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重难点培优03 柯西不等式与权方和不等式
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01 知识重构・重难梳理固根基..........................................................................................................1
02 题型精研・技巧通法提能力..........................................................................................................3
题型一 二维柯西不等式直接使用（★★★★）........................................................................................3
题型二 二维柯西不等式变式型（★★★★★）........................................................................................5
题型三 二维柯西不等式三角型（★★★）................................................................................................8
题型四 三维（多维）柯西不等式（★★★★★） ................................................................................10
题型五 权方和不等式基本型（★★★★）..............................................................................................13
题型六 权方和不等式的推广型（★★★★★）......................................................................................15
题型七 权方和不等式三角型（★★★）..................................................................................................16
03 实战检测・分层突破验成效........................................................................................................17
检测Ⅰ组 重难知识巩固..............................................................................................................................17
检测Ⅱ组 创新能力提升..............................................................................................................................25
一、柯西不等式
1、二维形式的柯西不等式
2、二维形式的柯西不等式的变式
3. 扩展：
，当且仅当
时，等号成立.
注：有条件要用；没有条件，创造条件也要用.比如，对
，并不是不等式的形状，但变成
就可以用柯西不等式了.
二、权方和不等式
权方和不等式：若
，则
，当且仅当
时，等号成立.
证明1：
要证
只需证
即证
故只要证
，当且仅当
时，等号成立
即
，当且仅当
时，等号成立.
证明2：对柯西不等式变形，易得
在
时，就有了
当
时，等号成立．
推广1：
当
时，等号成立．
推广:2：若
，则
，当
时，等号成立.
推广3：若
，则
，当
时，等
号成立.
题型一 二维柯西不等式直接使用
【技巧通法·提分快招】
1、二维形式的柯西不等式
2、记忆方法：口诀：平和城，城和平
平：平方
城：同“乘”，相乘的意思
1．（24-25 高三下·河北·期中）柯西不等式是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在
数学分析中有广泛的应用．二维柯西不等式为
，当且仅当
时等号成立．
已知
，直线
与曲线
相切，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】首先根据函数的导数求出切点横坐标，再结合切点在函数图象和直线上得到
与
的关系，然后
对所求式子进行变形，利用柯西不等式来求解最值即可.
【详解】设直线
与曲线
相切的切点为
，
由
得
，则
，即
，
则
，得
，
所以
，代入
得
，
因为
，所以
，
因为
，
所以
，当且仅当
，即
等号成立.
故选：B.
2．已知
，
，
，则
的最大值是 .
【答案】2
【分析】利用柯西不等式即可求解
【详解】由柯西不等式得
所以
，当
, 即
时等号成立.
所以
，即
的最大值是2
3．
中角
，
，
所对的边分别为
，
，，已知
，
为
的点，且
，
，
则
的最大值为
【答案】
【分析】根据在
中根据
互补，余弦和为0，由余弦定理可得
，再结
合柯西不等式或者利用三角换元方法求得.
【详解】
由
得
，即
，
解法一：柯西不等式法
由柯西不等式可得
，得
，
当且仅当
时，等号成立.
故
的最大值为
.
解法二：三角换元方法
，
，
最大值为
.
故答案为：
.
题型二 二维柯西不等式变式型
1．
的最小值为 ．
【答案】
/
【分析】运用Aczel 不等式即可解.
【详解】
当且仅当
即
时取等号，
故
的最小值为
．
故答案为：
.
2．若不等式
对任意正实数x，y 都成立，则实数k 的最小值为 .
【答案】
/
【分析】运用柯西不等式进行求解即可.
【详解】由柯西不等式的变形可知
，整理得
，
当且仅当
，即
时等号成立，
则k 的最小值为
.
故答案为：
3．（24-25 高三上·辽宁·月考）已知空间向量
，若
，在
上的正投影数量分别为1 和3，且
，则与
所成角余弦的最大值等于 .
【答案】
【分析】由向量垂直得到
，由投影得到
，表达出与
所成角余弦值，利用柯
西不等式求出最值，得到答案.
【详解】因为
，所以
，
其中
，故
，
，
则与
所成角余弦值为
，
由柯西不等式得
，当且仅当
时，等号成立，
故
，
所以与
所成角余弦的最大值为
.
故答案为：
【点睛】柯西不等式：
，当且仅当
时，等号成立.
4．（2024·北京朝阳·模拟预测）函数
的最大值为（ ）
A．1
B．
C．2
D．
【答案】C
【分析】由柯西不等式求解即可.
【详解】
，由
，解得
，
当
时，
，当
，
，
当
，则
，
此时
且
，
由柯西不等式可得
，
当且仅当
，即
时取等号，此时
，即
，
所以函数
的最大值为2.
故选：C.
5．（23-24 高三上·上海奉贤·期中）对于平面曲线S 上任意一点P 和曲线T 上任意一点Q，称
的最小
值为曲线S 与曲线T 的距离.已知曲线
和曲线
，则曲线S 与曲线T 的距离为
（ ）
A．
B．
C．
D．2
【答案】A
【分析】先根据距离公式算出
，然后利用柯西不等式
代入求解即可.
【详解】解：由题意得：
设
则
根据柯西不等式：
于是
于是
令
，则
故
故
故选：A
题型三 二维柯西不等式三角型
1．（2024·浙江·一模）若
，则
的最小值是（ ）
A．0
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先把已知整理成
的形式，再把等式的右边利用柯西不等式进
行放缩，得到关于
的一元二次不等式进行求解.
【详解】由已知
整理得
，
由柯西不等式得
，
当
时取等号，
所以
，即
，
解得
，所以
的最小值为
.
故选：C．
2．
的最小值为 .
【答案】
/
【分析】
，进而利用权方和不等式可求最小
值.
【详解】
，
当且仅当
，即
，
时取等号，
所以
的最小值为
.
故答案为：
.
3．（2025·浙江杭州·模拟预测）已知
面积为1，边
上的中线为
，且
，则
边
的最小值为 ．
【答案】
【分析】设
，
，
，由三角形面积公式得到
，再由余弦定理得
到
，令
，得到
，结合柯西不等式进而可求解.
【详解】设
，
易知
为
的重心，
又
，由重心为中线三等分点可得：
，
同时
，
设
，
，
则
，
则
，
所以
，
由余弦定理可得：
，
令
，求其最小值即可，
上式化简可得：
，
也即
当且仅当
时取得等号，
所以
，
故答案为：
题型四 三维（多维）柯西不等式
【技巧通法·提分快招】
，当且仅当
时，等号成立.
1．柯西不等式的三元形式如下：对实数
和
，有
，当且仅当
等号成立，已知
，请
你用柯西不等式，求出
的最大值是（ ）
A．14
B．12
C．10
D．8
【答案】A
【分析】根据柯西不等式的三元形式，构造
求解即可.
【详解】因为
，
根据题目中柯西不等式的三元形式可知
，
所以
，
当且仅当
，即
时等号成立，
所以
的最大值是
，
故选：A
2．已知a，b，
，满足
，则
的最大值为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．6
【答案】B
【分析】根据柯西不等式的等号成立条件，即可求出
的最大值.
【详解】设
，
，
，可得
，
所以
．
因为
，
所以
，
当且仅当
，
取得最大值6，
此时
，
所以
的最大值为
．
故选：B.
3．（23-24 高三上·陕西咸阳·月考）若
）（n 为偶数），则
的最小值为（ ）
A．25
B．8
C．
D．
【答案】C
【分析】利用柯西不等式求解.
【详解】由柯西不等式，得
，
∴
，
∴
，
当
且
时，
即
，且
与
异号时，
，
则
的最小值为
.
选：C.
4．（2024 高二下·北京·竞赛）对于
，若非零实数
满足
，且使
最大，则
的最小值为 .
【答案】
【分析】根据等式先配方出平方和
，再利用柯西不等式，凑出
，以等号成立的条件
为依据，把
转化为一个变量的函数，求最值即可.
【详解】因为
，所以
，
由柯西不等式得，
，
当
最大时，有
，所以
，
，
所以
，
当
，即
时，上式取得最小值
.
故答案为：
.
【点睛】关键点点睛：本题考查柯西不等式，关键在于用柯西不等式凑出
，当反推柯西不等式时，
需要结合不等式两边已有的式子，对相同未知数的系数进行分析配凑.
5．（24-25 高三上·上海杨浦·期末）已知平面向量
，
，满足
，
，
且
．
记平面向量
在
，
方向上的数量投影分别为
，
，向量
在方向上的数量投影为
，则对任意满
足条件的向量，代数式
的最小值是 ．
【答案】
/0.4
【分析】设
，由平面向量的知识可得
，再结合柯西不等式即
可得解.
【详解】令
，因为
，故
，
，
令
平面向量
在
方向上的投影分别为
，
设
，则：
，
从而：
，故
由柯西不等式可得
化简得
，当且仅当
，
即
时取等号，故
的最小值为
．
故答案为：
6．（2024·四川成都·模拟预测）已知
，且
．
(1)求
的最小值m；
(2)证明：
．
【答案】(1)4
(2)证明见解析
【分析】（1）将等式变形为
，再利用基本不等式，
（2）对已知条件
两边同除
可得
，再利用柯西不等式求证.
【详解】（1）由均值不等式可知
，即
，（当且仅当
时，“=”成立）.
整理得
，故
的最小值为4．
（2）由（1）知
，即证
，由
可得
，
即有
，
由柯西不等式可知
，
取等条件为
，即
．故
，
即：
得证.
题型五 权方和不等式基本型
【技巧通法·提分快招】
1、很多题目是不会直接可以利用权方和不等式解决的，需要进行一定的配凑与变形.
2、权方和不等式的特征是分子的幂指数比分母的幂指数大1，用于“知和求和型”快速求最值，本质还是
代数式常数化.另外，一定要验证等号成立条件.
1．则函数
的最小值为（ ）
A．16
B．25
C．36
D．49
【详解】因为
，
，
，
，则
，当且仅当
时等号成立，
又
，即
，于是得
，
当且仅当
，即
时取“=”，
所以函数的
最小值为49．故选：D
2．（24-25 高三下·辽宁葫芦岛·月考）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有
很广泛的应用，其表述如下：设
，
，
，
，则
，当且仅当
时等号成立.根
据权方和不等式，函数
的最小值为（ ）
A．39
B．52
C．49
D．36
【答案】B
【分析】根据权方和不等式的定义，将函数
变形为：
，再根据权方和不等式求
出最小值即可.
【详解】因为
，
因为
，所以
，
，
根据权方和不等式有：
，
当且仅当
时，即
时等号成立.
所以函数
的最小值为
.
故选：B
【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据权方和不等式定义将函数解析式变形，从而利用权方和不等式求
最值.
3．已知a＞0，b＞0，且
，则
的最小值是____.
【详解】：
；当
，即
时，等号成立.
4．已知x>0，y>0，且
，则x+2y 的最小值为 .
【答案】
【详解】
权方和不等式：
，
，
所以
，当且仅当
时取等号.
故答案为：
．
题型六 权方和不等式的推广型
1．已知
且
，a，b，c 为常数，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．前三个答案都不对
【答案】D
【分析】利用柯西不等式可求最小值.
【详解】根据柯西不等式，有
，
等号当
时取得，因此所求最小值为
．
故选：D.
2．已知正数
，
，
满足
，则
的最小值为
【答案】
【分析】根据权方和不等式可得解.
【详解】因为正数
，
满足
，
所以
，
当且仅当
即
时取等号.
故答案为：
.
3．已知
，求
的最小值为
【答案】
【分析】应用权方和不等式即可求解.
【详解】
当且仅当
时取等号
故答案为：60
题型七 权方和不等式三角型
1．函数
的最小值是 .
【答案】9
【详解】由
，
当
时，等号成立.
所以函数
的最小值是9.
故答案为：9.
2．已知正实数
、
且满足
，求
的最小值 .
【答案】
【分析】设
，
，
，由权方和不等式计算可得.
【详解】设
，
，
，
由权方和不等式，可知
，
当且仅当
，即
，
时取等号，
所以
的最小值为
.
故答案为：
3．（2024·四川·模拟预测）“权方和不等式”是由湖南理工大学杨克昌教授于上世纪80 年代初命名的．
其具体内容为：设
，则
，当
且仅当
时，等号成立．根据权方和不等式，若
，当
取得最小值
时，
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由给定的权方和不等式定义处理即可.
【详解】由题意得，
，
则
，
当且仅当
，即
时等号成立，所以
．
故选：C．
检测Ⅰ组 重难知识巩固
1．实数
，
，
，
满足
，
，那么
的最大值为（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据柯西不得式
，直接计算结果.
【详解】由柯西不等式
等号成立的条件是
，
所以
的最大值是
.
故选：B
【点睛】本题考查柯西不等式，考查计算能力，属于基础题型.
2．实数x、y 满足
，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．3
D．4
【答案】A
【分析】由
得
，运用柯西不等式有
，进而得解.
【详解】解：
实数x、y 满足
，
，
，
，
当且仅当
时取等号，
的最小值是
.
故选：A.
【点睛】考查柯西不等式的应用，基础题.
3．已知a，
，
，则
的最大值为（ ）
A．18
B．9
C．
D．
【答案】C
【分析】利用柯西不等式，即可求出
的最大值.
【详解】由题意，
，
当且仅当
时等号成立，
当
，
时，
故
的最大值为
.
故选：C.
【点睛】本题考查了函数的最值，考查柯西不等式的运用，正确运用柯西不等式是关键.属于较易题.
4．若实数
，则
的最小值为（ ）
A．14
B．
C．29
D．
【答案】B
【分析】直接利用柯西不等式得到答案.
【详解】根据柯西不等式：
，即
，
当且仅当
，
，
时等号成立.
故选：B.
【点睛】本题考查了柯西不等式，意在考查学生对于柯西不等式的应用能力.
5．柯西不等式最初是由大数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的.而后来有两
位数学家Buniakowsky 和Schwarz 彼此独立地在积分学中推而广之，才能将这一不等式应用到近乎完善的
地步.该不等式的三元形式如下：对实数
和
，有
等号成立当且仅当
已知
，请你用
柯西不等式，求出
的最大值是（ ）
A．14
B．12
C．10
D．8
【答案】A
【分析】利用柯西不等式求出即可.
【详解】由题干中柯西不等式可得
，
所以
的最大值为
，当且仅当
时取等号.
故选：A
6．（23-24 高三下·山东烟台·月考）已知空间向量
，
，且
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．2
D．4
【答案】B
【分析】由空间向量的坐标表示计算
，然后由柯西不等式求解即可.
【详解】因为
，
所以
，
当且仅当
时等号成立，即
时等号成立.
所以
，所以
的最小值为
.
故选：B
7．（23-24 高三上·山西晋中·月考）已知
是直角三角形三边，是斜边且
.且
的最小值为.如图，在三棱锥
中，
，
两两垂直，
，则平面
与平
面
所成角的夹角的正弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由柯西不等式结合题目条件可得
，后取
中点为D，连接AD，OD，则
为平面
与平面
所成角，即可得答案.
【详解】
，由柯西不等式，
，
当且仅当
时取等号，故
.
取
中点为D，连接AD，OD.
因
,
两两垂直，
，
则
，
，
.
则
为平面
与平面
所成角，则
.
故选：C
8．已知正实数
满足
，则
的最小值为
．
【答案】
/0.5
【详解】由柯西不等式知
，
且
，所以
，
且当
时取到等号．
故答案为：
.
9．已知a，b，c 为正实数，且满足
，则
的最小值为 .
【答案】2
【分析】直接根据权和不等式即可得结果.
【详解】由权方和不等式，可知
=
=
，
当且仅当
时等号成立，
所以
的最小值为2.
故答案为：2.
10．已知实数
满足：
，则
的最小值为 .
【答案】2
【分析】本题解法较多，具体可考虑采用距离问题、柯西不等式法，判别式法，整体换元法，三角换元法
进行求解，具体求解过程见解析
补充知识：二元柯西不等式
已知两组数
；
，则
已知两组数
；
，则
所以
，所以
.
11．（23-24 高三上·安徽·月考）为提高学生的数学核心素养和学习数学的兴趣，学校在高一年级开设了
《数学探究与发现》选修课．在某次主题是“向量与不等式”的课上，学生甲运用平面向量的数量积知识
证明了著名的柯西不等式（二维）；当向量
时，有
，即
，当且仅当
时等号成立；学生乙从这个结论出发．作一个代数
变换，得到了一个新不等式：
，当且仅当
时等号成立，并取名
为“类柯西不等式”．根据前面的结论可知：当
时，
的最小值是 ．
【答案】
【分析】根据不等式
构造不等式左侧
求解即可.
【详解】由题意得
，
则
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
即
，则
，
所以
，最小值为
，此时
．
故答案为：
.
12．（2024·河南信阳·模拟预测）已知正数
满足
，则
的最小值为 .
【答案】
【分析】根据分离常量法可得
，结合权方和不等式计算可得
，即
，即可求解.
【详解】
，
，
所以
，
当且仅当
即
时等号成立，
所以
，得
，
所以
或
（舍去），
即
的最小值为
.
故答案为：
13．（24-25 高三上·陕西西安·月考）已知
，
，则
的最小值为 ．
【答案】10
【分析】利用已知条件将
，化简为
，然后利用柯西不等式求解最
小值即可．
【详解】由
,得
所以
当且仅当
,即
时,等号成立,
故
的最小值为10.
故答案为：10.
【点睛】关键点点睛：结合条件特点,将目标函数转化为满足柯西不等式的形式,从而利用柯西不等式
,当且仅当
时,等号成立)求最小值,技巧性较强.
14．已知
为锐角，则
的最小值为 .
【答案】
【分析】利用权方和不等式：
求解.
【详解】
当且仅当
即
，
时取“
”.
故答案为：
15．（23-24 高三下·江苏苏州·开学考试）设角
、
均为锐角，则
的范围是
．
【答案】
【分析】由
将函数化为
，结合三角函
数的性质求出函数的最小值，再由柯西不等式求出函数的最大值，即可得出答案.
【详解】因为角
、
均为锐角，所以
的范围均为
，
所以
，
所以
因为
，
所以
，
，
当且仅当
时取等，
令
，
，
，
所以
.
则
的范围是：
.
故答案为：
检测Ⅱ组 创新能力提升
1．已知
，且
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．1
【答案】D
【分析】令
，则原不等式等价于
，应用柯西不等式得
，再两次应用基本不等式求
的最小值，注意最小值的取值
条件.
【详解】令
，即
，则
，
当且仅当
时等号成立，
又
，
当且仅当
且
，即
时等号成立，
综上，
，即
，
当
时等号成立.
故选：D
【点睛】关键点点睛：令
，应用柯西不等式求得
，再利用基本不
等式求
的最值即可.
2．已知
，
，则
的最小值为 .
【答案】9
【分析】根据柯西不等式求解最小值即可.
【详解】∵
∴
,当且仅当
时等号成立，即
，
∵
，当且仅当
时等号成立，可取
故答案为：9
3．（23-24 高三上·河北衡水·期末）若⊙C：
，⊙D：
，M，N 分
别为⊙C，⊙D 上一动点，
最小值为4，则
取值范围为 ．
【答案】
【分析】先根据
的最小值求出
，即
，再使用柯西不等式求出取值范围.
【详解】由于
最小值为4，圆C 的半径为1，圆D 的半径为2，故两圆圆心距离
，
即
，
由柯西不等式得：
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
即
，解得：
.
故答案为：
4．（2024·河北邯郸·模拟预测）柯西是一位伟大的法国数学家，许多数学定理和结论都以他的名字命名，
柯西不等式就是其中之一，它在数学的众多分支中有精彩应用，柯西不等式的一般形式为：设
，
，
，
…，
，
，
，
，…，
，
，当且仅当
（
）或存在一个数
，使得
（
）时，等号成立.
(1)请你写出柯西不等式的二元形式；
(2)设
是棱长为
的正四面体
内的任意一点，点
到四个面的距离分别为
、
、
、
，求
的最小值；
(3)已知正数数列
满足：①存在
，使得
（
）；②对任意正整数、
（
），均
有
.求证：对任意
，
，恒有
.
【答案】(1)答案见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）利用柯西不等式的定义，写出
时的形式；
（2）由体积法求出
，构造柯西不等式求
的最小值；
（3）
时，由
，有
，由柯西不等
式得
，进而可得
.
【详解】（1）柯西不等式的二元形式为：
设
，则
，
当且仅当
时等号成立.
（2）由正四面体
的体积
，
将正四面体
放入到棱长为为正方体
中，
则
,
得
，所以
，
又由柯西不等式得
，
所以
，
当且仅当
时等号成立.
所以
的最小值为
.
（3）对
，记
是
的一个排列，
且满足
,
由条件②得：
.
于是，对任意的
，
都有
，
由柯西不等式得
，
所以
，
从而，对任意
，
，恒有
，
因为对任意
，
，
，
所以，对任意
，
，恒有
，
