重难点26：破解三角恒等变换：三角恒等
变换题型全总结（十二类题型）
（培优固本提能讲义）
知识网络·核心根基深扎牢....................................................................................1
实战演练·能力进阶攀高峰....................................................................................3
题型一、两角和差公式及应用........................................................................3
题型二、二倍角公式及应用............................................................................4
题型三、降幂公式及应用................................................................................5
题型四、万能公式及应用................................................................................6
题型五、和差化积/积化和差公式及应用.......................................................7
题型六、辅助角公式及应用............................................................................8
题型七、三角恒等变换：角变换问题............................................................3
题型八、三角恒等变换：给角求值................................................................4
题型九、三角恒等变换：给值求值................................................................5
题型十、三角恒等变换：给值求角................................................................6
题型十一、正切恒等式与非特殊角三角函数值............................................7
题型十二、三角恒等变换综合运用................................................................8
题型精析・方法突破提能力................................................................................9
知识点
1 ：两角和差公式
；
；
；
变形1：tanα±tan β=tan(α±β)(1∓tanα tan β)；
变形2：
tanα⋅tan β=1−tanα+tan β
tan(α+β)
=tanα−tan β
tan(α−β)
−1
．
知识网络・核心根基深扎牢
知识点
2 ：二倍角公式
；
；
；
变形1：
sin2α= 2sin α cosα
sin2α+cos2α
= 2tan α
1+tan2α
；cos2α=cos2α−sin2α
sin2α+cos2α
=1−tan2α
1+tan2α
变形2：
tan α
2 =sinα
1+cosα =1−cosα
sinα
知识点
3 ：降幂公式
变形1：
sin2α=1−cos2α
2
；cos2α=1+cos2α
2
；sinα cosα=1
2 sin2α
；
变形2：1+sin2α=(sinα+cosα)
2 ；1−sin2α=(sinα−cosα)
2
变形3：1+cos2α=2cos
2α ；1−cos2α=2sin
2α ；
知识点
4 ：万能公式
万能公式是三角恒等变换中一组重要公式，核心价值为：将任意角的正弦、余弦、正
切函数统一用该角半角的正切函数表示，设t = tan α
2 （α ≠π +2kπ ,k ∈ℤ），具体公
式如下：
设t = tan α
2 （α ≠π +2kπ ,k ∈ℤ，避免分母为零），则任意角α的三角函数可表示
为关于t的有理式，具体公式如下：
正弦函数 sin α = 2t
1+t
2
余弦函数 cosα = 1−t
2
1+t
2
正切函数 tan α = 2t
1−t
2
备注：当α = π +2kπ 时，tan α
2 = tan( π
2 +kπ )不存在，此时可直接计算sin α =0、
cosα =−1、tan α =0，无需套用万能公式。
知识点
5 ：和差化积
/ 积化和差公式
积化和差公式：
核心功能：将两个三角函数的乘积形式转化为和或差的形式，适用于简化乘积式、积
分运算等场景。
正弦×余弦 sin A cos B = 1
2 [sin( A + B)+sin( A −B)]
余弦×正弦 cos A sin B = 1
2 [sin( A + B)−sin( A −B)]
余弦×余弦 cos A cos B = 1
2 [cos( A + B)+cos( A −B)]
正弦×正弦 sin A sin B =−1
2 [cos( A + B)−cos( A −B)]
记忆要点：正弦乘余弦（或反之）积化和差后为正弦的和差；余弦乘余弦、正弦乘正
弦积化和差后为余弦的和差，且正弦乘正弦公式前带负号，所有公式均有系数1
2。
和差化积公式：
核心功能：将两个同名三角函数的和或差形式转化为乘积形式，适用于化简和差式、
求解三角方程等场景。
正弦和 sin A +sin B =2sin A + B
2
cos A −B
2
正弦差 sin A −sin B =2cos A + B
2
sin A −B
2
余弦和 cos A +cos B =2cos A + B
2
cos A −B
2
余弦差 cos A −cos B =−2sin A + B
2
sin A −B
2
使用注意：1. 和差化积的前提是“同名三角函数”（正弦与正弦、余弦与余弦）；
2. 公式中均含系数2，余弦差公式前带负号；3. 记为“和化积：正和正余，正差余正；
余和余余，余差负正正”。
知识点
6 ：辅助角公式
asinα+bcosα=√a2+b2sin(α+ϕ)（其中
sin ϕ=
b
√a2+b2 ，cosϕ=
a
√a2+b2 ，tan ϕ=b
a
）
知识点
7 ：正切恒等式
正切恒等式：当
时，
．
证明：因为
，
，所以
故tan A+tan B+tanC=tan A⋅tan B⋅tanC ．
知识点
8 ：角拆分变换问题
；
；
；
；
；
．
题型01 两角和差公式及应用
两角和差公式及应用的解题策略
1.观察题目中角的结构（如是否为两角和、差形式）及三角函数类型（正弦、余弦、正
切），确定需选用的两角和差公式（如sin( A ± B)=sin A cos B±cos A sin B、
cos( A ± B)=cos A cos B∓sin A sin B等），将所求表达式拆解为公式中对应的“A ”“B
”角部分；
2.将已知角的三角函数值（或可推导的三角函数值）代入匹配的公式，按代数运算规则展
开，再结合同角三角函数关系（如sin
2α +cos
2α =1）或特殊角三角函数值，化简最终结
果。
1．tan 80°+ tan55°−tan 80° tan55° =（ ）
A．−1
B．−❑√3
C．1
D．❑√3
【答案】A
【分析】根据两角和的正切公式化简求解即可.
【详解】因为tan (80°+55°)= tan135° =−1，所以tan 80°+ tan55°
1−tan 80° tan55° =−1，
所以tan 80°+ tan55° =−1+ tan 80° tan55°，
故tan 80°+ tan55°−tan 80° tan55° =−1.
故选：A.
2．已知α ∈(0,π
2 )，若cosα = 3
5，则sin(α −π
3 )=（ ）
A．4−3 ❑√3
10
B．3 ❑√3−4
10
C．4 ❑√3−3
10
D．4 ❑√3+3
10
【答案】A
【分析】由条件结合公式sin
2α +cos
2α =1求sin α，再利用两角差正弦公式求结论.
【详解】因为cosα = 3
5，α ∈(0,π
2 )，sin
2α +cos
2α =1，
实战演练・能力进阶攀高峰
所以sin α =
❑√1−cos
2α = ❑√1−(
3
5)
2
= 4
5
，
所以sin(α −π
3 )=sin α cosπ
3 −cosα sinπ
3 = 4
5 × 1
2 −3
5 ×
❑√3
2 = 4−3 ❑√3
10
，
故选：A.
3．（1）已知cosα =−4
5 ,α是第三象限的角，求cos(α +π
4 ).
（2）化简sin15° cos75°+cos15° sin105°.
【答案】（1）−
❑√2
10 ；（2）1
【详解】解析：（1）因为cosα =−4
5 ,α是第三象限的角，
所以sinα =−
❑√1−cos
2α =−❑√
1−(−4
5)
2
=−3
5
，
所以cos(α +π
4 )=cosα cosπ
4 −sinα sinπ
4
=−4
5 ×
❑√2
2 + 3
5 ×
❑√2
2 =−
❑√2
10 .
（2）sin15°cos75°+cos15°sin105°
=sin15°cos75°+cos15°sin75°
=sin(15°+75°)=sin90° =1
4．求tan12
°+ tan33
°
1−tan12
° tan33
° 的值.
【答案】1
【分析】根据两角和的正切公式，逆用即可.
【详解】tan12°+ tan33°
1−tan12° tan33° = tan (12°+33°)= tan 45° =1.
题型02 二倍角公式及应用
二倍角公式及应用的解题策略
1.分析题目已知条件（如单角的正弦、余弦、正切值）和待求目标（如二倍角的某三角函
数值），确定适用的二倍角公式，若已知条件不直接对应公式所需量，需结合同角三角函
数基本关系先求出缺失量。
2.将已知量（或求出的缺失量）代入选定的二倍角公式，进行代数运算或三角恒等化简，
若题目涉及角度范围，需根据范围判断三角函数值的符号，最终得到待求目标的结果。
5．已知sinθ = 3
5，且θ是第二象限的角，则sin2θ
cos2θ+1 =（ ）
A．3
4
B．−3
4
C．4
3
D．−4
3
【答案】B
【分析】由θ的象限，求得sinθ和tanθ的值，然后利用二倍角公式化简代数式，即可
求得答案.
【详解】因为sinθ = 3
5，且θ是第二象限的角，则cosθ =−4
5 ，tanθ =−3
4 ．
所以sin2θ
cos2θ+1 = 2sinθcosθ
2cos
2θ−1+1
=tanθ =−3
4 .
故选： B．
6．已知tan α =−1
2，则(sin α −cosα )
2
cos2α
的值（ ）
A．2
B．-2
C．3
D．-3
【答案】C
【分析】根据二倍角余弦公式进行化简求解即可.
【详解】
(sin α −cosα )
2
cos2α
= sin
2α −2sin α cosα +cos
2α
cos
2α −sin
2α
= tan
2α −2tan α +1
1−tan
2α
=
1
4 +1+1
1−1
4
=3，
故选C.
7．已知α ∈(
π
2 ,π)，β ∈(0,π
2 )，cos(α −β)= 1
7，求sin(2α −2 β)的值．
【答案】8 ❑√3
49
【分析】根据题意α −β ∈(0,π)，计算sin(α −β)= 4 ❑√3
7
，结合二倍角正弦公式
计算得出结果；
【详解】因为α ∈(
π
2 ,π)，β ∈(0,π
2 )，所以α −β ∈(0,π)，
所以sin(α −β)=
❑√1−cos
2(α −β)= 4 ❑√3
7
，
所以sin(2α −2 β)=2sin(α −β)cos(α −β) =2× 4 ❑√3
7
× 1
7 = 8 ❑√3
49 ．
8．已知cosα =−12
13，α ∈(π,3π
2 )，求sin2α、cos2α、tan2α的值.
【答案】sin2α = 120
169，cos2α = 119
169，tan2α = 120
119 .
【分析】利用同角三角函数关系得sinα =−5
13，结合二倍角公式和商关系计算得出
结果.
【详解】∵cosα =−12
13，α ∈(π,3π
2 )，
∴sinα =−
❑√1−cos
2α =−❑√
1−(−12
13)
2
=−5
13
，
∴sin2α =2sinα cosα =2×(−5
13)×(−12
13)= 120
169，
cos2α =2cos
2α −1=2×(−12
13)
2
−1= 119
169，
tan2α =sin2α
cos2α = 120
119 .
题型03 降幂公式及应用
降幂公式及应用的解题策略
1.分析题目已知条件（如二倍角的正弦、余弦值，或含高次幂的三角函数表达式）和待求
目标（如低次幂表达式、特定角度的三角函数值），确定适用的降幂公式；若已知条件为
高次幂，需先拆分高次幂为二次幂的乘积或组合形式，再匹配降幂公式，必要时结合同角
三角函数基本关系补充条件。
2.将高次幂项代入对应降幂公式，转化为含一倍角或二倍角的低次表达式，再通过三角恒
等变形（如合并同类项、利用和差角公式等）化简；若题目给出角度范围，需结合范围确
定相关三角函数值的符号，最终计算出待求表达式的值或化简后的最简形式。
9．2cos
2 π
12 +1的值是（ ）
A．3
2
B．
❑√3
2
C．1+ ❑√3
2
D．2+
❑√3
2
【答案】D
【分析】利用降幂公式求解
【详解】2cos
2 π
12 +1=cos π
6 +2=2+
❑√3
2 .
故选：D.
10．sin 80°+1
sin
25°−1
=（ ）
A．−
❑√2
2
B．
❑√2
2
C．−2
D．2
【答案】C
【分析】利用诱导公式和降幂公式化简即得解.
【详解】解：由题得
sin 80°+1
sin
25°−1
=
cos10
∘+1
1−cos10
∘
2
−1
=2× cos10
∘+1
−cos10
∘−1
=−2
.
故选：C
11．求证：sin
8α +cos
8α ≥1
8.
【答案】证明见解析
【分析】利用降幂公式，同角三角函数的平方关系，以及二次函数的性质即可解决问
题.
【详解】证法一（降幂公式+二次函数）：
∵sin
2α = 1−cos2α
2
，cos
2α = 1+cos2α
2
，
∴sin
8α +cos
8α
=(
1−cos2α
2
)
4
+(
1+cos2α
2
)
4
= 1
16 [(1−4 cos2α +6cos
22α −4 cos
32α +cos
42α)+(1+ 4 cos2α +6cos
22α + 4 cos
32α +cos
42α))
= 1
8 (cos
42α +6cos
22α +1)
= 1
8 (cos
22α +3)
2−1，
令t =cos
22α (0≤t ≤1)，则y = 1
8
(t +3)
2−1(0≤t ≤1)，
∵y = 1
8
(t +3)
2−1在[0,1)上单调递增，
∴当t =0时，y = 1
8
(t +3)
2−1取得最小值1
8，
即cos
22α =0时，1
8 (cos
22α +3)
2−1取得最小值1
8，
∴sin
8α +cos
8α = 1
8 (cos
22α +3)
2−1≥1
8，
∴原不等式成立.
证法二（平方关系+降幂公式+二次函数）：
∵sin
2α +cos
2α =1，sin α cosα = 1
2 sin 2α，
∴sin
4α +cos
4α =(sin
2α +cos
2α)
2−2sin
2α cos
2α =1−1
2 sin
22α，
左边=(sin
4α)
2+(cos
4α)
2
=(sin
4α +cos
4α)
2−2sin
4α cos
4α
=(1−1
2 sin
22α)
2
−2(
1
2 sin 2α)
4
= 1
8 sin
42α −sin
22α +1
= 1
8 (sin
22α −4)
2−1
令t =sin
22α (0≤t ≤1)，则y = 1
8
(t −4)
2−1(0≤t ≤1)，
∵y = 1
8
(t −4)
2−1在[0,1)上单调递减，
∴当t =1时，y = 1
8
(t −4)
2−1取最小值1
8，
即sin
22α =1时，1
8 (sin
22α −4)
2−1取最小值1
8，
∴sin
8α +cos
8α = 1
8 (sin
22α −4)
2−1≥1
8.
∴原不等式成立.
12．求证：1
2 ≤sin
4α +cos
4α ≤1．
【答案】证明见解析
【分析】应用降幂公式及二倍角余弦公式整理化简sin
4α +cos
4α，结合三角函数的
性质求范围，即可证.
【详解】由降幂公式，得sin
4α +cos
4α =(
1−cos2α
2
)
2
+(
1+cos2α
2
)
2
= 1+cos
22α
2
= 1
2(1+ 1+cos 4 α
2
) = 3
4 + 1
4 cos 4 α，−1≤cos 4 α ≤1，
∴3
4 −1
4 ≤3
4 + 1
4 cos 4 α ≤3
4 + 1
4 ，即1
2 ≤sin
4α +cos
4α ≤1.
题型04 万能公式及应用
万能公式及应用的解题策略
1.分析题目已知条件（如任意角α 的三角函数值、含α 的三角函数表达式）和待求目标
（如含α 的其他三角函数值、代数式或特定角度的三角函数值），设t = tan α
2 ，确定适用
的万能公式；若已知条件非tan α
2 ，需先通过已知三角函数值结合同角关系求出t，或直接
将已知表达式用t表示。
2.将sin α 、cosα 、tan α等用含t的表达式代换，将三角问题转化为代数问题，通过代数
运算（如分式化简、方程求解、因式分解等）化简表达式；若涉及角度范围，需结合范围
确定t的符号或取值范围，最终求出待求目标的值或最简形式。
13．函数f ( x)= ❑√3sin x(1+cos x)的最大值为（ ）
A．3
2
❑√3
B．5
4
❑√3
C．5
8
D．9
4
【答案】D
【分析】利用导数可求最大值，也可以利用万能公式统一三角函数名，再利用换元法
结合四元基本不等式求解即可.
【详解】法一：不妨设x∈[0,2π)，则f
′( x)= ❑√3cos x +2❑√3cos
2 x−❑√3，
整理得到: f
′( x)= ❑√3(2cos x−1)(cos x +1),
当x∈(0,π
3 )∪(
5π
3 ,2π)时，f
′( x)>0；当x∈(
π
3 ,5π
3 )时，f
′( x)<0，
故f (x)在(0,π
3 ),(
5π
3 ,2π)上为增函数，在(
π
3 ,5π
3 )为减函数，
而f (2π)=0，f(
π
3 )= 9
4 ，故f (x)的最大值为9
4 .
法二：由万能公式得sin x =
2tan x
2
tan
2 x
2 +1
，cos x =
1−tan
2 x
2
tan
2 x
2 +1
，
代入原式并化简得f ( x)= ❑√3×
2tan x
2
tan
2 x
2 +1
(1+
1−tan
2 x
2
tan
2 x
2 +1
)=
4 ❑√3 tan x
2
(tan
2 x
2 +1)
2，
令tan x
2 =t，因为题设中欲求最大值，故可设t >0,
故原式转化为
f (t )= 4 ❑√3t
(t
2+1)
2 = 4 ❑√3×
1
(t
3
2 +t
−1
2 )
2
=
4 ❑√3
[(❑√t )
3+
1
3 ❑√t +
1
3 ❑√t +
1
3 ❑√t)
≤
4 ❑√3
(4
4√
(❑√t )
3⋅(
1
3 ❑√t )
3
)
= 9
4
当且仅当t =
❑√3
3 时取等，显然最大值为9
4 .
故选：D
【点睛】关键点点睛：本题考查求三角函数的最大值，解题关键是利用万能公式统一
三角函数名，然后再用四元基本不等式求解，本题也可以直接利用导数计算.
14．已知2cos2α +sin2α =2且α ≠kπ(k ∈Z)，则tan α =（ ）
A．2
B．1
C．0
D．1
2
【答案】D
【分析】由已知条件，利用万能公式可得tan α(1−2tan α )
1+ tan
2α
=0，结合α范围即可求
tan α.
【详解】由cos2α = 1−tan
2α
1+ tan
2α
，sin 2α = 2tan α
1+ tan
2α ，
所以2cos2α +sin2α = 2+2tan α −2tan
2α
1+ tan
2α
=2，即tan α(1−2tan α )
1+ tan
2α
=0，
又α ≠kπ(k ∈Z)，可得tan α = 1
2.
故选：D
15．已知2sinα +3cosα =2，求sinα和cosα．
【答案】sinα =1，cosα =0，或sinα =−5
13，cosα = 12
13．
【分析】设tan α
2 = x，利用万能公式将已知三角等式转化为分式方程后求解.
【详解】若α =π+2k π,k ∈Z，则sin α =0,cosα =−1，此时
2sinα +3cosα =−3≠2，不符，
若α ≠π+2k π,k ∈Z，设tan α
2 = x，利用万能公式，原已知式化为
2⋅2 x
1+ x
2 +3⋅1−x
2
1+ x
2 =2，
所以4 x
1+ x
2 + 3−3 x
2
1+ x
2 =2，即3+ 4 x−3 x
2
1+ x
2
=2，解得x =1，或x =−1
5，
当x =1时，sinα = 2 x
1+ x
2 = 2×1
1+1
2 =1，cosα = 1−x
2
1+ x
2 = 1−1
2
1+1
2 =0，
当x =−1
5时，sinα = 2 x
1+ x
2 =
2×(−1
5)
1+(−1
5)
2 =−5
13，cosα = 1−x
2
1+ x
2 =
1−(−1
5)
2
1+(−1
5)
2 = 12
13，
∴sinα =1，cosα =0，或sinα =−5
13，cosα = 12
13.
16．在锐角△ABC中，求证：sin A +sin B+sinC +tan A +tan B+tanC >2π．
【答案】证明见解析
【分析】利用万能公式化简sin A +tan A，再根据角的取值范围即可证明.
【详解】由万能公式得
sin A +tan A =
2tan A
2
1+tan
2 A
2
+
2tan A
2
1−tan
2 A
2
=
4tan A
2
1−tan
4 A
2
，
又在锐角△ABC中，0< A <π
2 ，∴0< A
2 <π
4 ，
∴0<tan A
2 <1，∴
1
1−tan
4 A
2
>1
，
∴sin A +tan A >4tan A
2 >4× A
2 =2 A，
同理sin B+tan B>2B，sinC +tanC >2C，
∴
sin A +sin B+sinC +tan A +tan B+tanC >2 A +2B+2C =2( A + B+C)=2π．
题型05 和差化积/积化和差公式及应用
和差化积/积化和差公式及应用的解题策略
1.分析题目已知条件（是“和/差”形式还是“积”形式）与待求目标（需转化为“积”形
式还是“和/差”形式），确定使用“和差化积”还是“积化和差”公式；再根据已知三角
函数的类型，匹配对应具体公式，若角度存在系数差异，先通过变形统一角度结构（如提
取系数、凑角）。
2.将已知的“和/差”或“积”表达式代入匹配的公式，完成形式转化；再结合三角恒等变
形规则（如利用诱导公式化简角度、合并同类项、约分）进一步整理，若题目含具体角度
值，代入角度计算出最终数值结果，若为代数式则化简为最简三角形式。
17．函数y =sin xsin(
π
4 −x)的最小值是（ ）．
A．2−❑√2
4
B．−(2+ ❑√2)
4
C．−1+ ❑√2
4
D．1−❑√2
4
【答案】B
【分析】先利用积化和差公式化简函数解析式，再根据余弦函数的性质求函数的最小
值.
【详解】因为y =sin xsin(
π
4 −x)
= 1
2[cos(2 x−π
4 )−cosπ
4 )
= 1
2[cos(2 x−π
4 )−
❑√2
2 )
≥1
2(−1−
❑√2
2 ) = −(2+ ❑√2)
4
.
故选：B
18．cos 2π
7 +cos 4π
7
+cos 6π
7 的值为（ ）
A．−1
2
B．−3
4
C．−
❑√3
4
D．−3
5
【答案】A
【分析】结合题意对目标式合理变形，再利用积化和差公式化简求值即可.
【详解】首先，我们先对cos 2π
7 +cos 4π
7
+cos 6π
7 合理变形，
得到cos 2π
7 +cos 4π
7
+cos 6π
7
=
2sinπ
7 (cos 2π
7 +cos 4π
7
+cos 6π
7 )
2sinπ
7
，
=
2sinπ
7 cos 2π
7 +2sinπ
7 cos 4π
7
+2sinπ
7 cos 6π
7
2sinπ
7
，
由积化和差公式得
2sinπ
7 cos 2π
7 =sin(π
7 + 2π
7 )+sin(π
7 −2π
7 )=sin3π
7 −sinπ
7 ，
同理可得2sinπ
7 cos 4π
7
=sin(π
7 + 4π
7 )+sin(π
7 −4π
7 )=sin5π
7 −sin3π
7 ，
2sinπ
7 cos 6π
7
=sin(π
7 + 6π
7 )+sin(π
7 −6π
7 )=sinπ−sin5π
7 =−sin5π
7 ，
则2sinπ
7 cos 2π
7 +2sinπ
7 cos 4π
7
+2sinπ
7 cos 6π
7
=−sinπ
7 ，
得到
2sinπ
7 cos 2π
7 +2sinπ
7 cos 4π
7
+2sinπ
7 cos 6π
7
2sinπ
7
=
−sinπ
7
2sinπ
7
=−1
2，故A
正确.
故选：A
19．已知cosα −cos β = 1
2，sinα −sin β =−1
3，
(1)求sin(α + β)的值；
(2)求cos(α + β)的值；
【答案】(1)12
13
(2)−5
13
【分析】（1）利用和差化积公式，求出tan α + β
2
，然后利用二倍角公式，结合齐次
式法求解可得．
（2）利用和差化积公式，求出tan α + β
2
，然后利用二倍角公式，结合齐次式法求解
可得．
【详解】（1）∵cosα −cos β = 1
2，∴−2sin α + β
2
sin α −β
2
= 1
2①
又∵sinα −sin β =−1
3，∴2cos α + β
2
sin α −β
2
=−1
3．②
∵sin α −β
2
≠0，∴由①②，得−tan α + β
2
=−3
2，即tan α + β
2
= 3
2．
∴sin(α + β)=
2sin α + β
2
cos α + β
2
sin
2 α + β
2
+cos
2 α + β
2
=
2tan α + β
2
1+tan
2 α + β
2
=
2× 3
2
1+ 9
4
= 12
13．
（2）由（1）知tan α + β
2
= 3
2．
∴cos(α + β)=
cos
2 α + β
2
−sin
2 α + β
2
sin
2 α + β
2
+cos
2 α + β
2
=
1−tan
2 α + β
2
1+tan
2 α + β
2
=
1−(
3
2)
2
1+(
3
2)
2 =−5
13．
20．设α , β是锐角，且sin
2α +sin
2 β =sin (α + β)，求证：α + β = π
2
【答案】证明见解析
【分析】根据题意得到α ，β ，α −β的范围，利用降幂公式与和差化积公式计算，
结合正弦函数的值域即可证得结论.
【详解】由sin (α + β)=sin
2α +sin
2 β = 1−cos2α
2
+ 1−cos2 β
2
=1−1
2 (cos2α +cos2 β)=1−cos(α + β)cos(α −β)（*），
因0<α < π
2 ,0< β < π
2 可得−π
2 <α −β < π
2 ，0<α + β <π,
则cos(α −β)>0,0<sin (α + β)≤1,
由（*）可得0≤cos(α + β)cos(α −β)<1，
∴cos(α + β)≥0，则0<α + β ≤π
2 ，可得0≤|α −β)<α + β ≤π
2 ，
由此可得0≤cos(α + β)<cos(α −β)，
代入（*）式，得0≤sin (α + β)≤1−cos
2(α + β)=sin
2(α + β)，
则有sin (α + β)(sin (α + β)−1)≥0,故得sin (α + β)≥1，
又sin (α + β)≤1，∴sin (α + β)=1，∴α + β = π
2 .
题型06 辅助角公式及应用
辅助角公式及应用的解题策略
1.公式匹配与辅助角构造：分析题目已知条件和待求目标，确定适用辅助角公式；将表达
式整理为asin α +bcosα的标准形式，计算辅助角参数r =
❑√a
2+b
2，再根据
a、b 的符号确定辅助角φ。
2.将asin α +bcosα 代换为r sin(α +φ)（或r cos(α −φ)）的形式，结合题目目标进行
后续运算；若求最值，利用正弦（余弦）函数的值域[−1,1]得结果为±r；若求化简或特
定角度值，结合诱导公式、角度和差关系等进一步计算，最终得到目标结果。
21．已知向量⃗a=(1,sinθ)，⃗b=(cosθ ,❑√3)，其中θ∈R，则|⃗a−⃗b|的最大值是（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
【答案】B
【分析】先计算向量差的坐标，再通过模长公式得出模长的表达式，利用三角函数辅
助角公式化简，最后根据正弦函数的性质求出最大值．
【详解】∵⃗a=(1,sinθ),⃗b=(cosθ ,❑√3)，θ∈R，
∴⃗a−⃗b=(1−cosθ ,sinθ−❑√3)，
∴|⃗a−⃗b)=
❑√(1−cosθ)
2+(sinθ−❑√3)
2= ❑√5−2cosθ−2❑√3sinθ = ❑√5−4 sin(θ+π
6 )≤3
，
当且仅当sin(θ+π
6 )=−1时取等号，
∴|⃗a−⃗b)的最大值是3．
故选：B．
22．在△ABC中，BC cos B = ❑√2 AC sin(A +π
4 )，则AB
AC 的最大值为（ ）
A．❑√7
B．❑√5
C．❑√3
D．❑√2
【答案】B
【分析】根据题意先由正弦定理化简可得sinC =sin Bsin A +2sin Bcos A，即得
AB
AC = sinC
sin B = ❑√5sin ( A +φ)，从而可求解.
【详解】设AB =c，AC =b，BC =a，
则acos B = ❑√2bsin(A +π
4 )=bsin A +bcos A，
故由正弦定理可知sin A cos B =sin Bsin A +sin Bcos A，
sinC =sin ( A + B)=sin A cos B+sin Bcos A =sin Bsin A +2sin Bcos A，
于是AB
AC = sinC
sin B =sin A +2cos A = ❑√5sin ( A +φ)≤❑√5，
其中tan φ =2，当且仅当tan A = 1
2时，等号成立，故B 正确.
故选:B.
23．已知sin α +2sin β =2，则cos(α + β)的最大值为（ ）
A．1
8
B．1
4
C．1
6
D．1
2
【答案】B
【分析】设α + β =θ，利用辅助角公式结合三角函数的有界性计算即可.
【详解】设α + β =θ，则α =θ−β，
所以sin (θ−β)+2sin β =(2−cosθ)sin β +sinθcos β =2，
由辅助角公式得
❑√(2−cosθ)
2+sin
2θsin (β +φ)=2≤
❑√(2−cosθ)
2+sin
2θ = ❑√5−4 cosθ，
其中tan φ =
sinθ
2−cosθ ，当β +φ=π
2 +2k π时取得等号，
解得cosθ≤1
4 ，即cos(α + β)的最大值为1
4 ，不妨取θ为锐角，
此时有tan φ =
❑√15
7
，tan β =
7
❑√15 ⇒sin β = 7
8 ,sin α = 1
4 ，符合题意.
故选：B
24．已知函数f (x)=3sin x + 4 cos x，当f (x)取最大值时sin x =（ ）
A．4
7
B．3
7
C．4
5
D．3
5
【答案】D
【分析】根据三角函数的辅助角公式及性质，即可求解．
【详解】因为f (x)=3sin x + 4 cos x =5(
3
5 sin x + 4
5 cos x)=5sin (x +φ)，其中
cosφ = 3
5，sin φ = 4
5 ，
所以当x +φ=π
2 +2k π(k ∈Z)时，f (x)取得最大值5，
所以x =π
2 −φ+2k π，k ∈Z，
所以此时sin x =sin(
π
2 −φ+2k π)=sin(
π
2 −φ)=cosφ = 3
5．
故选：D．
题型07 三角恒等变换：角变换问题
三角恒等变换：角变换问题的解题策略
1.角的拆分与凑配：分析已知角与待求角关系，将待求角拆分为已知角的和、差、倍、半
等形式（如α=(α+β)-β），明确变换方向。
2.公式代入与化简：根据角的变换形式选对应公式（和差、二倍角等），代入已知条件计
算，化简得结果。
25．已知sinα = 4
5 ,tan(α −β)=−1
2，且α , β ∈(0,π
2 )，则sin(α −2 β)=（ ）
A．−24
25
B．−7
25
C．−4
5
D．−3
5
【答案】A
【分析】由角的变换：β =α −(α −β)，α −2 β =(α −β)−β，结合同角三角函数关系
式及两角差的正弦公式求解.
【详解】由sinα = 4
5 ，且α ∈(0,π
2 )，得cosα =
❑√1−sin
2α = ❑√1−16
25 = 3
5；
由α , β ∈(0,π
2 )，得α −β ∈(−π
2 , π
2).
由tan(α −β)= sin (α −β)
cos(α −β) =−1
2 <0，sin
2(α −β)+cos
2(α −β)=1，得：
sin (α −β)=−
❑√5
5 ,cos(α −β)= 2❑√5
5
.
因为sin β =sin[α −(α −β))=sin α cos(α −β)−cosα sin (α −β)，
所以sin β = 4
5 × 2❑√5
5
−3
5 ×(−
❑√5
5 )= 11❑√5
25
，所以cos β =
❑√1−sin
2 β = 2❑√5
25 .
因为sin (α −2 β)=sin[(α −β)−β)=sin (α −β)cos β −cos(α −β)sin β，
所以sin (α −2 β)=−
❑√5
5 × 2❑√5
25 −2❑√5
5
× 11❑√5
25
=−24
25 .
故选：A.
26．已知α , β均为锐角，tan β = 1
2 ,sin (α −β)= 5
13，则cos(α + β)=（ ）
A．13
65
B．16
65
C．−13
65
D．−16
65
【答案】B
【分析】根据已知求得sin2 β = 4
5 ，cos2 β = 3
5，cos(α −β)= 12
13，再应用和角余
弦公式求函数值.
【详解】由题得tan2 β = 2tan β
1−tan
2 β
=
2× 1
2
1−(
1
2)
2 = 4
3 ，
因为β为锐角，所以0< β < π
2 ，则0<2 β <π.
又因为tan 2 β = 4
3 >0，所以2 β为锐角，
所以sin2 β = 4
5 ，cos2 β = 3
5.
因为α , β为锐角,所以−π
2 <α −β < π
2 ,
又因为sin(α −β)= 5
13 >0，所以0<α −β <π
2 ，
所以cos(α −β)= ❑√
1−(
5
13)
2
= 12
13
，
所以cos(α + β)=cos(α −β +2 β)=cos(α −β)cos2 β −sin(α −β)sin2 β =
12
13 × 3
5 −5
13 × 4
5 = 16
65.
故选：B
27．已知cos(
π
4 −α)= 3
5，sin(
5π
4 + β)=−12
13，α ∈(
π
4 , 3π
4 )，β ∈(0,π
4 )．求：
(1)cos2α的值；
(2)sin (α + β)的值．
【答案】(1)−24
25
(2)56
65
【分析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sin(
π
4 −α)的值，进而根据
α =π
4 −(
π
4 −α)，利用两角差的正弦函数公式求出sin α的值，再根据余弦的二倍角公式
即可求出cos2α的值；
（2）先根据诱导公式二求出sin(
π
4 + β)的值，利用同角三角函数基本关系式可求
cos(
π
4 + β)的值，进而根据α + β =(
π
4 + β)−(
π
4 −α)，利用两角差的正弦函数公式求
出sin (α + β)的值．
【详解】（1）因为α ∈(
π
4 , 3π
4 )，则π
4 −α ∈(−π
2 ,0)，
又cos(
π
4 −α)= 3
5，则sin(
π
4 −α)=−4
5 ，
则
sin α =sin[
π
4 −(
π
4 −α))=sinπ
4 cos(
π
4 −α)−cosπ
4 sin(
π
4 −α)=
❑√2
2 × 3
5 −
❑√2
2 ×(−4
5)= 7 ❑√2
10
，
所以cos2α =1−2sin
2α =−24
25 ．
（2）由sin(
5π
4 + β)=−12
13，则sin(
π
4 + β)= 12
13，
又β ∈(0,π
4 )，则π
4 + β ∈(
π
4 ,π
2 )，则cos(
π
4 + β)= 5
13，
所以sin (α + β)=sin[(
π
4 + β)−(
π
4 −α))
=sin(
π
4 + β)cos(
π
4 −α)−cos(
π
4 + β)sin(
π
4 −α)
= 12
13 × 3
5 −5
13 ×(−4
5)
= 56
65．
28．设函数f (x)=sin(ωx −π
6 )+sin(ωx −π
2 )，其中0<ω<3，已知函数f (x)的图象关
于点(
π
6 ,0)成中心对称.
(1)求ω；
(2)当x∈[0,π)时，求函数f (x)的单调递增区间；
(3)若α ∈[
π
4 ,π)，β ∈[π , 3 π
2 )，且f(α +π
6 )=
❑√15
5
，sin (β −α )=
❑√10
10 ，求
α + β的值.
【答案】(1)ω=2
(2)[0,5π
12 ),[
11π
12 ,π)
(3)7 π
4
【分析】（1）利用三角恒等变换得到f (x)= ❑√3sin(ωx −π
3 )，将(
π
6 ,0)代入，结
合0<ω<3，求出ω=2；
（2）整体法得到2 x−π
3 ∈[−π
3 ,π
2 )，求出x∈[0,5π
12 )即为单调递增区间；
（3）求出sin 2α =
❑√5
5 ，由同角三角函数关系得到cos2α和cos(β −α )的值，凑角法，
结合余弦和角公式得到cos(α + β)=cos[(β −α )+2α)=
❑√2
2 ，结合α , β的范围，求出
α + β = 7 π
4 .
【详解】（1）
f (x)=sin ωx cosπ
6 −cosωx sinπ
6 −cosωx =
❑√3
2 sin ωx −1
2 cosωx −cosωx
=
❑√3
2 sin ωx −3
2 cosωx = ❑√3sin(ωx −π
3 )，
将(
π
6 ,0)代入得
❑√3sin(
ωπ
6
−π
3 )=0，故ωπ
6
−π
3 =k π,k ∈Z，
解得ω=6k +2,k ∈Z，
又0<ω<3，故当k =0时，ω=2满足要求；
（2）由（1）知，f (x)= ❑√3sin(2 x−π
3 )，
x∈[0,π)时，2 x−π
3 ∈[−π
3 ,5π
3 )，
故当2 x−π
3 ∈[−π
3 ,π
2 )
或2 x−π
3 ∈[
3π
2 , 5π
3 )
，即x∈[0,5π
12 )
或
x∈[
11π
12 ,π)
时，f (x)单调递增，
故f (x)单调递增区间为[0,5π
12 ),[
11π
12 ,π).
（3）f(α +π
6 )= ❑√3sin 2α =
❑√15
5
，故sin 2α =
❑√5
5 ，
又α ∈[
π
4 ,π)，所以2α ∈[
π
2 ,2π)，
因为sin 2α =
❑√5
5 >0，所以2α ∈[
π
2 ,π)，
故α ∈[
π
4 , π
2)，cos2α =−
❑√1−sin
22α =−2❑√5
5
又β ∈[π , 3 π
2 )，故β −α ∈[
π
2 , 5 π
4 )，
又sin (β −α )=
❑√10
10 >0，所以β −α ∈[
π
2 ,π)，
所以cos(β −α )=−
❑√1−sin
2(β −α )=−3 ❑√10
10
，
其中cos(α + β)=cos[(β −α )+2α)=cos(β −α )cos2α −sin (β −α )sin 2α
=−3 ❑√10
10
×(−2❑√5
5 )−
❑√10
10 ×
❑√5
5 =
❑√2
2
其中α + β ∈[
5 π
4 ,2π)，故α + β = 7 π
4 .
题型08 三角恒等变换：给角求值
三角恒等变换：给角求值问题的解题策略
1.将已知角拆为特殊角和/差、倍/半形式，匹配和差、二倍角等公式。
2.代入特殊角函数值，按公式运算，化简得结果。
29．若α + β =−π
4 ，则(1−tan α )(1−tan β)=（ ）
A．2
B．3
C．−2
D．−3
【答案】A
【分析】利用两角和的正切公式，可以得到tan α + tan β和tan α ⋅tan β的关系，再将
所求表达式展开并代入该关系进行计算，即可求解.
【详解】根据题意，由α + β =−π
4 ，可得tan (α + β)=−1，即
tan α + tan β
1−tan α ⋅tan β =−1，
化简整理得tan α + tan β = tan α ⋅tan β −1，
又(1−tan α )(1−tan β)=1−tan α −tan β + tan α ⋅tan β
=1−(tan α + tan β)+ tan α ⋅tan β，
将tan α + tan β = tan α ⋅tan β −1代入，
得(1−tan α )(1−tan β)=1−(tan α ⋅tan β −1)+ tan α ⋅tan β
=1−tan α ⋅tan β +1+ tan α ⋅tan β =2.
故选：A
30．sin20
∘(❑√3+tan50
∘)=（ ）
A．1
2
B．2
C．❑√3
D．1
【答案】D
【分析】利用辅助角公式、二倍角公式以及诱导公式化简可得结果.
【详解】原式
=sin20
∘(sin50
∘+ ❑√3cos50
∘)
cos50
∘
= 2sin 20
∘sin(50
∘+60
∘)
cos50
∘
= 2sin 20
∘sin(90
∘+20
∘)
cos(90
∘−50
∘)
= 2sin 20
∘cos20
∘
sin 40
∘
= sin 40
∘
sin 40
∘=1.
故选：D.
31．求值：
(1)sin50
∘(1+ ❑√3tan10
∘)；
(2)2cos
242
∘+sin75
∘cos81
∘−1
cos6
∘−cos75
∘cos81
∘
.
【答案】(1)1；
(2)2−❑√3.
【分析】（1）将已知式中的切化弦，通分后利用辅助角公式，再利用二倍角公式和
诱导公式化简即可；
（2）由二倍角公式、诱导公式、两角和与差的正弦余弦公式将题中角统一为75
∘，进
一步转化为45
∘+30
∘，展开后化为特殊角即可求值.
【详解】（1）
sin50
∘(1+ ❑√3tan10
∘)=sin50
∘(1+
❑√3sin10
∘
cos10
∘
)=sin50
∘× cos10
∘+ ❑√3sin10
∘
cos10
∘
=sin50
∘× 2sin(30
∘+10
∘)
cos10
∘
= 2sin 40
∘cos 40
∘
cos10
∘
= sin 80
∘
cos10
∘=1
（2）
2cos
242
∘+sin75
∘cos81
∘−1
cos6
∘−cos75
∘cos81
∘
=cos84
∘+sin75
∘cos81
∘
cos6
∘−cos75
∘cos81
∘
= sin 6
∘+sin75
∘cos81
∘
cos6
∘−cos75
∘cos81
∘
= sin(81
∘−75
∘)+sin75
∘cos81
∘
cos(81
∘−75
∘)−cos75
∘cos81
∘= sin 81
∘cos75
∘
sin 81
∘sin75
∘= cos75
∘
sin75
∘= cos(45
∘+30
∘)
sin(45
∘+30
∘)
= cos 45
∘cos30
∘−sin 45
∘sin30
∘
sin 45
∘cos30
∘+cos 45
∘sin30
∘=2−❑√3
32．计算下列各式的值：
(1)已知f (θ)=sin(π−θ)cos(π+θ)tan(3π−θ)
cos(
3π
2 −θ)
，求f(−7π
3 )的值；
(2) 1+ tan15
∘
1−tan15
∘；
(3)sin
210
∘+cos
255
∘+ ❑√2sin10
∘cos55
∘.
【答案】(1)
❑√3
2
(2)❑√3
(3)1
2
【分析】（1）利用诱导公式及特殊角的正弦值计算即可；
（2）利用特殊角的正切值及正切的和角公式计算即可；
（3）利用二倍角公司、诱导公式统一角化角即可.
【详解】（1）
f (θ)=sin(π−θ)cos(π+θ)tan(3π−θ)
cos(
3π
2 −θ)
=sinθ⋅(−cosθ)⋅(−tanθ)
−sinθ
=−sinθ
所以f(−7π
3 )=−sin(−7π
3 )=sin(2π+π
3 )=sinπ
3 =
❑√3
2 ；
（2）1+ tan15°
1−tan15° = tan 45°+ tan15°
1−tan 45° tan15° =tan(45°+15°)= ❑√3；
（3）
sin
210
∘+cos
255
∘+ ❑√2sin10
∘cos55
∘=sin
210
∘+ 1+cos110
∘
2
+ ❑√2sin10
∘cos(45
∘+10
∘)
=sin
210
∘+ 1+cos(90
∘+20
∘)
2
+ ❑√2sin10
∘(cos 45
∘cos10
∘−sin 45
∘sin10
∘)
=sin
210
∘+ 1−sin 20
∘
2
+ ❑√2sin10
∘(
❑√2
2 cos10
∘−
❑√2
2 sin10
∘)
=sin
210
∘+ 1−sin 20
∘
2
+sin10
∘cos10
∘−sin
210
∘
= 1−sin 20
∘
2
+ 1
2 sin 20
∘= 1
2.
题型09 三角恒等变换：给值求值
三角恒等变换：给值求值问题的解题策略
1.角关系分析与选公式：找已知角与待求角关系，选和差、二倍角等公式，缺量用同角关
系求。
2.代入公式与化简：代入已知值，按公式计算，结合角范围定符号，化简得结果。
33．已知cos(α + β)= 1
9，tanα tan β =2，则cos(2α −2 β)=（ ）
A．7
9
B．−7
9
C．8
9
D．−8
9
【答案】B
【分析】由已知结合两角和的余弦公式和同角三角函数的商数关系，可得
cosα cos β =−1
9，sin α sin β =−2
9，然后结合两角差的余弦公式和倍角公式求解即可．
【详解】已知cos(α + β)= 1
9，tanα tan β =2，
则cosα cos β −sin α sin β = 1
9，sin α sin β
cosα cos β =2，
即cosα cos β =−1
9，sin α sin β =−2
9
则cos(α −β)=cosα cos β +sinα sin β =−3
9 =−1
3，
所以cos(2α −2 β)= 2cos
2(α −β)−1=2×(−1
3)
2
−1=−7
9.
故选：B．
34．若cos(α +π
3 )= 4
5 ，则sin(α −π
6 )=（ ）
A．3
5
B．−3
5
C．4
5
D．−4
5
【答案】D
【分析】借助诱导公式计算即得.
【详解】
sin(α −π
6 )=sin(α +π
3 −π
6 −π
3 )=sin(α +π
3 −π
2 )=−cos(α +π
3 )=−4
5 .
故选：D.
35．已知函数f (x)=2sin x cos(x +π
3 ).
(1)求f(
25π
6 )的值；
(2)设α ∈(0,π)，f(
α
2)= 1
4 −
❑√3
2 ，求sin α的值.
【答案】(1)0
(2)sin α = 1+3 ❑√5
8
【分析】（1）利用两角和的余弦公式、二倍角公式、降幂公式、及辅助角公式化简
函数解析式，再代值求解即可；
（2）由f(
α
2)= 1
4 −
❑√3
2 可得sin(α +π
3 )= 1
4 ，然后根据平方关系计算出
cos(α +π
3 )，利用sin α =sin[(α +π
3 )−π
3 )借助两角差的正弦公式求解即可.
【详解】（1）由
f (x)=2sin x cos(x +π
3 )=2sin x⋅(cos x cosπ
3 −sin x sinπ
3 )=sin x cos x−❑√3sin
2 x
即f (x)=sin x cos x−❑√3sin
2 x = 1
2 sin 2 x−
❑√3(1−cos2 x)
2
=sin(2 x +π
3 )−
❑√3
2 ，
所以f(
25π
6 )=sin(
25π
3
+π
3 )−
❑√3
2 =sin(8π+ 2π
3 )−
❑√3
2 =
❑√3
2 −
❑√3
2 =0.
（2）由（1）知，f (x)=sin(2 x +π
3 )−
❑√3
2 ，
所以f(
α
2)=sin(α +π
3 )−
❑√3
2 = 1
4 −
❑√3
2 ，
所以sin(α +π
3 )= 1
4 ，
由α ∈(0,π)，得α +π
3 ∈(
π
3 ,4π
3 )，
所以cos(α +π
3 )=± ❑√
1−sin
2(α +π
3 )=± ❑√1−1
16 =±
❑√15
4
，
①当cos(α +π
3 )=
❑√15
4
时，
sin α =sin[(α +π
3 )−π
3 )=sin(α +π
3 )cosπ
3 −cos(α +π
3 )sinπ
3 = 1
4 × 1
2 −
❑√15
4
×
❑√3
2 = 1−3 ❑√5
8
<
，
而当α ∈(0,π)时，sin α >0，所以此种情况不成立；
②当cos(α +π
3 )=−
❑√15
4
时，
sin α =sin[(α +π
3 )−π
3 )=sin(α +π
3 )cosπ
3 −cos(α +π
3 )sinπ
3 = 1
4 × 1
2 +
❑√15
4
×
❑√3
2 = 1+3 ❑√5
8
，
综上所述，sin α = 1+3 ❑√5
8
.
36．（1）化简：sin 40°(tan10°−❑√3)；
（2）已知sin
4θ+cos
4θ = 5
9，求sin2θ的值；
（3）已知sin α −cosα = 1
5，α ∈(0,π)，求sin(2α −π
4 )的值．
【答案】（1）−1；（2）sin 2θ =± 2❑√2
3
；（3）31❑√2
50
【分析】（1）利用三角恒等变换公式进行变换即可求解；
（2）利用三角恒等变换公式求出sin
22θ = 8
9的值，再开平方即可求解；
（3）利用三角函数基本等式解出sin α ,cosα的值，再利用三角恒等变换公式即可求
解．
【详解】（1）sin 40°(tan10°−❑√3)=sin 40°⋅sin10°−❑√3cos10°
cos10°
= 2sin 40°⋅sin (10°−60°)
cos10°
= −2sin 40° cos 40°
cos10°
= −sin 80°
sin 80° =−1．
（2）由sin
4θ+cos
4θ = 5
9，得
(sin
2θ+cos
2θ)
2=sin
4θ+cos
4θ+2sin
2θcos
2θ = 5
9 + 1
2 sin
22θ =1，
解得sin
22θ = 8
9，则sin 2θ =± 2❑√2
3
．
（3）因为sin α −cosα = 1
5①，所以(sin α −cosα )
2= 1
25，
即1−2sin α cosα = 1
25，所以sin α cosα = 12
25.
故(sin α +cosα )
2=sin
2α +cos
2α +2sin α cosα = 49
25 ，
因为α ∈(0,π)，所以sin α >0，
又因为sin α cosα = 12
25 >0，所以cosα >0，
所以sin α +cosα >0,
所以sin α +cosα = 7
5②，
由①②解得{
sin α = 4
5
cosα = 3
5)
，
所以sin 2α =2sin α cosα =2× 4
5 × 3
5 = 24
25 ，
cos2α =cos
2α −sin
2α =(
3
5)
2
−(
4
5)
2
=−7
25，
故sin(2α −π
4 )=sin 2α cosπ
4 −cos2α sinπ
4 = 24
25 ×
❑√2
2 −(−7
25)×
❑√2
2 = 31❑√2
50
．
题型10 三角恒等变换：给值求角
三角恒等变换：给值求角问题的解题策略
1.求目标角三角函数值：分析已知角与目标角关系，选公式求目标角某三角函数值，结合
范围缩小角的可能区间。
2.确定目标角具体值：根据三角函数值及缩小后的区间，结合特殊角三角函数值或反三角
函数，确定目标角。
37．若锐角α、β满足cosα +cos β −cos(α + β)= 3
2，则2α + β =（ ）
A．π
2
B．3π
2
C．π
D．0
【答案】C
【分析】将已知等式变形为(1−cosα )cos β +sinα sin β +cosα −3
2 =0，设
P(x , y)(cos β = x ,sin β = y , x
2+ y
2=1)，问题转化为圆x
2+ y
2=1上点P(x , y)与直线
(1−cosα ) x +(sinα ) y +cosα −3
2 =0有公共点，根据直线与圆的位置关系得出cosα的不
等式，解出cosα的值，结合α的取值范围可得出α的值，然后将α的值代入题干中的等式，
结合角β的取值范围可求出β的值，即可得解.
【详解】由
cosα +cos β −cos(α + β)= 3
2 ⇒cosα +cos β −cosα cos β +sinα sin β = 3
2，
整理得(1−cosα )cos β +sinα sin β +cosα −3
2 =0．
考虑单位圆模型，我们设P(x , y)(cos β = x ,sin β = y , x
2+ y
2=1)，
则
(1−cosα )cos β +sinα sin β +cosα −3
2 =0⇒(1−cosα ) x +(sinα ) y +cosα −3
2 =0．
原等式的几何意义为圆x
2+ y
2=1上的点P(x , y)与直线
(1−cosα ) x +(sinα ) y +cosα −3
2 =0有公共点，
可得
|cosα −3
2)
❑√(1−cosα )
2+sin
2α
≤1，所以(cosα −3
2)
2
≤(1−cosα )
2+sin
2α，
整理可得
5
4 −cosα −sin
2α = 5
4 −cosα −(1−cos
2α)=cos
2α −cosα + 1
4 =(cosα −1
2)
2
≤0，
所以cosα = 1
2，
由于α为锐角，故α =π
3 ，
将α =π
3 代入(1−cosα )cos β +sinα sin β +cosα −3
2 =0得
1
2 cos β +
❑√3
2 sin β −1=sin(β +π
6 )−1=0，即sin(β +π
6 )=1，
因为0< β <π
2 ，所以π
6 < β +π
6 <2π
3 ，故β +π
6 =π
2 ，即β =π
3 ，所以2α + β =π，
故选：C．
38．已知α，β为锐角，tanα = 3
4 ，cos(α + β)=−
❑√2
10 ，则2α + β的值为（ ）
A．3π
4
B．π
C．5π
4
D．7π
4
【答案】A
【分析】由α，β为锐角，同角三角函数的关系及两角和的正弦公式即可求解．
【详解】因为α，β为锐角，tanα = 3
4 ，cos(α + β)=−
❑√2
10 ，
所以sin α = 3
5 ,cosα = 4
5 ,sin (α + β)= 7 ❑√2
10 ，α ∈(0,π
2 )，α + β ∈(
π
2 ,π)，
所以2α + β ∈(
π
2 ,3π
2 )，
则sin (2α + β)=sin[(α + β)+α)=sin (α + β)cosα +cos(α + β)sin α
= 7 ❑√2
10 × 4
5 −
❑√2
10 × 3
5 =
❑√2
2 ，
所以2α + β =3π
4 ，
故选：A．
39．已知cos(α + β)= 2❑√5
5
,tan β = 1
7 ，且α , β ∈(0,π
2 )．
(1)求cos
4 β −sin
4 β +sin β cos β的值；
(2)求2α + β的值．
【答案】(1)11
10
(2)π
4
【分析】（1）根据题意整理可得
cos
4 β −sin
4 β +sin β cos β =cos
2 β −sin
2 β +sin β cos β，结合齐次式问题运算求解；
（2）解法一：根据2α + β =2(α + β)−β结合三角恒等变换可得cos(2α + β)=
❑√2
2 ，
即可得结果；解法二：根据2α + β =(α + β)+α结合三角恒等变换可得tan (2α + β)=1，即
可得结果.
【详解】（1）因为tan β = 1
7，
所以cos
4 β −sin
4 β +sin β cos β =(cos
2 β +sin
2 β)(cos
2 β −sin
2 β)+sin β cos β
=cos
2 β −sin
2 β +sin β cos β =cos
2 β −sin
2 β +sin β cos β
cos
2 β +sin
2 β
= 1−tan
2 β +tan β
1+tan
2 β
=
1−(
1
7)
2
+ 1
7
1+(
1
7)
2
= 11
10．
（2）方法一：因为cos(α + β)= 2❑√5
5
>0，且α + β ∈(0,π)，
可知α + β ∈(0,π
2 )，则sin(α + β)=
❑√1−cos
2(α + β)=
❑√5
5 ，
可得cos2(α + β)=2cos
2(α + β)−1=2× 4
5 −1= 3
5，
sin2(α + β)=2sin(α + β)cos(α + β)= 4
5 ．
因为tan β =sin β
cos β = 1
7 ，则cos β =7sin β，
sin
2 β +cos
2 β =50sin
2 β =1，
因为β ∈(0,π
2 )，所以解得sin β =
❑√2
10 ，cos β = 7 ❑√2
10 ，
所以cos(2α + β)=cos[2(α + β)−β)=cos2(α + β)cos β +sin2(α + β)sin β
= 3
5 × 7 ❑√2
10 + 4
5 ×
❑√2
10 =
❑√2
2 ，
由α + β ∈(0,π
2 ),α ∈(0,π
2 )，可得2α + β ∈(0,π)，
所以2α + β =π
4 ．
方法二：cos(α + β)= 2❑√5
5
>0，且α + β ∈(0,π)，
可得α + β ∈(0,π
2 )，sin(α + β)=
❑√1−cos
2(α + β)=
❑√5
5 ，
则tan(α + β)=sin(α + β)
cos(α + β) = 1
2．
又因为tan(α + β)=tanα +tan β
1−tanα tan β =
tanα + 1
7
1−1
7 tanα
= 1
2，解得tanα = 1
3，
可得tan(2α + β)=tan(α + β +α )=tan(α + β)+tanα
1−tan(α + β)tanα =
1
2 + 1
3
1−1
2 × 1
3
=1．
由α + β ∈(0,π
2 ),α ∈(0,π
2 )，可得2α + β ∈(0,π)，
所以2α + β =π
4 ．
40．已知α ∈(0,π)，且2sin (2022π−α )=cos(2022π+α )；
(1)求3sin α + 4 cosα
cosα −sin α
的值；
(2)若β ∈(
π
2 ,π)，且cos β =−3 ❑√10
10
，求α + β的值．
【答案】(1)5
3
(2)7π
4
【分析】（1）先根据诱导公式化简可得tan α =−1
2，再结合齐次式计算即可；
（2）先同角三角函数的基本关系求出tan β =−1
3，进而根据两角和的正切公式求解
即可.
【详解】（1）由2sin (2022π−α )=cos(2022π+α )，α ∈(0,π)，
得2sin (−α )=−2sin α =cosα，即tan α =−1
2，
则3sin α + 4 cosα
cosα −sin α
= 3 tan α + 4
1−tan α =
3×(−1
2)+ 4
1−(−1
2)
= 5
3.
（2）由cos β =−3 ❑√10
10
，β ∈(
π
2 ,π)，
所以sin β =
❑√1−cos
2 β =
❑√10
10 ，则tan β = sin β
cos β =−1
3，
由（1）知，tan α =−1
2 <0，α ∈(0,π)，则α ∈(
π
2 ,π)，即α + β ∈(π,2π)，
所以tan (α + β)= tan α + tan β
1−tan α tan β =
−1
2 −1
3
1−(−1
2)×(−1
3)
=−1，
则α + β =7π
4 .
题型11 正切恒等式与非特殊角三角函数值
正切恒等式与非特殊角三角函数值问题的解题策略
1.非特殊角拆分与公式匹配：将非特殊角拆为已知角或特殊角的和差，结合已知条件选正
切和差、二倍角等恒等式。
2.代入计算与化简：代入已知值按公式运算，消去未知项或化简，注意角的范围避免正切
无定义，得结果。
41．cos(−π
12)的值是（ ）
A．
❑√6−❑√2
2
B．
❑√6+ ❑√2
2
C．
❑√6+ ❑√2
4
D．
❑√6−❑√2
4
【答案】C
【分析】根据−π
12 =π
4 −π
3 及两角差的余弦公式直接求解.
【详解】cos(−π
12)=cos(
π
4 −π
3 )=cosπ
4 cosπ
3 +sinπ
4 sinπ
3
=
❑√2
2 × 1
2 +
❑√2
2 ×
❑√3
2 =
❑√6+ ❑√2
4
.
故选:C.
42．cos75
∘的值为（ ）
A．
❑√6+ ❑√2
4
B．
❑√2−❑√6
4
C．
❑√6−❑√2
4
D．−
❑√6+ ❑√2
4
【答案】C
【分析】转化为两角和的余弦公式求解.
【详解】cos75
∘=cos(45
∘+30
∘)=cos 45
∘cos30
∘−sin 45
∘sin30
∘
=
❑√2
2 ×
❑√3
2 −
❑√2
2 × 1
2 =
❑√6−❑√2
4
.
故选：C
43．若，
为锐角，且
，则
__________；
__________
【答案】
【解析】利用两角和差正切公式来构造出
，代入
可求得结果；根据
的规律可整理得到结果.
即
故答案为：；
44.已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意知
，
则
，即
，
所以
，即
，
又
，
，则
，所以
，
，
，则
所以有
即
.
故选：A.
题型12 三角恒等变换综合运用
三角恒等变换综合运用问题的解题策略
1.进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公
式的逆用和变形使用．
2.形如
化为
，可进一步研究函数的周期性、单调
性、最值与对称性
45．已知f ( x)= ❑√3sin 2 x−sin(
π
2 −2 x).
(1)将f ( x)改写为A sin (ωx +φ) (A >0，ω>0，φ∈[−π
2 ，π
2 ))的形式;
(2)求f ( x)的最小正周期，并写出单调递增区间;
(3)若α ∈(
π
12 ，π
4 )，f (α )= 2
3，求cos2α的值.
【答案】(1)f (x)=2sin(2 x−π
6 )
(2)π，[−π
6 + k π,π
3 + k π)(k ∈Z)
(3)2❑√6−1
6
【分析】（1）由诱导公式及辅助角公式进行求解；
（2） 由周期公式及单调性求解；
（3）由cos2α =cos[(2α −π
6 )+π
6 )，由两角和的余弦公式求解．
【详解】（1）
f ( x)= ❑√3sin 2 x−sin(
π
2 −2 x)= ❑√3sin 2 x−cos2 x =2sin(2 x−π
6 ).
（2）f ( x)的最小正周期为2π
2 =π，
令−π
2 +2k π≤2 x−π
6 ≤π
2 +2k π,k ∈Z，得
−π
6 +k π≤x ≤π
3 +k π，k ∈Z，
单调递增区间为[−π
6 + k π，π
3 + k π)，k ∈Z
（3）因为f (α )= 2
3，所以2sin(2α −π
6 )= 2
3，即sin(2α −π
6 )= 1
3，
因为α ∈(
π
12 ，π
4 )，所以2α −π
6 ∈(0,π
3 )，所以cos(2α −π
6 )= 2❑√2
3
，
所以cos2α =cos[(2α −π
6 )+π
6 )=cos(2α −π
6 )cosπ
6 −sin(2α −π
6 )sinπ
6
= 2❑√2
3
×
❑√3
2 −1
3 × 1
2 = 2❑√6−1
6
.
46．定义在[0,π
2 )上的函数f (x)=asin x +cos x (a∈R)．
(1)当a=1时，求函数f (x)的值域；
(2)当a=2时，若f (x)在x = x0处取最大值．
①求tan x0；
②关于x的方程cos(x−x0)=−1
4 在区间[0,2π)上有两解x1，x2(x1< x2)，求
sin(x1+ x2)+cos(x1−x2)的值．
【答案】(1)[1,❑√2)
(2)
2
①；②−3
40.
【分析】（1）需要将函数化简为标准形式，再根据给定区间求值域；
（2）①通过辅助角公式找到最大值条件，进而求出tan x0；
②先根据三角函数性质求出x1与x2的关系，再代入式子计算.
【详解】（1）当a=1时，f (x)=sin x +cos x = ❑√2sin(x +π
4 )，
因为x∈[0,π
2 )，x +π
4 ∈[
π
4 , 3π
4 )，所以sin(x +π
4 )∈[
❑√2
2 ,1)，
所以函数f (x)的值域为[1,❑√2)；
（2）①当a=2时，f (x)=2sin x +cos x = ❑√5sin(x +φ)，其中tanφ = 1
2，
φ∈(0,π
2 )，
当x +φ=π
2 时，函数f (x)取得最大值，此时x0=π
2 −φ∈(0,π
2 )，
所以tan x0=tan(
π
2 −φ)=
1
tanφ =2；
②由题知x∈[0,2π)，x−x0∈[−x0,2π−x0)，由①知−x0∈(−π
2 ,0)
故方程cos(x−x0)=−1
4 的两解满足：x1−x0+ x2−x0=2π，即x1+ x2=2π +2 x0，
且cos(x1−x0)=cos(x2−x0)=−1
4 ；又由①知sin x0= 2❑√5
5
，cos x0=
❑√5
5 .
所以sin(x1+ x2)=sin(2π+2 x0)=sin2 x0=2sin x0cos x0= 4
5 ；
由x1+ x2=2π +2 x0知x2=2π +2 x0−x1，
所以
cos(x1−x2)=cos(x1−2π −2 x0+ x1)=cos(2 x1−2 x0)=2cos
2(x1−x0)−1=−7
8；
所以sin(x1+ x2)+cos(x1−x2)= 4
5 −7
8 =−3
40．
47．已知f ( x)=2❑√3sin x cos x −2cos
2 x．
(1)求f ( x)的单调递减区间；
(2)将函数f ( x)的图象向左平移π
3 个单位长度，得到函数g( x)的图象，求g( x)在
[
π
6 , 7π
8 )上的值域．
【答案】(1)[
π
3 + k π,5π
6 + k π),k ∈Z
(2)[−3,❑√2−1)
【分析】（1）利用倍角公式和辅助角公式化简f (x)，再结合正弦函数的单调性求解；
（2）先由平移变换得到g(x)= f(x +π
3 )=2cos2 x−1，再利用余弦函数的性质求解.
【详解】（1）
f ( x)=2❑√3sin x cos x−2cos
2 x = ❑√3sin 2 x−cos2 x−1=2sin(2 x−π
6 )−1
令π
2 +2k π≤2 x−π
6 ≤3π
2 +2k π,k ∈Z，则π
3 +k π≤x ≤5π
6 +k π,k ∈Z，
故f ( x)的单调递减区间为[
π
3 +k π,5π
6 + k π),k ∈Z；
（2）由题意得
g(x)= f(x +π
3 )=2sin[2(x +π
3 )−π
6 )−1=2sin(2 x +π
2 )−1=2cos2 x−1，
因π
6 ≤x ≤7π
8 ，有π
3 ≤2 x ≤7π
4 ，则−1≤cos2 x ≤
❑√2
2 ，
可得−3≤2cos2 x−1≤❑√2−1，
故g(x)在[
π
6 , 7π
8 )上的值域为[−3,❑√2−1).
48．已知函数f (x)= ❑√3sin 2 x +1−2sin
2 x.
(1)求f (x)的单调递增区间；
(2)若α ∈(0,π)，且f(
α
2)= 2
3，求cosα的值.
【答案】(1)[−π
3 + k π,π
6 + k π)，k ∈Z
(2)1−2❑√6
6
【分析】（1）借助三角恒等变换公式可将原函数化为正弦型函数，再利用正弦型函
数性质计算即可得；
（2）由题意可得sin(α +π
6 )= 1
3，再计算出α +π
6 所处象限，则可得cos(α +π
6 )，
最后利用两角差的余弦公式计算即可得.
【详解】（1）f (x)= ❑√3sin 2 x +1−2sin
2 x = ❑√3sin 2 x +cos2 x =2sin(2 x +π
6 )，
令−π
2 +2k π≤2 x +π
6 ≤π
2 +2k π，k ∈Z，
则−π
3 +k π≤x ≤π
6 +k π，k ∈Z，
即f (x)的单调递增区间为[−π
3 + k π,π
6 +k π)，k ∈Z；
（2）f(
α
2)=2sin(2⋅α
2 +π
6 )=2sin(α +π
6 )= 2
3，则sin(α +π
6 )= 1
3，
由α ∈(0,π)，则α +π
6 ∈(
π
6 , 7π
6 )，又sin(α +π
6 )= 1
3 < 1
2，
故α +π
6 ∈(
5π
6 ,π)，则cos(α +π
6 )=−❑√
1−(
1
3)
2
=−2❑√2
3
，
则cosα =cos(α +π
6 −π
6 )=cos(α +π
6 )⋅cosπ
6 +sin(α +π
6 )⋅sinπ
6
=−2❑√2
3
×
❑√3
2 + 1
3 × 1
2 = 1−2❑√6
6
.
1．cos105
∘cos 45
∘−sin75
∘sin 45
∘=（ ）
A．−
❑√3
2
B．−1
2
C．1
2
D．
❑√3
2
【答案】A
【分析】先利用诱导公式变形，再根据余弦差角公式和特殊角三角函数值得到答案.
【详解】cos105° cos 45°−sin75° sin 45° =−cos75° cos 45°−sin75° sin 45°
题型精析・方法突破提能力
=−(cos75° cos 45°+sin75° sin 45°)=−cos(75°−45°)=−cos30° =−
❑√3
2 .
故选：A
2．若tan α =3，则sin 2α =（ ）
A．1
5
B．2
5
C．3
5
D．2
3
【答案】C
【分析】利用二倍角正弦公式，结合平方关系，弦化切，则代入求值即可.
【详解】因为tan α =3，
所以sin 2α =2sin α cosα = 2sin α cosα
sin
2α +cos
2α
= 2tan α
tan
2α +1
= 2×3
3
2+1
= 3
5，
故选：C
3．cos
2π
8 −cos
2 5π
8 =（ ）
A．1
2
B．
❑√2
2
C．
❑√3
3
D．
❑√3
2
【答案】B
【分析】解法一：利用降幂公式运算求解即可；解法二：利用诱导公式可得
cos
2 5π
8 =sin
2π
8 ，结合倍角公式运算求解.
【详解】解法一：cos
2π
8 −cos
2 5π
8 =
1+cosπ
4
2
−
1+cos 5π
4
2
= 1
2 + 1
2 cosπ
4 −1
2 −1
2 cos 5π
4 = 1
2 ×
❑√2
2 −1
2 ×(−
❑√2
2 )=
❑√2
2 ．
解法二：cos
2 5π
8 =cos
2(
π
2 +π
8 )=sin
2π
8 ，
所以cos
2π
8 −cos
2 5π
8 =cos
2π
8 −sin
2π
8 =cosπ
4 =
❑√2
2 ．
故选：B.
4．曲线y = x−2
x 在x =1处的切线的倾斜角为α，则cos2α
1+ tan α =（ ）
A．−1
B．−1
5
C．❑√3
D．2
【答案】B
【分析】先求出y = x−2
x 的导函数，进而求出x =1时，y
′ =1+2=3，由导函数的几
何意义和倾斜角与斜率的关系，求出tan α =3，利用万能公式求出结果.
【详解】y
′ =1+ 2
x
2，当x =1时，y
′ =1+2=3，所以tan α =3，由万能公式得：
cos2α = cos
2α −sin
2α
cos
2α +sin
2α
= 1−tan
2α
1+ tan
2α
= 1−9
1+9 =−4
5
所以cos2α
1+ tan α =−4
5 × 1
4 =−1
5
故选：B
5．已知sin(α + β)= 1
5，sin(α −β)= 3
5，则tanα
tan β 的值为（ ）
A．−1
B．1
C．−2
D．2
【答案】C
【分析】解法一：由两角和与差的正弦展开式化简可得sinα cos β、cosα sin β，
再相除可得答案；解法二：利用积化和差公式化简可得答案；解法三，利用比例性质可得
答案；解法四：由两角和与差的正弦展开式化简再利用齐次式可得答案.
【详解】解法一：由题意可得sin(α + β)=sinα cos β +cosα sin β = 1
5①，
sin(α −β)=sinα cos β −cosα sin β = 3
5②，
由①②得sinα cos β = 2
5，cosα sin β =−1
5，
两式相除得sinα cos β
cosα sin β =tanα
tan β =−2.
解法二：
tanα
tan β =sinα
cosα ⋅cos β
sin β =
1
2 [sin(α + β)+sin(α −β))
1
2 [sin(α + β)−sin(α −β))
=
1
5 + 3
5
1
5 −3
5
=−2.
解法三：设tanα
tan β =k，
即k +1
k −1 =tanα +tan β
tanα −tan β =sinα cos β +cosα sin β
sinα cos β −cosα sin β =sin(α + β)
sin(α −β) =
1
5
3
5
= 1
3，
解得k =−2.
解法四：sin(α + β)
sin(α −β) =sinα cos β +cosα sin β
sinα cos β −cosα sin β =tanα +tan β
tanα −tan β =
1
5
3
5
= 1
3，
所以tanα =−2tan β，即tanα
tan β =−2.
故选：C.
6．当x =θ时，函数f (x)=5sin x−12cos x取得最小值，则cosθ =（ ）
A．5
13
B．−5
13
C．12
13
D．−12
13
【答案】C
【分析】根据已知条件，利用辅助角公式，结合三角恒等变换，化简f (x)得到
f ( x)=13sin (x +φ)，由f (θ)=−1得到θ和φ的关系，从而得解
【详解】f ( x)=5sin x−12cos x =13[sin x⋅5
13 +cos x⋅(−12
13))=13sin (x +φ)
其中，cosφ = 5
13，sin φ =−12
13，
依题意得，f (θ)=13sin (θ+φ)=−13，∴sin (θ+φ)=−1，
∴θ+φ=2k π−π
2 ，k ∈Z，∴θ =2k π−π
2 −φ，k ∈Z，
∴cosθ =cos(2k π−π
2 −φ)=cos(−π
2 −φ)=−sin φ = 12
13，
故选：C．
7．已知3sin x + 4cos x = A sin(x +θ)对于∀x∈R恒成立，则sin2θ =（ ）
A．12
25
B．24
25
C．−12
25
D．−24
25
【答案】B
【分析】利用辅助角公式及二倍角的正弦公式即可求解.
【详解】∵3sin x + 4cos x =5(
3
5 sin x + 4
5 cos x)=5sin (x +θ)，其中cosθ = 3
5，
sinθ = 4
5 ，
∴sin2θ =2sinθcosθ =2× 4
5 × 3
5 = 24
25 .
故选：B.
8．若−π
2 <α −β <π
2 ,cosα −2sin β =1,sinα +2cos β =−❑√2，则cos(β +π
3 )=（
）
A．
❑√3
3
B．
❑√6
3
C．
❑√3
6
D．
❑√6
6
【答案】A
【分析】根据条件，利用平方关系得到sin(α −β)=−1
2，进而得α = β −π
6 ，再代入
cosα −2sin β =1，利用和差角的余弦公式，计算即得.
【详解】由cosα −2sin β =1两边取平方，可得cos
2α −4cosα sin β + 4sin
2 β =1
①，
由sinα +2cos β =−❑√2，两边取平方，可得sin
2α + 4sinα cos β + 4cos
2 β =2②，
由①+②得到1+ 4 (sinα cos β −cosα sin β)+ 4 =3，整理得到sin(α −β)=−1
2，
又−π
2 <α −β <π
2 ，解得α −β =−π
6 ，即α = β −π
6 ，
将其代入cosα −2sin β =1，可得cos(β −π
6 )−2sin β =1，即
❑√3
2 cos β + 1
2 sin β −2sin β =1，
即
❑√3
2 cos β −3
2 sin β =1，所以
❑√3(
1
2 cos β −
❑√3
2 sin β)= ❑√3cos(β +π
3 )=1，
故得cos(β +π
3 )=
❑√3
3 .
故选：A.
9．sin110
∘cos250
∘
cos
225
∘−sin
2155
∘的值为（ ）
A．−1
2
B．1
2
C．
❑√3
2
D．−
❑√3
2
【答案】A
【分析】根据诱导公式以及倍角公式求解即可.
【详解】原式= −sin70
∘cos70
∘
cos
225
∘−sin
225
∘=−
1
2 sin140
∘
cos50
∘
=−
1
2 sin 40
∘
sin 40
∘
=−1
2
.
故选：A
10．已知tan(α +π
4 )=−3，则cos
2α +2sin2α =（ ）
A．9
5
B．12
5
C．−7
5
D．−4
5
【答案】A
【分析】根据正切和角公式得到方程，求出tan α =2，进而利用齐次化，代入求值.
【详解】由tan(α +π
4 )= 1+ tan α
1−tan α =−3，得tan α =2，
则cos
2α +2sin2α = cos
2α + 4 sin α cosα
sin
2α +cos
2α
= 1+ 4 tan α
tan
2α +1
= 9
5 .
故选：A
11．若π
4 < β <π<α < 3π
2 ，且cos(α + β)=−
❑√2
10 ，sin2 β = 4
5 ，则α −β =（ ）
A．π
4
B．π
2
C．3π
4
D．π
【答案】C
【分析】根据已知及平方关系得cos2 β =−3
5、sin(α + β)=−7 ❑√2
10 ，且
π
4 <α −β <π，再应用差角余弦公式求cos(α −β)，即可得.
【详解】因为π
4 < β <π，所以π
2 <2 β <2π，又sin2 β = 4
5 >0，
所以π
2 <2 β <π，则cos2 β =−
❑√1−sin
22 β =−3
5，
因为π<α < 3π
2 ，π
4 < β <π
2 ，所以5π
4 <α + β <2π，
又cos(α + β)=−
❑√2
10 ，所以5π
4 <α + β <3π
2 ，
所以sin(α + β)=−
❑√1−cos
2(α + β)=−7 ❑√2
10 ，
因为5π
4 <α + β <3π
2 ，−π<−2 β <−π
2 ，所以π
4 <α −β <π，
所以cos(α −β)=cos(α + β −2 β)=cos(α + β)cos2 β +sin(α + β)sin2 β
=−
❑√2
10 ×(−3
5)−7 ❑√2
10 × 4
5 =−
❑√2
2 ，
所以α −β = 3π
4 .
故选：C
12．sin75❑
∘= （ ）
A．
❑√6−❑√2
2
B．
❑√6+ ❑√2
2
C．
❑√6−❑√2
4
D．
❑√6+ ❑√2
4
【答案】D
【分析】根据sin75
∘=sin(45
∘+30
∘)利用两角和的正弦公式计算可得.
【详解】sin75
∘=sin(45
∘+30
∘)
=sin 45
∘cos30
∘+cos 45
∘sin30
∘
=
❑√3
2 ×
❑√2
2 + 1
2 ×
❑√2
2 =
❑√6+ ❑√2
4
.
故选：D
13．计算sin(−7π
12 )=（ ）
A．
❑√2+ ❑√6
4
B．
❑√2−❑√6
4
C．
❑√6−❑√2
4
D．−
❑√2+ ❑√6
4
【答案】D
【分析】将7π
12 看成π
4 +π
3 ，根据诱导公式以及两角和的正弦公式，化简计算，即
可得出答案.
【详解】sin(−7π
12 )=−sin 7π
12
=−sin(
π
4 +π
3 )=−(sinπ
4 cosπ
3 +cosπ
4 sinπ
3 )
=−(
❑√2
2 × 1
2 +
❑√2
2 ×
❑√3
2 )=−
❑√2+ ❑√6
4
.
故选：D．
14．tan15
∘−tan75
∘=（ ）
A．−4
B．−6
C．−3 ❑√3
D．−2❑√3
【答案】D
【分析】将15°变成45
°−30
°，75°变成45
°+30
°，然后利用和差倍角的正切值进行计
算.
【详解】tan75
°= tan(45
°+30
°)= tan 45
°+ tan30
°
1−tan 45
° tan30
° =
1+
❑√3
3
1−
❑√3
3
= 12+6 ❑√3
6
=2+ ❑√3.
tan15
°= tan(45
°−30
°)= tan 45
°−tan30
°
1+ tan 45
° tan30
° =
1−
❑√3
3
1+
❑√3
3
= 12−6 ❑√3
6
=2−❑√3
所以tan15
∘−tan75
∘=2−❑√3−(2+ ❑√3)=−2❑√3.
故选：D.
15．tan15
°=（ ）．
A．
❑√6+ ❑√2
4
B．
❑√6−❑√2
4
C．2+ ❑√3
D．2−❑√3
【答案】D
【分析】由tan15
°= tan(45
°−30
°)，利用两角差的正切公式计算可得.
【详解】tan15
°= tan(45
°−30
°)
= tan 45
°−tan30
°
1+ tan 45
° tan30
° =
1−
❑√3
3
1+1×
❑√3
3
=2−❑√3.
故选：D
16．已知sin α = 12
13，cos β =−3
5，α，β均为第二象限角，求cos(α −β)，cos(α + β)的值．
【答案】cos(α −β)= 63
65，cos(α + β)=−33
65
【分析】先利用平方关系求出cosα ,sin β，然后由余弦的和差公式可解.
【详解】因为sin α = 12
13，cos β =−3
5，α，β均为第二象限角，
所以cosα =−❑√
1−(
12
13)
2
=−5
13 ,sin β = ❑√
1−(−3
5)
2
= 4
5
，
所以cos(α −β)=cosα cos β +sin α sin β =−5
13 ×(−3
5)+ 12
13 × 4
5 = 63
65，
cos(α + β)=cosα cos β −sin α sin β =−5
13 ×(−3
5)−12
13 × 4
5 =−33
65
17．已知sin α =−4
5 ，α ∈(π, 3π
2 )，求sin 2α，cos2α的值．
【答案】sin2α = 24
25 ，cos2α =−7
25
【分析】根据已知及同角三角函数的平方关系得cosα =−3
5，再由二倍角正余弦公式
求sin 2α，cos2α的值．
【详解】由题设cosα =−
❑√1−sin
2α =−3
5，
所以sin2α =2sin α cosα = 24
25 ，cos2α =1−2sin
2α =−7
25.
18．求证：sin
4 x +cos
4 x = 3+cos4 x
4
．
【答案】证明见解析
【分析】应用降幂扩角公式把等式左边化为右边，即可证.
【详解】sin
4 x +cos
4 x =(sin
2 x +cos
2 x)
2−2sin
2 x cos
2 x =1−1
2 sin
22 x
=1−1
2 × 1−cos 4 x
2
= 3+cos 4 x
4
，
∴原等式成立.
19．求证：2(cosθ−sinθ)
1+sinθ+cosθ = cosθ
1+sinθ −
sinθ
1+cosθ ．
【答案】证明见解析
【分析】启用万能公式，分别代入原式两边，进行代数式的变形，使两边经代数形式
变换取得相等．
【详解】证明：设t = tan θ
2，由万能公式，则sinθ = 2t
1+t
2，cosθ = 1−t
2
1+t
2 ，
分别代入原式两边，并进行代数式变形：
左边=
2(
1−t
2
1+t
2 −2t
1+t
2)
1+ 1−t
2
1+t
2 + 2t
1+t
2
= 2(1−2t −t
2)
2(1+t )
= 1−2t −t
2
1+t
，
右边=
1−t
2
1+t
2
1+ 2t
1+t
2
−
2t
1+t
2
1+ 1−t
2
1+t
2
=
1−t
2
1+2t +t
2 −t = 1−2t −t
2
1+t
，
∵左边=右边，∴原等式成立．
20．在△ABC中，求sin A +sin B+ ❑√3sinC的最大值．
【答案】4 ❑√6
3
【分析】应用和差化积、二倍角正弦公式，将目标式化为
2❑√(1−sin C
2)(1+sin C
2)(1+ ❑√3sin C
2)
2
，再应用凑配法及四元基本不等式求最大值.
【详解】原式=2sin A + B
2
⋅cos A −B
2
+ ❑√3sinC ≤2cos C
2 +2❑√3sin C
2 ⋅cos C
2
=2cos C
2(1+ ❑√3sin C
2) =2❑√(1−sin C
2)(1+sin C
2)(1+ ❑√3sin C
2)
2
，
而(1−sin C
2)(1+sin C
2)(1+ ❑√3sin C
2)
2
= 1
6[(3+ ❑√3)−(3+ ❑√3)sin C
2)[(3−❑√3)+(3−❑√3)sin C
2)(1+ ❑√3sin C
2)
2
≤1
6 ×(
8
4)
4
= 8
3，
当且仅当A = B，且sin C
2 =
❑√3
3 时等号成立．
故当A = B，且sin C
2 =
❑√3
3 时，原式取得最大值4 ❑√6
3
．
21．已知函数f (x)=sin(π−x)⋅cos(π+ x)
sin(−π+ x)
.
(1)化简f (x)的解析式；
(2)若α ，β为锐角，且f (α )= 2❑√5
5
，f (α + β)=−
❑√2
10 ，求α −β的值.
【答案】(1)f (x)=cos x；
(2)α −β =−π
4 .
【分析】（1）利用诱导公式化简计算即得；
（2）利用条件先求出sin α和sin(α + β)，再由sin β =sin[(α + β)−α)展开求得sin β
和cos β，最后由两角差的正弦公式求得sin(α −β)的值，结合角的范围即得答案.
【详解】（1）f (x)=sin(π−x)⋅cos(π+ x)
sin(−π+ x)
=sin x⋅(−cos x)
−sin x
=cos x；
（2）f (α )= 2❑√5
5
即cosα = 2❑√5
5
，f (α + β)=−
❑√2
10 即cos(α + β)=−
❑√2
10 ，
由题意，0<α <π
2 ,0< β <π
2 ，则0<α + β <π，
故sin α =
❑√1−( 2❑√5
5
)
2
=
❑√5
5
，sin(α + β)=
❑√1−(−
❑√2
10 )
2
= 7 ❑√2
10
，
因sin β =sin[(α + β)−α)=sin (α + β)cosα −cos(α + β)sin α
= 7 ❑√2
10 × 2❑√5
5
−(−
❑√2
10 )×
❑√5
5 = 3 ❑√10
10
，则cos β =
❑√1−( 3 ❑√10
10
)
2
=
❑√10
10
，
由sin(α −β)=sinα cos β −cosα sin β =
❑√5
5 ×
❑√10
10 −2❑√5
5
× 3 ❑√10
10
=−
❑√2
2 ，
因α ，β为锐角，故−π
2 <α −β <π
2 ，则得α −β =−π
4 .
22．已知函数f ( x)=1−2❑√3sin x cos x −2sin
2 x.
(1)求函数f ( x)的最小正周期与单调递增区间；
(2)若f (α )= 2
7 ，α ∈[0,π
2 )，求cos2α的值.
【答案】(1)T =π，[−2π
3 + k π,−π
6 + k π)，k ∈Z
(2)13
14
【分析】（1）借助三角恒等变换公式可将原函数化为正弦型函数，再利用正弦型函
数性质计算即可得；
（2）借助同角三角函数基本关系与两角差的余弦公式计算即可得.
【详解】（1）
f ( x)=1−2❑√3sin x cos x−2sin
2 x =cos2 x−❑√3sin 2 x =2cos(2 x +π
3 )，
最小正周期为T = 2π
2 =π，
令−π+2k π≤2 x +π
3 ≤2k π，k ∈Z，解得x∈[−2π
3 +k π,−π
6 +k π)，
k ∈Z，
所以f ( x)的单调递增区间为[−2π
3 + k π,−π
6 +k π)，k ∈Z；
（2）由α ∈[0,π
2 )，得2α +π
3 ∈[
π
3 , 4π
3 )，
f (α )=2cos(2α +π
3 )= 2
7 ，即cos(2α +π
3 )= 1
7 >0，则2α +π
3 ∈(
π
3 ,π
2 )，
sin(2α +π
3 )= ❑√
1−cos
2(2α +π
3 )= 4 ❑√3
7
，
所以
cos2α =cos[(2α +π
3 )−π
3 )=cos(2α +π
3 )⋅cosπ
3 +sin(2α +π
3 )⋅sinπ
3
= 1
7 × 1
2 + 4 ❑√3
7
×
❑√3
2 = 13
14 .
23．已知函数f (x)=sin 2 x +cos2 x
(1)求函数f (x)在[0,π
2 )上的值域；
(2)若f (α )=
❑√10
5
，其中π
8 <α < 3π
8 ，求cos2α的值.
【答案】(1)[−1,❑√2)
(2)−
❑√10
10
【分析】（1）利用辅助角公式可得f (x)= ❑√2sin(2 x +π
4 )，利用整体代换并结合正
弦函数性质，即可求得答案；
（2）由f (α )=
❑√10
5
，可得sin(2α +π
4 )=
❑√5
5 ，继而求出cos(2α +π
4 )，利用两角
差的余弦公式，即可求得答案.
【详解】（1）根据题意f (x)=sin 2 x +cos2 x = ❑√2sin(2 x +π
4 )，
设t =2 x +π
4 ，因为x∈[0,π
2 )，则t ∈[
π
4 , 5π
4 )，
所以sin t ∈[−
❑√2
2 ,1)，
所以f (x)= ❑√2sin(2 x +π
4 )的值域为[−1,❑√2)．
（2）因为f (α )=
❑√10
5
，所以f (α )= ❑√2sin(2α +π
4 )=
❑√10
5
，
可得sin(2α +π
4 )=
❑√5
5 ，
因为π
8 <α < 3π
8 ，可得π
2 <2α +π
4 <π，所以cos(2α +π
4 )=−2❑√5
5
，
所以cos2α =cos(2α +π
4 −π
4 )=
❑√2
2 cos(2α +π
4 )+
❑√2
2 sin(2α +π
4 )
=−2❑√5
5
×
❑√2
2 +
❑√5
5 ×
❑√2
2 =−
❑√10
10 ．
24．已知函数f (x)=cos
4 x
2 −2sin x
2 cos x
2 −sin
4 x
2．
(1)求f (x)的最小正周期；
(2)若f (α )= 3 ❑√2
5
，tan β = 3
4 ，α，β均为锐角，求α + β．
【答案】(1)2π
(2)π
4
【分析】（1）根据平方差公式，二倍角公式及辅助角公式求得
f (x)=−❑√2sin(x−π
4 )，再根据正弦函数的周期公式即可求解；
（2）由（1）及f (α )= 3 ❑√2
5
求得sin α ,cosα，再由tan β = 3
4 及同角三角函数的平方
关系求得sin β ,cos β，根据两角和的余弦公式即可求解．
【详解】（1）
f (x)=(cos
2 x
2 +sin
2 x
2)(cos
2 x
2 −sin
2 x
2)−sin x =cos x−sin x =−❑√2sin(x−π
4 )
，
所以T = 2π
1 =2π．
（2）f (α )=−❑√2sin(α −π
4 )= 3 ❑√2
5
，则sin(α −π
4 )=−3
5，
因为α ∈(0,π
2 )，所以α −π
4 ∈(−π
4 ,π
4 )，又sin(α −π
4 )<0，
所以α −π
4 ∈(−π
4 ,0)，则cos(α −π
4 )= 4
5 ，
所以sin α =sin[(α −π
4 )+π
4 )=sin(α −π
4 )cosπ
4 +cos(α −π
4 )sinπ
4
=−3
5 ×
❑√2
2 + 4
5 ×
❑√2
2 =
❑√2
10 ，所以cosα =
❑√1−sin
2α = 7 ❑√2
10 ，
由tan β = 3
4 ，β为锐角，所以{
4 sin β =3cos β
sin
2 β +cos
2 β =1)，解得{
sin β = 3
5
cos β = 4
5)
，
由α，β均为锐角，则α + β ∈(0,π)，
cos(α + β)=cosα cos β −sin α sin β = 7 ❑√2
10 × 4
5 −
❑√2
10 × 3
5 =
❑√2
2 >0，
所以α + β =π
4 ．
25．已知函数f (x)=2❑√3sin x cos x−1+2sin
2 x.
(1)求函数f (x)的最小正周期及单调递增区间；
(2)当x∈[0, π
2)时，求函数f (x)的最值及取得最值时自变量x的值.
【答案】(1)最小正周期为π，单调递增区间为[k π−π
6 ,k π+π
3 )(k ∈Z)；
(2)x =0时，f (x)min=−1；x =π
3 时，f (x)max=2.
【分析】（1）利用二倍角降幂公式以及辅助角公式将函数y = f (x)的解析式化简，再
求最小正周期及单调递增区间；
（2）由x∈[0,π
2 )，可计算出2 x−π
6 的取值范围，利用正弦函数的性质可得出函
数y = f (x)的最大值和最小值及对应的x的值.
【详解】（1）
f (x)=2❑√3sin x cos x−1+2sin
2 x
= ❑√3sin 2 x−cos2 x
=2sin(2 x−π
6 )
所以最小正周期为T = 2π
2 =π，
解不等式2k π−π
2 ≤2 x−π
6 ≤2k π+π
2
(k ∈Z)，得
k π−π
6 ≤x ≤k π+π
3
(k ∈Z)，
因此，函数y = f (x)的单调递增区间为[k π−π
6 ,k π+π
3 )(k ∈Z).
（2）当x∈[0,π
2 )时, 2 x−π
6 ∈[−π
6 ,5π
6 )，
当2 x−π
6 =−π
6 ，x =0时，f (x)min=2sin(−π
6)=−1
当2 x−π
6 =π
2 ，x =π
3 时，f (x)max =2sin(
π
2)=2.
26．已知向量⃗a=(sin x
2 ,−sin( x
2 +π
4 )),⃗b=(cos x
2 ,sin(π
4 −x
2 ))，函数f ( x)=⃗a⋅⃗b.
(1)求函数f ( x)的最小正周期；
(2)求函数f ( x)在x∈[π
2 , 3π
2 ]上的最值；
(3)若f (α )=
❑√5
10 ，且α ∈(0,π)，求sin(2α −π
3 )的值.
【答案】(1)2π；
(2)最小值为−1
2，最大值为
❑√2
2 ；
(3)4 +3 ❑√3
10
.
【分析】（1）利用数量积的坐标表示，结合诱导公式及差角的正弦求出f ( x)，再利
用正弦函数周期公式求解.
（2）利用正弦函数的性质求出指定区间上的最值.
（3）由给定条件求得sin(α −π
4 )=
❑√10
10 ，进而求出sin2α ,cos2α，再利用差角的
正弦公式求解.
【详解】（1）依题意，
f ( x )=sin x
2 cos x
2 −sin( x
2 +π
4 )sin(π
4 −x
2 )= 1
2 sin x−sin( x
2 +π
4 )cos( x
2 +π
4 )
= 1
2 sin x−1
2 sin( x +π
2 )= 1
2 sin x−1
2 cos x =
❑√2
2 sin( x−π
4 )，
所以函数f ( x)的最小正周期T =2π.
（2）由（1）知f ( x)=
❑√2
2 sin( x−π
4 )，当x∈[π
2 , 3π
2 ]时，
x−π
4 ∈[π
4 , 5π
4 ]，
则sin( x−π
4 )∈[−
❑√2
2 ,1]，
❑√2
2 sin( x−π
4 )∈[−1
2 ,
❑√2
2 ]，
所以函数f ( x)在x∈[π
2 , 3π
2 ]上的最小值为−1
2，最大值为
❑√2
2 .
（3）由f (α )=
❑√5
10 ，得
❑√2
2 sin(α −π
4 )=
❑√5
10 ，则sin(α −π
4 )=
❑√10
10 ，
由α ∈(0,π)，得α −π
4 ∈(−π
4 , 3π
4 )，而0<sin(α −π
4 )<
❑√2
2 ，则
0<α −π
4 <π
4 ，
即π
4 <α <π
2 ，π
2 <2α <π，由sin α −cosα =
❑√5
5 ，
得sin
2α +cos
2α −2sin α cosα =
❑√5
5 ，则sin 2α = 4
5 ，cos2α =−
❑√1−( 4
5 )
2
=−3
5
，
所以sin(2α −π
3 )= 1
2 sin 2α −
❑√3
2 cos2α = 1
2 × 4
5 −
❑√3
2 ×(−3
5 )= 4+3 ❑√3
10
.
