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2026 年中考数学真题知识点分类汇编之圆（四）
一．解答题（共18 小题）
1．（2026•巴中）如图，AB 是⊙O 的直径，点C、D 在圆上，D 是^
AC的中点，DE⊥AB 于点E，交AC
于点F，AC、DB 交于点G，H 在AB 延长线上且∠BCH＝∠CAB．
（1）求证：CH 为⊙O 的切线．
（2）求证：AF＝DF．
（3）若DG＝2，GB＝3，求AD 的长．
2．（2026•内蒙古）已知△ABC 是⊙O 的内接三角形，半径OB 与AC 边相交于点D．
（1）如图1，连接OA，若∠OAC＝15°，∠ACB＝40°，求∠ADB 的度数；
（2）如图2，点E 是线段AC 延长线上一点，连接BE．
①若∠CDB＝∠OBC，求证：∠ACB＝2∠CAB；
②在①的条件下，若BE＝BA，试判断线段OB 与线段BE 的位置关系，并说明理由．
3．（2026•湖北）如图，在△ABC 中，AC＝BC，以BC 为直径的⊙O 交AB 于点D，弦DF⊥BC，垂足为
E．
（1）求证：AD＝BD；
（2）若AB＝10，DF＝8，求⊙O 的半径．
4．（2026•甘孜州）如图，AB，BC，CD 分别与⊙O 相切于E，F，G 三点，且AB∥CD．
（1）判断OB 与OC 的位置关系，并说明理由；
2
（2）若BO＝3，tan∠OCD = 3
4 ，求⊙O 的半径．
5．（2026•陕西）如图，点A 在⊙O 上，连接OA 并延长至点B，过点B 作⊙O 的切线，切点为C，作弦
CD⊥OA，垂足为H，作DE∥BC，连接CE．
（1）求证：CE＝CD；
（2）若AB＝2，BC＝4，求DE 的长．
6．（2026•绥化）尺规作图：如图，在∠AOB 的内部有一点P．
【初步探索】
（1）如图1，利用无刻度的直尺和圆规作一个等腰三角形OMN，并使等腰三角形的底边MN 经过点
P，点M，点N 分别在射线OA，射线OB 上．（温馨提示：本小题作图不写作法，但需保留作图痕
迹）
【拓展探究】
（2）如图2，若∠AOB＝58°，连接OP，OP＝3．以O 为圆心，OP 为半径画圆，交射线OA，射线OB
于C，D 两点，则劣弧^
CD的长度为 ．（本小题无需在答题卡上作图，只需
写出用含π 的代数式表示的结果）
7．（2026•绥化）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD⊥AB，垂足为P，连接BD，过点C 作BD 的垂线，垂
足为E，交直径AB 于点F，交过点B 的直线于点M，连接AC 并延长，交MB 于点N，且CN＝CM．
（1）求证：BM 是⊙O 的切线．
（2）若PD =2√7，OF＝4，求线段CE 的长．
3
8．（2026•齐齐哈尔）如图，四边形ABCD 内接于⊙O，AC 为⊙O 的直径，点E 在AC 的延长线上，且
∠CDE+∠ABD＝90°．
（1）求证：DE 是⊙O 的切线；
（2）若CE＝8，DE＝12，sin∠BAC= 1
2，求阴影部分的面积．
9．（2026•广西）如图1，⊙O 是锐角三角形ABC 的外接圆，∠BAC＝45°，BC＝2，BD⊥AC 于点D．
（1）求证：OD 平分∠ADB；
（2）如图2，若以O 为圆心，OD 为半径的圆与BC 相切于点E，求AC 的长及∠CBD 的度数．
10．（2026•新疆）如图，△ABC 内接于⊙O，AD 平分∠BAC 交⊙O 于点D，连接BD，CD，经过点D 的
直线与AB 的延长线相交于点E，且∠BDE= 1
2∠BAC．
（1）求证：DE 是⊙O 的切线；
（2）如果点I 是△ABC 的内心，tan∠BAC= 12
5 ，BC＝24，求DI 的值．
4
11．（2026•内江）如图，在△ABC 中，AB＝AC，以边AB 为直径作⊙O，交BC 于点D，交CA 的延长线
于点E，连接DE 交AB 于点F．
（1）如图1，过点D 作DM⊥AC 于点M．
①求证：DM 是⊙O 的切线；
②若∠CED＝30°，AB＝6，求阴影部分的面积；
（2）如图2，连接BE，若EF
FD = 1
2，BE＝2√15，求AE 的值．
12．（2026•宜宾）如图，△ABC 是等腰三角形，AC＝BC，∠ACB＝120°，点D 是AB 中点，CE 平分
∠ACD 交AB 于点E．
（1）求∠BCE 的度数；
（2）求证：AC 与△BCE 的外接圆相切；
（3）P 为△BCE 外接圆上任意一点，试探究PD 与PA 的数量关系，并说明理由．
13．（2026•山西）如图，AB 是⊙O 的直径，点C，D 是⊙O 上的两点，且^
BD =^
BC，过点C 作⊙O 的切
线与AB 的延长线交于点E，连接AC，OD．若∠ACE＝115°，OB＝6，求扇形BOD（即阴影部分）的
面积（结果保留π）．
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14．（2026•山西）
阅读与思考
阅读下列材料，完成相应任务．
工匠智慧引发的数学思考
【工匠智慧】
如图1，木工师傅用一根没有弹性的绳子和一把直尺在矩形木板上画特定度数的角．
【数学抽象】
将图1 的操作过程抽象成尺规作图，步骤如下：如图2，在矩形木板ABCD 中，以点A 为圆心，
AB 长为半径作弧，交AD 于点E；以点B 为圆心，AB 长为半径作弧，与^
BE交于点F；连接
BE，BF，AF，即可得到特定度数的角，如∠ABE 和∠EBF 等．
【推广迁移】
受上述作法的启发，可以用尺规作出与已知角有关的特定度数的角．如图3，已知∠MAN＝α，
作图步骤如下：①以点A 为圆心，任意长为半径作弧，分别交AM，AN 于点B，C；②分别以
点B，C 为圆心，BC 长为半径作弧，两弧在∠MAN 内部交于点D；③连接CD，可得∠ACD＝
150°- 1
2α．
结论“∠ACD＝150°- 1
2α”成立的理由如下：
连接BC．
由步骤①可知，AB＝AC．…
任务：
（1）图2 中∠ABE＝ °，∠EBF＝ °；
（2）补全“推广迁移”中的说理过程；
（3）如图4，四边形ABCD 表示一块木板，∠BAD＝130°，∠ADC＞85°．现要将此木板裁割成两部分，
裁割线为线段DE（点E 在BC 上），使∠ADE＝85°．请用尺规在木板上作出裁割线DE（要求：在木
板上保留作图痕迹，不写作法）．
15．（2026•天津）已知点A，B 在⊙O 上，∠AOB＝120°，点C 在^
AB上，点D 在以A，B 为端点的优弧
6
上．
（Ⅰ）如图①，当C 为^
AB的中点时，若DB＝DC，求∠OBC 和∠OBD 的大小；
（Ⅱ）如图②，当∠AOC＝90°时，过点D 作⊙O 的切线EF，且EF∥OB，CD 与OB 相交于点G，若
⊙O 的半径为3，求BD 和DG 的长．
16．（2026•福建）如图，四边形ABCD 内接于⊙O，E 是DC 延长线上的一点，EB 的延长线交⊙O 于点
F，AB＝BD，∠CBE＝∠ABD＝60°．
（1）求∠E 的度数；
（2）求证：四边形AFEC 是平行四边形；
（3）设CF 交BD 于点G，且CG
FG = 2
3，求BD
AC 的值．
17．（2026•上海）在半圆AOQ 中，点O 为圆心，线段AQ 为直径，B、C 是半圆上的两点，D 是AB 上一
点，连接AB、CD 交于点P，且AB＝CD．
（1）连接OP，
①如图1，求证：∠APO＝∠CPO；
②如图2，连接OB 交弦CD 于点H，若AQ＝4，PB＝1，PO＝HO，求PH 的长；
（2）如图3，连接AC、PQ 交于点E，线段AP 上有一点F，使得PF＝4AF，若PE＝QE，∠PEA＝
∠PFQ，求PE
EA ．
7
18．（2026•攀枝花）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD⊥AB，垂足为H．E 为^
BD上一点，连结AE 交CD
于点F，EF 的垂直平分线交CD 的延长线于点G，连结GE．
（1）若⊙O 的半径为3，AH＝2，求CD 的长；
（2）求证：EG 是⊙O 的切线．
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2026 年中考数学真题知识点分类汇编之圆（四）
参考答案与试题解析
一．解答题（共18 小题）
1．（2026•巴中）如图，AB 是⊙O 的直径，点C、D 在圆上，D 是^
AC的中点，DE⊥AB 于点E，交AC
于点F，AC、DB 交于点G，H 在AB 延长线上且∠BCH＝∠CAB．
（1）求证：CH 为⊙O 的切线．
（2）求证：AF＝DF．
（3）若DG＝2，GB＝3，求AD 的长．
【考点】切线的判定与性质；垂径定理；圆周角定理．菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质．
【答案】（1）连接OC，如图所示：
∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠ABC＝90°，
∵∠BCH＝∠CAB，
∴∠BCH+∠ABC＝90°，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∴∠BCH+∠OCB＝90°，即∠OCH＝90°，
∴OC⊥CH，
∵OC 是⊙O 的半径，
∴CH 为⊙O 的切线；
（2）∵D 是^
AC的中点，
∴^
AD =^
CD，
∴∠ABD＝∠DBC，
∵^
CD =^
CD，
∴∠DAC＝∠DBC＝∠ABD，
9
∵DE⊥AB，AB 是⊙O 的直径，
∴∠ADB＝∠AED＝90°，
∴∠ADE+∠DAE＝∠DAE+∠ABD＝90°，
∴∠ADE＝∠ABD＝∠DAC，
∴AF＝DF；
（3）√10．
【分析】（1）连接OC，由题意易得∠ACB＝90°，则有∠BCH+∠ABC＝90°，然后可得∠BCH+∠OCB
＝90°，进而问题可求证；
（2）由题意易得∠DAC＝∠DBC＝∠ABD，然后可得∠ADE+∠DAE＝∠DAE+∠ABD＝90°，则有
∠ADE＝∠ABD＝∠DAC，进而问题可求证；
（3）由题意易得△ABD∽△GAD，然后可得AD
GD = DB
DA ，进而问题可求解．
【解答】（1）证明：连接OC，如图所示：
∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠ABC＝90°，
∵∠BCH＝∠CAB，
∴∠BCH+∠ABC＝90°，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∴∠BCH+∠OCB＝90°，即∠OCH＝90°，
∴OC⊥CH，
∵OC 是⊙O 的半径，
∴CH 为⊙O 的切线；
（2）证明：∵D 是^
AC的中点，
∴^
AD =^
CD，
∴∠ABD＝∠DBC，
∵^
CD =^
CD，
∴∠DAC＝∠DBC＝∠ABD，
∵DE⊥AB，AB 是⊙O 的直径，
∴∠ADB＝∠AED＝90°，
∴∠ADE+∠DAE＝∠DAE+∠ABD＝90°，
10
∴∠ADE＝∠ABD＝∠DAC，
∴AF＝DF；
（3）解：∵DG＝2，GB＝3，
∴DB＝DG+BG＝5，
∵∠ABD＝∠GAD，∠ADB＝∠GDA，
∴△ABD∽△GAD，
∴AD
GD = DB
DA ，
∴AD2＝DG•DB＝10，
∴AD =√10．
【点评】本题主要考查了切线的判定与性质，垂径定理，圆周角定理，掌握其相关知识点是解题的关
键．
2．（2026•内蒙古）已知△ABC 是⊙O 的内接三角形，半径OB 与AC 边相交于点D．
（1）如图1，连接OA，若∠OAC＝15°，∠ACB＝40°，求∠ADB 的度数；
（2）如图2，点E 是线段AC 延长线上一点，连接BE．
①若∠CDB＝∠OBC，求证：∠ACB＝2∠CAB；
②在①的条件下，若BE＝BA，试判断线段OB 与线段BE 的位置关系，并说明理由．
【考点】圆的综合题．菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】（1）95°；
（2）①证明：连接OC，
∵^
BC =^
BC，
∴∠BOC＝2∠CAB，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∵∠CDB＝∠OBC，
11
∴∠CDB＝∠OCB，
∵∠CBD＝∠OBC，
∴△CBD∽△OBC，
∴∠BCD＝∠BOC，
∴∠BCD＝2∠CAB，即∠ACB＝2∠CAB；
②OB⊥BE，理由如下：
∵BE＝BA，
∴∠E＝∠A，
设∠E＝∠A＝x，
∴∠ACB＝2x，
∴∠BOC＝2∠A＝2x，∠CBE＝∠ACB﹣∠E＝x，
∵OB＝OC，
∴∠OBC =∠OCB = 1
2 (180° -∠BOC )=90° - x，
∴∠OBE＝∠OBC+∠CBE＝90°﹣x+x＝90°，
∴OB⊥BE．
【分析】（1）利用圆周角定理和三角形的外角性质求解即可；
（2）①连接OC，利用圆周角定理结合等边对等角，得到∠CDB＝∠OCB，再证明△CBD∽△OBC，
可推出∠BCD＝∠BOC，即可得到∠ACB＝2∠CAB；
②设∠E＝∠A＝x，求得∠OBE＝∠OBC+∠CBE＝90°﹣x+x＝90°，即可得到OB⊥BE．
【解答】（1）解：∵∠ACB＝40°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝80°，
∵∠OAC＝15°，
∴∠ADB＝∠OAC+∠AOB＝95°；
（2）①证明：连接OC，
∵^
BC =^
BC，
∴∠BOC＝2∠CAB，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∵∠CDB＝∠OBC，
∴∠CDB＝∠OCB，
12
∵∠CBD＝∠OBC，
∴△CBD∽△OBC，
∴∠BCD＝∠BOC，
∴∠BCD＝2∠CAB，即∠ACB＝2∠CAB；
②OB⊥BE，理由如下：
∵BE＝BA，
∴∠E＝∠A，
设∠E＝∠A＝x，
∴∠ACB＝2x，
∴∠BOC＝2∠A＝2x，∠CBE＝∠ACB﹣∠E＝x，
∵OB＝OC，
∴∠OBC =∠OCB = 1
2 (180° -∠BOC )=90° - x，
∴∠OBE＝∠OBC+∠CBE＝90°﹣x+x＝90°，
∴OB⊥BE．
【点评】本题考查了圆的基本性质，相似三角形的性质及判定等，掌握综合知识是解题的关键．
3．（2026•湖北）如图，在△ABC 中，AC＝BC，以BC 为直径的⊙O 交AB 于点D，弦DF⊥BC，垂足为
E．
（1）求证：AD＝BD；
（2）若AB＝10，DF＝8，求⊙O 的半径．
【考点】圆周角定理；等腰三角形的性质；勾股定理；垂径定理．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力．
【答案】（1）连接CD，
∵BC 为⊙O 的直径，
∴∠CDB＝90°，
∴CD⊥AB，
∵AC＝BC，
∴AD＝BD．
13
（2）25
6 ．
【分析】（1）连接CD，由圆周角定理得到CD⊥AB，由等腰三角形的性质推出AD＝BD．
（2）连接OD．由垂径定理求出DE = 1
2 DF = 4，由勾股定理求出BE＝3，设⊙O 的半径为r，由勾股
定理得到r2＝（r﹣3）2+42，求出r = 25
6 ，即可得到⊙O 的半径长．
【解答】（1）证明：连接CD，
∵BC 为⊙O 的直径，
∴∠CDB＝90°，
∴CD⊥AB，
∵AC＝BC，
∴AD＝BD．
（2）连接OD．
∵弦DF⊥BC，BC 为直径，DF＝8，
∴DE = 1
2 DF = 4．
∵AD＝BD，AB＝10，
∴BD = 1
2 AB =5．
由勾股定理得到：BE=√B D
2- D E
2=3，
设⊙O 的半径为r，则OE＝r﹣3．
由勾股定理得到：OD2＝DE2+OE2，
∴r2＝（r﹣3）2+42，
∴r = 25
6 ，
∴⊙O 的半径为25
6 ．
【点评】本题考查圆周角定理，垂径定理，勾股定理，等腰三角形的性质，关键是由勾股定理列出关
14
于x 的方程．
4．（2026•甘孜州）如图，AB，BC，CD 分别与⊙O 相切于E，F，G 三点，且AB∥CD．
（1）判断OB 与OC 的位置关系，并说明理由；
（2）若BO＝3，tan ∠OCD = 3
4 ，求⊙O 的半径．
【考点】切线的性质；解直角三角形；圆周角定理．菁优网版权所有
【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．
【答案】（1）OB⊥OC．
理由如下：
∵AB，BC，CD 分别与⊙O 相切于E，F，G 三点，
∴OB 平分∠ABC，OC 平分∠DCB，
∴∠OBC= 1
2∠ABC，∠OCB= 1
2∠DCB，
∴∠OBC+∠OCB= 1
2（∠ABC+∠DCB），
∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠DCB＝180°，
∴∠OBC+∠OCB＝90°，
∴∠BOC＝90°，
∴OB⊥OC；
（2）12
5 ．
【分析】（1）先根据切线长定理得到∠OBC= 1
2∠ABC，∠OCB= 1
2∠DCB，则∠OBC+∠OCB= 1
2
（∠ABC+∠DCB），再根据平行线的性质得到∠ABC+∠DCB＝180°，所以∠OBC+∠OCB＝90°，然后
根据三角形内角和定理得到∠BOC＝90°，从而根据垂直的定义得到OB⊥OC；
（2）连接OF，如图，利用∠OCB＝∠OCD 得到tan∠OCB= 3
4 ，在Rt△OCB 中利用正切的定义计算出
OC＝4，再利用勾股定理计算出BC＝5，接着利用切线的性质得到OF⊥BC，然后利用面积法求出OF
即可．
【解答】解：（1）OB⊥OC．
理由如下：
15
∵AB，BC，CD 分别与⊙O 相切于E，F，G 三点，∴OB 平分∠ABC，OC 平分∠DCB，
∴∠OBC= 1
2∠ABC，∠OCB= 1
2∠DCB，
∴∠OBC+∠OCB= 1
2（∠ABC+∠DCB），
∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠DCB＝180°，
∴∠OBC+∠OCB＝90°，
∴∠BOC＝90°，
∴OB⊥OC；
（2）连接OF，如图，
∵∠OCB＝∠OCD，
∴tan∠OCB＝tan∠OCD= 3
4 ，
在Rt△OCB 中，∵tan∠OCB= OB
OC = 3
4 ，
∴OC= 4
3 OB= 4
3 ×3＝4，
∴BC=√3
2+ 4
2=5，
∵BC 切⊙O 于F 点，
∴OF⊥BC，
∵1
2OF•BC= 1
2OB•OC，
∴OF= 3×4
5
= 12
5 ，
即⊙O 的半径为12
5 ．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了切线长定理、圆周角定
理和解直角三角形．
5．（2026•陕西）如图，点A 在⊙O 上，连接OA 并延长至点B，过点B 作⊙O 的切线，切点为C，作弦
CD⊥OA，垂足为H，作DE∥BC，连接CE．
（1）求证：CE＝CD；
16
（2）若AB＝2，BC＝4，求DE 的长．
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【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．
【答案】（1）证明：连接CO 并延长交DE 于F 点，如图，
∵BC 为⊙O 的切线，
∴CF⊥BC，
∵DE∥BC，
∴CF⊥DE，
∴^
CE =^
CD，
∴CE＝CD；
（2）144
25 ．
【分析】（1）连接CO 并延长交DE 于F 点，如图，先根据切线的性质得到CF⊥BC，再根据平行线的
性质得到CF⊥DE，接着利用垂径定理得到^
CE =^
CD，然后根据圆心角、弧、弦的关系得到结论；
（2）设⊙O 的半径为r，则OC＝r，OB＝r+2，在Rt△OCB 中利用勾股定理得到r2+42＝（r+2）2，解
方程得到OC＝3，OB＝5，根据垂径定理，由CD⊥OB 得到CH＝DH，再利用面积法求出CH= 12
5 ，所
以CD= 24
5 ，接着利用勾股定理计算出OH= 9
5 ，由于CF⊥DE ，则DF ＝EF ，然后证明
Rt△COH∽Rt△CDF，于是利用相似比求出DF，从而得到DE 的长．
【解答】（1）证明：连接CO 并延长交DE 于F 点，如图，
∵BC 为⊙O 的切线，
∴CF⊥BC，
∵DE∥BC，
∴CF⊥DE，
∴^
CE =^
CD，
∴CE＝CD；
17
（2）解：设⊙O 的半径为r，则OC＝r，OB＝r+2，
∵OC⊥BC，
∴∠OCB＝90°，
在Rt△OCB 中，r2+42＝（r+2）2，
解得r＝3，
即OC＝3，OB＝5，
∵CD⊥OB，
∴CH＝DH，
∵1
2CH•OB= 1
2OC•BC，
∴CH= 3×4
5
= 12
5 ，
∴CD＝2CH= 24
5 ，OH=√3
2-( 12
5 )
2= 9
5
，
∵CF⊥DE，
∴DF＝EF，
∵∠OCH＝∠DCF，
∴Rt△COH∽Rt△CDF，
∴OH：DF＝CO：CD，
即9
5 ：DF＝3：24
5 ，
解得DF= 72
25，
∴DE＝2DF= 144
25 ．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理和相似三角形
的判定与性质．
6．（2026•绥化）尺规作图：如图，在∠AOB 的内部有一点P．
【初步探索】
（1）如图1，利用无刻度的直尺和圆规作一个等腰三角形OMN，并使等腰三角形的底边MN 经过点
P，点M，点N 分别在射线OA，射线OB 上．（温馨提示：本小题作图不写作法，但需保留作图痕
迹）
18
【拓展探究】
（2）如图2，若∠AOB＝58°，连接OP，OP＝3．以O 为圆心，OP 为半径画圆，交射线OA，射线OB
于C，D 两点，则劣弧^
CD的长度为 29
30 π ．（本小题无需在答题卡上作图，只需写出用含π 的代
数式表示的结果）
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【专题】尺规作图；推理能力．
【答案】（1）如图，△OMN 即为所求；
（2）29
30 π．
【分析】（1）以O 为圆心，适当长为半径画弧，弧与射线OA、射线OB 分别交于点C、点D，连接
CP，作射线CP，以C 为圆心，适当长为半径画弧，弧与射线CP、线段CD 分别交于点E、点F，以P
为圆心，CE 为半径画弧，弧与射线CP 相交于点G，以G 为圆心，EF 为半径画弧，两弧相交于H，作
直线PH，与射线OA，射线OB 分别相交于点M、点N，则△OMN 即为所求；
（2）直接根据弧长公式求解即可．
【解答】解：（1）如图，△OMN 即为所求；
理由：由作图知：OC＝OD，∠ECF＝∠GFH，
∴∠OCD＝∠ODC，CD∥MN，
∴∠OCD＝∠OMN，∠ODC＝∠ONM，
∴∠OMN＝∠ONM，
19
∴OM＝ON，
∴△OMN 即为所求；
（2）由作图知：OC＝OD＝OP＝3，
∴劣弧^
CD的长度为58 π ×3
180
= 29
30 π，
故答案为：29
30 π．
【点评】本题考查了尺规作图，圆的基本性质等，掌握尺规作图是解题的关键．
7．（2026•绥化）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD⊥AB，垂足为P，连接BD，过点C 作BD 的垂线，垂
足为E，交直径AB 于点F，交过点B 的直线于点M，连接AC 并延长，交MB 于点N，且CN＝CM．
（1）求证：BM 是⊙O 的切线．
（2）若PD =2√7，OF＝4，求线段CE 的长．
【考点】圆的综合题．菁优网版权所有
【专题】几何综合题；运算能力；推理能力；科学文化情境．
【答案】（1）连接BC
∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ACB＝∠BCN＝90°，
在△BNC 中，∠CNB+∠NBC＝90°，
∵CM⊥BD，
∴∠CED＝∠BEM＝90°，
在△BME 中，∠EMB+∠MBE＝90°，
∵CN＝CM，
∴∠CNB＝∠EMB，
20
∴∠NBC＝∠MBE；
∵CD⊥AB，
∴CP＝DP，
∴BC＝BD，
∴△BCD 是等腰三角形，
∴∠CBP＝∠DBP；
∵∠NBC+∠CBP+∠DBP+∠MBE＝180°，
∴2∠NBC+2∠CBP＝180°，
∴∠NBC+∠CBP＝90°，
∴∠ABN＝90°，
∵OB 为⊙O 的半径，
∴BM 是⊙O 的切线；
（2）CE =3√7．
【分析】（1）连接BC，根据圆周角定理得到∠ACB＝∠BCN＝90°，求得∠CED＝∠BEM＝90°，根据
等腰三角形的性质得到∠CNB＝∠EMB，推出△BCD 是等腰三角形，求得∠CBP＝∠DBP；根据切线
的判定定理得到结论；
（2）根据垂径定理得到PC＝PD，∠APC＝∠FPC＝90，求得PC =2√7，DC = 4√7；由（1）可知，
∠ACP＝∠DCE，根据全等三角形的性质得到PA＝PF，设⊙O 的半径为r，求得FA＝OA+OF＝r+4，
根据相似三角形的性质得到PA = r + 4
2
= 14
3 ，根据勾股定理得到，
AC =√A P
2+C P
2=√( 14
3 )
2
+(2√7)
2= 8√7
3
；根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接BC
∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ACB＝∠BCN＝90°，
在△BNC 中，∠CNB+∠NBC＝90°，
∵CM⊥BD，
21
∴∠CED＝∠BEM＝90°，
在△BME 中，∠EMB+∠MBE＝90°，
∵CN＝CM，
∴∠CNB＝∠EMB，
∴∠NBC＝∠MBE；
∵CD⊥AB，
∴CP＝DP，
∴BC＝BD，
∴△BCD 是等腰三角形，
∴∠CBP＝∠DBP；
∵∠NBC+∠CBP+∠DBP+∠MBE＝180°，
∴2∠NBC+2∠CBP＝180°，
∴∠NBC+∠CBP＝90°，
∴∠ABN＝90°，
∵OB 为⊙O 的半径，
∴BM 是⊙O 的切线；
（2）解：∵AB 是⊙O 的直径，CD⊥AB，
∴PC＝PD，∠APC＝∠FPC＝90，
∵PD =2√7，
∴PC =2√7，DC = 4√7；
由（1）可知，∠ACP＝∠DCE，
∵PC＝PC，
∴△ACP≌△FCP（ASA）；
∴PA＝PF，
设⊙O 的半径为r，
∵OF＝4，
∴FA＝OA+OF＝r+4，
∴PA = PF = 1
2 FA = r + 4
2
，
PB = AB - PA =2r - r + 4
2
= 3r - 4
2
；
∵∠A＝∠CDB，∠ACP＝∠DBP，
∴△ACP∽△DBP，
∴CP
BP = AP
DP ，
22
∴2√7
3r - 4
2
=
r + 4
2
2√7 ，
解得r1= 16
3 ，r2＝﹣8，
∴r = 16
3 ；
∴PA = r + 4
2
= 14
3 ，
在Rt△ACP 中，AC =√A P
2+C P
2=√( 14
3 )
2
+(2√7)
2= 8√7
3
；
∵∠ACP＝∠DCE，∠A＝∠CDB，
∴△ACP∽△DCE，
∴AC
CD = CP
CE ，
∴
8√7
3
4√7 = 2√7
CE
，
解得CE =3√7．
【点评】本题是圆的综合题，考查了切线的判定，垂径定理，等腰三角形的性质，勾股定理，相似三
角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键．
8．（2026•齐齐哈尔）如图，四边形ABCD 内接于⊙O，AC 为⊙O 的直径，点E 在AC 的延长线上，且
∠CDE+∠ABD＝90°．
（1）求证：DE 是⊙O 的切线；
（2）若CE＝8，DE＝12，sin∠BAC= 1
2，求阴影部分的面积．
【考点】切线的判定与性质；扇形面积的计算；解直角三角形；圆周角定理；圆内接四边形的性质．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；与圆有关的计算；
图形的相似；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】（1）连接OD，
∵四边形ABCD 内接于⊙O，
∴∠ACD＝∠ABD，
23
∵AC 为⊙O 的直径，
∴点O 在AC 上，
∴OD＝OC，
∴∠ACD＝∠ODC，
∴∠ODC＝∠ABD，
∴∠ODE＝∠CDE+∠ODC＝∠CDE+∠ABD＝90°，
∵OD 是⊙O 的半径，且DE⊥OD，
∴DE 是⊙O 的切线．
（2）阴影部分的面积是25 π
3
- 25√3
4
．
【分析】（1）连接OD，由四边形ABCD 内接于⊙O，根据圆周角定理得∠ACD＝∠ABD，因为AC 为
⊙O 的直径，所以OD ＝OC ，则∠ACD ＝∠ODC ，所以∠ODC ＝∠ABD ，推导出∠ODE ＝
∠CDE+∠ODC＝∠CDE+∠ABD＝90°，即可证明DE 是⊙O 的切线．
（2）连接OB，由sin∠BAC= 1
2，得∠OBA＝∠BAC＝30°，求得∠AOB＝120°，推导出∠DAE＝
∠CDE，进而证明△DAE∽△CDE，得AE
DE = DE
CE ，因为CE＝8，DE＝12，所以AE= D E
2
CE =18，求得
AC＝AE﹣CE＝10，则OA＝OC= 1
2AC＝5，BC= 1
2AC＝5，所以AB=√A C
2- BC
2=5√3，求得S△ABC
= 25√3
2
，则S△AOB= 25√3
4
，而S 扇形AOB= 25 π
3
，则S 阴影＝S 扇形AOB﹣S△AOB= 25 π
3
- 25√3
4
．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵四边形ABCD 内接于⊙O，
∴∠ACD＝∠ABD，
∵AC 为⊙O 的直径，
∴点O 在AC 上，
∴OD＝OC，
∴∠ACD＝∠ODC，
∴∠ODC＝∠ABD，
∴∠ODE＝∠CDE+∠ODC＝∠CDE+∠ABD＝90°，
24
∵OD 是⊙O 的半径，且DE⊥OD，
∴DE 是⊙O 的切线．
（2）解：连接OB，
∵AC 为⊙O 的直径，
∴∠ABC＝∠ADC＝90°，OA＝OB，
∵sin∠BAC= 1
2，
∴∠OBA＝∠BAC＝30°，
∴∠AOB＝180°﹣∠OBA﹣∠BAC＝120°，
∵∠DAE+∠ACD＝90°，∠CDE+∠ODC＝90°，且∠ACD＝∠ODC，
∴∠DAE＝∠CDE，
∵∠E＝∠E，
∴△DAE∽△CDE，
∴AE
DE = DE
CE ，
∵CE＝8，DE＝12，
∴AE= D E
2
CE = 12
2
8 =18，
∴AC＝AE﹣CE＝18﹣8＝10，
∴OA＝OC= 1
2AC＝5，BC= 1
2AC＝5，
∴AB=√A C
2- BC
2=√10
2-5
2=5√3，
∴S△ABC= 1
2 ×5×5√3= 25√3
2
，
∴S△AOB＝S△COB= 1
2S△ABC= 1
2 × 25√3
2
= 25√3
4
，
∵S 扇形AOB= 120 π ×5
2
360
= 25 π
3
，
∴S 阴影＝S 扇形AOB﹣S△AOB= 25 π
3
- 25√3
4
，
∴阴影部分的面积是25 π
3
- 25√3
4
．
25
【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、圆周角定理、切线的判定、勾股定理、解直角三角形、三
角形的面积公式及扇形的面积公式等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．
9．（2026•广西）如图1，⊙O 是锐角三角形ABC 的外接圆，∠BAC＝45°，BC＝2，BD⊥AC 于点D．
（1）求证：OD 平分∠ADB；
（2）如图2，若以O 为圆心，OD 为半径的圆与BC 相切于点E，求AC 的长及∠CBD 的度数．
【考点】切线的性质；角平分线的性质；圆周角定理；三角形的外接圆与外心．菁优网版权所有
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；几何
直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）连接OA，OB，如图1 所示：
∵⊙O 是锐角三角形ABC 的外接圆，
∴OA＝OB，
∵BD⊥AC 于点D，
∴∠BDA＝90°，
在△BDA 中，∠BDA＝90°，∠BAC＝45°，
∴△BDA 是等腰直角三角形，
∴AD＝BD，
在△AOD 和△BOD 中，
{
OA =OB
AD = BD
OD =OD
，
∴△AOD≌△BOD（SSS），
∴∠ADO＝∠BDO，
∴OD 平分∠ADB；
（2）AC=√6；∠CBD＝15°．
【分析】（1）连接OA，OB，则OA＝OB，证明△BDA 是等腰直角三角形得AD＝BD，进而依据
“SSS”△AOD 和△BOD 全等得∠ADO＝∠BDO，据此可得出结论；
26
（2）连接OB，OC，OE，DE，过点O 作OM⊥AC 于点M，由垂径定理得CM＝AM，则AC＝2CM，
由圆周角和圆心角的关系得∠BOC＝2∠BAC＝90°，在Rt△OBC 中，由勾股定理得OC＝OB= √2
2 BC
=√2，由切线的性质得OE⊥BC，根据等腰三角形性质得OE= 1
2BC＝1，点E 是BC 的中点，进而得
OD＝OE＝1，利用（1）的结论可证明△OMD 是等腰直角三角形，由勾股定理得OM＝DM= √2
2 OD
= √2
2
，在Rt△OMC 中，由勾股定理求出CM= √6
2
，继而得AC＝2CM=√6；在Rt△BDC 中，由点E 是
BC 的中点得DE＝BE＝CE= 1
2BC＝1，进而得△OED 是等边三角形，继而可得∠CED＝30°，然后根据
三角形外角性质可得∠CBD＝15°．
【解答】（1）证明：连接OA，OB，如图1 所示：
∵⊙O 是锐角三角形ABC 的外接圆，
∴OA＝OB，
∵BD⊥AC 于点D，
∴∠BDA＝90°，
在△BDA 中，∠BDA＝90°，∠BAC＝45°，
∴△BDA 是等腰直角三角形，
∴AD＝BD，
在△AOD 和△BOD 中，
{
OA =OB
AD = BD
OD =OD
，
∴△AOD≌△BOD（SSS），
∴∠ADO＝∠BDO，
∴OD 平分∠ADB；
（2）解：连接OB，OC，OE，DE，过点O 作OM⊥AC 于点M，如图2 所示：
27
∴∠OMC＝90°，OC＝OB，
∴△OMD 和△OMC 都是直角三角形，
根据垂径定理得：CM＝AM，
∴AC＝2CM，
∵∠BAC＝45°，
∴根据圆周角和圆心角的关系得：∠BOC＝2∠BAC＝90°，
在△OBC 中，∠BOC＝90°，BC＝2，OC＝OB，
由勾股定理得：BC=√OC
2+O B
2=√2OC，
∴OC＝OB= √2
2 BC= √2
2 ×2=√2，
由切线的性质得：OE⊥BC，
在△OBC 中，BC＝2，OC＝OB=√2，
∴OE= 1
2BC＝1，点E 是BC 的中点，
∴OD＝OE＝1，
∵BD⊥AC 于点D，
∴∠BDA＝∠BDC＝90°，
由（1）的结论得：∠ADO＝∠BDO= 1
2∠BDA＝45°，
在Rt△OMD 中，∠ADO＝45°，
∴Rt△OMD 是等腰直角三角形，
∴OM＝DM，
由勾股定理得：OD=√O M
2+ D M
2=√2OM，
∴OM＝DM= √2
2 OD= √2
2 ×1= √2
2 ，
在Rt△OMC 中，由勾股定理得：CM=√OC
2-O M
2=√(√2)
2-( √2
2 )
2= √6
2
，
∴AC＝2CM=√6；
在△BDC 中，∠BDC＝90°，点E 是BC 的中点，
∴DE 是Rt△BDC 的斜边BC 上的中线，
28
根据直角三角形斜边中线性质得：DE＝BE＝CE= 1
2BC＝1，
∴OE＝OD＝DE＝1，
∴△OED 是等边三角形，
∴∠OED＝60°，
∵OE⊥BC，
∴∠OEC＝90°，
∴∠CED＝∠OEC﹣∠OED＝30°，
∵DE＝BE＝1，
∴∠EBD＝∠EDB，
又∵∠CED 是△EBD 的外角，
∴∠CED＝∠EBD+∠EDB＝2∠EBD＝30°，
∴∠EBD＝15°，
∴∠CBD＝∠EBD＝15°．
【点评】此题主要考查了切线的性质，圆周角定理，圆心角定理，垂径定理，等腰直角三角形的判定
和性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，理解切线的性质，垂径定
理，熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质是
解决问题的关键．
10．（2026•新疆）如图，△ABC 内接于⊙O，AD 平分∠BAC 交⊙O 于点D，连接BD，CD，经过点D 的
直线与AB 的延长线相交于点E，且∠BDE= 1
2∠BAC．
（1）求证：DE 是⊙O 的切线；
（2）如果点I 是△ABC 的内心，tan∠BAC= 12
5 ，BC＝24，求DI 的值．
【考点】三角形的内切圆与内心；解直角三角形；勾股定理；圆周角定理；三角形的外接圆与外心；
切线的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】等腰三角形与直角三角形；与圆有关的计算；解直角三角形及其应用；几何直观；推理能力．
【答案】（1）连接DO 并延长交⊙O 于点F，连接BF，
29
∵^
BD =^
BD，
∴∠1＝∠3，
∵DF 是直径，
∴∠FBD＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
∵AD 平分∠BAC，
∴∠3= 1
2 ∠BAC，
∵∠BDE = 1
2 ∠BAC，
∴∠3＝∠BDE，
∴∠1＝∠BDE，
∴∠BDE+∠2＝∠EDF＝90°，
∵半径OD⊥DE，
∴DE 是⊙O 的切线；
（2）4√13．
【分析】（1）连接DO 并延长交⊙O 于点F，连接BF，由圆周角定理得到∠1＝∠3，∠FBD＝90°，
则∠1+∠2＝90°，由角平分线得到∠3= 1
2 ∠BAC，结合已知条件可得∠3＝∠BDE，继而等量代换证
明即可；
（2）连接BI，CI，OB，OC，OD，OD 交BC 于点M，先由圆周角定理得到证明∠4＝∠5，根据垂径
定理的推论可得OD⊥BC，BM =CM = 1
2 BC，再证明∠BOM＝∠BAC，解Rt△BOM 求出OM，OB，
即可求解DM，BD，再由内心的性质导角证明DI＝DB．
【解答】（1）证明：如图1，连接DO 并延长交⊙O 于点F，连接BF，
30
∵^
BD =^
BD，
∴∠1＝∠3，
∵DF 是直径，
∴∠FBD＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
∵AD 平分∠BAC，
∴∠3= 1
2 ∠BAC，
∵∠BDE = 1
2 ∠BAC，
∴∠3＝∠BDE，
∴∠1＝∠BDE，
∴∠BDE+∠2＝∠EDF＝90°，
∵半径OD⊥DE，
∴DE 是⊙O 的切线；
（2）解：连接BI，CI，OB，OC，OD，OD 交BC 于点M，
∵AD 平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴^
BD =^
CD，
∴∠4＝∠5，
∵DO 是半径，
∴OD⊥BC，BM =CM = 1
2 BC = 1
2 ×24 =12，
∵OB＝OC，
∴∠BOC＝2∠BOM，
31
∵∠BOC＝2∠BAC，
∴∠BOM＝∠BAC，
∵tan∠BAC = 12
5 ，
∴tan∠BOM = BM
OM = 12
OM = 12
5 ，
∴OM＝5，
在直角三角形BOM 中，由勾股定理得：OB =√O M
2+ B M
2=13，
∴OD＝13，
∴DM＝OD﹣OM＝8，
在直角三角形BDM 中，由勾股定理和得：BD =√B M
2+ D M
2=√12
2+8
2= 4√13，
∵点I 是△ABC 的内心，
∴∠ABI＝∠CBI，
∵^
BD =^
BD，
∴∠5＝∠BAD，
∴∠4＝∠BAD，
∵∠DBI＝∠4+∠CBI，∠BID＝∠BAD+∠ABI，
∴∠DBI＝∠BID，
∴DI = DB = 4√13．
【点评】本题主要考查了三角形的内切圆与内心，勾股定理，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，
切线的判定与性质，解直角三角形，熟练运用勾股定理解决问题是解答本题的关键．
11．（2026•内江）如图，在△ABC 中，AB＝AC，以边AB 为直径作⊙O，交BC 于点D，交CA 的延长线
于点E，连接DE 交AB 于点F．
（1）如图1，过点D 作DM⊥AC 于点M．
①求证：DM 是⊙O 的切线；
②若∠CED＝30°，AB＝6，求阴影部分的面积；
（2）如图2，连接BE，若EF
FD = 1
2，BE＝2√15，求AE 的值．
32
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【答案】（1）①证明：如图1，连接AD，OD，
∵AB 为⊙O 的半径，
∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，
∵AC＝AB，
∴CD＝BD，即点D 为BC 的中点，
∵点O 是AB 的中点，
∴OD 是△ABC 的中位线，
∴OD∥AC，
∵DM⊥AC，
∴DM⊥OD，
∵OD 是⊙O 的半径，
∴DM 是⊙O 的切线；
②S 阴影＝3π- 9√3
4
；
（2）AE＝2．
【分析】（1）①连接AD，OD，可证明AD⊥BC，则点D 是BC 的中点，OD 是△ABC 的中位线，进
而可证明OD∥AC，再证得DM⊥OD，则DM 是⊙O 的切线；
②由圆周角定理可得∠AOD＝60°，则△AOD 是等边三角形，AD＝3，∠OAD＝60°，解直角三角形可
得BD＝3√3，则S△BOD= 1
2S△ADB= 9√3
4
，根据S 阴影＝S 扇形BOD﹣S△BOD列式求解即可；
（2）取AC 的中点T，连接DT，可证得DT 为△ABC 的中位线，则DT∥AB，由平行线分线段成比例
定理得到AE
AT = EF
FD = 1
2；设AE＝x，则AB＝AC＝4x，由勾股定理得（4x）2＝x2+（2√15）2，解方程
即可．
【解答】（1）①证明：如图1，连接AD，OD，
33
∵AB 为⊙O 的半径，
∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，
∵AC＝AB，
∴CD＝BD，即点D 为BC 的中点，
∵点O 是AB 的中点，
∴OD 是△ABC 的中位线，
∴OD∥AC，
∵DM⊥AC，
∴DM⊥OD，
∵OD 是⊙O 的半径，
∴DM 是⊙O 的切线；
②解：如图1，连接AD，OD，
∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵^
AD =^
AD，
∴∠AOD＝2∠AED＝60°，
∵OA＝OD，
∴△AOD 是等边三角形，
∴AD＝OA＝OB= 1
2AB＝3，∠OAD＝60°，
∴BD＝AB•sin∠DAB＝6•sin60°＝3√3，
∴S△ADB= 1
2AD•BD= 1
2 ×3×3√3= 9√3
2
，
∵点O 为AB 的中点，
∴S△BOD= 1
2S△ADB= 9√3
4
，
∵∠BOD＝180°﹣∠AOD＝120°，
∴S 阴影＝S 扇形BOD﹣S△BOD= 120 π ×3
2
360
- 9√3
4
=3π- 9√3
4
；
（2）解：如图2，取AC 的中点T，连接DT，
34
由（1）可得点D 为BC 的中点，
∴DT 为△ABC 的中位线，
∴DT∥AB，
∴AE
AT = EF
FD = 1
2，
设AE＝x，AT＝CT＝2x，则AC＝AT+CT＝4x，
∴AB＝AC＝4x，
∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠AEB＝90°，
在Rt△ABE 中，由勾股定理得：AB2＝AE2+BE2，
∴（4x）2＝x2+（2√15）2，
解得：x＝2 或x＝﹣2（舍去），
∴AE＝2．
【点评】本题是圆的综合题，主要考查了切线的判定，等边三角形的判定和性质，三角形中位线定理
平行线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，扇形面积，构造出相似三角形是解本题的关键．
12．（2026•宜宾）如图，△ABC 是等腰三角形，AC＝BC，∠ACB＝120°，点D 是AB 中点，CE 平分
∠ACD 交AB 于点E．
（1）求∠BCE 的度数；
（2）求证：AC 与△BCE 的外接圆相切；
（3）P 为△BCE 外接圆上任意一点，试探究PD 与PA 的数量关系，并说明理由．
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【专题】几何综合题．
【答案】（1）90°；
（2）由（1）知∠BCE＝90°，
∴EB 是△BCE 的外接圆的直径，设圆心为点O，连接OC，
35
∵AC＝BC，∠ACB＝120°，
∴∠B =∠CAB = 180° -∠ACB
2
=30°，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠B＝30°，
∴∠ACO＝∠ACB﹣∠OCB＝90°，
∵OC 为半径，
∴AC 与△BCE 的外接圆相切；
（3）PA＝2PD，理由如下：
连接OP，设OP＝OE＝OC＝R，
∠CAB＝30°，∠ACO＝90°，
∴AO＝2CO＝2R，
∵^
CE =^
CE，
∴∠COE＝2∠B＝60°，
∵CA＝CB，点D 是AB 中点，
∴CD⊥AB，
∴∠DCO＝90°﹣∠COE＝30°，
∴OD = 1
2 OC = 1
2 R，
∴OD×OA = 1
2 R×2 R = R
2=O P
2，
∴OD
OP = OP
OA ，
∵∠DOP＝∠POA，
∴△DOP∽△POA，
∴PD
PA = OP
OA = R
2 R = 1
2，
∴PA＝2PD．
36
【分析】（1）根据等腰三角形的“三线合一”性质以及角平分线的定义求解即可；
（2）可得EB 是△BCE 的外接圆的直径，设圆心为点O，连接OC，先由等腰三角形的性质以及三角形
内角和定理得到∠B＝∠CAB＝30°，再由OC＝OB，得到∠OCB＝∠B＝30°，则∠ACO＝∠ACB﹣
∠OCB＝90°，即可证明；
（3）连接OP，设OP＝OE＝OC＝R，导角证明△DOP∽△POA 即可求解．
【解答】（1）解：∵AC＝BC，∠ACB＝120°，点D 是AB 中点，
∴∠BCD =∠ACD = 1
2 ∠ACB =60°，
∵CE 平分∠ACD，
∴∠DCE = 1
2 ∠ACD =30°，
∴∠BCE＝∠BCD+∠DCE＝90°；
（2）证明：由（1）知∠BCE＝90°，
∴EB 是△BCE 的外接圆的直径，设圆心为点O，连接OC，
∵AC＝BC，∠ACB＝120°，
∴∠B =∠CAB = 180° -∠ACB
2
=30°，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠B＝30°，
∴∠ACO＝∠ACB﹣∠OCB＝90°，
∵OC 为半径，
∴AC 与△BCE 的外接圆相切；
（3）解：PA＝2PD，理由如下：
连接OP，设OP＝OE＝OC＝R，
∠CAB＝30°，∠ACO＝90°，
∴AO＝2CO＝2R，
∵^
CE =^
CE，
37
∴∠COE＝2∠B＝60°，
∵CA＝CB，点D 是AB 中点，
∴CD⊥AB，
∴∠DCO＝90°﹣∠COE＝30°，
∴OD = 1
2 OC = 1
2 R，
∴OD×OA = 1
2 R×2 R = R
2=O P
2，
∴OD
OP = OP
OA ，
∵∠DOP＝∠POA，
∴△DOP∽△POA，
∴PD
PA = OP
OA = R
2 R = 1
2，
∴PA＝2PD．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的“三线合一”性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，三
角形内角和定理，相似三角形的判定与性质等，掌握其相关知识点是解题的关键．
13．（2026•山西）如图，AB 是⊙O 的直径，点C，D 是⊙O 上的两点，且^
BD =^
BC，过点C 作⊙O 的切
线与AB 的延长线交于点E，连接AC，OD．若∠ACE＝115°，OB＝6，求扇形BOD（即阴影部分）的
面积（结果保留π）．
【考点】切线的性质；扇形面积的计算；圆周角定理．菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；与圆有关的计算；运算能力；推理能力．
【答案】扇形BOD 的面积是5π．
【分析】连接OC，则OC＝OA，由切线的性质得CE⊥OC，则∠OCE＝90°，因为∠ACE＝115°，所以
∠A＝∠OCA＝∠ACE﹣∠OCE＝25°，所以∠BOC＝2∠A＝50°，由^
BD =^
BC，得∠BOD＝∠BOC＝
50°，而OB＝6，可根据扇形的面积公式求得s 扇形BOD＝5π．
【解答】解：连接OC，
∵AB 是⊙O 的直径，点C，D 是⊙O 上的两点，
∴OC＝OA，
∵过点C 作⊙O 的切线与AB 的延长线交于点E，
38
∴CE⊥OC，
∴∠OCE＝90°，
∵∠ACE＝115°，
∴∠A＝∠OCA＝∠ACE﹣∠OCE＝115°﹣90°＝25°，
∴∠BOC＝2∠A＝2×25°＝50°，
∵^
BD =^
BC，
∴∠BOD＝∠BOC＝50°，
∵OB＝6，
∴s 扇形BOD= 50 π ×6
2
360
=5π，
∴扇形BOD 的面积是5π．
【点评】此题重点考查圆心角、弧、弦的关系定理、切线的性质、等腰三角形的性质、圆周角定理、
扇形的面积公式等知识，正确地求出∠BOC 的度数是解题的关键．
14．（2026•山西）
阅读与思考
阅读下列材料，完成相应任务．
工匠智慧引发的数学思考
【工匠智慧】
如图1，木工师傅用一根没有弹性的绳子和一把直尺在矩形木板上画特定度数的角．
【数学抽象】
将图1 的操作过程抽象成尺规作图，步骤如下：如图2，在矩形木板ABCD 中，以点A 为圆心，
AB 长为半径作弧，交AD 于点E；以点B 为圆心，AB 长为半径作弧，与^
BE交于点F；连接
BE，BF，AF，即可得到特定度数的角，如∠ABE 和∠EBF 等．
【推广迁移】
受上述作法的启发，可以用尺规作出与已知角有关的特定度数的角．如图3，已知∠MAN＝α，
作图步骤如下：①以点A 为圆心，任意长为半径作弧，分别交AM，AN 于点B，C；②分别以
点B，C 为圆心，BC 长为半径作弧，两弧在∠MAN 内部交于点D；③连接CD，可得∠ACD＝
150°- 1
2α．
结论“∠ACD＝150°- 1
2α”成立的理由如下：
连接BC．
由步骤①可知，AB＝AC．…
任务：
（1）图2 中∠ABE＝
45
°，∠EBF＝
15
°；
39
（2）补全“推广迁移”中的说理过程；
（3）如图4，四边形ABCD 表示一块木板，∠BAD＝130°，∠ADC＞85°．现要将此木板裁割成两部分，
裁割线为线段DE（点E 在BC 上），使∠ADE＝85°．请用尺规在木板上作出裁割线DE（要求：在木
板上保留作图痕迹，不写作法）．
【考点】圆的综合题．菁优网版权所有
【专题】几何综合题；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】（1）45，15；
（2）∠ACD＝150°- 1
2α．
（3）如图4 所示线段DE 即为所求作的线段．
【分析】（1）根据等腰直角三角形性质可得∠ABE＝∠AEB＝45°，再证得△ABF 是等边三角形，可得
∠ABF＝60°，则∠EBF＝∠ABF﹣∠ABE＝15°；
（2）连接AD，BD，可证得△ACD≌△ABD（SSS），再运用三角形内角和定理即可；
（3）①以A 为圆心，AD 为半径画弧交AB 于F，②分别以D，F 为圆心，DF 长为半径画弧交于点
P，③作射线DP，交BC 于E，线段DE 即为所求作的线段．
【解答】解：（1）∵AB＝AE，∠BAE＝90°，
∴∠ABE＝∠AEB＝45°，
∵BF＝AB＝AF，
∴△ABF 是等边三角形，
∴∠ABF＝60°，
∴∠EBF＝∠ABF﹣∠ABE＝60°﹣45°＝15°，
故答案为：45，15；
（2）结论“∠ACD＝150°- 1
2α”成立的理由如下：连接BC．由步骤①可知，AB＝AC．
连接AD，BD，如图3，
40
由步骤②可知，BD＝CD＝BC，
∴△BCD 是等边三角形，
∴∠BDC＝60°，
在△ACD 和△ABD 中，
{
AC = AB
CD = BD
AD = AD
，
∴△ACD≌△ABD（SSS），
∴∠ADC＝∠ADB＝30°，∠CAD＝∠BAD= 1
2α，
∵∠CAD+∠ACD+∠ADC＝180°，
∴1
2α+∠ACD+30°＝180°，
∴∠ACD＝150°- 1
2α．
（3）如图4，①以A 为圆心，AD 为半径画弧交AB 于F，②分别以D，F 为圆心，DF 长为半径画弧
交于点P，③作射线DP，交BC 于E，线段DE 即为所求作的线段．
【点评】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和
性质，三角形内角和定理，尺规作图等，熟练掌握全等三角形的判定和性质等是解题关键．
15．（2026•天津）已知点A，B 在⊙O 上，∠AOB＝120°，点C 在^
AB上，点D 在以A，B 为端点的优弧
上．
41
（Ⅰ）如图①，当C 为^
AB的中点时，若DB＝DC，求∠OBC 和∠OBD 的大小；
（Ⅱ）如图②，当∠AOC＝90°时，过点D 作⊙O 的切线EF，且EF∥OB，CD 与OB 相交于点G，若
⊙O 的半径为3，求BD 和DG 的长．
【考点】切线的性质；垂径定理；圆周角定理．菁优网版权所有
【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．
【答案】（Ⅰ）∠OBC＝60°，∠OBD＝15°，
（Ⅱ）BD＝3√2，DG＝2√3．
【分析】（Ⅰ）连接OC，如图①，先根据圆心角、弧、弦的关系得到∠AOC＝∠BOC＝60°，则
△OBC 为等边三角形，所以∠OBC＝60°，再根据圆周角定理得到∠BDC＝30°，接着根据等腰三角形
的性质和三角形内角和定理计算出∠DBC＝∠DCB＝75°，然后计算∠DBC﹣∠OBC 得到∠OBD 的度
数；
（Ⅱ）连接OD，如图②，先计算出∠COB＝30°，再根据切线的性质得到OD⊥EF，则根据平行线的
性质得到OD⊥OB，于是可判断△OBD 为等腰直角三角形，则BD=√2OD＝3√2，接着根据等腰三角
形的性质和三角形内角和定理计算出∠ODC＝∠OCD＝30°，然后在Rt△ODG 中利用余弦的定义可计
算出DG 的长．
【解答】解：（Ⅰ）连接OC，如图①，
∵C 为^
AB的中点，
∴^
AC =^
BC，
∴∠AOC＝∠BOC= 1
2∠AOB= 1
2 ×120°＝60°，
∵OC＝OB，
∴△OBC 为等边三角形，
∴∠OBC＝60°，
∵∠BDC= 1
2∠BOC= 1
2 ×60°＝30°，
而DB＝DC，
∴∠DBC＝∠DCB= 1
2（180°﹣30°）＝75°，
∴∠OBD＝∠DBC﹣∠OBC＝75°﹣60°＝15°；
42
（Ⅱ）连接OD，如图②，
∵∠AOC＝90°，∠AOB＝120°，
∴∠COB＝30°，
∵EF 为⊙O 的切线，
∴OD⊥EF，
∵EF∥OB，
∴OD⊥OB，
∴∠BOD＝90°，
∵OD＝OB，
∴△OBD 为等腰直角三角形，
∴BD=√2OD＝3√2；
∵∠COD＝∠COB+∠BOD＝30°+90°＝120°，
∵OC＝OD，
∴∠ODC＝∠OCD= 1
2 ×（180°﹣120°）＝30°，
在Rt△ODG 中，∵cos∠ODG= OD
DG ，
∴DG= 3
√3
2
=
2√3．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．
16．（2026•福建）如图，四边形ABCD 内接于⊙O，E 是DC 延长线上的一点，EB 的延长线交⊙O 于点
F，AB＝BD，∠CBE＝∠ABD＝60°．
（1）求∠E 的度数；
（2）求证：四边形AFEC 是平行四边形；
（3）设CF 交BD 于点G，且CG
FG = 2
3，求BD
AC 的值．
43
【考点】圆的综合题．菁优网版权所有
【专题】几何综合题；压轴题；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；圆的
有关概念及性质；图形的相似；推理能力．
【答案】（1）∠E＝60°；
（2）证明：∵∠ACD＝∠ABD＝60°，∴∠ACD＝∠E．∴AC∥EF．∵四边形AFBD 是⊙O 的内接四
边形，∴∠AFB+∠ADB＝180°．∴∠AFB＝120°．∴∠AFB+∠E＝180°．∴AF∥CE．∴四边形AFEC
是平行四边形．
（3）BD
AC = √7
3 ．
【分析】（1）先证明△ABD 是等边三角形，则∠BAD＝∠BDA＝60°．再利用圆内接四边形性质和三
角形内角和定理即可求得答案；
（2）先利用平行线判定可得AC∥EF，再证得AF∥CE，再利用平行四边形的判定即可证得结论；
（3）过点C 作CH⊥BE，垂足为H，连接DF，设CD＝a．可证得△CFE≌△BDE（AAS），再证得
△BCG∽△DFG，△BCE∽△FDE．可得BE
FE = BC
FD = 2
3，可得BE＝2a，EF＝3a．利用等边三角形性质
可得BH＝a，再利用勾股定理得BD＝CF=√7a，即可求得答案．
【解答】（1）解：∵AB＝BD，∠ABD＝60°，
∴△ABD 是等边三角形．
∴∠BAD＝∠BDA＝60°．
∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD＝180°．
又∵∠BCE+∠BCD＝180°，
∴∠BCE＝∠BAD＝60°．
∵∠CBE＝60°，
∴∠E＝180°﹣∠CBE﹣∠BCE＝60°．
（2）证明：∵∠ACD＝∠ABD＝60°，
∴∠ACD＝∠E．
∴AC∥EF．
∵四边形AFBD 是⊙O 的内接四边形，
44
∴∠AFB+∠ADB＝180°．
∴∠AFB＝120°．
∴∠AFB+∠E＝180°．
∴AF∥CE．
∴四边形AFEC 是平行四边形．
（3）解：过点C 作CH⊥BE，垂足为H，连接DF，设CD＝a．
∵∠E＝∠CBE＝∠BCE＝60°，
∴△BCE 是等边三角形．
∴BE＝CE．
又∵∠CFB＝∠CDB，∠E＝∠E，
∴△CFE≌△BDE（AAS）．
∴EF＝ED．
∴BF＝CD＝a．
∵∠E＝60°，
∴△DEF 是等边三角形．
∴∠FDE＝∠BCE＝60°．
∴BC∥DF．
∴△BCG∽△DFG．
∴BC
DF = CG
FG = 2
3．
∵BC∥DF，
∴△BCE∽△FDE．
∴BE
FE = BC
FD = 2
3．
∴BE＝2a，EF＝3a．
∵四边形AFEC 是平行四边形，
∴AC＝EF＝3a．
∵△BCE 是等边三角形，CH⊥BE，
∴BH = 1
2 BE =a．
45
在Rt△BCH 中，tan∠CBE = CH
BH =√3，
∴CH =√3 BH =√3a．
∵FH＝BF+BH＝2a，
∴CF =√F H
2+C H
2=√(2a)
2+(√3a)
2=√7 a．
∵△CFE≌△BDE，
∴BD =CF =√7 a．
∴BD
AC = √7 a
3a = √7
3 ．
【点评】本小题考查圆的有关性质、等边三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角
形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、三角形内角和定理及其推论等基础知识
考查推理能力、几何直观、空间观念、运算能力与创新意识，考查数形结合思想、函数与方程思想、
化归与转化思想等．
17．（2026•上海）在半圆AOQ 中，点O 为圆心，线段AQ 为直径，B、C 是半圆上的两点，D 是AB 上一
点，连接AB、CD 交于点P，且AB＝CD．
（1）连接OP，
①如图1，求证：∠APO＝∠CPO；
②如图2，连接OB 交弦CD 于点H，若AQ＝4，PB＝1，PO＝HO，求PH 的长；
（2）如图3，连接AC、PQ 交于点E，线段AP 上有一点F，使得PF＝4AF，若PE＝QE，∠PEA＝
∠PFQ，求PE
EA ．
【考点】圆的综合题．菁优网版权所有
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】（1）①如图，作OG⊥AB 于点G，OZ⊥CD 于Z，连接OC，
∴AG = 1
2 AB，CZ = 1
2 CD，
46
∵AB＝CD，
∴AG＝CZ，
∵OA＝OC，∠AGO＝∠CZO＝90°，
∴Rt△OAG≌Rt△OCZ（HL），
∴OG＝OZ，
∵∠PGO＝∠PZO＝90°，OP＝OP，
∴Rt△OPG≌Rt△OPZ（HL），
∴∠APO＝∠CPO；
②PH = 3
4 ；
（2）√2
3 ．
【分析】（1）①作OG⊥AB 于点G，OZ⊥CD 于Z，连接OC，利用垂径定理结合AB＝CD，得出AG
＝CZ，证明Rt△OAG≌Rt△OCZ（HL），得出OG＝OZ，再证明Rt△OPG≌Rt△OPZ（HL），即可
求证；
②先证明∠APO＝∠OHP，得出∠BPO＝∠BHP，可得△BPH∽△BOP，则BP
OB = BH
BP = PH
OP ，即可得
出BH = 1
2，PH = 1
2 OP，再求出OH =OP = 3
2，即可求解；
（2）证明△FPQ∽△EPA，得出PF
PE = PQ
AP ，设PF＝4AF＝4m，PE＝QE＝n，可得AP＝5m，
4 m
n = 2n
5m，求出n=√10m，连接OP，交AC 于点K，由（1）可得AP＝CP，∠APO＝∠CPO，得出
OP⊥AC，证明K 为△APQ 的重心，得出AK＝2EK，设AK＝2EK＝2k，在Rt△APK 和Rt△EPK 中，利
用勾股定理列式求出k =√5m，可得AK =2 EK =2√5m，即可求解．
【解答】（1）①证明：如图，作OG⊥AB 于点G，OZ⊥CD 于Z，连接OC，
∴AG = 1
2 AB，CZ = 1
2 CD，
∵AB＝CD，
∴AG＝CZ，
∵OA＝OC，∠AGO＝∠CZO＝90°，
∴Rt△OAG≌Rt△OCZ（HL），
∴OG＝OZ，
47
∵∠PGO＝∠PZO＝90°，OP＝OP，
∴Rt△OPG≌Rt△OPZ（HL），
∴∠APO＝∠CPO；
②解：∵PO＝HO，
∴∠OPH＝∠OHP，
由（1）可知，∠OPC＝∠APO，
∴∠APO＝∠OHP，
∵∠BPO＝180°﹣∠APO，∠BHP＝180°﹣∠OHP，
∴∠BPO＝∠BHP，
在△BPH 和△BOP 中，∠BPO＝∠BHP，∠PBH＝∠OBP，
∴△BPH∽△BOP，
∴BP
OB = BH
BP = PH
OP ，
∵AQ＝4，
∴OB＝2，
∵BP＝1，
∴BP
OB = 1
2 = BH
1 = PH
OP ，
∴BH = 1
2，PH = 1
2 OP，
∴OH =OP =2- 1
2 = 3
2，
∴PH = 3
4 ；
（2）解：∵∠PFQ＝∠PEA，∠FPQ＝∠EPA，
∴△FPQ∽△EPA，
∴PF
PE = PQ
AP ，
∵PF＝4AF，PE＝QE，
设PF＝4AF＝4m，PE＝QE＝n，
则AP＝5m，
∴4 m
n = 2n
5m，
∴20m2＝2n2，
∴n=√10m，
连接OP，交AC 于点K，
48
由（1）①中Rt△OPG≌Rt△OPZ 可得PG＝PZ（图1），
又∵AG＝CZ（①已证），
∴AG+PG＝PZ+CZ，
∴AP＝CP，
又∵∠APO＝∠CPO（①已证），
∴OP⊥AC，
∴∠AKP＝∠CKP＝90°，
∵O 为△APQ 边AQ 的中点，E 为△APQ 边PQ 的中点，
∴K 为△APQ 的重心，
∴AK＝2EK，
设EK＝k，则AK＝2EK＝2k，
∵在Rt△APK 和Rt△EPK 中，PK2＝AP2﹣AK2＝PE2﹣EK2，
∴(5m)
2-(2k )
2=(√10m)
2-k
2，
化简得k =√5m（负值舍），
∴AK =2 EK =2√5m，
∴PE
EA =
PE
AK + EK = √10m
3√5m = √2
3 ．
【点评】本题考查了圆的基本性质，全等三角形的性质及判定等，掌握综合知识是解题的关键．
18．（2026•攀枝花）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD⊥AB，垂足为H．E 为^
BD上一点，连结AE 交CD
于点F，EF 的垂直平分线交CD 的延长线于点G，连结GE．
（1）若⊙O 的半径为3，AH＝2，求CD 的长；
（2）求证：EG 是⊙O 的切线．
【考点】切线的判定；线段垂直平分线的性质；勾股定理；垂径定理．菁优网版权所有
49
【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；与圆有关的位置关系；运算能力；
推理能力．
【答案】（1）4√2；
（2）连接OE，
∵OA＝OE，
∴∠OAE＝∠OEA，
∵点G 在线段EF 的垂直平分线上，
∴GF＝GE，
∴∠GEF＝∠GFE，
∵∠AFH＝∠GFE，
∴∠GEF＝∠AFH，
∵∠AHF＝90°，
∴∠FAH+∠AFH＝90°，
∴∠AEO+∠GEF＝90°，
∴∠GEO＝90°，
∵OE 是⊙O 的半径，
∴EG 是⊙O 的切线．
【分析】（1）连接CO，根据垂径定理得到∠CHO＝90°，CD＝2CH，根据勾股定理得到结论；
（2）连接OE，根据等腰三角形的性质得到∠OAE＝∠OEA，根据线段垂直平分线的性质得到GF＝
GE，求得∠GEF＝∠GFE，得到∠GEF＝∠AFH，求得∠GEO＝90°，根据切线的判定定理得到结论．
【解答】（1）解：连接CO，
50
∵⊙O 的半径为3，
∴OA＝OC＝3，
∵弦CD⊥AB，
∴∠CHO＝90°，CD＝2CH，
∵AH＝2，
∴OH＝1，
∴CH=√OC
2-O H
2=√3
2-1
2=2√2，
∴CD＝2CH＝4√2；
（2）证明：连接OE，
∵OA＝OE，
∴∠OAE＝∠OEA，
∵点G 在线段EF 的垂直平分线上，
∴GF＝GE，
∴∠GEF＝∠GFE，
∵∠AFH＝∠GFE，
∴∠GEF＝∠AFH，
∵∠AHF＝90°，
∴∠FAH+∠AFH＝90°，
∴∠AEO+∠GEF＝90°，
51
∴∠GEO＝90°，
∵OE 是⊙O 的半径，
∴EG 是⊙O 的切线．
【点评】本题考查了切线的判定，垂径定理，勾股定理，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质
熟练掌握各知识点是解题的关键．
52
考点卡片
1．角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，
有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，
∵C 在∠AOB 的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE
2．线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂
线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段． ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点
的距离相等． ③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点
的距离相等．
3．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两
个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
4．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a=√c
2-b
2，b=√c
2-a
2及c=√a
2+b
2．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角
边．
5．垂径定理
53
（1）垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理的推论
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
6．圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌
握．
（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角
的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是
“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当
成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
7．圆内接四边形的性质
（1）圆内接四边形的性质：
①圆内接四边形的对角互补．
②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．
（2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起
来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．
8．三角形的外接圆与外心
（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．
（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
（3）概念说明：
①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．
②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心
在三角形的外部．
③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，
而一个圆的内接三角形却有无数个．
9．切线的性质
（1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
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②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）切线的性质可总结如下：
如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过
圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．
（3）切线性质的运用
运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三
角形解决问题．
10．切线的判定
（1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
（2）在应用判定定理时注意：
①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线．
②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的．
③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直
线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中
明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成
“有交点，作半径，证垂直”．
11．切线的判定与性质
（1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
（3）常见的辅助线的：
①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；
②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．
12．三角形的内切圆与内心
（1）内切圆的有关概念：
与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫
做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．
（2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形．
（3）三角形内心的性质：
三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．
13．扇形面积的计算
（1）圆面积公式：S＝πr2
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（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．
（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R 的扇形面积为S，则
S 扇形= n
360πR2或S 扇形= 1
2lR（其中l 为扇形的弧长）
（4）求阴影面积常用的方法：
①直接用公式法；
②和差法；
③割补法．
（5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．
14．圆的综合题
考查的知识点比较多，一般考查垂径定理、圆周角定理、切线长定理、扇形的面积和弧长，经常与四边
形一起，难度比较大．
15．解直角三角形
（1）解直角三角形的定义
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
（2）解直角三角形要用到的关系
①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；
②三边之间的关系：a2+b2＝c2；
③边角之间的关系：
sinA= ∠A 的对边
斜边
= a
c ，cosA= ∠A 的邻边
斜边
= b
c ，tanA= ∠A 的对边
∠A 的邻边= a
b ．
（a，b，c 分别是∠A、∠B、∠C 的对边）
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