重难点27：三角函数图像性质类问题之题
型归纳（十大题型总结）
（培优固本提能讲义）
知识网络·核心根基深扎牢....................................................................................1
实战演练·能力进阶攀高峰....................................................................................3
题型一、五点作图法........................................................................................3
题型二、解三角不等式....................................................................................4
题型三、求三角函数最小正周期....................................................................5
题型四、求三角函数值域（最值）................................................................6
题型五、三角函数图像平移/伸缩变换问题...................................................7
题型六、利用图像求解析式或参数问题........................................................8
题型七、求x1+ x2+...或f ( x1+ x2+...)问题（选）.......................................10
题型八、三角函数图像上点构成图形类问题（选）..................................11
题型九、三角函数单调性/周期性/奇偶性/对称性综合（解）...................12
题型十、三角函数模型与实际问题（解）..................................................14
题型精析・方法突破提能力..............................................................................16
知识点
1 ：五点作图法
函数
，
的图象中，五个关键点是
．
函数
，
的图象中，五个关键点是
．
知识网络・核心根基深扎牢
知识点
2 ：正余弦函数周期定义域值域
最小正周期：
．
定义域与值域：
，
的定义域为R，值域为[-A，A]．
知识点
3 ：正余弦函数图像与性质
知识点
4 ：正余弦函数图像伸缩
/ 平移变换
由函数
的图像变换为函数
的图像的步骤；
方法一：
．先相位变换，后周期变换，再振幅变换，
函数
图象
定义域
值域
周期性
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
递增区间
递减区间
无
对称中心
对称轴方程
无
方法二：
．先周期变换，后相位变换，再振幅变换．
题型01 五点作图法
五点作图法的解题策略
1.确定五点横坐标：设函数为y = A sin(ωx +φ)+ B（或余弦型），令ωx +φ分别取0、
π
2 、π 、3 π
2 、2π，解出对应的x值，即为五点横坐标。
2.求纵坐标并作图：将横坐标代入函数式，计算出对应纵坐标，得到五个关键点；在坐标
系中描出各点，按三角函数图像趋势平滑连接，完成作图。
1．用“五点法”作y =3sin3 x +1的图象，首先描出的五个点的横坐标是（ ）
A．0，π
2
，π，3 π
2
，2π
B．0，π
4
，π
2
，3 π
4
，π
C．0，π，2π，3 π，4 π
D．0，π
6
，π
3
，π
2
，2π
3
2．用五点法作y =2sin3 x的图象时，首先应描出的五点的横坐标可以是（ ）
A．0,π
2 ,π, 3π
2 ,2π
B．0,π
6 ,π
3 ,π
2 , 2π
3
C．
0,π,2π,3π,4π D．0,π
4 ,π
3 ,π
2 , 2π
3
3．已知函数y =3+2cos x.
实战演练・能力进阶攀高峰
(1)用“五点法”在所给的直角坐标系中画出函数f ( x)的图象；
(2)写出此函数的单调递增区间.
4．用“五点法”作函数f ( x)= A sin(ωx +φ)( A >0,ω>0,−π
2 <φ<π
2 )的图象．
列出下表，
ωx +φ
0
π
2
π
a
2π
x
1
3
b
7
9
f ( x)
0
2
0
c
0
根据表中信息：
(1)请求出A ,ω,φ的值；
(2)请写出表格中a,b,c对应的值；
(3)作出函数y = f ( x)在一个周期内的图象．
题型02 解三角不等式
解三角不等式的解题策略
1.转化为最简三角不等式并求基础解：将不等式化为sin x ≥a（或≤a、cos x、tan x
型），结合对应三角函数图像或单位圆，求出一个周期内的基础解集。
2.结合周期扩广解集：根据三角函数周期（sin x、cos x 周期2π ，tan x周期π），在基
础解集上加上周期的整数倍，写出最终的通解，注意剔除无定义点。
5．设x∈[0,2π)，则不等式组{
sin2 x>sin x
cos2 x>cos x)的解集为（ ）
A．∅
B．(
π
6 ,π
3 )
C．(π, 4π
3 )
D．(
7π
6 , 4π
3 )
6．函数f ( x)=cos(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π
2 )的部分图象如图所示，则2f ( x)>1在区间
(−π,0)上的解集是（ ）
A．(−π
12 ,0)
B．(−3π
4 ,0)
C．(−3π
4 ,−π
12)
D．
(−π,−3π
4 )∪(−π
12 ,0)
7．已知定义域为R 的函数f (x)=
2
x
2
x+a
−1
2
是奇函数．
(1)求实数a 的值；
(2)判断f (x)的单调性（无需证明），并求关于x 的不等式f (sin
2 x)+ f (cos x−1)<0
的解集．
8．已知函数f (x)= 4cos(ωx +φ)(ω>0,0<φ<π)的图象经过
A(x1,4),B(x2,0),C(
π
3 ,−4)三点，且|x1−x2)的最小值为π
4 .
(1)求f (x)的解析式；
(2)求f (x)在[−π
3 ,π
6 )上的值域；
(3)求不等式f (x)>2❑√3的解集.
题型03 求三角函数最小正周期
求三角函数最小正周期的解题策略
1.确定函数最简形式与基本周期：将三角函数化为y = A sin(ωx +φ)+ B、
y = A cos(ωx +φ)+ B或y = A tan(ωx +φ)+ B的最简形式，明确基本周期（正弦、余弦为
2π ，正切为π）。
2.计算最小正周期：根据ω值计算，正弦、余弦型函数最小正周期
T = 2π
|ω| ，正切型为T =
π
|ω| ；若含绝对值等变形，结合图像分析周期，最终确定最小
正周期。
9．函数y =sin(4 x +π
3 )的最小正周期为（ ）
A．4π
B．2π
C．π
2
D．π
4
10．已知函数f ( x)=cos(2ωx −π
6 )的最小正周期为π
5 ，其中ω>0，则ω=（ ）
A．4
B．5
C．8
D．10
11．化简
f ( x )=cos(
6 k +1
3
π+2 x)+cos(
6k −1
3
π−2 x)+2❑√3sin(π
3 +2 x)( x∈R ,k ∈Z)，
并求函数f (x)的最小正周期．
12．求函数y =2cos(x +π
4 )cos(x−π
4 )+ ❑√3sin 2 x的最小正周期．
题型04 求三角函数值域（最值）
求三角函数值域（最值）的解题策略
1.化简函数并确定定义域：将三角函数化为y = A sin(ωx +φ)+ B等最简形式，明确自变量
x的取值范围（定义域），结合定义域确定ωx +φ的取值范围（相位范围）。
2.结合三角函数值域求结果：根据正弦、余弦的值域[−1,1]或正切的值域ℝ，结合
A 、B的符号与大小，计算函数的最值；若有定义域限制，结合相位范围分析单调性求值
域。
13．已知函数f ( x)=cos2 x +sin x−2，则（ ）
A．f (x)的最大值为−1
B．f (x)的最小值为−3
C．f (x)的最大值为−7
8
D．f (x)的最小值为−9
4
14．已知函数f (x)=3cos(ωx +π
6 )(ω>0)的最小正周期为2π
3 ，则f (x)在[−π
6 ,π
6 )上
的最大值为（ ）
A．1
B．3
2
C．2
D．3
15．求下列函数的值域.
(1)y = 3sin x +1
sin x−2
；
(2)y =sin x +1
cos
2 x +2sin x +1
.
16．已知函数f (x)= A sin (ωx +φ)( A >0,ω>0,0<φ<π)的图象如图所示．
(1)求函数f (x)的解析式；
(2)求函数f (x)在[0,2π)上的单调递增区间；
(3)求函数g(x)= f
2(x)−f (x)在区间[−π
6 ,π
6 )上的值域．
题型05 三角函数图像平移/伸缩变换问题
三角函数图像平移/伸缩变换问题的解题策略
1.确定变换顺序与参数：明确原函数（如y =sin x）与目标函数（如y = A sin(ωx +φ)+ B
），按“先平移后伸缩”或“先伸缩后平移”定顺序，提取
A （振幅）、ω（周期）、φ（相位）、B（上下移）参数。
2.分步执行变换：按顺序执行变换，平移时“左加右减”（x 变x ±|φ|/ω，先伸缩时φ
需除以ω），伸缩时横缩ω倍、纵伸A 倍，最后上下移B倍，得到目标图像。
17．要得到函数y =sin(2 x−π
3 )的图象，只需将y =sin2 x的图象（ ）
A．向右平移π
6
个单位
B．向右平移π
3
个单位
C．向左平移π
6
个单位
D．向左平移π
3
个单位
18．如图是函数y = A sin(ωx +φ)( A >0,ω>0, x∈R)在区间[−π
6 , 5 π
6 )
上的图象．为
了得到这个函数的图象，只要将y =sin x( x∈R)的图象上所有的点（ ）
A．向左平移π
3
个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的1
2
倍，纵坐标不
变
B．向左平移π
3
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不
变
C．向左平移π
6
个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的1
2
倍，纵坐标不
变
D．向左平移π
6
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不
变
19．已知函数f ( x)=cos
2(
π
2 +ωx)+ ❑√3sin ωx cosωx −1
9 (ω>0)的最小正周期为π．
(1)求函数f ( x)的解析式；
(2)若先将函数f ( x)的图象向左平移π
12
个单位长度，再将其图象上所有点的横坐标伸
长为原来的2 倍（纵坐标不变），得到函数g( x)的图象，求y = g( x)的解析式.
20．已知函数f (x)= 1
2 sin(2 x−π
6)
．
(1)求函数f (x)的最小正周期、振幅、初相及图象的对称轴方程；
(2)将函数f (x)的图象向右平移π
6
个单位长度，所得图象对应的函数为g(x)，当
x∈[0, 2π
3 )
时，求函数g(x)的值域．
题型06 利用图像求解析式或参数问题
利用图像求解析式或参数问题的解题策略
1.提取图像关键信息：确定函数类型（正弦/余弦型），从图像中找振幅A（最值差一
半）、周期T（相邻最值/零点间距）、上下移B（最值平均值）及特殊点（如零点、顶
点）坐标。
2.计算参数并确定解析式：由T 求ω=2π /T （正切ω= π /T ），将特殊点坐标代入
y = A sin(ωx +φ)+ B等形式，结合图像趋势求φ，验证后确定解析式。
21．已知函数f (x)=sin x−❑√3cos x，如图所示的函数曲线所对应的函数解析式可以为（
）
A．y = f(
1
2 x + 2π
3 )
B．y = f(
1
2 x−π
3 )
C．y = f(2 x + 2π
3 )
D．y = f(2 x−2π
3 )
22．已知函数f (x)= A cos(ωx −π
3 )( A >0,ω>0)的部分图象如图所示（P为图象与x轴
的一个交点，Q为图象的一个最高点），且⃗PQ =(
3π
4 ,1)
，则f (x)的一个对称中心可以
是（ ）
A．(
π
6 ,0)
B．(−π
12 ,0)
C．(−π
6 ,0)
D．(
π
12 ,0)
23．已知函数f (x)= A sin (ωx +φ)(A >0，ω>0，|φ)<π
2 )的部分图象如图所示．
(1)求f (x)的解析式及其图象的对称中心的坐标；
(2)将f (x)图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的1
2
，再将所得图象上的
各点向右平移π
8 个单位长度，得到函数g(x)的图象，求g(x)在区间[0，π
4 )上的值域．
24．已知函数f (x)=sin(ωx +φ)(ω>0,|φ)≤π
2 )的部分图象如图所示.
(1)求f (x)的解析式；
(2)求f (x)的单调递减区间；
(3)求函数g(x)= f (x)+ f(x +π
6 )+ f(x +π
3 )的值域.
题型07 求x1+ x2+...
f
或( x1+ x2+...)问题
求x1+ x2+...或f ( x1+ x2+...)问题的解题策略
1.分析图像对称性与关键点：确定函数解析式及周期、对称中心（正弦/余弦型为零点或最
值点中点）、对称轴，找出x₁,x₂,…对应的图像对称关系或相邻关键点间距。
2.利用性质计算求和或函数值：若求和，根据对称中心得x₁+x₂=2a（a 为对称中心横坐
标），分组求和；若求f(和)，先算和的值，结合周期化简后代入解析式求结果。
25．已知函数f (x)=2sin(ωx +φ)(ω>0,|φ)<π
2 )的图象过点B(0,−❑√3)，且在
(
π
18 ,π
3 )上单调，同时f (x)的图象向左平移π个单位长度后与原来的图象重合，当
x1, x2∈(−4π
3
,−2π
3 )
，且x1≠x2
时，f (x1)= f (x2)，则f (x1+ x2)=（ ）
A．−1
B．−❑√3
C．−2
D．0
26．已知函数f ( x)=sinωx + ❑√3cosωx(ω>0)的最小正周期为π，若存在0< x1< x2，
使得f ( x1)= f ( x2)，则x1+ x2的最小值为（ ）
A．π
6
B．π
3
C．2π
3
D．π
27．已知函数f (x)=sin x + ❑√3cos x．若f (x1)= f (x2)，则（ ）
A．x1−x2=2k π(k ∈Z)
B．x1−x2=2k π或
x1+ x2=2k π+π
3
(k ∈Z)
C．x1+ x2=k π+π
3
(k ∈Z)
D．x1−x2=2k π或
x1+ x2=k π+π
3
(k ∈Z)
28．已知0< x1< x2<2π，cos x1=cos x2=−1
3
，则sin( x1−x2)=（ ）
A．7
9
B．−7
9
C．−4 ❑√2
9
D．4 ❑√2
9
题型08 三角函数图像上点构成图形类问题
三角函数图像上点构成图形类问题的解题策略
1.确定关键点坐标与图形类型：根据三角函数解析式或图像，求出构成图形的关键点（如
顶点、交点、零点）坐标，明确图形形状（三角形、四边形等）及各顶点对应关系。
2.用几何公式结合三角函数性质求解：根据图形类型选对应公式（如三角形面积用底高公
式），结合三角函数周期性、对称性简化计算，代入坐标求出图形的面积、周长等目标
量。
29．已知函数y =sinωx与y =sin(ωx +π
3 )(ω>0)的图象相邻三个交点构成的三角形为
直角三角形，则此三角形面积为（ ）
A．1
3
B．1
2
C．2
D．3
30．将函数f ( x)=sin 2 x的图象向右平移ϕ(0<ϕ<π
2 )个单位得到函数g( x)的图象，以
f ( x),g( x)图象相邻的三个交点为顶点的三角形面积为
❑√3π
2
，则ϕ =（ ）
A．π
12
B．π
6
C．π
3
D．5π
12
31．将函数f (x)=cos2 x的图象向右平移φ(0<φ<π
2 )个单位得到函数g(x)的图象，以
f (x)，g(x)图象相邻的三个交点为顶点的三角形面积为π
2 ，则φ的值为（ ）
A．π
12
B．π
6
C．π
3
D．5π
12
32．若函数y = A sin ωx( A >0,ω>0, x>0)的图像上相邻三个最值点为顶点的三角形是直
角三角形，则A ⋅ω=（ ）
A．4 π
B．2π
C．π
D．π
2
题型09 三角函数单调性/周期性/奇偶性/对称性综合
三角函数单调性/周期性/奇偶性/对称性综合问题的解题策略
1.化简函数为最简形式：利用三角恒等变换公式，将函数化为y = A sin(ωx +φ)+ B、
y = A cos(ωx +φ)+ B或y = A tan(ωx +φ)+ B的标准形式，明确A 、ω、φ、B参数。
2.一分析核心性质：周期性由ω求，正弦/余弦周期T = 2π
|ω| 、正切T =
π
|ω| ；奇偶
性代入−x验证，结合φ判断；单调性解不等式求单调区间；对称性找对称中心和对称轴。
3.结合题干条件关联性质：根据题目要求（如已知单调区间求ω，已知对称性求φ ），建
立性质与参数的关系式，排除不合理解。
4.综合求解并验证：联立关系式求出参数或目标量，代入原函数验证各性质是否符合题
意，确保结果准确。
33．已知函数f (x)=sin(ωx +π
4 )(ω>0)在区间[0,π)上有且仅有4 个极值点，给出下列
四个结论：
①f (x)在区间(0,π)上有且仅有3 个不同的零点；②f (x)的最小正周期可能是π
2
；
③ω的取值范围是(
13
4 , 17
4 )
；④f (x)在区间(
π
23 ,π
19)
上单调递增.
其中正确结论的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
34．已知函数f (x)是定义在R上的奇函数，且对任意的x>0，f (x +2)+2f (x)=0恒成立，
当x∈[0,2)时f (x)=sin πx
2
．若对任意x∈[−m,m)(m>0)，都有|f (x−1))≤2，则m 的
最大值是（ ）
A．7
3
B．10
3
C．4
D．13
3
35．已知函数f (x)=sin x +mcos x．
(1)若m>0且f (x)的最大值为2，求函数y = f (x)在[0,π)上的单调递增区间；
(2)若m=0，已知g(x)= ❑√3 f ( x)f ( x +π
2 )−f (x)f ( x +π)，若关于x的方程
g(x)−m= 1
2在x∈[0,π
2 )时有两解，求实数m 的取值范围；
(3)已知y = f (x)的一条对称轴方程为x =π
6 ，若对于任意α ∈[−2π
3 ,−π
2 ]，在区
间[0,t )上总存在唯一确定的β，使得f (α )+ f ( β −π
6 )=0，求实数t的取值范围．
36．已知函数f ( x)=8sin(ωx +φ)(ω>0, 0<φ<π)的图象经过点A(π
8 ,8), B(m,−8)，
且|m−π
8 )的最小值是π
2 ．
(1)求f ( x)的解析式；
(2)若函数g( x)=[ f ( x)]
2−2af ( x)+a
2−1在[0,π
2 ]上有3 个零点，求实数a的取值
范围．
题型10 三角函数模型与实际问题
三角函数模型与实际问题的解题策略
1. 分析实际问题建立模型：梳理问题中的周期性、最值等关键信息（如潮汐、振动等），
确定函数类型（正弦/余弦型为主），设解析式为y = A sin(ωx +φ)+ B，明确自变量、因
变量及实际意义。
2. 提取数据求模型参数：根据问题给出的最值求A （振幅）和B（平衡位置），由周
期求ω，结合特殊时刻的对应值代入解析式求φ，确定完整三角函数模型。
3. 代入模型求解实际问题：根据题目需求（如求某时刻的量、量满足条件的时刻），代入
模型计算，利用三角函数性质（值域、单调性等）处理，得到数学解。
4. 检验结果并还原实际意义：验证数学解是否符合实际问题的定义域、取值范围等约束条
件，剔除不合理解，将最终结果转化为实际问题的答案并说明。
37．风力发电的原理是利用风力带动风机叶片旋转，当风吹向叶片时驱动风轮转动，风能
转化成动能，进而推动发电机发电．如图，风机由一座塔和三个叶片组成，每两个叶片之
间的夹角均为2π
3
，现有一座风机，叶片旋转轴离地面100m，叶片长40m，叶片每转动一
圈可以获得2 度电量．设风机叶片端点P与地面的距离为H（单位：m），若以点P离地面
最近时开始计算时间，则H与时间t（单位：s）之间的关系式为
H = 40sin(
π
2 t −π
2 )+100．
(1)求点P转动的频率f ；
(2)若每度电收益0.6 元，求该风机工作1 小时的收益；
(3)在转动一圈的过程中，求风机两叶片端点P1, P2距离地面的高度差h（单位：m）
关于时间t的函数解析式，并求高度差h的最大值．
38．主动降噪耳机工作的原理是先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与
噪声振幅相同、相位相反的声波来抵消噪声（如图所示），已知某噪声声波曲线
f (x)＝A sin(
2π
3
x +φ)
( A >0,0≤φ<π)，其振幅为2，且经过点(1,−2).
(1)求该噪声声波曲线f（x）的解析式以及降噪芯片生成的降噪声波曲线g（x）的解析
式；
(2)证明：g( x)+ g( x +1)+ g( x +2)为定值.
39．筒车发明于隋而盛于唐，是山地灌溉中一种古老的提水设备，距今已有1000 多年的历
史，它以水流作动力，取水灌田.如图，为了打造传统农耕文化，某景区的景观筒车直径12
米，有24 个盛水筒均匀分布，分别寓意一年12 个月和24 节气，筒车转一周需48 秒，其
最高点到水面的距离为10 米，每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，盛水筒A（视为质
点）的初始位置P0到水面的距离为7 米.
(1)盛水筒A经过t秒后到水面的距离为h米，求筒车转动一周的过程中，h关于t的函数
解析式；
(2)为了把水引到高处，在筒车中心O正上方距离水面8 米处正中间设置一个宽4 米的
水平盛水槽，筒车受水流冲击转到盛水槽正上方后，把水倒入盛水槽，求盛水筒A转一圈
的过程中，有多长时间能把水倒入盛水槽.（参考数据：sin 2π
5 ≈2❑√2
3
）
40．深圳别称“鹏城”，是中国的窗口，“深圳之光”摩天轮是中国之眼，如图（1），代
表着开拓创新、包容开放的精神，向世界展示着中国自信．摩天轮的半径为6（单位：
10 m），圆心O在水平地面上的射影点为A，摩天轮上任意一点P在水平地面上的射影点都
在直线l上．水平地面上有三个观景点B、C、D，如图（2）所示．在三角形ABC中，
AB = AC，BD =8 DC，∠BAD =90°，BC ∥l，∠OBA = 45°，记OA =a（单位：10 m
）．
(1)在△ABC中，求cos∠ABC的值；
(2)若摩天轮上任意一点P与O点连线与水平正方向所成的角为θ(0≤θ<2π )如图
（3）所示，点P在水平地面上的投影为P0．
①用θ表示P P0，B P0，BP的长；
②因安全因素考虑，观景点B与摩天轮上任意一点P的之间距离不超过❑√239（单位：
10 m），求实数a的取值范围．
1．用“五点法”作y = 1
2 cos x的图象，首先描出的五个点的横坐标是（ ）
A．0，π
2 ，π，3π
2
，2π
B．0，π
4 ，π
2 ，3π
4
，π
C．0，π，2π，3π，4π
题型精析・方法突破提能力
D．0，π
6 ，π
3 ，π
2 ，2π
3
2．已知锐角x满足sin3 x−sin x>0，则x的取值范围为（ ）
A．(0,π
6 )
B．(0,π
4 )
C．(
π
6 ,π
3 )
D．(
π
4 ,π
3 )
3．函数f (x)=cos(
π
2 x +1)的最小正周期为（ ）
A．4
B．4π
C．π
D．1
4．设sin α +sin β = 1
3
，则1
2 cos2α +sin(2π−β)−1
2
的最小值为（ ）
A．−1
12
B．−1
3
C．−13
9
D．−7
3
5．若函数f (x)=sin(2 x +φ)（0<φ<π）向左正移φ个单位后在区间[0,π
2 )上单调递增，
则φ =（ ）
A．π
3
B．π
2
C．π
6
D．2π
3
6．函数y = A sin(ωx +φ)在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式可能是
（ ）
A．y =2sin(2 x +π
4 )
B．y =2sin(2 x−π
4 )
C．y =2sin(x + 3π
8 )
D．y =2sin(
x
2 + 7π
16 )
7．若函数f (x)=3sin ωx + 4 cosωx (ω>0)满足如下条件，
①任意x∈R , f (x)+ f (π+ x)=0，
②存在唯一x0∈(0,π), f (x0)=0，
③存在x1, x2∈(0,π), x1≠x2, f (x1)= f (x2)．
则sin(x1+ x2)的值是（ ）
A．12
25
B．−12
25
C．24
25
D．−24
25
8．已知函数f (x)=2cos(π x +φ)(0<φ<π)的图象关于点(
1
6 ,0)
对称，
|f (x1)−f (x2))= 4(0< x1< x2)，则x1+ x2的最小值为（ ）
A．5
3
B．7
3
C．5
6
D．7
6
9．已知函数f ( x)= 4sin(ωx +φ)(ω>0)的图象如图，点A(
π
6 ,2)，B 在f ( x)的图象上，
过A，B 分别作x 轴的垂线，垂足分别为C，D，若四边形ACBD为平行四边形，且面积为
2π
3 ，则f(
π
18)=（ ）
A．−2
B．−2❑√2
C．−2❑√3
D．−❑√3
10．已知函数f (x)= A sin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ)<π
2 )的图象如图，BC ⊥x轴，
DE⊥x轴，四边形BCDE的面积为4 ,CD =2❑√2，则（ ）
A．A =2,ω=π
2 ,φ=π
3
B．A =2,ω=π
2 ,φ=π
6
C．A = ❑√2,ω=
❑√2
4 π,φ =π
4
D．A = ❑√2,ω=
❑√2
2 π,φ =π
4
11．已知函数f (x)=sin(ωx +π
10)，(ω>0)在区间(0,2π)上恰有5 个零点，在下述四个结
论中：①f (x)在区间(0,2π)有三个极大值点；②f (x)在区间(0,2π)有三个极小值点；③
f (x)在区间(0,π
10)
一定单调递增；④ω的取值范围是[
49
20 , 59
20)
．所有正确的结论的个数
是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
12 已知函数f ( x)=cos(2 x−π
3)
．
(1)填写下表，并用“五点法”画出f ( x)在[0,π ]上的图象；
2 x−π
3
−π
3
π
2
π
3 π
2
5 π
3
x
0
π
6
5 π
12
2π
3
11π
12
π
f ( x)
1
2
1
0
−1
1
2
(2)将f (x)的图象上所有点的横坐标扩大为原来的2 倍，纵坐标不变，再向左平移π
2
个
单位长度，得到g(x)的图象，求g(x)> 1
2
的解集．
13．已知函数f ( x)=cos( x−π
6 )+cos( x +π
6 )+sin x +a的最大值为1.
(1)求实数a；
(2)求使f ( x)≥0成立的x的取值集合.
14．求下列函数的周期．
(1)y =sin(π
3 −2 x)+cos2 x；
(2)f ( x)=2sin x
2 +3cos x
3 , x∈R．
15．已知函数f ( x)=sin(ωx −3π
4 )(0<ω≤2)的图象向左平移π个单位长度后与原来的
图象重合．
(1)若x∈[
2025π
4
,507π)
，求f ( x)的值域；
(2)求函数g( x)=[ f ( x)]
2−2f ( x)+1的值域．
16．已知直线x =π
6 和x = 2π
3
是函数f (x)=sin (ωx +φ)(ω>0,0<φ<π)图像两条相邻的
对称轴．
(1)求f (x)的解析式和单调区间；
(2)保持f (x)图像上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的1
a
(a>0)倍，得到函数
y = g(x)的图像．若g(x)在区间(0,π)恰有两个极值点，求a的取值范围．
17．已知函数f (x)= A sin (ωx +φ)（其中A >0,ω>0,|φ)<π
2
）的部分图象如图所示，将
函数f ( x)的图象向右平移π
4
个单位长度，得到函数g( x)的图象．
(1)求f ( x)与g( x)的解析式；
(2)求方程g( x)= ❑√2在区间(0,2π)内的所有实数解的和．
18．已知函数f (x)=sin(ωx +φ)(ω>0,π
2 <φ<π),f (0)=
❑√3
2 ，且对任意x1, x2，若
|f (x1)−f (x2))=1，则|x1−x2)的最小值为π
6 .
(1)求ω和φ；
(2)求图像y = f (x)与y =cos x(sin x + ❑√3cos x)在[0,10π)上的交点个数.
19．直径为8m 的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面2m，已知水轮沿逆时针方向匀速旋
转，每分钟转动6 圈，当水轮上点P从水中浮现时（图中点P0）开始计算时间．
(1)将点P距离水面的高度h(m)表示为时间t(s)的函数；
(2)在水轮转动的一圈内，有多长时间点P在水面下？
20．如图所示，摩天轮的半径为40m，O 点距地面的高度为50m，摩天轮按逆时针方向作
匀速转动，且每4min 转一圈，摩天轮上点P 的起始位置在最高点．
(1)试确定点P 距离地面的高度h（单位：m）关于旋转时间t（单位：min）的函数关
系式；
(2)在摩天轮转动一圈内，有多长时间P 点距离地面超过70m？
