文档文本内容
培优点2 解三角形中的几何计算问题
目录
01 重点解读..................................................................................................................................2
02 思维升华..................................................................................................................................3
03 典型例题..................................................................................................................................4
题型一：利用两次正弦定理消元法............................................................................................4
题型二：利用两次余弦定理建立等量关系................................................................................9
题型三：等面积法...................................................................................................................... 11
题型四：角平分线问题..............................................................................................................16
题型五：中线问题......................................................................................................................20
题型六：高问题..........................................................................................................................22
题型七：四心问题......................................................................................................................24
04 课时精练................................................................................................................................30
解三角形图形计算常以三角形、四边形（可拆为三角形）为背景，结合高、中线、角平分线等元素。
核心用正余弦定理求边长、角度，结合面积公式计算。
解决三角形图形类问题的方法：
方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题；
方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，
相似是三角形中的常用思路；
方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路；
方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选
择；
方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可
以将其与余弦定理充分结合到一起；
方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更
加直观化.
题型一：利用两次正弦定理消元法
【例题1】如图，在
中，角
所对的边分别为
是
内的一点，且满足
．
(1)若
，求
的大小；
(2)若
，求
的正切值；
(3)若
，求
的值．
【解析】（1）因为
，可得
，
在
中，可得
.
（2）由题意，可得
，则
，
在
中，由正弦定理
，可得
，
在
中，由正弦定理
，
可得
，
所以
，整理得
，所以
．
（3）在
内，由余弦定理及三角形面积公式，可得：
，
，
．
三式相加可得：
①，
在
内，由余弦定理以及三角形的面积公式，可得：
，
在
和
中，同理可得：
，
所以
，
因为
，
可得
②，
由①②得
．
【例题2】如图，在
中，
，
，
，
为
内一点，且
．
(1)若
，求
的长；
(2)若
，求
．
【解析】（1）在
中，
，
则
，
所以
，
在
中，由余弦定理得
，
所以
；
（2）设
，则
，
在
中，因为
，
所以
,
在
中，
,
所以
，即
，
所以
，即
.
【变式1】（2025·全国·模拟预测）记
的内角
的对边分别为
，已知
．
(1)证明：
；
(2)若
平分
，点
在线段
上，且
，求
的长．
【解析】（1）由正弦定理得
，
又
，故
，
即
，
所以
，即
，
．
又
，故
，所以
，由正弦定理可得
．
（2）因为
，由（1）得
．由
平分
，得
，
在
中，由正弦定理得
，
在
中，由正弦定理得
，
，故
，
两式相除得
．
设
，由余弦定理，
在
中
，
所以
①．
在
中，
，
所以
②．
又
，②
①得
，则
，
所以
．
【变式2】（2025·高三·浙江·开学考试）在
中，
分别是角
所对的边，且满足
.
(1)求
的大小；
(2)点
是边
上一点，且满足
，求
的值.
【解析】（1）因为
,由正弦定理可得：
.所以
,
由于在
中，
,
所以
,化简得：
,
由于
，则
不为0，则
由于
，所以
（2）由于
,则
,
在
中，由正弦定理可得：
在
中，由正弦定理可得：
所以
,由于满足
，
所以
，
由于在
中，
,
所以
,即
，
所以
，所以
,
由于
，则
，
所以则
或
,解得
或
，
当
时，
，所以
，
当
时，
,不满足
.
综上，
.
【变式3】在
中，已知
的平分线
与边
相交于点
.
(1)求证：
；
(2)若
，
，
，求
.
【解析】（1）在
和
中，如图所示：
由正弦定理得：
，
，
因为
，所以
，
所以
，
即
，
又因为
为
的角平分线，所以
，
所以
，
，两式相除得
，
所以
得证.
（2）解法一：
，所以
，
平方得
，由（1）可得：
，
，
解得
，
，
则
，
，
所以
.
解法二：
由
，由（1）得
，所以
，
因为
为
的角平分线,
，所以
，
则
，
解得
，
，
则
，
，
所以
.
题型二：利用两次余弦定理建立等量关系
【例题3】
的内角
的对边分别为
，已知
．
(1)求；
(2)若D 为AB 中点，
，
，求
的周长．
【解析】（1）方法一：因为
，可得
，
由正弦定理，可得
，
因为
，可得
，
所以
，
又因为
，可得
，所以
．
方法二：因为
，可得
，
由余弦定理，可得
，
整理得
，可得
，
因为
，所以
．
（2）方法一：由（1）知：
且
，
因为
，可得
，
在
中，利用余弦定理得
，所以
，
又由余弦定理得
，所以
，
可得
，所以
的周长为
．
方法二：因为
，所以
，
由余弦定理，可得
，所以
，
又由余弦定理得
，所以
，所以
，
又因为
，所以
，
所以
的周长为
．
方法三：在
和
中，由余弦定理可得
，
所以
，
又由余弦定理得
，所以
，所以
，
又因为
，所以
，
所以
的周长为
．
【例题4】在四边形
中，
平分
．
(1)求
；
(2)当
取最大值时，求
．
【解析】（1）解法一 ：因为
，
所以
，则
，
在
中，由余弦定理得
因为
，所以
．
解法二 ：因为
，所以
，
在
中，由正弦定理和余弦定理得
，
所以
，
因为
，代入上式整理得
，
由题意可得
，
所以
，
因为
，所以
．
（2）由（1）可得
，因为
平分
，所以
，
因为
，则在
中，由余弦定理得
，
在
中，由余弦定理得
，
所以
，
当且仅当
时，等号成立，
此时
取最大值，即
取最大值，
故当
取最大值时，
．
题型三：等面积法
【例题5】（2025·高三·黑龙江·开学考试）在
中，内角
所对边分别为
，
(1)若
，求
的值.
(2)若
的角平分线
交
于点
.
（ⅰ）若
，求
的最大值；
（ⅱ）若
，
，求
的面积.
【解析】（1）由余弦定理得：
所以
的值
；
（2）
（ⅰ）∵
∴
，而
，
当
时，取“=”
∴
，即AD 的最大值为
（ⅱ）由三角形角平分线定理有
，
∴
，设
在
中，由正弦定理有
∴
化简得：
，解得：
或
（舍去）
∴
，∴
，
所以
【例题6】（2025·高三·贵州贵阳·开学考试）已知
，
，分别为
三个内角
，
，
的对边，
，
，且
的面积为
．
(1)求
；
(2)若
在
边上，且线段
平分
，求线段
的长度．
【解析】（1）由已知
，且三角形面积
，
可知
，
又
，
则
；
（2）
由已知
，
结合诱导公式及二倍角公式可得
，
又
，
，即
，
所以
，即
，
所以
，
则由正弦定理
，
可得
，
，
所以
，
即
，
，
，
又线段
平分
，
所以
,
又
，
即
，
则
，
解得
.
【变式4】如图，平面四边形
中，
，记
.
(1)用
表示
；
(2)求四边形
面积的范围；
(3)当
为何值时，
.
【解析】（1）因为
，
由正弦定理
，有
，
即
，又
，故
，
又因为
，所以
四点共圆，
则
，
由于
，所以根据正弦定理
，
有
，即
；
（2）解法一：
，
因为
，所以
，
因同弧所对的圆周角相等，
，
，
由于
，所以
，
故
；
解法二：
，
因为
是直径，所以
，
又因为
，所以
，
，
由于
，所以
，
则
；
（3）法一：
，
，
，
，
因为
，所以
，
又因为
，所以
，
从而
，即
时，
；
法二：
，
因为
，
所以
；根据相交弦定理，
，
两式相除，得
，即
，
在
中，
，即
，此时
.
题型四：角平分线问题
【例题7】已知平面四边形ABDC 中，对角线CB 为钝角
的平分线，CB 与AD 相交于点O，
，
，
.
(1)求
的值；
(2)求
的长；
(3)若
，求
的面积.
【解析】（1）因为
，对角线
为钝角
的平分线，
所以
，
解得
或
（舍），
所以
；
（2）由题意，在
中，由余弦定理可得
，
即
，
整理可得
，解得
或
（舍去），
因为
，所以
，
又因为
，
所以
，
所以
，
解得
；
（3）方法一：在
中，由正弦定理可得
，
即
，所以
，
因为
为钝角，所以
，
因为
，所以
，
所以
，所以
，
在
中，由余弦定理可得
，
解得
，
因为
，
所以
；
方法二：在
中，由
，
可得
，所以
，
所以
，所以
，
又由于
，从而
，即
，
所以
，
，
所以
.
【例题8】已知
的内角
的对边分别为
.求角
的平分线长的取值范围.
【解析】因为
，
，以
的中点
为坐标原点，以
为
轴建立直角坐标系，
如图所示，设
，因为
，所以
.
由
，即
，
所以
，
两边同时平方并化简，得
，
所以点
的运动轨迹为圆，且不与
轴相交.
如图，点
在圆
上，
为圆
与
轴的交点，连接
，
则点
.
设角
的平分线为
，
在
中，由角平分线定理可得
，
所以
，又
，
所以点
与点
重合，故角平分线
.
【变式5】（2025·湖南湘潭·一模）在△ABC 中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
向量
，
,点 M 在边BC 上，AM 是角A 的平分线．
(1)求角A；
(2)求 AM 的长．
【解析】（1）因为
，所以
，
故
，
由正弦定理可得
,
由于
，所以
,
结合
,则
，
（2）由于AM 是角A 的平分线，
，
由余弦定理可得
，解得
，
又
,
解得
【变式6】已知
的内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且
.
(1)求C；
(2)若
的平分线交
于D，且
，求
的值.
【解析】（1）由
，得
,
即
，则
,
则
，即
，
由于
，故
，
，故
；
（2）由
的平分线交
于D，可得
,
即
，
即
，则
，
结合
，得
.
题型五：中线问题
【例题9】（2025·高三·浙江·开学考试）在
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且满足
(1)求角A；
(2)若
，
边中线
长为1，求
的面积．
【解析】（1）由
可知，
，
也即
，
，
又因为
，
所以
，
．
（2）由
，
两边平方得
又
，
所以
，解得
，所以
．
【例题10】在
中，角
，
，
的对边分别为
，
，，已知
．
(1)求角
；
(2)若
，且边
的中线
的长为
，求
的面积；
(3)若
是锐角三角形，求
的范围．
【解析】（1）因为
，由正弦定理可得
，
所以
，
得到
，即
，
又
，
，所以
，
又因为
，可得
.
（2）因为
，且
，
所以由
，可得
，解得
，
由题意
，
两边平方，可得
，
因为
，所以
，解得
或
（舍），
则
的面积为
.
（3）因为
，
由题知，
，解得
，
因为
，
所以
，可得
，
可得
，
所以
．
【变式7】在
中，
，
是
边上的中线，记
，
．
(1)求
；
(2)若
，
，求
．
【解析】（1）设
，
，
，
，
．
，
，
；
（2）由（1）得
，
，
，
，
，解得
或
（舍），
故
．
，
．
又
，
所以
．
题型六：高问题
【例题11】在△ ABC 中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
．
(1)求角A 的大小；
(2)若
，
，求边AC 上的高．
【解析】（1）因为
，
由正弦定理，可得：
，
又因为在
中，
，
所以
，
化简，得：
，
因为
，所以
，
所以
，
，
即
．
（2）因为
，所以
，
由正弦定理
，可得
，
由（1）可知：
，所以
，
，
即
，
又因为在
中，
，
所以
．
【例题12】（2025·山东聊城·三模）记
的内角
的对边分别为
，已知
．
(1)求
；
(2)若
，且
边上的高为
，求
的周长．
【解析】（1）因为
，
由正弦定理，可得
，
又因为
，可得
，所以
，
即
，
因为
，可得
，所以
，
又因为
，所以
.
（2）由
边上的高为
，可得
，
又由
且
，可得
的面积为
，
所以
，解得
，即
，
在
中，由余弦定理得
，
可得
，整理得
，
解得
或
（舍去），此时
，
所以
的周长为
.
【变式8】（2025·云南昆明·模拟预测）已知a，b，c 分别为
三个内角A，B，C 的对边，且
(1)求A；
(2)若
，
，求BC 边上的高
【解析】（1）因为
，
所以由正弦定理得
，
，
，
所以
，
，
因为
，所以
，所以
，
；
（2）由余弦定理得
可得
，所以
，
因为
的面积
，
所以
，所以
题型七：四心问题
【例题13】（2025·辽宁沈阳·模拟预测）已知
内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，点G 是
的重心，且
．
(1)若
，求
的值；
(2)求
的取值范围．
【解析】（1）延长CG 交AB 于点D，由G 是
的重心，得D 为线段AB 的中点，且
，
由
，得
，则
，
，
又
，则
是正三角形，
，在
中，记
，
由正弦定理
，即
，
则
，即
，
所以
，即
.
（2）由（1）知
，在
中，
，
在
中，
，
于是
，整理得
，
在
中，
，当且仅当
时取等号，
又
，所以
的取值范围为
.
【例题14】（2025·浙江·三模）已知在
中，角A，B，C 所对的边记为a，b，c，设其外心为O.
若
.
(1)求角A 的大小；
(2)若
，求
的面积.
【解析】（1）
，
，
由正弦定理得
，
，由于A，B，
，
因此
（舍去）或
，
即
，
又
，故
.
（2）因为O 是
的外心，所以
（R 为外接圆半径），
，
.
所以
.
【变式9】（2025·辽宁·模拟预测）四面体
满足
两两垂直
(1)点
在面
内的正投影
是
的什么心？请给出证明
(2)设点
为
的外心，
为
的外接圆半径，设
①请写出
与
的关系（用
表示
）．
②求证：
为定值．
【解析】（1）连接
平面
，
平面
，又
平面
，
，
由题意
平面
又
平面
，
平面
，
平面
又
平面
，
同理：
，点
为三角形ABC 的垂心；
（2）①由正弦定理，
②如图：以点
为原点，分别以
为
轴建立空间直角坐标系，
设
，因为点O 在平面ABC 上，
而点
由题意
即
三个式子相加得：
，
.
【变式10】在
中，角
所对的边分别为
，已知
，且满足
(1)求角
的大小
(2)
的内心为
，求
周长的取值范围.
【解析】（1）由
，
根据正弦定理，得
，
由
，则
，
即
,
而
，故
，
又
，
所以
（2）由（1）可得
，
即
，
设
的内心为
，即
，
故
.
设
，则
，
在
中，由正弦定理得，
所以
，
所以
的周长为
因为
，
所以
，
所以
，
所以
，
故
的周长取值范围为
.
【变式11】（2025·江苏·模拟预测）在
中，角
的对边分别为
，
．
(1)若
，求
的周长；
(2)若
的内切圆、外接圆半径分别为
，求
的取值范围．
【解析】（1）
，
，由余弦定理得，
，
，解得，
或
（舍去）
，
的周长为
.
（2）由余弦定理得，
，整理得，
，
，
，即
，
由正弦定理得，
，
，
，
，
，
令
，
，
，
函数
在
上单调递增，
，即
的取值范围是
.
1．（2025·高三·江苏苏州·开学考试）在
中，角
的对边为
，
，，
，且
.
(1)求
；
(2)若
的周长为
，求
边上的高.
【解析】（1）因为
，所以
，
又因为
， 所以
，
所以
，
得
，
得
，又因为
，所以
．
（2）在
中，过点
作
，
所以
，
设
，则在
中，
，
则在
中，
，
所以
的周长为
所以
，
记
边上的高为，
所以
．
2．如图，在平面四边形
中，
，若
是
上一点，
．记
，
．
(1)证明：
；
(2)若
.
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）求线段
长度的取值范围．
【解析】（1）证明：∵
，∴
，
在
中，
，可得
，
∴
，即
.
（2）（Ⅰ）在
中，由正弦定理得
，
可得
，∴
，
∵
，∴
，
可得
，即
，
解得
或
（舍去），
∵
，∴
.
（Ⅱ）在
中，由正弦定理得
，
即
，
由余弦定理得
，
∵
，
，∴
，∴
，
在
中，由余弦定理得
，
∵
，∴
，∴
，
∴
，解得
.
3．如图，在四边形
中，
，
，
，
.
(1)当
、
、
、
四点共圆时，求
；
(2)求四边形
面积的最大值；
(3)求
的最大值．
【解析】（1）当
、
、
、
四点共圆时，
，
，
所以
，
由余弦定理得
，
故
.
（2）设
，其中
，
由余弦定理得
，
故
，
因为
，则
为钝角，且
，
在
中，由正弦定理得
，
故
，
因为
为钝角，则
为锐角，
故
，
所以
，
故
，
故
.
其中
为锐角，且
，
因为
，则
，故当
时，
四边形
的面积取最大值
.
（3）因为
为钝角，则
为锐角，故
，
设
，
，
设
，则
，
在
中，由余弦定理可得
，
即
，
在
中，由正弦定理得
，代入数据化简得
，
在
中，
，即
，
代入数据并化简得
，
结合
可得
，
所以
，则
，
由
可得
，
由
、
和
可得
，其中
为锐角，且
，
因为
，则
，故当
时，
取最大值，
且
的最大值为
.
4．如图，在平面四边形
中，
．
(1)若
，求
的值；
(2)若
，求
的值；
(3)求四边形
面积S 的最大值．
【解析】（1）因为
，若
，
则
，
在
中，由余弦定理可得
.
（2）由
，得
，
在
中，由余弦定理得
，
在
中，由余弦定理可得
，
，即
，
解得
.
（3）由题，
，
，
由（2）
，
两式平方相加得
，
所以
，
当
时，此时
，
取得最大值为
，
所以四边形
面积S 的最大值为
.
5．记
的内角
、
、
的对边分别为
、
、，已知
，点
在
边上，且
，
，求
.
【解析】因为
中，
，则
为锐角，
所以
，
因为
，
，所以
，
所以
，
设
，则
，
在
和
中，由正弦定理得
，
，
因为
，上面两个等式相除可得
，
得
，即
，
所以
.
6．（2025·河南·三模）已知
是
内一点，
.
(1)若
，求
；
(2)若
，求
.
【解析】（1）如图所示，
在
中，
，所以
.
所以
.
在
中，由正弦定理得
，即
，解得
.
（2）如图所示，
当
时，
.
设
，则
.
在
中，由正弦定理得
.
在
中，由正弦定理得
.
因为
，所以
，即
，
整理得
，即
，解得
，即
.
7．
的内角
的对边分别为
为
平分线，
.
(1)求
；
(2)
上有点
，求
.
【解析】（1）
设
，
，
，
，
，
（2）由（1）知：
，
中，
，
，故得：
，
设
中，
，
，
中，
，
，
，
两式相除得：
，
，
，
，
，
为锐角，故
.
8．已知
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
.
(1)求
的值；
(2)若
，求
；
(3)若
，且边
上的中线
，求
的周长.
【解析】（1）由正弦定理得
，
则
，
由余弦定理得
，
整理得
，
即
，则
，
故
.
（2）若
，由正弦定理可知
，
又由（1）知
则
，
.
则
，
又
，即
.
（3）因为边
上的中线为
，所以
，
即
.
若
，即
,则
，
又
，
，
，得
，
解得
，则
，
又
，所以
的周长为
.
9．在三角形
中，
分别是边
的中点，已知
．
(1)求三角形
的面积；
(2)求三角形
的周长．
【解析】（1）如图，因
分别是边
的中点，
则设
.
注意到
，
则
.
则由余弦定理：
.
解得
.则在三角形
中，
.
由余弦定理可得
，
从而
.
则三角形
的面积为：
；
（2）由（1）易得三角形
的周长为
10．在
中，角
的对边分别为
，已知
，
，
为
边上一点．
(1)若
为
的中点，且
，求
；
(2)若
的面积为
，且
平分
，求
的长．
【解析】（1）在
中，
，因为
为
的中点，
所以
，
两边平方得
，
则
，解得
（2）因为
平分
，
所以
，
又
，
即
所以
，
解得
，
11．（2025·高三·全国·开学考试）在
中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
(1)求证：
(2)若D 为BC 的中点，
，
，求
的面积.
【解析】（1）因为
，即
，
整理可得
，
由正弦定理得
，解得
，或
舍去，
所以
（2）由（1）得
如图，过点B，C 分别作AD 的垂线，垂足分别为E，
由
，
，可得
，
又因为D 为BC 的中点，可得
≌
，则
，
，
设
，则在
中，由勾股定理得
，
即
，解得
，可得
，
所以
12．（2025·高三·安徽·期中）如图，在平面四边形
中，
与
的交点为E，
平分
，
，
．
(1)证明：
；
(2)若
，求
．
【解析】（1）如图，
由题意知
，则
，
由余弦定理得
，
即
，整理得
，
因为
，所以
．
（2）因为
，所以
，
因为
，所以
，所以
．
又因为
，
，所以四边形
是等腰梯形，所以
．
设
，则
，解得
．
．
在
中，由正弦定理可得
，
又因为
，所以
．
13．如图，四边形
中，
．
(1)求
；
(2)
为边
上一点，且
的面积为
，求
的外接圆半径．
【解析】（1）因为
，所以
，
在
中，由余弦定理得：
，
在
中，由余弦定理得：
，
两式作差得：
，解得
，
因为
，所以
．
（2）因为
由（1）知
，可得
，且
，
则
所以
，
在
中，可得
，所以
，
在
中，可得
，
在
中，可得
，
可得
,所以
，则
，
所以
，解得
，
设
的外接圆半径为
，
由正弦定理得
，解得
，
所以
的外接圆半径为
．
14．（2025·江西新余·模拟预测）如图，在四边形
中，
，
，
，
，
.
(1)求
；
(2)求四边形
的面积.
【解析】（1）由
，又
，得到
，
又
，
又
，
，且
，
所以
，
，
得到
.
（2）延长
交于
，设
，
，
在
中，由正弦定理得到
，由（1）知
，
，
所以
①，由余弦定理得到
②，
由①②解得
或
，
当
时，
，此时
，
又
，所以
，
不合题意，故
，
，
在
中，由
，
，得到
，
，
所以
，又
，
故
.
15．记
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
．
(1)求
；
(2)若
，
的面积为
，求b；
(3)已知
的外接圆半径为
，
的平分线交
于点D，若
，求
的周长．
【解析】（1）由正弦定理
，得
，
，
，
，
，
，
，
，
，又
，
．
（2）由（1）知，
，
，则
．
．
由正弦定理得
，
，
，
．
（3）由（1）知
，
，
由正弦定理得
，
由余弦定理得
，
即
．
平分
，
．
，
．
，
，
化简得：
，
代入
，得
，
，
，
，
的周长为
．
16．在锐角
中，内角
，
，
所对边分别为
，
，，
．
(1)求角
；
(2)设
是角
的平分线，与
边交于
，若
，
，求
，；
【解析】（1）法一：在锐角
中，
，
由余弦定理得
，化简得
，
可得
，又
，得
．
法二：在锐角
中，
，由正弦定理得
，
即
，
可得
，
又
，
，得
，又
，得
．
（2）在
中，由正弦定理有
，
在
中，由正弦定理有
，
因为
是角
的平分线，故
，
又
，故
，
所以
，
设
，
，
在
中，由余弦定理，有
，
解得
，所以
（负值舍去），
所以
，
．
17．（2025·高三·河北·开学考试）在
中，内角
所对的边分别为
，且
.
(1)求角
；
(2)若
边
上的中线
的长度为
，求
面积的最大值．
【解析】（1）在
中，
，
代入
整理得
，
又因为
，
，所以
，
所以
，解得
，
因为
，所以
，解得
.
（2）因为
是
中点，所以
，
两边平方得
，
所以
，即
，
又由均值不等式可得
，
当且仅当
时等号成立，所以
，
所以
，即
面积的最大值为
.
18．在
中，内角
，
，
所对的边分别是
，
，，且
，
.
(1)求角
；
(2)若
，求边AC 上的角平分线BD 长；
(3)若
为锐角三角形，求边
上的中线
的取值范围.
【解析】（1）由
可得
，
因为
，
所以
，
由
，得
，又
，则
.
（2）如图：
由余弦定理，
，因为
，
，
所以
，又
，所以
.
由
，得
，
整理得：
.
（3）因为
是边
上的中线，则
，
两边取平方，
，
由（2）已得
，代入可得
，
由正弦定理，
，
则
，
所以
，
因为
为锐角三角形，则有
，解得
，
则
，
由正弦函数的图象性质，可得
，
故得
，从而
，
故边
上的中线
的取值范围为
.
19．在
中，角
的对边分别为
，且
．
(1)求
；
(2)若
边上的高为
，求
．
【解析】（1）由
得，
，
因为
，则
，三角形中内角的范围为
，故
；
（2）由（1）知
，则
，由余弦定理得
，
因为
，所以
，
边上的高为
，
由等面积法得
，解得
，所以
，
从而
，
由正弦定理得
，解得
，
故
.
20．（2025·湖北·三模）在
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且满足
．
(1)求C；
(2)若
边上的高
为
，求
的最小值．
【解析】（1）在
中，由正弦定理
，可得
，
又因为
，所以
，
所以
，即
，
因为
，
，所以
，
故
，于是
；
（2）由（1）得
，根据余弦定理以及基本不等式，
得
，
当且仅当
时等号成立，
又因为
，且
，
所以
，所以
，即
，
故
的最小值为2.
21．（2025·广东茂名·二模）记
的内角
，
，
的对边分别为
，
，，且
．
(1)求
；
(2)若
，且
边上的高为
，求
的周长．
【解析】（1）
，
又
，
所以
又
，所以
，解得
或
，
所以
或
．
（2）若
，
，
由余弦定理得，
，
所以
，所以
的周长为
；
若
，
为直角三角形，斜边
上的高为
，
由斜边中线长为斜边一半，则斜边
上的中线为1
，则该三角形不存在，
故
的周长为6．
22．（2025·广东·一模）在△
中，角
的对边分别为
，已知
(1)求
;
(2)若
分别为边
上的中点，
为
的重心，求
的余弦值.
【解析】（1）因为
，
所以
，
即
由正弦定理得
，
由余弦定理得
，因为
（2）设
，
依题意可得
所以
所以
.
23．（2025·全国·模拟预测）记
的内角
的对边分别为
，已知
，
，
为
的外心.
(1)求
的面积；
(2)求
周长的取值范围.
【解析】（1）在
中，
，由余弦定理得
，
又
，所以
，
又
为
的外心，
则由正弦定理得
，所以
，
又
，
所以
.
（2）方法一：
由（1）及正弦定理得
，
则
，
，
记
的周长为，则
.
又
，则
，
则
，
因为
，所以
，
所以
，所以
.
方法二：
由
，
，得
，
因为
，所以
，
即
，所以
，当且仅当
时，等号成立.
因为
，所以
，所以
，
即
周长的取值范围为
.
24．（2025·广东肇庆·二模）在①
；②
这两个条件中任选一个，补充
在下面的横线上，并解答.记
的内角
所对的边分别是
，已知__________.
(1)求
.
(2)设
为
的内心（三角形三条内角平分线的交点），且满足
，求
的面积.
【解析】（1）选择条件①：
.
由正弦定理
得
，
所以
.
由余弦定理，得
.
因为
，所以
.
选择条件②：因为
，所以
，即
.
由正弦定理得
，即
.
因为
，所以
，所以
.
因为
，所以
，所以
.因为
，所以
.
（2）连接
，
因为点
是内心，所以
.
因为
，所以
，
所以
，所以
.
由余弦定理得
，即
，解得
，
所以
.
25．（2025·江苏苏州·模拟预测）在
中，角
所对的边分别记作
已知
的周长为
，且有
．
(1)求
的面积；
(2)设
内心为
，外心为O，
，求外接圆半径．
注：在
中，有
，其中r 和R 分别为三角形内切圆与外接圆的半径．
【解析】（1）可知
，即
，解得
．
（2）可知内接圆的半径
．
连接IB、OB，设
，则
．
不妨设外接圆半径为R，则
．
由角度关系，
，
因此代入有
，
整理：
．
右式
由于
，因此
，解得
．
26．（2025·全国·模拟预测）已知
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，
.
(1)求A；
(2)若O 是
的内心，
，且
，求
面积的最大值.
【解析】（1）因为
，所以
，
由正弦定理得
，
所以
，因为
，所以
，
因为
，所以
或
（2）因为
，且
，所以由余弦定理得
，所以A 为锐角，
由（1）知
.
因为
是
的内心，
所以
，
在
中，由余弦定理得
，
所以
，当且仅当
时等号成立，
所以
，
所以
，
所以
面积的最大值为
.
27．（2025·河北·模拟预测）设
的外接圆半径为
，内切圆半径为，定义
的值为
的“分离比”.
(1)若
为等腰直角三角形，求
的分离比
；
(2)证明：
；
(3)探究
的最值.
【解析】（1）设
的两条直角边为
，斜边为2，所以外接圆半径为1.
内切圆半径满足
，所以
.
所以
.
（2）证明：
的面积
则
所以
.
由正弦定理
，
所以
.
因此，
.
（3）先探究
的最小值：注意到
，
先证明对于任意的正数
，
，，均有
.
因为
，
所以
得证，当且仅当
时取等.
所以
，
下考虑
的取值范围.
因为
，
所以
.
当且仅当
取等.
对于
，
又
（i）
（ii），
当且仅当
取等.
由（i）式与（ii）的平方相乘，有
，
所以
，所以
，
故
，当且仅当
取等.
再探究
的最大值，当
足够小时，
的取值足够小，
而
，所以
的取值将足够大，也即
没有最大值.
综上，
有最小值2，没有最大值.
【法二】设
的外接圆圆心为
，内切圆圆心为
，过点
作
垂直
于点
.
连接
并延长交圆
于点
，连接
并延长交圆
于点
，
因为
为
的内心，所以
为
的平分线，
得
，则
.
所以
和
相似，得
又
，
，得
.
连接
，则
，又
，
所以
，
即
，所以
.得
.
作直线
与圆
交于
，
两点，由相交弦定理得
得
.即
【上面过程为欧拉公式证明】所以
.
再探究
的最大值，当
足够小时，
的取值足够小，
而
取值可取到足够大，即
没有最大值.
综上，
有最小值2，没有最大值.
