北京曲一线图书策划有限公司 22版 《5年高考3年模拟 B
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第七章 不等式
§7.1 不等式及其解法
— 五年高考 —
考点1 不等式的概念和性质
1.(多选题)(2020新高考Ⅰ,11,5分)已知a>0,b>0,且a+b=1,则 ( )
1 1
A.a2+b2≥ B.2a-b>
2 2
C.log a+log b≥-2 D.√a+√b≤√2
2 2
答案 ABD
2.(2018天津文,5,5分)已知a=log
3
7,b=(1)
3
1 ,c=lo
g
1,则a,b,c的大小关系为 ( )
2 4 1 5
3
A.a>b>c B.b>a>c
C.c>b>a D.c>a>b
答案 D
3.(2017山东理,7,5分)若a>b>0,且ab=1,则下列不等式成立的是 ( )
1 b b 1
A.a+ < <log (a+b) B. <log (a+b)<a+
b 2a 2 2a 2 b
1 b 1 b
C.a+ <log (a+b)< D.log (a+b)<a+ <
b 2 2a 2 b 2a
答案 B
4.(2019北京理,14,5分)李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、
西瓜、桃,价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量,李明对这四种水
果进行促销:一次购买水果的总价达到120元,顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后,
李明会得到支付款的80%.
①当x=10时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,需要支付 元;
②在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x的最大值
为 .
答案 ①130 ②15
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以下为教师用书专用(1—3)
1.(2019课标Ⅰ理,4,5分)
古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是√5-1
2
√5-1≈0.618,称为黄金分割比例 ,著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外,最美人体的头顶至
2
√5-1
咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 .若某人满足上述两个黄金分割比例,且腿长
2
为105 cm,头顶至脖子下端的长度为26 cm,则其身高可能是( )
A.165 cm B.175 cm C.185 cm D.190 cm
答案 B 本题主要考查学生的数学应用意识、抽象概括能力、运算求解能力,以及方程思
想;考查的核心素养为数学抽象、数学建模以及数学运算.
由人体特征可知,头顶至咽喉的长度应小于头顶至脖子下端的长度,故咽喉至肚脐的长度应小
26 26+42
于 ≈42 cm,可得到此人的身高应小于26+42+ ≈178 cm;
0.618 0.618
同理,肚脐至足底的长度应大于腿长105 cm,故此人的身高应大于105+105×0.618≈170 cm,
结合选项可知,只有B选项符合题意,故选B.
一题多解 用线段代替人,如图.
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a c √5-1 { b>105,
已知 = = ≈0.618,c<26,b>105,c+d=a,设此人身高为h cm,则a+b=h,由
b d 2 a≈0.618b
⇒a>64.89,
{ c<26,
由 ⇒d<42.07,
c≈0.618d
所以c+d<26+42.07=68.07,即a<68.07,
{a<68.07,
由 ⇒b<110.15,
a≈0.618b
整理可得64.89+105<a+b<68.07+110.15,
即169.89<h<178.22(单位:cm).故选B.
2.(2015浙江文,6,5分)有三个房间需要粉刷,粉刷方案要求:每个房间只用一种颜色,且三个房
间颜色各不相同.已知三个房间的粉刷面积(单位:m2)分别为x,y,z,且x<y<z,三种颜色涂料的粉
刷费用(单位:元/m2)分别为a,b,c,且a<b<c.在不同的方案中,最低的总费用(单位:元)是 ( )
A.ax+by+cz B.az+by+cx
C.ay+bz+cx D.ay+bx+cz
答案 B 用粉刷费用最低的涂料粉刷面积最大的房间,且用粉刷费用最高的涂料粉刷面积
最小的房间,这样所需总费用最低,最低总费用为(az+by+cx)元,故选B.
3.(2015北京文,10,5分)2-3, 1,log 5三个数中最大的数是 .
32 2
答案 log 5
2
1 1
解析 ∵2-3= <1,1< <2,log 5 >2,
8
32 2
∴这三个数中最大的数为log 5.
2
考点2 不等式的解法
1.(2020浙江,9,4分)已知a,b∈R且ab≠0,对于任意x≥0均有(x-a)(x-b)(x-2a-b)≥0,则 ( )
A.a<0 B.a>0 C.b<0 D.b>0
答案 C
2.(2019天津文,10,5分)设x∈R,使不等式3x2+x-2<0成立的x的取值范围为 .
答案 ( 2)
-1,
3
以下为教师用书专用(1—7)
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{x(x+2)>0,
1.(2014大纲全国文,3,5分)不等式组 的解集为 ( )
|x|<1
A.{x|-2<x<-1} B.{x|-1<x<0}
C.{x|0<x<1} D.{x|x>1}
答案 C 由x(x+2)>0得x>0或x<-2;
由|x|<1得-1<x<1,
所以不等式组的解集为{x|0<x<1},
故选C.
2.(2014浙江文,7,5分)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,且0<f(-1)=f(-2)=f(-3)≤3,则 ( )
A.c≤3 B.3<c≤6
C.6<c≤9 D.c>9
答案 C 由0<f(-1)=f(-2)=f(-3)≤3,得
0<-1+a-b+c=-8+4a-2b+c=-27+9a-3b+c≤3,
由-1+a-b+c=-8+4a-2b+c,得3a-b-7=0①,
由-1+a-b+c=-27+9a-3b+c,得4a-b-13=0②,
由①②,解得a=6,b=11,
∴0<c-6≤3,即6<c≤9,故选C.
3.(2013重庆,7,5分)关于x的不等式x2-2ax-8a2<0(a>0)的解集为(x,x),且x-x=15,则a= (
1 2 2 1
)
5 7 15 15
A. B. C. D.
2 2 4 2
答案 A 解法一:∵不等式x2-2ax-8a2<0的解集为(x,x),∴x,x 是方程x2-2ax-8a2=0的两根.
1 2 1 2
{x +x =2a,
由根与系数的关系知 1 2
x x =-8a2,
1 2
∴x-x= = =15,
2 1 √(x +x )2-4x x √(2a)2-4(-8a2)
1 2 1 2
5
又∵a>0,∴a= ,故选A.
2
解法二:由x2-2ax-8a2<0,得(x+2a)(x-4a)<0,∵a>0,
∴不等式x2-2ax-8a2<0的解集为(-2a,4a),
又∵不等式x2-2ax-8a2<0的解集为(x,x),
1 2
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∴x=-2a,x=4a.
1 2
∵x-x=15,∴4a-(-2a)=15,
2 1
5
解得a= ,故选A.
2
4.(2015江苏,7,5分)不等式 <4的解集为 .
2x2-x
答案 {x|-1<x<2}
解析 不等式 <4可转化为 <22,利用指数函数y=2x的性质可得,x2-x<2,解得-1<x<2,故
2x2-x 2x2-x
所求解集为{x|-1<x<2}.
5.(2015广东,11,5分)不等式-x2-3x+4>0的解集为 .(用区间表示)
答案 (-4,1)
解析 不等式-x2-3x+4>0等价于x2+3x-4<0,解得-4<x<1.
6.(2014湖南文,13,5分)若关于x的不等式|ax-2|<3的解集为 x -5<x<1 ,则a= .
3 3
答案 -3
解析 依题意,知a≠0.|ax-2|<3⇔-3<ax-2<3⇔-1<ax<5,当a>0时,不等式的解集为( 1 5),
- ,
a a
5 1
{ = ,
从而有 a 3 此方程组无解.
1 5
- =- ,
a 3
当a<0时,不等式的解集为(5 1),
,-
a a
5 5
{ =- ,
从而有 a 3 解得a=-3.
1 1
- = ,
a 3
7.(2013广东理,9,5分)不等式x2+x-2<0的解集为 .
答案 {x|-2<x<1}
解析 x2+x-2=(x+2)(x-1)<0,解得-2<x<1,故不等式的解集是{x|-2<x<1}.
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— 三年模拟 —
A组 考点基础题组
考点1 不等式的概念和性质
1.(2019福建厦门一模,4)已知a>b>0,x=a+beb,y=b+aea,z=b+aeb,则 ( )
A.x<z<y B.z<x<y C.z<y<x D.y<z<x
答案 A
2.(2021上海杨浦一模,13)设a>b>0,c≠0,则下列不等式恒成立的是 ( )
1 1 c c
A. > B.ac2>bc2 C.ac>bc D. <
a b a b
答案 B
3.(多选题)(2020海南三模,9)设a,b,c为实数且a>b,则下列不等式一定成立的是 ( )
1 1
A. > B.2 020a-b>1
a b
C.ln a>ln b D.a(c2+1)>b(c2+1)
答案 BD
考点2 不等式的解法
1.(2021湖北4月调研,5)下列对不等关系的判断,正确的是 ( )
1 1 |a| |b|
A.若 < ,则a3>b3 B.若 > ,则2a<2b
a b a2 b2
C.若ln a2>ln b2,则2|a|>2|b| D.若tan a>tan b,则a>b
答案 C
2.(2020山东全真模拟,5)若不等式ax2+bx+c>0的解集是(-4,1),则不等式b(x2-1)+a(x+3)+c>0的
解集为 ( )
A.( 4 ) B.(-∞,1)∪(4 )
- ,1 ,+∞
3 3
C.(-1,4) D.(-∞,-2)∪(1,+∞)
答案 A
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2
3.(2021河北石家庄一模,4)“a>2”是“a+ >3”的( )
a
A.充要条件 B.必要不充分条件
C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 C
4.(多选题)(2021山东枣庄二模,9)已知a>0,b>0,a+b2=1,则( )
5 1 √a √3
A.a+b< B.a-b>-1 C.√a·b≤ D. ≥-
4 2 b-2 3
答案 BCD
B组 综合应用题组
时间 : 20 分钟 分值 : 35 分
一、单项选择题(每小题5分,共25分)
1.(2020广东佛山质检一,2)已知x,y∈R,且x>y>0,则 ( )
A.cos x-cos y>0 B.cos x+cos y>0
C.ln x-ln y>0 D.ln x+ln y>0
答案 C
2.(2021广东揭阳4月联考,8)已知函数f(x)的定义域为R,满足f(x)=f(2-x),且对任意1≤x<x 均
1 2
有(x-x)·[f(x)-f(x)]<0成立,则满足f(2x-1)-f(3-x)≥0的x的取值范围是 ( )
1 2 1 2
A.(-∞,-2)∪[2 ) B.(-∞,0)∪[4 )
,+∞ ,+∞
3 3
C.[ 2] D.[ 4]
-2, 0,
3 3
答案 D
3.(2020重庆巴蜀中学月考,7)已知实数a>b>0,则下列不等关系中错误的是 ( )
b b+4 a+b lga+lgb
A. < B.lg >
a a+4 2 2
1 1
C.a+ >b+ D.√a-√b>√a-b
b a
答案 D
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4.(2020山东泰安一中月考,6)设m为实数,若函数f(x)=x2-mx+2在区间(-∞,2)上是减函数,对任
意的x,x∈[ m ],总有|f(x)-f(x)|≤4,则m的取值范围为 ( )
1 2 1, +1 1 2
2
A.[4,6] B.(4,6) C.(4,6] D.[4,6)
答案 A
a c
5.(2021浙江绍兴一模,10)已知a,b,c∈R,若关于x的不等式0≤x+ +b≤ -1的解集为
x x
[x,x]∪{x}(x>x>x>0),则 ( )
1 2 3 3 2 1
A.不存在有序数组(a,b,c),使得x-x=1
2 1
B.存在唯一有序数组(a,b,c),使得x-x=1
2 1
C.有且只有两组有序数组(a,b,c),使得x-x=1
2 1
D.存在无穷多组有序数组(a,b,c),使得x-x=1
2 1
答案 D
二、多项选择题(共5分)
6.(2021山东烟台一模,9)若0<a<b<1,c>1,则 ( )
A.ca<cb B.bac<abc
b-a b
C. < D.log c<log c
c-a c a b
答案 ABC
三、填空题(共5分)
7.(2020江苏扬州江都大桥高级中学月考,15)已知1+2x+4x·a>0对一切x∈(-∞,1]恒成立,则实数
a的取值范围是 .
答案 ( 3 )
- ,+∞
4
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— 一年原创 —
1.(2021 5·3原创题)下列命题中真命题的个数为 ( )
3 2 3 g
①√e> ②ln π< ③ln 3< ④20.1>log
3
2>lo 1e
2 3 e 3
A.0 B.1 C.2 D.3
答案 D
2.(2021 5·3原创题)已知函数f(x)={|x|-1,x≤1, 则满足f(x)+f(x+1)>1的x的取值范围为
log x+2,x>1,
2
( )
A.x<-2或x≥0 B.x>-2
C.x<-2或x>0 D.-2<x<0
答案 C
3.(2021 5·3原创题)若关于x的不等式3mx2-2|x|+m≥0的解集为R,则实数m的取值范围是
.
答案 [√3 )
,+∞
3
4.(2021 5·3原创题)已知函数f(x)=2x+k·2-x为奇函数,若关于x的不等式f( -1)+f(1-2ax-2)<0
4ax2-2x
只有一个整数解,则实数a的取值范围为 .
答案 [1,2)
5.(2021 5·3原创题)设函数f(x)=x2-2mx+2m,g(x)=mx-2m,m∈R.
(1)当m>0时,对任意x,x∈[-2,0],恒有f(x)>-mg(x),求m的取值范围;
1 2 1 2
(2)若存在x∈R,使得f(x)+g(x)<0与f(x)·g(x)>0同时成立,求m的取值范围.
0 0 0 0 0
解析 (1)f(x)=x2-2mx+2m图象的对称轴为直线x=m,因为m>0,所以f(x)在[-2,0]上单调递减,
所以在区间[-2,0]上, f(x) =f(0)=2m.
min
因为-mg(x)=-m2x+2m2在[-2,0]上单调递减,
所以在区间[-2,0]上,[-mg(x)] =-mg(-2)=4m2.
max
由题意可知,在区间[-2,0]上, f(x) >[-mg(x)] ,
min max
所以2m>4m2,
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又m>0,故0<m<1,故m的取值范围为( 1).
0,
2 2
(2)由f(x)+g(x)<0与f(x)·g(x)>0同时成立,
0 0 0 0
得f(x)<0且g(x)<0.
0 0
①若m=0,则g(x)=0,不合题意,舍去.
②若m<0,则由g(x)<0可得x>2.
原题可转化为在区间(2,+∞)上存在x,使得f(x)<0,
0 0
因为f(x)=x2-2mx+2m图象的对称轴为直线x=m(m<0),
所以f(x)在(2,+∞)上单调递增,
所以f(2)<0,可得m>2,不合题意.
③若m>0,则由g(x)<0可得x<2.
原题可转化为在区间(-∞,2)上存在x,使得f(x)<0.
0 0
当m≥2时,由f(2)<0,解得m>2;
当0<m<2时,由f(m)<0,
解得m>2或m<0,不合题意.
综上,m>2.故m的取值范围是(2,+∞).
解题思路 (1)分析函数f(x)和g(x)在区间[-2,0]上的单调性,将恒成立问题转化为最值问题,进
而求解实数m的取值范围.
(2)问题转化为存在x,使得f(x)和g(x)同时小于0,由g(2)=0和函数g(x)的单调性,将问题转化
0 0 0
为f(x)的零点问题.
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