
在
f x 中， 定义域为R ，
f x
y f x f
y
f x
y
f x
f
y
+
=
+
-
-
，
当
0
x
y
=
=
时，
0
0
0
0
0
0
f
f
f
f
f
f
=
-
-
，解得：
0
0
f
=
，
当
1
y = 时，
1
1
1
1
f x
f x f
f x
f x
f
+
=
+
-
-
，
即
3
1
1
3
f x
f x
f x
f x
+
=
+
-
-
当
0
x =
时，
3
1
0
1
0
3
f
f
f
f
=
-
-
，解得：
1
3
f
=
，
当
1
x = 时，
3
2
1
2
1
3
f
f
f
f
=
-
-
，解得：
2
3
f
= -
，
当
2
x =
时，
3
3
2
3
2
3
f
f
f
f
=
-
-
，解得：
3
0
f
=
，
……函数值周期性变化，周期为3，
∵2024
675 3 1
=
´ - ，
可得：
2024
1
1
2
3
2022
2023
2024
k
f k
f
f
f
f
f
f
=
=
+
+
+
+
+
+
å
L
675
1
2
3
2025
3
3
3
0
3
0
0
0
f
f
f
f
f
é
ù
=
+
+
-
= ´
-
+
-
=
-
=
ë
û
，
故选：D.
7．（2025·辽宁·一模）对任意,x yÎR ，都有
2
2
f x
y f x
y
f
x
f
y
+
-
=
-
，且
f
y 不恒为0，函数
2
2
(1
)
sin
1
x
x
g x
f x
x
-
+
=
+
+
，则
2
2
g
g
+
-
= （ ）
A．0
B．2
C．4
D．6
【答案】B
【分析】利用赋值法可得
f
y
f
y
-
= -
，进而可求
2
2
g
g
+
-
的值.
【详解】令
0
x
y
=
=
，可得
2
2
0
0
0
0
0
f
f
f
f
=
-
=
，所以
0
0
f
=
，
令
0
x =
，可得
2
2
2
0
f
y f
y
f
f
y
f
y
-
=
-
= -
，
因为
f
y 不恒为0，所以
f
y
f
y
-
= -
，所以
f
y 是奇函数，
因为
2
2
(1
)
sin
1
x
x
g x
f x
x
-
+
=
+
+
，
所以
2
2
2
2
(1
2)
sin
2
(1 2)
sin2
1 9
2
2
2
2
2
1
2
5
1
2
g
g
f
f
+
+
-
-
+
+
+
-
=
+
+
=
-
+
=
+
+ -
.
故选：B.
8．（25-26 高三上·甘肃武威·月考）已知函数
( )
f x 的定义域为R ，
( )
0
f x >
，且3 (
)
( ) ( )
f x
y
f x f y
+
=
，
(1)
9
f
=
，则
( )
(2
)
f x
f
x
+
-
的最小值为（ ）
A．9
B．12
C．16
D．18
【答案】D
【分析】令
1
x
y
=
= 得
(2)
27
f
=
，再令
2
y
x
=
-
得
( ) (2
)
81
f x f
x
-
=
，最后利用基本不等式即可得答案.
【详解】令
1
x
y
=
= ，则3 (2)
(1) (1)
f
f
f
=
，所以
(2)
27
f
=
.
令
2
y
x
=
-
，则
2
3
2
81
f x f
x
f
-
=
=
，
因为函数
( )
f x 的定义域为R ，
( )
0
f x >
，
所以
( )
(2
)
2
( ) (2
)
18
f x
f
x
f x f
x
+
-
³
-
=
，当且仅当
( )
(2
)
9
f x
f
x
=
-
=
时，即
1
x = 时，等号成立.
所以
( )
(2
)
f x
f
x
+
-
的最小值为18
故选：D
9．（24-25 高三下·浙江·开学考试）定义在
0, ¥
+
的增函数
f x 满足：
1
f x
f
y
f xy
+
=
- ，且
2
0,
1
n
f
f a
n
=
=
- .已知数列
na
的前n 项和为
n
S ，则使得
2025
n
S <
成立的n 的最大值是（
）
A．8
B．9
C．10
D．11
【答案】B
【分析】应用已知条件分别构造抽象函数模型
log
1
a
f x
x
=
- 或应用赋值法计算得出
2n
na =
再应用等比数
列的求和公式计算可得.
【详解】法一：
1
f x
f
y
f xy
+
=
-
Q
，可令
log
1
a
f x
x
=
- ，又
2
0
f
=
，则log 2 1
0
a
- =
，
2
2
2,
log
1.
log
1
1,
2n
n
n
n
a
f x
x
f a
a
n
a
\
=
\
=
-
=
- =
- \
=
Q
，
1
1
2 1
2
2
2
2025,
2
2027
1
2
n
n
n
n
S
+
+
×
-
\
=
=
-
<
\
<
-
．
10
11
max
max
2
1024,2
2048,
(
1)
10,
9
n
n
=
=
\
+
=
\
=
Q
．
法二：
1,
1
n
f x
f
y
f xy
f a
n
+
=
-
=
-
Q
由题
1
2
0
1 1,
2
f
a
=
= - \
=
；
令
2
2,
2
2
4
1,
4
1
2 1,
4
x
y
f
f
f
f
a
=
=
\
+
=
- \
= =
- \
=
；
令
3
2,
4,
2
4
8
1,
8
2
3 1,
8
x
y
f
f
f
f
a
=
=
\
+
=
- \
=
=
- \
=
；
1
2
1
2
2 ,
2 ,
2n
n
a
a
a
\
=
=
=
L
，
1
1
2 1
2
2
2
2025,
2
2027
1
2
n
n
n
n
S
+
+
×
-
\
=
=
-
<
\
<
-
．
10
11
max
max
2
1024,2
2048,
(
1)
10,
9
n
n
=
=
\
+
=
\
=
Q
．
故选：B．
10．（25-26 高三上·山东青岛·月考）已知函数
f x ，对任意的,
R
x yÎ
，恒有
2
f x
y
f x
y
f x
f
y
+
+
-
=
×
，且
1
1
2
f
=
，则下列说法正确的是（ ）
A．
0
0
f
=
B．
f x 为奇函数
C．
f x 为周期函数D．
2025
1
f
=
【答案】C
【分析】通过赋值法确定
0
f
的值，判断函数奇偶性；利用递推关系推导函数周期，结合周期计算特定
点的函数值，进而判断选项.
【详解】令
0
x =
，
0
y =
，则
0
0
0
0
2
0
0
f
f
f
f
+
+
-
=
×
，
即
2
2
0
2 (0)
f
f
=
，得
0
0
f
=
或
0
1
f
= .
若
0
0
f
=
，令
0
y =
，则
0
0
2
0
f x
f x
f x
f
+
+
-
=
×
，
即
2
0
f x =
，与
1
1
2
f
=
矛盾，故
0
1
f
= ，A 错误.
令
0
x =
，则
0
0
2
0
f
y
f
y
f
f
y
+
+
-
=
×
，即
2
f
y
f
y
f
y
+
-
=
，
得
-
=
f
y
f
y ，故
f x 为偶函数，B 错误.
令
1
y = ，则
1
1
2
1
f x
f x
f x
f
f x
+
+
-
=
×
=
，即
1
1
f x
f x
f x
+
=
-
-
.
由此得
2
1
1
1
f x
f x
f x
f x
f x
f x
f x
é
ù
+
=
+
-
=
-
-
-
= -
-
ë
û
，
3
2
1
1
1
f x
f x
f x
f x
f x
f x
f x
é
ù
+
=
+
-
+
= -
-
-
-
-
= -
ë
û
，
6
3
f x
f x
f x
+
= -
+
=
，故
f x 是周期为6 的周期函数，C 正确.
2025
6 337
3
3
0
1
f
f
f
f
=
´
+
=
= -
= - ，D 错误.
故选：C
11．（2025·甘肃定西·模拟预测）若定义在Z 上的函数
f x 满足对任意,x yÎZ均有
2
2
f x
y
f x f
y
f
x f
y
+
=
-
+
-
，则称
f x 为“
2
S -
函数”.已知
f x 为“
2
S -
函数”，且
2
1
f
= ，
1
0
f -
<
，则
0
47
f
f
+
= （ ）
A．
2
2
-
B．0
C．
2
2
D．1
【答案】A
【分析】由新定义赋值得
f x 的图象关于直线
2
x =
对称，进一步赋值得
f x 为奇函数，
f x 是周期为
8 的周期函数，故只需求出
1
f -
的值即可.
【详解】令
0
x
y
=
=
，则
0
0
2
2
0
2
2
0
2
0
f
f
f
f
f
f
f
f
=
+
=
=
，所以
0
0
f
=
；
令
2
y =
，则
2
0
2
2
2
f x
f x f
f
x f
f
x
+
=
+
-
=
-
，
所以
f x 的图象关于直线
2
x =
对称；
令y
x
= - ，则
0
2
2
2
0
f
f x f
x
f
x f
x
f x
f
x
f
x
é
ù
=
+
+
-
-
=
+
-
+
=
ë
û
，
因为
2
0
f
x
+
=
不恒成立，所以
0
f x
f
x
+
-
=
恒成立，所以
f x 为奇函数，
所以
4
f x
f
x
f x
+
=
-
= -
，所以
8
4
f x
f x
f x
+
= -
+
=
，
所以
f x 是周期为8 的周期函数，令
1,
1
x
y
=
= ，则
2
2
2[
1 ]
1
f
f
=
= ，
解得
2
1
2
f
= ±
，又
1
0,
f
f x
-
<
为奇函数，所以
2
1
1
2
f
f
-
= -
= -
，
所以
2
0
47
0
6 8 1
1
2
f
f
f
f
+
=
+
´ -
=
-
= -
.
故选：A.
12．（2025 高三·全国·专题练习）函数
( )
f x 的定义域为
,
,
,
(
1)
(
1)
(
)
(
)
x y
f x
f y
f x
y
f x
y
"
Î
+
×
+
=
+
-
-
R
R
，
若
(0)
0
f
，则
(2026)
f
= （ ）
A．－2
B．－4
C．2
D．4
【答案】C
【分析】方法一，利用赋值法来证明函数的周期性和特殊函数值，即可判断，
方法二，是利用特例函数来满足条件，即可得结论.
【详解】方法一：利用赋值法，
令x =
0
y =
，则
2
[ (1)]
(0)
(0)
0
f
f
f
=
-
=
，所以
(1)
0
f
=
．
令
0
x =
，
R
y Î
，则
1
1
0
0
0
f
f
y
f
y
f
y
+
=
+
-
-
=
，所以
f
y =
f
y
-
．
令y
x
= - ，则
(
1) (1
)
(0)
(2 )
f x
f
x
f
f
x
+
-
=
-
．
令y
x
=
，则
(
1) (
1)
(2 )
(0)
f x
f x
f
x
f
+
+
=
-
．
所以
(
1) (1
)
(
1) (
1)
f x
f
x
f x
f x
+
-
= -
+
+
，
若
(
1)
0
f x +
=
恒成立，则与题设条件
(0)
0
f
矛盾，所以
(
1)
f x +
不恒为0，
所以
(1
)
f
x
-
=
(
1)
(
1)
f x
f x
-
= -
+
，所以
( )
(
2)
f x
f x
= -
+
，
所以
( )
(
2)
[
(
4)]
(
4)
f x
f x
f x
f x
= -
+
= - -
+
=
+
，所以4 为
( )
f x 的一个周期，
所以
(2026)
(2)
f
f
=
．令
1
x
y
=
= ，得
(2) (2)
f
f
=
(2)
(0)
f
f
-
，
又
(2)
(0)
0
f
f
= -
，所以
(2) (2)
2 (2)
f
f
f
=
，
(2)
2
f
=
，所以
(2026)
2
f
=
，
故选：C．
方法二：举满足条件的特例函数，即令
π
( )
2cos 2
x
f x = -
，
检验得
,
,
(
1) (
x y
f x
f y
"
Î
+
+
R
1)
(
)
(
)
f x
y
f x
y
=
+
-
-
，且
(0)
0
f
，符合题意，
所以
(2026)
2cos1013π
2
f
= -
=
，
故选：C．
13．（2024·山西·一模）已知函数
f x 是定义在
0
x x
∣
上不恒为零的函数，若
2
2
f x
f
y
f xy
y
x
=
+
，
则（ ）
A．
1
1
f
=
B．
1
1
f -
=
C．
f x 为偶函数
D．
f x 为奇函数
【答案】C
【分析】根据题意，令x 、y 取特殊值逐一验证四个选项即可.
【详解】令
1
x
y
=
= ，则
1
2
1
f
f
=
，故
1
0
f
=
，A 选项错误；
令
1
x
y
=
= - ，则
1
2
1
f
f
=
-
，故
1
0
f -
=
，B 选项错误；
令
1
y = - ，则
2
1
f
f
x
f
x
f
x
x
-
-
=
+
=
，故
f x 为偶函数，C 选项正确；
因为
f x 为偶函数，又函数
f x 是定义在
0
x x
∣
上不恒为零的函数，D 选项错误.
故选：C
14．（2024·广西南宁·一模）已知函数
f x 的定义域为
2
2
R, f x
y f x
y
f
x
f
y
+
-
=
-
，且当
0
x >
时，
0
f x >
，则（ ）
A．
0
1
f
=
B．
f x 是偶函数
C．
f x 是增函数
D．
f x 是周期函数
【答案】C
【分析】对A，令
0
x
y
-
=
求解即可；对B，令
0
x =
化简可得
0
f
y
f
y
-
+
=
即可；对C，设
2
1
0
x
x
>
>
，结合题意判断
2
2
2
1
0
f
x
f
x
-
>
判断即可；对D，根据
f x 是增函数判断即可.
【详解】对A，令
0
x
y
=
=
，则
2
2
2
0
0
0
f
f
f
=
-
，得
0
0
f
=
，故A 错误；
对B，令
0
x =
，得
2
2
0
f
y f
y
f
f
y
-
=
-
，
由
0
0
f
=
整理可得
0
f
y
f
y
f
y
é
ù
-
+
=
ë
û
，
将y 变换为
y
- ，则
0
f
y
f
y
f
y
é
ù
-
+
-
=
ë
û
，
故
2
0
f
y
f
y
é
ù
+
-
=
ë
û
，故
0
f
y
f
y
-
+
=
，故
f x 是奇函数，故B 错误；
对C，设
2
1
0
x
x
>
>
，则
2
1
0,
0
f x
f x
>
>
，
且
2
2
2
1
2
1
2
1
f
x
f
x
f x
f x
f x
f x
-
=
+
-
2
1
2
1
0
f x
x
f x
x
=
+
-
>
，故
2
2
2
1
0
f
x
f
x
-
>
，则
2
1
f x
f x
>
.
又
0
0
f
=
，
f x 是奇函数，故
f x 是增函数，故C 正确；
对D，由
f x 是增函数可得
f x 不是周期函数，故D 错误.
故选：C
15．已知定义在R 上的函数
( )
f x ，满足对任意的实数x，y，均有
1
f x
y
f x
f
y
+
=
+
- ，且当
0
x >
时，
( )
1
f x < ，则下列说法错误的是（ ）
A．
(0)
1
f
=
B．
(1)
( 1)
1
f
f
+
-
=
C．函数
( )
f x 为减函数
D．函数
( )
y
f x
=
的图象关于点
0,1 对称
【答案】B
【分析】借助赋值法令
0
x
y
=
=
计算出
0
f
，可判断A；借助赋值法令
1
x = ，
1
y = - ，并结合
0
f
的
值，求出
1
1
f
f
-
+
，可判断B；结合函数单调性的定义及赋值法令
0
y >
，可判断函数
f x 的单调性，
从而判断C；结合函数对称性及赋值法令y
x
= - ，可判断D.
【详解】对A：令
0
x
y
=
=
，则有
0
0
0
1
f
f
f
=
+
- ，故
(0)
1
f
= ，故A 正确；
对B：令
1
x = ，
1
y = - ，则有
0
1
1
1
f
f
f
=
+
-
- ，故
1
1
2
f
f
+
-
=
，故B 错误；
对C：令
0
y >
，则有
(
)
( )
( ) 1
f x
y
f x
f y
+
-
=
- ，其中x
y
x
+
>
，
( ) 1
0
f y - <
，
令
1x
x
y
=
+
，
2x
x
=
，即有对
1x
" 、
2x ÎR ，当
1
2
x
x
>
时，
1
2
(
)
)
0
(
f x
f x
-
<
恒成立，
即函数
( )
f x 为减函数，故C 正确；
对D：令y
x
= - ，则有
1
f x
x
f x
f
x
-
=
+
-
- ，又
(0)
1
f
= ，
故
2
f x
f
x
+
-
=
，故函数
( )
y
f x
=
的图象关于点
0,1 对称，故D 正确.
故选：B.
16．（24-25 高三上·江苏·月考）已知函数
f x 的定义域为R，且满足
2
2
f x
f
y
f x
y
xy
+
=
+
-
+
，
1
2
f
=
，则下列结论正确的是（ ）
A．
4
12
f
=
B．方程
2
f x
x
=
有解
C．
f x 是偶函数
D．
1
2
f
x
æ
ö
-
ç
÷
è
ø 是偶函数
【答案】B
【分析】根据已知得到
1
2
f x
f x
x
+
-
=
，应用递推式及累加法求
f x 解析式，进而判断各项正误.
【详解】因为函数
f x 的定义域为R，
由
2
2
f x
f
y
f x
y
xy
+
=
+
-
+
，
1
2
f
=
，取
1
x
y
=
= ，得
2
4
f
=
，
取
2
x
y
=
=
，得
4
14
f
=
，故A 错误．
取
1
y = ，得
1
2
f x
f x
x
+
-
=
，
所以
1
2
1
f
x
f
x
x
-
-
=
-
，
1
2
2
2
f
x
f
x
x
-
-
-
=
-
，⋯，
2
1
2
f
f
-
=
，
以上各式相加得
2
2
1
2
1
1
2
x
x
f x
f
x
x
é
ù
-
+
×
-
ë
û
-
=
=
-
，
所以
2
2
f x
x
x
=
-
+
，不是偶函数，故C 错误；
令
2
2
2
f x
x
x
x
=
-
+
=
，得
2
3
2
0
x
x
-
+
=
，解得
1
x = 或2，故B 正确；
因为
2
2
f x
x
x
=
-
+
，所以
2
2
1
1
1
11
(
)
2
2
2
2
2
4
f
x
x
x
x
x
æ
ö
æ
ö
-
=
-
-
-
+
=
-
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
不是偶函数，故D 错误.
故选：B
17．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
f x 的定义域为R ，值域为
0, ¥
+
，且
2
f x
y
f x
y f
y
+
=
-
，则下列结论不正确的是（ ）
A．
0
1
f
=
B．
2
2
=
f
x
f
x
C．
2
f x
f
x
+
-
≥
D．
f x 是增函数
【答案】D
【分析】取
0
x
y
=
=
，代入计算，即可判断A，取y
x
=
代入计算，即可判断B，取y
x
= - 代入计算，结合
基本不等即可判断C，举出反例，取
e x
f x
-
=
，即可判断D.
【详解】对于A，取
0
x
y
=
=
，则由已知等式得到
2
0
0
0
f
f
f
=
，即
3 0
0
f
f
=
，
又因为值域为
0, ¥
+
，所有
0
0
f
>
，故
0
1
f
= ，故A 正确；
对于B，取y
x
=
，则
2
2
0
f
x
f
f x
é
ù
=
ë
û ，即
2
2
f
x
f x
é
ù
= ë
û ，故B 正确，
对于C，令y
x
= - ，则
2
0
2
f
f
x
f
x
é
ù
=
-
ë
û ，即
2
2
2
1
0
2
f
f
x
f
x
f x
f
x
é
ù
é
ù é
ù
=
=
-
=
-
ë
û
ë
û ë
û ，
注意到
0
f x >
，所以
1
0
f
x
f x
-
=
>
，
所以
1
1
2
2
f x
f
x
f x
f x
f x
f x
+
-
=
+
³
×
=
，当
1
f x = 取得等号，故C 正确；
对于D，取
e x
f x
-
=
，则
2
2
e
,
e
e
e
x y
y x
y
x y
f x
y
f x
y f
y
- -
-
-
- -
+
=
-
=
×
=
，
符合题意，但此时
f x 是减函数，故D 错误．
故选：D．
18．（2025·湖北武汉·三模）已知函数
f x 的定义域为
0
¥
+
，
，对任意的,
0
x y >
，均有
( )
( )
1
(
1)
f x
f y
x
f
x
y
y
-
<
+
，且
1
1
f
= - ，则下列结论中一定正确的是（
）
A．
2
0
f
<
B．2 (3)
(2)
f
f
<
C．
(4)
(3)
ln 2
(3)
(2)
f
f
f
f
+
>
D．3 (4)
(3)
f
f
<
【答案】C
【分析】令
1
x
y
=
= ，即可判断A；令
1
y = ，可得
1
(
1)
f
x
x
f x
+ <
+
，令
2
x =
，可判断B；令
3
x =
，可
判断D；由题意可得
1
( )
f x
f x
x
>
+
，结合
3
0
f
>
，
(2)
0
f
>
，可得
(4)
(3)
1
1
5
(3)
(2)
3
2
6
f
f
f
f
+
>
+
=
，再根据对
数的运算性质及单调性，即可判断C.
【详解】解：对于A，令
1
x
y
=
= ，则有0
(2)
f
<
，即
(2)
0
f
>
，故A 错误；
对于B，令
1
y = ，则有
( )
(1)
(
1)
f x
f
f x
x
-
<
+
，
又因为
1
1
f
= - ，
0
x >
，
所以
1
(
1)
f
x
x
f x
+ <
+
，
令
2
x =
，
则有
2
(2) 1
(2)
3
f
f
f
>
+ >
，故B 错误；
对于C，因为
1
(
1)
f
x
x
f x
+ <
+
，
0
x >
，
所以
( ) 1
1
( )
f x
f x
f
x
x
x
>
>
+
+
，
令
2
x =
，则有
)
3
(2
2
f
f
>
，令
3
x =
，则有
)
4
(3
3
f
f
>
，
由B 可知
2
(
3
2)
0
f
f
>
>
，
所以
3
0
f
>
，
所以
1
(3)
3
4
f
f
>
，
同理可得
1
(2)
2
3
f
f
>
，
所以
5
6
5
6
5
6
6
(4)
(3)
1
1
5
ln e
ln
e
ln
2.7
ln
64
ln 2
(3)
(2)
3
2
6
f
f
f
f
+
>
+
=
=
=
>
>
=
，故C 正确；
对于D，由B 可知
1
(
1)
f
x
x
f x
+ <
+
，
令
3
x =
，则有
3
(3) 1
(3)
4
f
f
f
>
+ >
，故D 错误.
故选：C．
19．（2026·河南许昌·模拟预测）已知函数
f x 的定义域为R ，
1
0
f
=
，若
1
f xy
f x f
y
f x
y
-
=
+
- ，则下列说法正确的是（ ）
A．
0
1
f
=
B．
19
1
190
n
f n
=
=
å
C．函数
1
f x +
是奇函数
D．函数
1
f x + 是偶函数
【答案】C
【分析】令
1,
0
x
y
=
=
求出
0
1
f
= - 可判断A，令
1
y = 可得
1
1
f x
f x
+
=
+ ，利用等差数列的求和公式
求和后可判断B，求出
1
2
f -
= - 后令
1
y = - ，结合B 中分析可得
2
f
x
f x
-
+
= - ，据此可判断CD 的
正误.
【详解】对于A，令
1,
0
x
y
=
=
，则
1
0
1
0
1
f
f
f
f
-
=
- ，故
0
1
f
= - ，故A 错误；
对于B，令
1
y = ，则
1
1
1
f x
f x f
f x
-
=
+
- ，
所以
1
1
f x
f x
+
=
+ ，故
*
f n
nÎN
为等差数列，首项为零，公差为1，
故
19
1
19 18
19 0
1
171
2
n
f n
=
´
=
´ +
´ =
å
，故B 错误；
对于C，因为
1
1
f x
f x
+
=
+ ，
1
0
f
=
，故
1
0
1
f
f
=
+ ，
故
0
1
f
= - ，同理
1
2
f -
= - ，
在
1
f xy
f x f
y
f x
y
-
=
+
- 中令
1
y = - ，
则
2
1
1
f
x
f x
f x
-
+
=
-
- ，由B 的分析可得
1
1
f x
f x
=
-
-
，
所以
2
2
f
x
x
f
f x
+
-
=
-
，所以
2
f
x
f x
-
+
= - ，
所以
1
1
0
f
x
f x
-
+ +
+ =
，所以
1
1
0
f
x
f x
- +
+
+
=
，
所以函数
1
f x +
是奇函数，故C 正确；
对于D，由C 的分析可得
2
f
x
f x
-
+
= - 即
1
1
0
f
x
f x
-
+ +
+ =
，
故函数
1
f x + 是奇函数，故D 错误.
20．（2025·浙江温州·三模）已知函数
f x 的定义域为R ，
x
y
"
ÎR
，
，
f x f
y
f x
y
=
+
，且
1
1
2
f
=
，则（ ）
A．
0
0
f
=
B．
1
1
2
f -
= -
C．
1
f x
f x
+
<
D．
2
1
1
f x
f x
f x
f x
+
-
+
<
+
-
【答案】C
【分析】利用赋值法，可判断A、B；利用赋值法，可得
1
1
2
f x
f x
+
=
，又
0
f
f x f
x
=
-
，由
0
f
的值及
f x f
y
f x
y
=
+
可推导出
0
f x >
，可判断C；由
1
1
2
f x
f x
+
=
及
0
f x >
可判断D.
【详解】对于A，令
1
0
x
y
=
=
，
，则
1
0
1 0
1
f
f
f
f
=
+
=
，
又
1
1
2
f
=
，则
1
1
0
2
2
f
=
，所以
0
1
f
= ，故A 错误；
对于B，令
1
1
x
y
=
= -
，
，则
1
1
1 1
0
f
f
f
f
-
=
-
=
，
又
1
1
2
f
=
，
0
1
f
= ，所以
1
1
1
2 f -
= ，解得
1
2
f -
=
，故B 错误；
对于C，令
1
y = ，则
1
1
f x f
f x
=
+
，
又
1
1
2
f
=
，则
1
1
2
f x
f x
+
=
，
由上可知
0
1
f x f
x
f
-
=
= ，故
0
f x
，
所以
0
2
2
x
x
f x
f
f
æ
ö
æ
ö
=
>
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，可得
1
2 f x
f x
<
，即
1
f x
f x
+
<
，故C 正确；
对于D，由
1
1
2
f x
f x
+
=
，得
1
1
2
1
2
4
f x
f x
f x
+
=
+
=
，
所以
1
1
1
2
1
4
2
4
f x
f x
f x
f x
f x
+
-
+
=
-
= -
，
1
1
1
2
2
f x
f x
f x
f x
f x
+
-
=
-
= -
，
由选项C 中分析知
0
f x >
，所以
1
1
4
2
f x
f x
-
> -
，故D 错误.
故选：C.
21．（24-25 高三上·福建厦门·月考）定义域为R 的函数
f x ，对任意x，yÎR ，
2
f x
y
f x
y
f x f
y
+
+
-
=
，且
f x 不恒为0，下列说法中正确的是（ ）
A．
0
2
f
=
B．
f x 为偶函数
C．
0
0
f x
f
+
£
D．若
1
0
f
=
，则
2024
1
4048
i
f i
=
=
å
【答案】B
【分析】A 选项令
0
x
y
=
=
可判断；B 选项令
0
x =
即可得出结论；C 选项假设
cos
f x
x
=
即可得出结
论；D 选项对,x y 进行赋值，可得出函数
f x 的周期，即可求解.
【详解】对于A 选项，令
0
x
y
=
=
，则
0
0
2
0
0
f
f
f
f
+
=
，
所以
0
0
1
0
f
f
-
=
é
ù
ë
û
，所以
0
0
f
=
或
0
1
f
= ，
若
0
0
f
=
，令
0
y =
，则原式变为
2
0
0
f x
f x
f x f
+
=
=
，
所以
0
f x =
，与“
f x 不恒为0”矛盾，所以
0
1
f
= ，故A 错误；
对于B 选项，令
0
x =
，则原式变为
2
0
2
f
y
f
y
f
f
y
f
y
+
-
=
=
，
所以
-
=
f
y
f
y ，所以
f x 为偶函数，故B 正确；
对于C 选项，假设
cos
f x
x
=
，满足
cos
cos
2cos cos
x
y
x
y
x
y
+
+
-
=
，
此时
0
1
cos
1
0
f x
f
f x
x
+
=
+ =
+ ³
，所以
0
0
f x
f
+
£
不成立，故C 错误；
对于D 选项，因为
1
0
f
=
，所以
1
1
0
-
=
=
f
f
，
令
1
x = ，
1
y = ，则
2
2
0
2
1
f
f
f
+
=
é
ù
ë
û ，所以
2
1
f
= - ，
令
2
x =
，
1
y = ，则
3
1
2
2
1
f
f
f
f
+
=
，所以
3
0
f
=
，
令
3
x =
，
1
y = ，则
4
2
2
3
1
f
f
f
f
+
=
，所以
4
1
=
f
，
令
4
x =
，
1
y = ，则
5
3
2
4
1
f
f
f
f
+
=
，所以
5
0
f
=
，
令
5
x =
，
1
y = ，则
6
4
2
5
1
f
f
f
f
+
=
，所以
6
1
f
= - ，
由此可知
f x 的周期为4 ，一个周期内的函数值为
1
0
f
=
，
2
1
f
= - ，
3
0
f
=
，
4
1
=
f
，
所以一个周期内的函数值的和为0 ，
所以
2024
1
0
4048
i
f i
=
=
å
，故D 错误.
故选：B.
22．（25-26 高三上·北京顺义·期末）已知函数
( )
f x 满足
( )
0
f x ³
，则“
( )
f x 单调递减”是“存在
0
h >
，对任
意的
R
xÎ
，均有
(
)
( )
( )
f x
h
f x
f h
+
<
+
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要
条件
【答案】A
【分析】利用充分条件和必要条件的定义进行分析得解.
【详解】充分性分析：
0
h >
Q
，
x
h
x
\ +
>
，
( )
f x
Q
单调递减，
(
)
( )
f x
h
f x
\
+
<
，
( )
0
f x ³
Q
，
( )
0
f h
\
³
，
( )
( )
( )
f x
f x
f h
\
£
+
，
(
)
( )
( )
( )
f x
h
f x
f x
f h
\
+
<
£
+
，
(
)
( )
( )
f x
h
f x
f h
\
+
<
+
，
\ “
( )
f x 单调递减”是“存在
0
h >
，对任意的
R
xÎ
，
均有
(
)
( )
( )
f x
h
f x
f h
+
<
+
”的充分条件；
必要性分析：设
0,
Q
( )
1,
Q
x
f x
x
Î
ì
= í
Ï
î
，取
2
h =
，
当
Q
xÎ
时，
Q
x
h
+
Ï
，则
(
)
1,
( )
0,
( )
1
f x
h
f x
f h
+
=
=
= ，
此时
(
)
1
0 1
( )
( )
f x
h
f x
f h
+
= <
+ =
+
；
当xÏQ 时，则
1,
1,
1
f x
h
f x
f h
+
£
=
= ，
此时
1 1 1
f x
h
f x
f h
+
£ < + =
+
；
故存在
2
0
h =
>
，对任意的
R
xÎ
，均有
(
)
( )
( )
f x
h
f x
f h
+
<
+
，
但是
0,
( )
1,
x
Q
f x
x
Q
Î
ì
= í
Ï
î
不是单调递减函数，
故 “
( )
f x 单调递减”是“存在
0
h >
，对任意的
R
xÎ
，
均有
(
)
( )
( )
f x
h
f x
f h
+
<
+
”的不必要条件；
综上可知，“
( )
f x 单调递减”是“存在
0
h >
，对任意的
R
xÎ
，
均有
(
)
( )
( )
f x
h
f x
f h
+
<
+
”的充分不必要条件.
故选：A.
23．已知定义在R 上的函数
f x ，
g x 不恒为0 ，且满足
2 f x
g y
f x
y
f x
y
×
=
+
+
-
，
0
0
f
=
，
1
0
g
=
，则下列说法不正确
．．．的是（ ）
A．
0
1
g
=
B．
f x 为奇函数
C．点
2,0 是函数
f x 图象的对称中心D．
f x 为周期函数且周期为2
【答案】D
【分析】令
0
y =
可判断A，令
0
x =
可判断B，令
1
y = 可得
1
1
f x
f x
+
= -
-
，即可推出
f x 的周期，
从而判断D，结合
2
f x
f x
+
= -
及
f
x
f x
-
= -
分析得到
2
2
0
f x
f
x
+
+
-
=
判断C.
【详解】对于A：因为
2 f x
g y
f x
y
f x
y
×
=
+
+
-
，
令
0
y =
可得
2
0
2
f x
g
f x
×
=
，又
f x 不恒为0 ，
所以存在
0x 使得
0
0
f x
，且
0
0
2
0
2
f x
g
f x
×
=
，所以
0
1
g
= ，故A 正确；
对于B：因为
2 f x
g y
f x
y
f x
y
×
=
+
+
-
，
令
0
x =
，则
2
0
f
g y
f
y
f
y
×
=
+
-
，又
0
0
f
=
，所以
0
f
y
f
y
+
-
=
，
即
f
x
f x
-
= -
，所以
f x 为奇函数，故B 正确；
对于D：因为
2 f x
g y
f x
y
f x
y
×
=
+
+
-
，
令
1
y = 可得
2
1
1
1
f x
g
f x
f x
×
=
+
+
-
，又1
0
g
=
，
所以
1
1
0
f x
f x
+
+
-
=
，即
1
1
f x
f x
+
= -
-
，
所以
2
f x
f x
+
= -
，则
4
2
f x
f x
f x
f x
é
ù
+
= -
+
= - -
=
ë
û
，
所以
f x 为周期函数且周期为4 ，故D 错误；
对于C：因为
2
f x
f x
+
= -
且
f
x
f x
-
= -
，
所以
2
2
2
f
x
f
x
f x
f x
-
=
-
-
= -
-
=
，所以
2
2
f x
f
x
+
= -
-
，
即
2
2
0
f x
f
x
+
+
-
=
，所以点
2,0 是函数
f x 图象的对称中心，故C 正确.
故选：D
24．（多选题）（23-24 高三上·山东·月考）已知
f x 是定义在R 上的不恒为零的函数，对于任意
,
R
x yÎ
都满足
2
f x
f x
y
f
y
-
=
+
-
，且
1
f x +
为偶函数，则下列说法正确的是（ ）
A．
0
2
f
=
B．
f x 为奇函数
C．
f x 关于点
0,2 对称
D．
23
1
46
n
f n
=
=
å
【答案】ACD
【分析】令
0
x
y
=
=
，可判定A 正确；令y
x
= - ，得到
4
f x
f
x
+
-
=
，可判定C 正确，B 错误；根据
题意，推得
4
f x
f x
=
+
，得到
f x 的周期为
4
T =
，令
2
x
y
=
=
，求得
2
2
f
=
，结合函数的周期
性，求得
23
1
n
f n
=å
，可判定D 正确．
【详解】由对于任意,
R
x yÎ
都满足
2
f x
f x
y
f
y
-
=
+
-
，
令
0
x
y
=
=
，则
0
2
f
=
，所以A 正确；
令y
x
= - ，可得
2
0
f
x
f
f
x
-
=
-
-
，即
4
f x
f
x
+
-
=
，
所以函数
f x 关于点
0,2 对称，所以C 正确，B 错误；
又由
1
f x +
为偶函数知
f x 关于直线
1
x = 对称，即
2
f x
f
x
=
-
，
可得
(
2)
4
f x
f x
= -
+
+
，则
2
(
4)
4
f x
f x
-
+
=
+
-
，所以
4
f x
f x
=
+
，
所以函数
f x 的周期为
4
T =
，令
2
x
y
=
=
，则
2
2
f
=
，
可得
1
2
3
4
1
2
1
0
8
f
f
f
f
f
f
f
f
+
+
+
=
+
+
-
+
=
，
1
2
3
1
2
1
6
f
f
f
f
f
f
+
+
=
+
+
-
=
，
所以
23
1
8 5
6
46
n
f n
=
= ´ +
=
å
，所以D 正确．
故选：ACD．
25．（多选题）已知函数
( )
f x 对任意,
R
x y Î
，总有
( )
( )
(
)
4
f x
f y
f x
y
+
=
+
+
，当
0
x >
时，
( )
4
f x <
，若
(1)
2
f
=
，则下列选项正确的是（ ）
A．
( 2)
0
f -
=
B．
( )
4
y
f x
=
-
为奇函数
C．
(8 )
8 ( )
28
f
x
f x
=
-
D．
( )
f x 在[ 1,5]
-
上的最小值为-6
【答案】BCD
【分析】令
0
x
y
=
=
，得到
(0)
4
f
=
，再令
1,
1
x
y
=
= - ，求得
( 1)
6
f -
=
，令
1,
1
x
y
= -
= - ，求得
( 2)
8
f -
=
，
可判定A 错误；令( )
( )
4
g x
f x
=
- ，结合奇偶性的定义，可判定B 正确；令y
x
=
，得到
2 ( )
(2 )
4
f x
f
x
=
+
，递推得到2 (2 )
(4 )
4
f
x
f
x
=
+
，
(4 )
4 ( ) 12
f
x
f x
=
-
，
进而推得
(8 )
8 ( )
28
f
x
f x
=
-
，可判断C 正确；根据单调性的定义，证得
f x 在R 上为减函数，得到
f x
在
1,5
-
上的最小值为
5
f
，结合递推关系，求得
5
f
的值，可判定D 正确.
【详解】对于A，令
0
x
y
=
=
，可得
(0)
(0)
(0)
4
f
f
f
+
=
+
，可得
(0)
4
f
=
，
令y
x
= - ，可得
( )
(
)
(0)
4
8
f x
f
x
f
+
-
=
+
=
，即
(
)
8
( )
f
x
f x
-
=
-
，
因为
(1)
2
f
=
，令
1,
1
x
y
=
= - ，可得
(1)
( 1)
(0)
4
8
f
f
f
+
-
=
+
=
，所以
( 1)
6
f -
=
，
令
1,
1
x
y
= -
= - ，可得
( 1)
( 1)
( 2)
4
f
f
f
-
+
-
=
-
+
，
所以
( 2)
2 ( 1)
4
8
f
f
-
=
-
-
=
，所以A 错误；
对于B，令( )
( )
4
g x
f x
=
- ，则(
)
(
)
4
g
x
f
x
-
=
-
-
，
因为
(
)
8
( )
f
x
f x
-
=
-
，所以(
)
8
( )
4
4
( )
( )
g
x
f x
f x
g x
-
=
-
-
=
-
= -
，
所以函数
g x 为奇函数，即
( )
4
y
f x
=
-
为奇函数，所以B 正确；
对于C，令y
x
=
，可得
( )
( )
(
)
4
(2 )
4
f x
f x
f x
x
f
x
+
=
+
+
=
+
，即
2
2
4
f
x
f x
=
-
（*），
由
(2 )
(2 )
(2
2 )
4
(4 )
4
f
x
f
x
f
x
x
f
x
+
=
+
+
=
+
，可得2 (2 )
(4 )
4
f
x
f
x
=
+
，
将（*）代入上式，整理得
(4 )
4 ( ) 12
f
x
f x
=
-
（**），
又由
(4 )
(4 )
(4
4 )
4
(8 )
4
f
x
f
x
f
x
x
f
x
+
=
+
+
=
+
，可得
8
2
4
4
f
x
f
x
=
-
，
将（**）代入上式，整理得
(8 )
8 ( )
28
f
x
f x
=
-
，所以C 正确；
对于D，设
1
2
,
R
x x Î
且
1
2
x
x
<
，则
2
1
0
x
x
-
>
，
因为当
0
x >
时，
4
f x <
，所以
2
1
4
f x
x
-
<
，
又由
2
2
1
1
2
1
1
((
)
)
(
)
( )
4
f x
f
x
x
x
f x
x
f x
=
-
+
=
-
+
- ，
则
2
1
2
1
( )
(
)
4
0
f x
f x
f x
x
-
=
-
-
<
，即
2
1
( )
f x
f x
<
，
所以函数
f x 在R 上为减函数，所以
f x 在
1,5
-
上的最小值为
5
f
，
则
5
4 1
4
1
4
3 1
1
4
3
2
1
8
f
f
f
f
f
f
f
f
=
+
=
+
-
=
+
+
-
=
+
-
2 1
2
1
8
2
3
1
12
1 1
3
1
12
f
f
f
f
f
f
=
+
+
-
=
+
-
=
+
+
-
2
1
3
1
16
5
1
16
f
f
f
=
+
-
=
-
，
因为
1
2
f
=
，所以
5
5 2 16
6
f
= ´ -
= - ，所以D 正确.
故选：BCD.
26．（25-26 高三上·安徽·月考）已知定义在R 上的函数
f x 满足：
2
f x
y
f x
f
y
+
=
+
-
.
0
x
" >
，
2
f x >
.
(1)证明：函数
f x 在R 上单调递增；
(2)证明：曲线
y
f x
=
是中心对称图形，并求其对称中心.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析，对称中心为
0,2 .
【分析】（1）利用单调性的定义即可得证；
（2）令
0
x
y
=
=
得
0
2
f
=
，令y
x
= - 得
0
2
f
f x
f
x
=
+
-
-
，令
2
g x
f x
=
-
，得
g x
g
x
= -
-
，进而得
g x 的对称中心，即可得
2
f x
g x
=
+
，进而求解.
【详解】（1）证明：
1
2
,
x x
"
ÎR ，
1
2
x
x
<
，
令
0
2
1
x
x
x
=
-
，则
2
1
0
x
x
x
=
+
，
0
0
x >
，
2
1
0
1
0
2
f x
f x
x
f x
f x
=
+
=
+
-
，
∵
0
0
x >
，∴
0
2
f x
>
，
2
1
f x
f x
>
，∴
f x 单调递增；
（2）（2）令
0
x
y
=
=
，则
0
2
f
=
，
令y
x
= - ，则
0
2
f
f x
f
x
=
+
-
-
，
2
2
f x
f
x
-
= -
-
-
，
令
2
g x
f x
=
-
，则有
g x
g
x
= -
-
，
∴
g x 为奇函数，图象关于
0,0 对称，
∵
2
f x
g x
=
+
，∴曲线
y
f x
=
是中心对称图形，对称中心为
0,2 .
27．（25-26 高三上·江西·月考）已知定义在R 上的函数
f x 满足：对于任意的
1
mn < ，均有
0
1
m
n
f m
f n
f
mn
+
æ
ö
+
-
=
ç
÷
-
è
ø
，且当
0
x >
时，
0
f x >
.
(1)求
0
f
；
(2)探究
f x 的奇偶性；
(3)用定义法证明
f x 在区间
1,1
-
上单调递增.
【答案】(1)0；
(2)奇函数；
(3)证明见解析.
【分析】（1）根据给定条件，利用赋值法求出目标值；
（2）利用奇函数的定义推理判断；
（3）利用增函数的定义推理得证.
【详解】（1）对于任意的
1
mn < ，均有
(
)
0
( )
1
( )
m
n
f
f
m
m
n
f
n
+
+
-
=
-
，
取
0
m
n
=
=
，得
0
(0)
(0)
(0)
f
f
f
+
-
=
，即得
(0)
0
f
=
.
（2）函数
( )
f x 的定义域为R ，对
x
" ÎR ，令
,
=
= -
m
x n
x ，得
2
1
mn
x
= -
< ，
)
(0
)
)
0
(
(
x
x
f
f
f
-
-
+
=
，因此
(
)
( )
f
x
f x
-
= -
，
所以函数
( )
f x 为奇函数.
（3）
1
2
,
1,1 ,
x x
"
Î -
且
1
2
x
x
<
，令
2
1
,
m
x n
x
=
= -
，则
1
2
1
mn
x x
= -
< ，即
1
2
1
0
x x
+
>
,
因
2
1
1
2
0
1
x
x
x x
-
>
+
，则
2
1
1
2
(
)
0
1
x
x
f
x x
-
>
+
，
故
1
2
1
1
2
2
(
)
0
(
(
)
1
)
f x
x
x
x
f
f
x x
-
-
+
-
+
=
，即
1
2
1
1
2
2
(
)
(
(
)
)
0
1
x
x
f
f
f
x x
x
x
-
=
+
-
>
，
则
2
1
(
)
(
)
f x
f x
>
，所以函数
( )
f x 在区间( 1,1)
-
上单调递增.
