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【第5 讲：函数的概念及其表示】
一．函数的概念及其构成要素（共3 小题）
二．判断两个函数是否为同一函数（共3 小题）
三．简单函数的定义域（共2 小题）
四．复合函数的定义域（共4 小题）
五．抽象函数的定义域（共4 小题）
六．由定义域求解函数或参数（共1 小题）
七．简单函数的值域（共4 小题）
八．复合函数的值域（共7 小题）
九．抽象函数的值域（共2 小题）
十．由值域求解函数或参数（共3 小题）
十一．函数解析式的求解及常用方法（共9 小题）
十二．解析法表示函数（共1 小题）
十三．列表法表示函数（共1 小题）
十四．分段函数的解析式求法及其图象的作法（共2 小题）
【知识点清单】
1．函数的概念及其构成要素
【知识点的认识】
初中函数的定义：
设在某一变化过程中有两个变量x 和y，如果对于每一个x 值，y 都有唯一的值和它对应，那么就说y 是x
的函数，
x 叫自变量，y 叫因变量．
高中函数的定义：
一般地，设A，B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合中A 任意一个数x，在集合
中B
都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称为A→B 从集合A 到集合B 的一个函数，记作 y＝f（x），
x∈A．
其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集
合
{f（x）|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合的子集．
函数的构成要素：定义域、对应关系、值域．
题型梳理
总览
注意：①值域由定义域和对应关系唯一确定；
②f（x）是函数符号，f 表示对应关系，f（x）表示x 对应的函数值，绝对不能理解为f 与x 的乘积．在不
同的函数中f 的具体含义不同，
由以上三个实例可看出对应关系可以是解析式、图象、表格等．函数除了可用符号f（x）表示外，还可用
g（x），F（x）等表示．
2．判断两个函数是否为同一函数
【知识点的认识】函数的构成要素：定义域、对应关系、值域．
所以判断两个函数是不是同一函数，就看定义域和对应法则是否一样．
【解题方法点拨】判断函数是否是同一个函数，一般是同解变形化简函数的表达式，考察两个函数的定义
域是否相同，对应法则是否相同．
【命题方向】高考中以小题出现，选择题与填空题的形式，由于函数涉及知识面广，所以函数是否为相同
函数命题比较少．
3【知识点的认识】
函数的定义域就是使函数有意义的自变量的取值范围．
求解函数定义域的常规方法：
①分母不等于零；
②根式（开偶次方）被开方式≥0；
③对数的真数大于零，以及对数底数大于零且不等于1；
④指数为零时，底数不为零．
⑤实际问题中函数的定义域；
4．复合函数的定义域
【知识点的认识】函数的定义域就是使函数有意义的自变量的取值范围．
求解函数定义域的常规方法：
①分母不等于零；
②根式（开偶次方）被开方式≥0；
③对数的真数大于零，以及对数底数大于零且不等于1；
④指数为零时，底数不为零．
⑤实际问题中函数的定义域；
5．抽象函数的定义域
【知识点的认识】函数的定义域就是使函数有意义的自变量的取值范围．
求解函数定义域的常规方法：
①分母不等于零；
②根式（开偶次方）被开方式≥0；
③对数的真数大于零，以及对数底数大于零且不等于1；
④指数为零时，底数不为零．
⑤实际问题中函数的定义域；
【解题方法点拨】
求函数定义域，一般归结为解不等式组或混合组．
（1）当函数是由解析式给出时，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合．
（2）当函数是由实际问题给出时，其定义域的确定不仅要考虑解析式有意义，还要有实际意义（如长度、
面积必须大于零、人数必须为自然数等）．
（3）若一函数解析式是由几个函数经四则运算得到的，则函数定义域应是同时使这几个函数有意义的不
等式组的解集．若函数定义域为空集，则函数不存在．
（4）抽象函数的定义域：①对在同一对应法则f 下的量“x”“x+a”“x﹣a”所要满足的范围是一样的；
②函数g（x）中的自变量是x，所以求g（x）的定义域应求g（x）中的x 的范围．
6．由定义域求解函数或参数
【知识点的认识】函数的定义域就是使函数有意义的自变量的取值范围．
求解函数定义域的常规方法：
①分母不等于零；
②根式（开偶次方）被开方式≥0；
③对数的真数大于零，以及对数底数大于零且不等于1；
④指数为零时，底数不为零．
⑤实际问题中函数的定义域；
【解题方法点拨】
求函数定义域，一般归结为解不等式组或混合组．
（1）当函数是由解析式给出时，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合．
（2）当函数是由实际问题给出时，其定义域的确定不仅要考虑解析式有意义，还要有实际意义（如长度、
面积必须大于零、人数必须为自然数等）．
（3）若一函数解析式是由几个函数经四则运算得到的，则函数定义域应是同时使这几个函数有意义的不
等式组的解集．若函数定义域为空集，则函数不存在．
（4）抽象函数的定义域：①对在同一对应法则f 下的量“x”“x+a”“x﹣a”所要满足的范围是一样的；
②函数g（x）中的自变量是x，所以求g（x）的定义域应求g（x）中的x 的范围．
7．简单函数的值域
【知识点的认识】函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域．A 是函数的定义域．
【解题方法点拨】
（1）求函数的值域
此类问题主要利用求函数值域的常用方法：配方法、分离变量法、单调性法、图象法、换元法、不等式法
等．
无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域．
（2）函数的综合性题目
此类问题主要考查函数值域、单调性、奇偶性、反函数等一些基本知识相结合的题目．
此类问题要求考生具备较高的数学思维能力和综合分析能力以及较强的运算能力．
在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点，并可以逐渐加强．
（3）运用函数的值域解决实际问题
此类问题关键是把实际问题转化为函数问题，从而利用所学知识去解决．此类题要求考生具有较强的分析
能力和数学建模能力．
【命题方向】常见的题目包括求一次函数、二次函数、分式函数、含绝对值函数、根式函数的值域，以及
结合实际应用题求值域．
8．复合函数的值域
【知识点的认识】函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域．A 是函数的定义域．
【解题方法点拨】
（1）求函数的值域
此类问题主要利用求函数值域的常用方法：配方法、分离变量法、单调性法、图象法、换元法、不等式法
等．
无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域．
（2）函数的综合性题目
此类问题主要考查函数值域、单调性、奇偶性、反函数等一些基本知识相结合的题目．
此类问题要求考生具备较高的数学思维能力和综合分析能力以及较强的运算能力．
在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点，并可以逐渐加强．
（3）运用函数的值域解决实际问题
此类问题关键是把实际问题转化为函数问题，从而利用所学知识去解决．此类题要求考生具有较强的分析
能力和数学建模能力．
9．抽象函数的值域
【知识点的认识】函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域．A 是函数的定义域．
【解题方法点拨】
（1）求函数的值域
此类问题主要利用求函数值域的常用方法：配方法、分离变量法、单调性法、图象法、换元法、不等式法
等．
无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域．
（2）﹣根据函数的表达式或题目给出的条件，找出限制条件．
﹣分析各部分的值域，确定整体的值域．
﹣综合各部分的值域，写出抽象函数的值域．
10．函数解析式的求解及常用方法
【知识点的认识】通过求解函数的解析式中字母的值，得到函数的解析式的过程就是函数的解析式的求解．
求解函数解析式的几种常用方法主要有
1、换元法；2、待定系数法；3、凑配法；4、消元法；5、赋值法等等．
【解题方法点拨】常常利用函数的基本性质，函数的图象特征，例如二次函数的对称轴，函数与坐标轴的
交点等；利用函数的解析式的求解方法求解函数的解析式，有时利用待定系数法．
【命题方向】求解函数解析式是高考重点考查内容之一，在三角函数的解析式中常考．是基础题．
一．函数的概念及其构成要素（共3 小题）
1．已知集合A＝R，B＝（0，+∞），则下列f：A→B 是从集合A 到集合B 的函数的为（ ）
A．f（x）＝lnx
B．f ( x)= ❑√| x|
C．f（x）＝x3
D．f（x）＝3x+1
【考点】函数的概念及其构成要素．
版权所有
【分析】根据题意，利用函数的定义逐一判断即可．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，f（x）＝lnx，定义域为（0，+∞），不等于集合A，不符合题意；
对于B，f（x）= ❑√| x|，其值域为[0，+∞），不是B 的子集，不符合题意；
对于C，f（x）＝x3，其值域为实数集R，不是B 的子集，不符合题意；
对于D，f（x）＝3x+1，其定义域为（1，+∞），是B 的子集，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查函数的定义，涉及函数的定义域和值域，属于基础题．
（多选）2．集合A，B 与对应关系f 如图所示，则f：A→B 是从集合A 到集合B 的函数的是（ ）
A．
B．
知识讲解与常考题型
题型分类
C．
D．
【考点】函数的概念及其构成要素；映射．
版权所有
【分析】根据函数的定义，逐项判断．
【解答】A 选项，根据函数定义，是集合A 到集合B 的函数，
B 选项，集合A 中元素3 在集合B 中没有对应元素，所以B 不对，
C 选项，根据函数定义，是集合A 到集合B 的函数，
D 选项，集合A 中元素5 在集合B 中有2 个对应元素，所以D 不对．
故选：AC．
【点评】本题考查函数的概念，是基础题．
（多选）3．下列能够表示集合A＝{﹣2，0，1}到集合B＝{﹣1，0，1，2，4}的函数关系的是（ ）
A．y＝﹣x
B．y＝|x|
C．y＝﹣2x
D．y＝x2
【考点】函数的概念及其构成要素．
版权所有
【分析】根据函数的概念逐个判断各个选项即可．
【解答】解：对于A，对于集合A＝{﹣2，0，1}中的任意一个元素x，按照对应关系y＝﹣x，在集合B
＝{﹣1，0，1，2，4}中都有唯一一个y 的值与之对应，
所以根据函数的概念可知A 正确；
对于B，对于集合A＝{﹣2，0，1}中的任意一个元素x，按照对应关系y＝|x|，在集合B＝{﹣1，0，1，
2，4}中都有唯一一个y 的值与之对应，
所以根据函数的概念可知B 正确；
对于C，对于集合A＝{﹣2，0，1}中元素1，按照对应关系y＝﹣2x，在集合B＝{﹣1，0，1，2，4}没
有与之对应的y＝﹣2 的值，
所以根据函数的概念可知C 错误；
对于D，对于集合A＝{﹣2，0，1}中的任意一个元素x，按照对应关系y＝x2，在集合B＝{﹣1，0，1，
2，4}中都有唯一一个y 的值与之对应，
所以根据函数的概念可知D 正确．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查了函数的概念，属于基础题．
二．判断两个函数是否为同一函数（共3 小题）
4．下列四组函数中，两个函数表示的是同一个函数的是（ ）
A．y＝2x﹣3 与y＝2x+3
B．y = ❑√x +1⋅❑√x−1与y = ❑√( x +1)( x−1)
C．y＝elnx与y＝x
D．y =
3√x
3与y＝x
【考点】判断两个函数是否为同一函数．
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【分析】根据同一函数的概念逐项判断即可．
【解答】解：对于A，y＝2x﹣3 与y＝2x+3 的解析式不同；
对于B，y = ❑√x +1⋅❑√x−1的定义域为{x|x≥1}，
y = ❑√( x +1)( x−1)的定义域为{x|x≥1 或x≤﹣1}，定义域不相同；
对于C，y＝elnx的定义域为（0，+∞），y＝x 的定义域为R；
对于D，y =
3√x
3= x，二者定义域均为R，解析式也相同，是同一函数．
故选：D．
【点评】本题主要考查了同一函数的判断，属于基础题．
5．下列四组函数中f（x）与g（x）是同一函数的是（ ）
A．f（x）＝x，g（x）= x
2
x
B．f（x）=( 1
2 )
x，g（x）= x
1
2
C．f（x）＝2lgx，g（x）＝lgx2
D．f（x）＝|x|，g（x）={
x( x ≥0)
−x( x＜0))
【考点】判断两个函数是否为同一函数．
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【分析】若两函数是同一函数，则它们的对应法则及定义域都相同，所以通过观察函数解析式或对解析
式变形以及求f（x），g（x）的定义域找出f（x），g（x）对应法则及定义域都相同的选项即可．
【解答】解：A．不是同一函数，定义域不同，f（x）定义域是R，g（x）定义域是{x|x≠0}；
B．不是同一函数，对应法则不同，f（x）是指数函数，g（x）是幂函数；
C．不是同一函数，对应法则不同，f（x）＝2lgx，g（x）＝2lg|x|；
D．是同一函数，f（x）＝|x|，g（x）＝|x|．
故选：D．
【点评】考查由函数的对应法则，和定义域即可确定一个函数，以及函数的对应法则及定义域的概念．
6．下列四组函数中，同组的两个函数是相同函数的是（ ）
A．f（x）＝x 与g（x）=
❑√x
2
B．f（x）= x
2−1
x +1 与g（x）＝x﹣1
C．f（x）＝lgx 与g（x）= 1
2 lg x
2
D．f（x）={
x−1，x ≥1
1−x，x＜1)与g（x）＝|x﹣1|
【考点】判断两个函数是否为同一函数．
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【分析】由两个函数是同一个函数的充要条件，分别判断出所给命题的真假．
【解答】解：A 中，因为f（x）＝x，g（x）=
❑√x
2=|x|，两个函数的对应关系不同，所以这两个函数表
示同一个函数，所以A 不正确；
B 中，f（x）= x
2−1
x +1 =x﹣1，定义域为{x|x≠﹣1}，而g（x）＝x﹣1 的定义域为R，所以这两个函数的
定义域不同，所以这两个函数表示同一个函数，所以B 不正确；
C 中，f（x）＝lgx 的定义域为{x|x＞0}，而g（x）= 1
2 lg x
2的定义域{x|x≠0}，所以这两个函数的定义域
不同，所以表示同一个函数，所以C 不正确；
D 中，因为g（x）＝|x﹣1|={
x−1，x ≥1
1−x，x＜1)，这两个函数的定义域和对应关系都相同，所以这两个函
数为同一个函数，所以D 正确．
故选：D．
【点评】本题考查两个函数是同一个函数的判断，属于基础题．
三．简单函数的定义域（共2 小题）
7．函数f ( x)= ❑√2 x−3+
1
x−2的定义域为（ ）
A．{x| x＞2
3
x
且≠2}
B．{x| x＜2
3
x
且＞2}
C．{x| 3
2 ≤x ≤2}
D．{x| x ≥3
2
x
且≠2}
【考点】简单函数的定义域．
版权所有
【分析】利用函数有意义，列出不等式组求解即得．
【解答】解：由题意可得，有2x﹣3≥0 且x﹣2≠0，
解得x ≥3
2且x≠2，
所以原函数的定义域为{x| x ≥3
2
x
且≠2}．
故选：D．
【点评】本题主要考查了函数定义域的求解，属于基础题．
8．函数f ( x)= log2( x
2−1)+
1
x +2的定义域是（ ）
A．（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，1）∪（1，+∞）
B．（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，﹣1）∪（1，+∞）
C．[﹣2，﹣1）∪（1，+∞）
D．（﹣2，﹣1）∪（1，+∞）
【考点】简单函数的定义域．
版权所有
【分析】由题意可得关于x 的不等式组，求解得答案．
【解答】解：要使函数f ( x)= log2( x
2−1)+
1
x +2有意义，
则{
x
2−1＞0
x +2≠0 )，解得x＜﹣1 或x＞1 且x≠﹣2，
∴函数f ( x)= log2( x
2−1)+
1
x +2的定义域是（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，﹣1）∪（1，+∞）．
故选：B．
【点评】本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．
四．复合函数的定义域（共4 小题）
9．已知函数f ( x)=
1
❑√a x
2−2ax +1
的定义域为R，则实数a 的取值范围为（ ）
A．[0，1]
B．[0，1）
C．（0，1]
D．（0，1）
【考点】复合函数的定义域；一元二次不等式恒成立问题．
版权所有
【分析】根据题意，分类讨论，当a≠0 时，由二次不等式恒成立条件得解．
【解答】解：函数f ( x)=
1
❑√a x
2−2ax +1
的定义域为R，
当a＝0 时，1＞0 恒成立，符合题意；
当a≠0 时，则需{
a＞0
Δ= 4 a
2−4 a＜0)，解得0＜a＜1，
综上，实数a 的取值范围为[0，1）．
故选：B．
【点评】本题主要考查复合函数的定义域，属于基础题．
10．已知函数f ( x)=lo g2(sinx−1
2 )+
❑√4 π
2−x
2，则f（x）的定义域为（ ）
A．(−11π
6 ，−7 π
6 )
B．( π
6 ，5 π
6 )
C．[﹣2π，2π]
D．(−11π
6 ，−7 π
6 )∪( π
6 ，5 π
6 )
【考点】复合函数的定义域．
版权所有
【分析】由题意可得{
sinx −1
2 ＞0
4 π
2−x
2≥0)
，求解即可．
【解答】解：函数f ( x)=lo g2(sinx−1
2 )+
❑√4 π
2−x
2，
则{
sinx −1
2 ＞0
4 π
2−x
2≥0)
，所以{
π
6 +2kπ ＜x＜5 π
6 +2kπ ，k ∈Z
−2π ≤x ≤2π
)
，
所以−11π
6 ＜x＜−7 π
6 或π
6 ＜x＜5 π
6 ，
所以函数f（x）的定义域为(−11π
6 ，−7 π
6 )∪( π
6 ，5 π
6 )．
故选：D．
【点评】本题主要考查复合函数定义域的求解，属于基础题．
11．函数f（x﹣1）的定义域为[0，3]，函数g( x)=
f ( x)
❑√2 x +1，则g（x）的定义域为（ ）
A．(−1
2 ，2)
B．（﹣1，+∞）
C．(−1
2 ，0)∪(0，2)
D．(−1
2 ，2]
【考点】复合函数的定义域．
版权所有
【分析】根据复合函数定义域的性质，结合二次根式的性质及分母不为零进行求解即可．
【解答】解：由函数f（x﹣1）的定义域为[0，3]，可得﹣1≤x﹣1≤2，
∴函数f（x）的定义域为[﹣1，2]，
∴要使函数g( x)=
f ( x)
❑√2 x +1有意义，
则{
−1≤x ≤2
2 x +1＞0)，解得−1
2 ＜x ≤2，
∴函数g( x)=
f ( x)
❑√2 x +1的定义域为(−1
2 ，2]．
故选：D．
【点评】本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．
12．在[0，2π]内函数f ( x)=
❑√sinx−sin
2 x +lg(2cos2 x−1)的定义域是（ ）
A．[0，5 π
6 )
B．( π
3 ，π ]
C．[0，π
6 )∪( 5 π
6 ，π ]
D．[0，π
3 )∪( 2π
3 ，π ]
【考点】复合函数的定义域．
版权所有
【分析】由题意可得函数的定义域满足的不等式组，进而可得函数的定义域．
【解答】解：由题意可得定义域满足的条件：{
sinx−sin
2 x ≥0
2cos2 x−1＞0
x∈[0，2π ] )
，即{
0≤sinx ≤1
cos2 x＞1
2
x∈[0，2π ])
，
可得{
0≤x ≤π
0≤2 x＜π
3 或5 π
3 ＜2 x ≤2π)
，
解得0≤x＜π
6 或5 π
6 ＜x≤π．
所以函数的定义域为[0，π
6 ）∪（5 π
6 ，π]．
故选：C．
【点评】本题考查函数定义域的求法，属于基础题．
五．抽象函数的定义域（共4 小题）
13．若函数f（x）的定义域为[0，8]，则函数g( x)= f (2 x)
❑√x−1的定义域为（ ）
A．（1，16）
B．（1，16]
C．（1，4）
D．（1，4]
【考点】抽象函数的定义域．
版权所有
【分析】根据抽象函数和具体函数的定义域求法，建立不等式组，解之即得．
【解答】解：函数f（x）的定义域为[0，8]，函数g( x)= f (2 x)
❑√x−1有意义，等价于{
0≤2 x ≤8
x−1＞0)，解得1
＜x≤4，
故函数g（x）的定义域为（1，4]．
故选：D．
【点评】本题主要考查抽象函数定义域的解法，属于基础题．
14．已知函数y＝f（x﹣1）的定义域是[﹣1，2]，则y＝f（1﹣3x）的定义域为（ ）
A．[−1
3，0]
B．[−1
3，3]
C．[0，1]
D．[−1
3，1]
【考点】抽象函数的定义域．
版权所有
【分析】由已知结合函数定义域的定义可求．
【解答】解：因为函数y＝f（x﹣1）的定义域是[﹣1，2]，
所以﹣2≤x﹣1≤1，
则y＝f（1﹣3x）中，﹣2≤1﹣3x≤1，
解得0≤x≤1，
故y＝f（1﹣3x）的定义域为[0，1]．
故选：C．
【点评】本题主要考查了函数定义域的求解，属于基础题．
15．已知函数y＝f（2x+1）的定义域为[1，2]，函数y = f (2−x)
x +2
的定义域是
[ ﹣
3 ，﹣
2 ）∪（﹣
2 ，﹣
1]
．
【考点】抽象函数的定义域．
版权所有
【分析】结合抽象函数定义域的解法，即可求解．
【解答】解：函数y＝f（2x+1）的定义域为[1，2]，
则f（x）的定义域为[3，5]，
函数y = f (2−x)
x +2
，
则{
3≤2−x ≤5
x +2≠0 )，解得﹣3≤x＜﹣2 或﹣2＜x≤﹣1，
故所求函数定义域为[﹣3，﹣2）∪（﹣2，﹣1]．
故答案为：[﹣3，﹣2）∪（﹣2，﹣1]．
【点评】本题主要考查抽象函数定义域的求解，属于基础题．
16．若函数f（2x﹣1）的定义域为[﹣1，1]，则函数f（log2x﹣1）的定义域为 [ ❑√2，4 ] ．
【考点】抽象函数的定义域．
版权所有
【分析】由x 的取值范围求出2x﹣1 的取值范围，再令−1
2 ≤lo g2 x−1≤1，求出x 的范围即可．
【解答】解：当x∈[﹣1，1]时2
x∈[ 1
2 ，2]，所以2
x−1∈[−1
2 ，1]，
所以−1
2 ≤lo g2 x−1≤1，则1
2 ≤lo g2 x ≤2，
即lo g2
❑√2≤lo g2 x ≤lo g24，解得❑√2≤x ≤4，
所以函数f（log2x﹣1）的定义域为[ ❑√2，4 ]．
故答案为：[ ❑√2，4 ]．
【点评】本题考查了指数函数和对数函数的单调性，函数定义域的定义及求法，是基础题．
六．由定义域求解函数或参数（共1 小题）
17．已知函数f ( x)=
❑√k x
2−4 x +3的定义域为R，求实数k 的取值范围
[ 4
3 ，+∞） ．
【考点】由定义域求解函数或参数．
版权所有
【分析】根据已知条件，结合二次函数的性质，即可求解．
【解答】解：f ( x)=
❑√k x
2−4 x +3的定义域为R，
则{
k ＞0
(−4)
2−12k ≤0)，解得k ≥4
3 ，
故实数k 的取值范围为[4
3 ，+ ∞）．
故答案为：[4
3 ，+∞）．
【点评】本题主要考查函数的定义域，属于基础题．
七．简单函数的值域（共4 小题）
18．已知函数y ={
(2−m)x +3m，
x＜1
x
2，
x ≥1)的值域为R，则实数m 的取值范围为 [−1
2 ，2) ．
【考点】简单函数的值域．
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【分析】根据x≥1 时，y∈[1，+∞），由值域为R 判断出m＜2，再求出x＜1 时y 的范围，从而
2+2m≥1，解不等式即可．
【解答】解：当x≥1 时，根据二次函数的性质可知，y＝x2∈[1，+∞），
所以2﹣m＞0，即m＜2，
此时x＜1 时，y∈（﹣∞，2﹣m+3m），即y∈（﹣∞，2+2m），
由值域为R 得：2+2m≥1，m≥−1
2，
综上：m∈[−1
2 ，2)，
故答案为：[−1
2 ，2)．
【点评】本题主要考查了分段函数的应用，属于基础题．
19．函数y = x
2−4 x +3
x
2−1
的值域是
{ y | y ≠
1 且
y ≠﹣
1}
．
【考点】简单函数的值域．
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【分析】把已知函数化小数变形，即可求解原函数的值域．
【解答】解：y = x
2−4 x +3
x
2−1
= ( x−1)( x−3)
( x−1)( x +1) = x−3
x +1 （x≠1），
当x＝1 时，y= x−3
x +1 =−1，
而y= x−3
x +1 = x +1−4
x +1
=1−
4
x +1 ≠1．
∴函数y = x
2−4 x +3
x
2−1
的值域是{y|y≠1 且y≠﹣1}．
故答案为：{y|y≠1 且y≠﹣1}．
【点评】本题考查函数的值域及其求法，是基础题．
20．函数f ( x)=
❑√−x
2+2 x +2的值域是 [0，❑√3] ．
【考点】简单函数的值域．
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【分析】可配方求出二次函数y＝﹣x2+2x+2 的值域，然后得解．
【解答】解：﹣x2+2x+2＝﹣（x﹣1）2+3≤3，
∴f（x）的值域为[0，❑√3]．
故答案为：[0，❑√3]．
【点评】本题考查了配方求二次函数值域的方法，是基础题．
21．函数y = x + ❑√x−1的值域为
[1
，
+ ∞）
．
【考点】简单函数的值域．
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【分析】先判断函数的单调性，结合单调性即可求解．
【解答】解：由题意可得，函数定义域为[1，+∞），f（x）在[1，+∞）上单调递增，
故f（x）≥f（1）＝1．
故答案为：[1，+∞）．
【点评】本题主要考查了函数单调性在值域求解中的应用，属于基础题．
八．复合函数的值域（共7 小题）
22．函数f ( x)=(2
x+2
−x)| x|
x
的值域是（ ）
A．[2，+∞）
B．（﹣∞，﹣2]
C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）
D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）
【考点】复合函数的值域．
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【分析】根据函数的定义域分为x＞0 和x＜0 即可求函数的值域．
【解答】解：分母x≠0，故定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），
x＞0 时，此时|x|＝x，故| x|
x
=1，函数简化为f（x）＝2x+2﹣x，
由基本不等式，故2
x+2
−x≥2❑√1=2，当且仅当2x＝2﹣x，即x＝0 时取等号，但x＞0，故等号取不到，
即f（x）＞2，
x＜0 时，此时|x|＝﹣x，故| x|
x
=−1，函数简化为：f（x）＝﹣（2x+2﹣x），
由基本不等式，故2x+2﹣x≥2，当且仅当x＝0 时取等号，但x＜0，故2x+2﹣x＞2，两边乘以﹣1，则﹣
（2x+2﹣x）＜﹣2，
故x＞0 时，f（x）∈（2，+∞），x＜0 时，f（x）∈（﹣∞，﹣2），因此，函数的值域为（﹣∞，﹣
2）∪（2，+∞）．
故选：C．
【点评】本题考查了函数的性质，属于中档题．
23．已知函数f（x）={
a
x+a，x ≥1
−a x
2+2ax−a+3，x＜1)（a＞0 且a≠1），若函数f（x）的值域为R，则实数
a 的取值范围是（ ）
A．（0，2
3]
B．（1，3
2]
C．[2，+∞）
D．[3，+∞）
【考点】复合函数的值域．
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【分析】由题意画出图形，数形结合可得关于a 的不等式组，求解得答案．
【解答】解：∵a＞0，
∴f（x）＝﹣ax2+2ax﹣a+3（x＜1）的图象是开口向下的抛物线的一部分，
且抛物线的对称轴方程为x＝1．
要使函数f（x）的值域为R，则函数f（x）＝ax+a（x≥1）应是单调增函数，
且x＝1 时的函数值应小于等于3，则{
a＞1
2a≤3)，解得1＜a≤3
2．
∴实数a 的取值范围是（1，3
2]．
故选：B．
【点评】本题考查复合函数的值域及其求法，考查分段函数的应用，是中档题．
24．函数f（x）＝lg（ax2+2x﹣1）值域为R 的一个充分不必要条件是（ ）
A．（0，+∞）
B．[0，+∞）
C．[−1
4 ，+∞)
D．[−1
4 ，0)
【考点】复合函数的值域；求对数函数的值域；充分不必要条件的判断．
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【分析】分a＝0 时值域及当a≠0 时结合判别式计算求参，再结合充分不必要条件的定义判断即可．
【解答】解：当a＝0 时，f（x）＝lg（2x﹣1），满足值域为R，成立；
当a≠0 时，要使f（x）的值域为R，应有{
a＞0
Δ= 4+ 4 a≥0)，则a＞0，
综上a≥0 时f（x）的值域为R；
对于A，a∈（0，+∞）是a≥0 的充分不必要条件，满足；
对于B，a∈[0，+∞）是a≥0 的充要条件，不满足；
对于C，a∈[−1
4 ，+ ∞)是a≥0 的必要不充分条件，不满足；
对于D，a∈[−1
4 ，0)是a≥0 的既不充分也不必要条件，不满足．
故选：A．
【点评】本题考查了对数函数的值域和定义域，二次函数的值域，是基础题．
25．函数y = 3
x+1
9
x−3
x 的值域为（ ）
A．（0，+∞）
B．（﹣∞，﹣6]
C．(−∞， −3−2❑√2]∪(0， + ∞)
D．(−∞， 0)∪[3+2❑√2， + ∞)
【考点】复合函数的值域．
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【分析】利用换元法令t＝3x，把函数变形为y =
1
t +1+ 2
t +1 −3，结合基本不等式求解即可；
【解答】解：已知函数y = 3
x+1
9
x−3
x ，
令t＝3x，则t＞0，
则
原
函
数
可
化
为
y = t +1
t
2−t
=
1
t
2−t
t +1
=
1
t
2+t −2t
t +1
=
1
t −2t
t +1
=
1
t −2(t +1)−2
t +1
=
1
t + 2
t +1 −2
=
1
t +1+ 2
t +1 −3，
因为t+1＞1，所以t +1+ 2
t +1 −3≥2❑√2−3，当且仅当t +1= 2
t +1即t = ❑√2−1时取等号，
所以当t +1+ 2
t +1 −3＜0时，y ≤
1
2❑√2−3 =−3−2❑√2，
当t +1+ 2
t +1 −3＞0时，y＞0；
所以函数的值域为(−∞， −3−2❑√2]∪(0， + ∞)．
故选：C．
【点评】本题考查复合函数性质以及值域求解问题，属于中档题．
26．函数f ( x)=lg( 3
2 x+ 4
3
x
−2)的值域为（ ）
A．（2lg2，+∞）
B．（0，+∞）
C．（﹣1，+∞）
D．[lg2，+∞）
【考点】复合函数的值域．
版权所有
【分析】根据复合函数的值域即可求解．
【解答】解：令t＝3x，因为3x＞0 所以t＞0．则3
2 x+ 4
3
x
−2= t
2+ 4
t
−2=t + 4
t −2，
根据均值不等式，对于t＞0，t + 4
t ≥2❑√t × 4
t = 4，当且仅当t = 4
t ，即t＝2 时取等号，
t
所以+ 4
t −2≥4−2=2，
因为函数y＝lgu 在u＞0 时是单调递增函数，而u= 3
2 x+ 4
3
x
−2≥2，
所以lg( 3
2 x+ 4
3
x
−2)≥lg2，即函数f（x）的值域是[lg2，+∞）．
故选：D．
【点评】本题考查了复合函数的值域，属于基础题．
27．已知函数f ( x)={
(5−a)x +3a−2，x＜1
2
x
2−4 x +5+1，x ≥1 )的值域为R，则a 的取值范围是
[0
，
5 ）
．
【考点】复合函数的值域；由值域求解函数或参数．
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【分析】结合一次函数，二次函数，指数函数的性质及分段函数单调性即可求解．
【解答】解：因为f ( x)={
(5−a)x +3a−2，x＜1
2
x
2−4 x +5+1，x ≥1 )的值域为R，
当x≥1 时，x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1≥1，f（x）=2
x
2−4 x +5+1≥3，
若f ( x)={
(5−a)x +3a−2，x＜1
2
x
2−4 x +5+1，x ≥1 )的值域为R，
则{
5−a＞0
5−a+3a−2≥3)，解得0≤a＜5．
故答案为：[0，5）．
【点评】本题主要考查了分段函数性质的应用，属于基础题．
28．已知偶函数f（x）的定义域为R，且f（x+y）＝f（x）+f（y）+2xy，则f（x）的值域为
[0
，
+ ∞）
．
【考点】复合函数的值域．
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【分析】由已知求导函数解析式，即可求解函数f（x）的值域．
【解答】解：令x＝y＝0，得f（0）＝f（0）+f（0），∴f（0）＝0，
令y＝﹣x 代入f（x+y）＝f（x）+f（y）+2xy，
得f（0）＝f（x）+f（﹣x）﹣2x2，
又函数f（x）为偶函数，∴f（x）＝x2，
则f（x）的值域为[0，+∞）．
故答案为：[0，+∞）．
【点评】本题考查函数解析式的求解及常用方法，训练了复合函数值域的求法，是中档题．
九．抽象函数的值域（共2 小题）
29．若函数f（x）的值域为（1，10），则函数g( x)= f ( x)−4 ❑√f ( x)−1的值域为（ ）
A．[﹣3，﹣2）
B．（﹣3，﹣2）
C．[﹣3，1）
D．（﹣3，1）
【考点】抽象函数的值域．
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【分析】令t = ❑√f ( x)−1，通过换元法将g（x）表示为（t﹣2）2﹣3，然后根据二次函数的性质求解出
g（x）的值域．
【解答】解：根据题意可知，令t = ❑√f ( x)−1，得t∈（0，3），f（x）＝t2+1，则g（x）＝h（t）＝t2﹣
4t+1＝（t﹣2）2﹣3，
∴h（t）min＝h（2）＝﹣3，对称轴t＝2，开口向上且|0﹣2|＞|3﹣2|，∴h（t）＜h（0）＝1，
∴函数g（x）的值域为[﹣3，1）．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的性质，属于基础题．
（多选）30．定义在R 上的函数f（x）的值域为（﹣∞，0），且f（2x）+f（x+y）f（x﹣y）＝0，则（
）
A．f（0）＝﹣1
B．f（4）+[f（1）]2＝0
C．f（x）f（﹣x）＝1
D．f（x）+f（﹣x）≤﹣2
【考点】抽象函数的值域．
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【分析】由已知，利用赋值法分别检验各选项即可判断．
【解答】解：令x＝y＝0，则f（0）+f2（0）＝0，
∵函数f（x）的值域为（﹣∞，0），
∴f（0）＝﹣1，选项A 正确；
令x＝1，y＝0，则f（2）＝﹣[f（1）]2，
令x＝2，y＝0，则f（4）＝﹣[f（2）]2＝﹣[f（1）]4，选项B 错误；
令x＝0，则f（0）+f（y）f（﹣y）＝0，
∴f（y）f（﹣y）＝﹣f（0）＝1，即f（x）f（﹣x）＝1，选项C 正确；
∵﹣f（x）＞0，﹣f（﹣x）＞0，
∴f（x）+f（﹣x）＝﹣[﹣f（x）+（﹣f（﹣x））]≤﹣2，当且仅当f（x）＝f（﹣x）时取等号，
∴f（x）+f（﹣x）≤﹣2，故选项D 正确．
故选：ACD．
【点评】本题主要考查了赋值法在函数求值中的应用，属于中档题．
十．由值域求解函数或参数（共3 小题）
31．若函数f ( x)={
x +1，x ≤0
lo ga( x +2)，x＞0)的值域为R，则实数a 的取值范围是（ ）
A．（1，2]
B．[2，+∞）
C．（0，1）
D．（0，1）∪（1，2]
【考点】由值域求解函数或参数．
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【分析】先求出当x≤0 时，f（x）的值域为（﹣∞，1]，分析出要使f（x）的值域为R，必须让x＞0 时，
f（x）的值域取到[1，+∞）的所有值，然后分a＞1 和0＜a＜1 两种情况分别求出f（x）的值域即可得
解．
【解答】解：因为f ( x)={
x +1，x ≤0
lo ga( x +2)，x＞0)，
当x≤0 时，f（x）＝x+1 的值域为（﹣∞，1]，又f（x）的值域为R，
所以当x＞0 时，f（x）＝loga（x+2）的值域需取到[1，+∞）的所有值，
若a＞1，则f（x）＝loga（x+2），x＞0 的值域为（loga2，+∞），
所以只须loga2≤1，解得a≥2，
所以当a∈（1，2]时，f（x）的值域为R；
若0＜a＜1，则f（x）＝loga（x+2），x＞0 的值域为（﹣∞，loga2），
此时f（x）的值域不可能取到[1，+∞）的所有值，
综合可得实数a 的取值范围是[2，+∞）．
故选：B．
【点评】本题考查分段函数的应用，属中档题．
32．已知函数f ( x)={
2
x+1，x ≤m，
lo g2( x +1)，m＜x ≤15)的值域是（1，4]，则实数m 的取值范围是（ ）
A．（0，log23]
B．（1，log23]
C．[1，log23]
D．[log23，2]
【考点】由值域求解函数或参数；分段函数的应用．
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【分析】首先说明函数的单调性，求出函数在各段的取值范围，依题意可得{
2
m+1≤4
lo g2(m+1)≥1)，解得即
可．
【解答】解：因为f ( x)={
2
x+1，x ≤m
lo g2( x +1)，m＜x ≤15)，
所以f（x）在（﹣∞，m]上单调递增，且在（m，15]上单调递增，
当x≤m 时，f（x）∈（1，2m+1]，当m＜x≤15 时，f（x）∈（log2（m+1），4]，
因为f（x）的值域是（1，4]，所以{
2
m+1≤4
lo g2(m+1)≥1)，
解得1≤m≤log23，即实数m 的取值范围是[1，log23]．
故选：C．
【点评】本题考查了函数的单调性，属于中档题．
33．已知函数f ( x)={
2 x
x−1 ，x＜1
2
x−lo g2(a
2−3a+3)，x ≥1)
的值域为R，则实数a 的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，1]
B．[1，2]
C．[2，+∞）
D．（﹣∞，1]∪[2，+∞）
【考点】由值域求解函数或参数．
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【分析】先分析x＜1 时函数的值域，再根据值域为R 的条件，确定x≥1 时函数的取值范围，进而得出
关于a 的不等式求解．
【解答】解：当x＜1 时，f ( x)= 2 x
x−1 = 2( x−1)+2
x−1
=2+
2
x−1，
因为x＜1，则x﹣1＜0，
1
x−1 ＜0，所以
2
x−1 ＜0，f ( x)=2+
2
x−1 ＜2，
因为函数f（x）的值域为R，所以当x≥1 时，f ( x)=2
x−lo g2(a
2−3a+3)的值域要包含[2，+∞），
y＝2x在[1，+∞）上单调递增，则y＝2x≥21＝2，
f（x）min＝f（1）＝2﹣log2（a2﹣3a+3），因为函数f（x）的值域为R，
则f（x）min≤2，即2﹣log2（a2﹣3a+3）≤2，
则log2（a2﹣3a+3）≥0，所以a2﹣3a+3≥1，
解得a≤1 或a≥2．
所以a 的取值范围为（﹣∞，1]∪[2，+∞）．
故选：D．
【点评】本题考查了函数的值域，属于基础题．
十一．函数解析式的求解及常用方法（共9 小题）
34．已知f ( x + 1
x )= x
2+ 1
x
2 + 4，则f（x）＝（ ）
A．x2+2
B．x2﹣2
C．x + 1
x (| x|≥2)
D．x2+2（|x|≥2）
【考点】函数解析式的求解及常用方法．
版权所有
【分析】利用换元法设t = x + 1
x ，|t|≥2，即可求解．
【解答】解：设t = x + 1
x ，当x＞0 时，t≥2，当x＜0 时，t≤﹣2，所以|t|≥2，
由f ( x + 1
x )=( x + 1
x ）2+2，得f（t）＝t2+2，|t|≥2，
所以f（x）＝x2+2，|x|≥2．
故选：D．
【点评】本题考查函数解析式的求法，属于基础题．
35．如图所示的“心形”图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”图形在x 轴上方的图象对应的函
数解析式可能为（ ）
A．y =
❑√−x
2+2| x|
B．y = x
❑√4−x
2
C．y =| x|
❑√4−x
2
D．y =
❑√−x
2+2 x
【考点】函数解析式的求解及常用方法；函数的图象与图象的变换．
版权所有
【分析】根据奇偶性和最值排除错误答案即可．
【解答】解：A
选项：易知y =
❑√−x
2+2| x|为偶函数，当
x≥0
时，
y =
❑√−x
2+2| x|=
❑√−x
2+2 x =
❑√−( x−1)
2+1，
此函数在（0，1）上单调递增，在（1，2）上单调递减，且f（0）＝0，f（1）＝1，f（2）＝0，故A 正
确；
B 选项：记f ( x)= x
❑√4−x
2，则f (−x)=−x
❑√4−x
2=−f ( x)，故B 错误；
C 选项：y |x =1= ❑√3＞1，故C 错误；
D 选项：记g( x)=
❑√−x
2+2 x，则g(−x)=
❑√−x
2−2 x≠−g( x)，故D 错误．
故选：A．
【点评】本题主要考查函数解析式的求解及常用方法，考查运算求解能力，属于中档题．
36．令函数h（x）＝2lnx+3，再定义g( x)=ℎ( x)+ℎ( 1
x )，函数f（x）满足f ( x)+ f ( 1
x )= g( x)，
f ( x)−f ( 1
x )=−[ℎ( x)−ℎ( 1
x )]，则g（e）•f（e）＝（ ）
A．3
B．6
C．9
D．18
【考点】函数解析式的求解及常用方法．
版权所有
【分析】根据题意可求得g（x）＝6，再利用构造方程组法求出f（x）即可．
【解答】解：因为函数h（x）＝2lnx+3，
所以g（x）＝h（x）+h（1
x ）＝2lnx+3+2ln1
x +3＝2lnx+3﹣2lnx+3＝6，
所以f（x）+f（1
x ）＝6 ①，
f（x）﹣f（1
x ）=−[ℎ( x)−ℎ( 1
x )]=−（2lnx+3﹣2ln1
x −3）＝﹣4lnx ②，
①+②得，2f（x）＝6﹣4lnx，
所以f（x）＝3﹣2lnx，
所以f（e）＝3﹣2lne＝1，
所以g（e）•f（e）＝6×1＝6．
故选：B．
【点评】本题主要考查了函数的解析式，属于基础题．
37．定义在R 上的奇函数f（x）和偶函数g（x）满足f（x）+g（x）＝lg（10x+1），则g（x）的最小值为
（ ）
A．2
B．1
2
C．2lg2
D．lg2
【考点】函数解析式的求解及常用方法；函数的最值．
版权所有
【分析】由已知结合函数奇偶性的定义求出g（x），然后结合基本不等式即可求解．
【解答】解：定义在R 上的奇函数f（x）和偶函数g（x）满足f（x）+g（x）＝lg（10x+1），
所以f（﹣x）+g（﹣x）＝﹣f（x）+g（x）＝lg（10﹣x+1），
解得g（x）= 1
2lg（2+10x+10﹣x）≥1
2lg（2+2❑√10
x⋅10
−x）＝lg2，当x＝0 时取等号．
故选：D．
【点评】本题主要考查了函数的奇偶性在函数解析式求解中的应用，还考查了基本不等式求解最值，属
于基础题．
38．已知函数f（2x+1）＝3x﹣1，则f（2）＝（ ）
A．﹣3
B．﹣1
C．2
D．5
【考点】函数解析式的求解及常用方法；函数的值．
版权所有
【分析】根据题意，将x＝0 代入f（2x+1）＝3x﹣1，计算可得答案．
【解答】解：根据题意，函数f（2x+1）＝3x﹣1，
令x＝0，可得f（1+1）＝0﹣1＝﹣1，即f（2）＝﹣1．
故选：B．
【点评】本题考查函数值的计算，注意特殊值法的应用，属于基础题．
39．函数f（x）满足若f（g（x））＝9x+3，g（x）＝3x+1，则f（x）＝（ ）
A．f（x）＝3x
B．f（x）＝3
C．f（x）＝27x+10
D．f（x）＝27x+12
【考点】函数解析式的求解及常用方法；函数的值．
版权所有
【分析】对f（g（x））的式子适当变形，即可直接求出f（x）．
【解答】解：因为f（g（x））＝9x+3，g（x）＝3x+1，
所以f（3x+1）＝9x+3＝3（3x+1），则f（x）＝3x
.故选：A．
【点评】本题考查求函数解析式，属于基础题．
40．写出同时满足下面三个条件的一个函数解析式f（x）＝ lo g1
2
x（答案不唯一） ．
①f（x）的定义域为（0，+∞）；②f（xy）＝f（x）+f（y）；③f（x）在区间（0，+∞）上单调递
减．
【考点】函数解析式的求解及常用方法．
版权所有
【分析】根据题意找到满足三个条件的函数即可．
【解答】解：取f ( x)=lo g1
2
x，定义域为（0，+∞），
f ( xy)=lo g1
2
( xy)=lo g1
2
x +lo g1
2
y =f（x）+f（y），
f ( x)=lo g1
2
x在区间（0，+∞）上单调递减，
故f ( x)=lo g1
2
x满足题意．
故答案为：lo g1
2
x（答案不唯一）．
【点评】本题主要考查了函数性质在函数解析式求解中的应用，属于基础题．
41．已知函数f（x）是奇函数，当x＜0 时，f（x）＝x2+2x，则当x＞0 时，f（x）的解析式为
2 x ﹣
x 2
．
【考点】函数解析式的求解及常用方法；函数的奇偶性．
版权所有
【分析】由已知结合奇函数的定义即可求解．
【解答】解：因为函数f（x）是奇函数，当x＜0 时，f（x）＝x2+2x，
则当x＞0 时，﹣x＜0，f（﹣x）＝x2﹣2x＝﹣f（x），
所以f（x）＝2x﹣x2．
故答案为：f（x）＝2x﹣x2．
【点评】本题主要考查了奇函数的定义在函数解析式求解中的应用，属于基础题．
42．求下列函数的解析式：
（1）已知函数f（x﹣1）＝x2﹣4x，求函数f（x）的解析式；
（2）已知f（x）是二次函数，且满足f（0）＝1，f（x+1）﹣f（x）＝2x，求f（x）．
【考点】函数解析式的求解及常用方法．
版权所有
【分析】（1）利用换元法进行求解；
（2）利用待定系数法求解．
【解答】解：（1）因为f（x﹣1）＝x2﹣4x，
令x﹣1＝t，则x＝t+1，
所以f（t）＝（t+1）2﹣4（t+1）＝t2﹣2t﹣3，
即f（x）＝x2﹣2x﹣3．
（2）设f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），
由f（0）＝1，得c＝1，
由f（x+1）﹣f（x）＝2x，
得a（x+1）2+b（x+1）+1﹣ax2﹣bx﹣1＝2x，
整理得2ax+a+b＝2x，
所以{
2a=2
a+b=0)，所以a＝1，b＝﹣1，
所以f（x）＝x2﹣x+1．
【点评】本题主要考查了换元法及待定系数求解函数解析式，属于基础题．
十二．解析法表示函数（共1 小题）
43．给定函数f（x）＝x+3，g（x）＝（x+1）2，x∈R．
（1）在同一坐标系中画出函数f（x），g（x）的图像，
（2）若min{a，b}表示a，b 中的较小者，例如min{2，1}＝1．记m（x）＝min{f（x），g（x）}．
（i）请分别用图像法和解析法表示函数m（x），并指出函数m（x）的单调区间，
（ii）当x∈[−5
2 ，−1
2 ]时，求m（x）的最大值和最小值．
【考点】解析法表示函数．
版权所有
【分析】（1）根据函数的解析式，直接利用一次函数、二次函数的图象作法来画图，可得答案；
（2）（i）利用（1）作出的图象求解，可得答案；
（ii）结合图象求出m(−5
2 )，m(−2)，m(−1)，m(−1
2 )，再比较它们的大小，可求出m（x）的最
大值和最小值．
【解答】解：（1）函数f（x）＝x+3，g（x）＝（x+1）2图象如下：
（2）（i）由（x+1）2＝x+3，得x2+x﹣2＝0，解得x＝﹣2 或x＝1，
结合题意，可知：m( x)={
x +3，x＜−2
( x +1)
2，−2≤x ≤1
x +3，x＞1 )
，
因此，m（x）的图象如下：
由图象可知：m（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣2）和（﹣1，+∞），单调递减区间为（﹣2，﹣
1）；
（ii）因为x∈[−5
2 ，−1
2 ]，结合图象可知m（x）在x∈[−5
2 ，−1
2 ]上连续，
且m(−5
2 )=−5
2 +3= 1
2，m（﹣2）＝﹣2+3＝1，m（﹣1）＝（﹣1+1）2＝0，m(−1
2 )=(−1
2 +1)
2
= 1
4
，
所以[m（x）]min＝0，[m（x）]max＝1，
【点评】本题主要考查了函数的图象作法、一次函数与二次函数的单调性与最值等知识，属于基础题．
十三．列表法表示函数（共1 小题）
44．函数f（x）的数据如表，则该函数的解析式可能形如（ ）
x
﹣2
﹣1
0
1
2
3
5
f（x）
2.3
1.1
0.7
1.1
2.3
5.9
49.1
A．f（x）＝ka|x|+b
B．f（x）＝kxex+b
C．f（x）＝k|x|+b
D．f（x）＝k（x﹣1）2+b
【考点】列表法表示函数．
版权所有
【分析】由函数f（x）的数据即可得出答案．
【解答】解：由函数f（x）的数据可知，函数f（﹣2）＝f（2），f（﹣1）＝f（1），
偶函数满足此性质，可排除B，D；
当x＞0 时，由函数f（x）的数据可知，函数f（x）增长越来越快，可排除C．
故选：A．
【点评】本题主要考查了函数性质在函数解析式求解中的应用，属于基础题．
十四．分段函数的解析式求法及其图象的作法（共2 小题）
45．若f（x）={
f ( x +2)，x＜1
log2 x，x ≥1 )，则f（﹣2）的值为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．﹣2
【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的值．
版权所有
【分析】利用函数的解析式知道当x＜1 时是以2 周期的周期函数，故f（﹣2）＝f（2），再代入函数解
析式即得
【解答】解：∵f（x）={
f ( x +2)，x＜1
log2 x，x ≥1 )
∴当x＜1 时，f（﹣2）＝f（0）＝f（2），
∴当x＝2 时即f（2）＝log22＝1
故选：B．
【点评】本题主要考查了分段函数的应用，但解题的关键在于根据x＜1 时的函数的周期性将f（﹣2）
转化成为f（2），属于基础题．
46．若函数f ( x)={
4lo g2( x−1)，x＞1，
2f ( x +2)，x ≤1，)则f（﹣1）＝（ ）
A．2
B．4
C．6
D．16
【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；对数函数的定义．
版权所有
【分析】利用对数的运算性质求解．
【解答】解：∵函数f ( x)={
4lo g2( x−1)，x＞1
2f ( x +2)，x ≤1 )，
∴f（﹣1）＝2f（1）＝4f（3）＝4×4log22＝16．
故选：D．
【点评】本题主要考查了对数的运算性质，属于基础题．
一、单选题
1．下列表示函数图象的是（ ）
课后针对训练
A．
B．
C．
D．
2．已知函数
的定义域为R，且
，若
，则
（ ）
A．－2024
B．－2023
C．4049
D．4050
3．已知函数
的定义域为
，则函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．下列四组函数中表示同一个函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知函数
若
存在最小值，则的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
6．已知
，则
．
7．函数
的定义域为 ．
8．（1）若函数
的定义域为
，则函数
的定义域为 ；
（2）若函数
的定义域为
，则函数
的定义域为 ．
9．已知函数
，若当
时，
，则
的最大值是 ．
10．已知符号函数
，
，若
，则实数a 的取值范
围是 ．
11．已知函数
的最小值为
，则
的取值范围为 .
12．已知函数
，当
时，
的值域是 ；若
且
，使得
成立，则实数
的取值范围为 .
三、解答题
13．求下列函数的值域：
(1)
；
(2)
．
(3)
．
14．求函数
的值域．
15．求函数
的值域．
16．求函数
的值域．
17．求函数
的最大值、最小值.
18．已知二次函数
满足：对任意
，均有
，且
，求
的解析
式．
19．已知
，求
的解析式．
20．已知
，求
的解析式．
参考答案
题号
1
2
3
4
5
答案
C
B
B
C
A
1．C
【分析】根据函数的定义对图象一一判断即可.
【详解】在函数的基本概念中，自变量
和因变量
需要一一对应，且对于每个
值，仅有一个
值对应，
所以选项ABD 均不符合.
故选：C.
2．B
【分析】令
可得
，利用
即可求解.
【详解】令
，可得
，即
，
所以
．
故选：B．
3．B
【分析】先求出
的定义域，再结合
，从而可求解.
【详解】由函数
的定义域为
，
有意义，则得
，解得
，
有意义，需满足
且
，即
且
，
所以函数
的定义域为
.
故选：B.
4．C
【分析】比较两个函数的定义域和解析式是否相等，判断即可。
【详解】对于A：
的定义域为
的定义域为
，
A 中两个函数不表示同一个函数；
对于B：
两个函数的对应关系不一致，
中两个函数不表示同一个函数；
对于C：
与
，解析式相同，且两个函数的定义域均为
，
中两个函数表示
同一个函数；
对于D：
两个函数的定义域不一致，
中两个函数不表示同一个
函数；
故答案为：C。
【点睛】考查同一个函数的判断方法
5．A
【分析】运用二次函数的性质求得
的最小值，再结合幂函数的单调性，由题意列出不等式，求解
即可.
【详解】当
时，
，
故当
时，
有最小值为
；
当
时，
单调递减，所以
，由题意
存在最小值，
则
，解得
，即c 的最大值为
.
故选：A.
6．15
【分析】令
，即
，即可得
．
【详解】令
，即
，得
．
故答案为：15．
7．
或
【分析】根据偶次根式的被开方数为非负数，列不等式求解．
【详解】由
，即
，解得
或
，
所以
的定义域为
或
．
故答案为：
或
．
8．
【分析】（1）由
的定义域可得到
，进而求解即可得到
的定义域；
（2）设
，先根据
的定义域求得
的定义域，进而即可求出
的定义域．
【详解】（1）设
．
因为
的定义域为
，
所以要使
有意义，必须
，解得
，
所以
的定义域为
，即
的定义域为
．
（2）设
，考察函数
．
因为
的定义域为
，
所以
，得
，
所以
的定义域为
．
设
，要使
有意义，
必须
，解得
．
故
的定义域为
．
故答案为：
；
．
9．
【分析】根据给定条件，按
和
两种情况求出不等式
的解集的并集即可求解.
【详解】当
时，由
，得
，解得
，因此
；
当
时，由
，得
，解得
，因此
，
因此
等价于
，依题意，
，
所以
的最大值为
.
故答案为：
10．
【分析】依题意可得
，画出
的大致图象，从而即可分析出若
，则
，进而即可求出实数a 的取值范围．
【详解】由
，则
，
所以
的图象如下图所示，
若
（*），由分段函数可知：
当
时，由（*）可得
，即
，解得
；
当
时，由（*）可得
恒成立；
当
时，由（*）可得
恒成立.
综上可得
.
若
，则有
，即
恒成立；
，则有
恒成立；
若
，则有
，解得
，
综上分析，实数a 的取值范围是
．
故答案为：
．
11．
【分析】根据分段函数两段函数的单调性和最值，即可列式求解.
【详解】由题意可知，若
，则
时，
单调递减，此时函数无最小值；
故需满足
，得
，
函数
，
，若函数的最小值为
，
则
且
，解得：
综上可知，
.
故答案为：
12．
【分析】当
时，利用分段函数的基本性质可求出函数
的值域；对实数
进行分类讨论，讨论
、
与
的大小关系，结合
可得出关于
的等式，综合可得出实数
的取值范围.
【详解】当
时，
，
当
时，
，当且仅当
时，取等号；
当
时，
.
故当
时，函数
的值域为
；
若
，则
，
，
，即
，合乎题意；
若
，
若
，则
，
，显然若
、
，
由于函数
在
上单调，故
；
若
，由
可得
，
整理得
，解得
或
，
所以
，解得
，
且
，解得
，合乎题意，此时
且
；
若
，由
可得
，
整理得
，因为
，解得
，此时
，
则
，合乎题意，
综上所述，实数
的取值范围是
.
故答案为：
.
13．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由基本不等式求解即可；
（2）设
，结合二次函数的性质求解即可；
（3）利用分离常数法求解即可.
【详解】（1）
，
当且仅当
，即
时取等号，
所以函数的值域为
．
（2）设
，
，则
，
所以
，
所以函数的值域为
．
（3）
，
则
，所以函数的值域为
．
【点睛】方法点晴：（1）观察法，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数图象的“最高点”和“最低
点”观察函数的值域．
（2）配方法．求形如
的函数的值域可用配方法，但要注意
的取值
范围．
（3）分离常数法．形如
的函数常用分离常数法求值域，转化过程为
，其值域是
．
（4）换元法．形如
的函数常用换元法求值域，即先令
，求出
，并注
明的取值范围，再代入上式将
表示成关于的二次函数，最后用配方法求值域．
（5）均值不等式法．若函数解析式中某些元素直接或间接（通过配凑、拆项等）满足均值不等式的应用
条件，则可利用均值不等式求最值，进而可得函数的值域．
14．
【分析】利用换元法求值域即可.
【详解】函数
的定义域为
，
令
，则
，
原函数变为
，
当
时，
，
因为
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以当
或
时，
，
即当
时，
；
当
时，
，
因为
在
上单调递增，所以当
时，
，
即当
时，
，
综上所述，函数
的值域为
.
15．
【分析】利用函数的单调性来求值域即可．
【详解】因为
在定义域内单调递增，
在定义域内单调递减，
所以
在定义域上单调递增，
又因为定义域为
，
所以
．
即函数
的值域为
.
16．
【分析】先由柯西不等式求出函数的最大值，再由端点处函数值求出最小值，从而得到结果.
【详解】由
，解得
，
，
当且仅当
，即
时等号成立，
又
，
，故
．
17．最大值为
，最小值为
【分析】将函数式化成关于
的方程，且方程有解，用根的判别式求出
的取值范围，即得函数的最大值
和最小值．
【详解】设
恒成立，所以定义域为R，
则
，
当
时，
；
当
时，视其为关于x 的一元二次方程，且方程有根，
则判别式
，解得
且
，
所以函数
的最大值为
，最小值为
.
18．
【分析】利用待定系数法求解即可．
【详解】设
（
），
对任意
均有
成立，
则
，
即
恒成立，则有
，解得
，
又
，得
，
所以
．
19．
【分析】先把函数进行化简，运用换元法令
，将等式右边整理成关于的式子，再整体换元即得.
【详解】
，
令
，则
，
所以
，
即
．
20．
【分析】先利用换元法求得函数的解析式
，进而求得
的解析式，注意定义域.
【详解】令
，则
，
，
因为
，则
，
所以
，
其中
，并令
，解得
，
所以
．
