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矩形的性质与判定 题集【A】
1. 矩形的性质
【注】：加粗部分是矩形特有的性质
已知四边形
是矩形，图中有4个直角三角形，分别是
有4个等腰三角形，分别是
所以，矩形的有关问题可以转化为等腰三角形和直角三角形（利用勾股定理）来解决
【思考】：
矩形是轴对称图形吗？它有几条对称轴？是中心对称图形吗？
图形
性质
符号表示
矩形
边
对边平行且相等
，
，
角
四个角都是直角
对角线
对角线相等
对角线互相平分
≌
≌
≌
≌
，
≌
1. 如图，矩形
中，
，
，求证：
．
2. 如图，在矩形
中，
，
，
是
上任意一点，且
于
，
于
，则
为（ ）．
2
A.
B.
C.
D. 不能确定
A.
B.
C.
D.
3. 如图，在
中，
，
，
，
是斜边
上一动点，
于
，
于
，
与
相交于点
，则
的最小值为（ ）．
A.
B.
C.
D.
4. 如图，在
中，
，
，
，
为边
上一动点，
于
，
于
，
为
中点，则
的最小值为（ ）．
5. 如图，在矩形
中，
，
为
的中点，点
在
上，且
，则
的度数为 ．
6. 如图，矩形
中，对角线
与
交于
点，
平分
交
于
，
．
求：
的度数．
3
A.
B.
C.
D.
7. 矩形
与
，如图放置，点
，
，
共线，点
，
，
共线．连接
，取
的中点
，连接
．若
，
，则
（ ）．
8. 如图，矩形纸片
中，
，
，折叠纸片使
边与对角线
重合，折痕为
，则
的长为 ．
9. 如图，在矩形
中，
是
边上的中点，将
沿
翻折得到
，连接
．若
，那么
的度数为 ．
2. 直角三角形的性质
由矩形的性质可以推出，
直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
在
中，
，则
．
4
书写：
∵
是直角三角形，
，
，
∴
．
A.
B.
C.
D.
1. 如图，在
中，点
，点
分别是
，
的中点，点
是
上一点，
，
，
，则
（ ）．
2. 如图，在平行四边形
中，
于点
，
为
的中点，
，
，
则
的度数为 ．
3. 矩形的判定
判定1：有一个角是直角的平行四边形是矩形
判定2：对角线相等的平行四边形是矩形
判定3：有三个角是直角的四边形是矩形
【总结】
①证明一个四边形是矩形，一般情况下，先证明它是一个平行四边形，然后证明“一个内角是直角”或
“对角线相等”即可．
②若直接证明一个四边形是矩形，只要证明“三个内角是直角”即可．
③对角线互相平分且相等的四边形是矩形．
1. 如图，
是
的中位线，过点
作
交
的延长线于点
．
5
（1 ）
（2 ）
求证：
．
分别连接
、
，若
，试判断四边形
的形状，并说明理由．
（1 ）
（2 ）
2. 如图，在平行四边形
中，
，过点
作
交
的延长线于点
，连接
交
于点
．
求证：四边形
是矩形．
在平行四边形
中，取
的中点
，连接
，若
，且
，求四边形
的面积．
（1 ）
（2 ）
3. 如图，
，
是
的中点，
，
．
求证：四边形
是矩形．
若
，
，
是
上一点，且
，求
的长．
（1 ）
（2 ）
4. 如图，平行四边形
的对角线
，
相交于点
，
是等边三角形．
求证：四边形
为矩形．
若
，求四边形
的面积．
5. 如图，在
中，
，
是
的中点，
，
．
6
（1 ）
（2 ）
证明：
≌
．
连接
，判断四边形
的形状，并证明．
（1 ）
（2 ）
6. 如图所示，
中，
是
边上一点，
是
的中点，过点
作
的平行线交
的延长线于
，且
，连接
．
求证：
是
的中点．
若
，试判断四边形
的形状，并证明你的结论．
7. 如图，延长矩形
的边
至点
，使
，连接
，如果
，则
度．
8. 如图，在平行四边形
中，
，
为
中点，若
，则
．
9. 在一节数学课上，老师布置了一个任务：
已知，如图，在
中，
，用尺规作图作矩形
．
同学们开动脑筋，想出了很多办法，其中小亮作了图，他向同学们分享了作法：
①分别以点
，
为圆心，大于
长为半径画弧，两弧分别交于点
，
，连接
交
于点
；
②作射线
，在
上取点
，使
；
③连接
，
．
则四边形
就是所求作的矩形．
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老师说：“小亮的作法正确．”
小亮的作图依据是 ．
图
图
