文档文本内容
培优点3 解三角形中的范围与最值问题
目录
01 重点解读..........................................................................................................................................2
02 思维升华..........................................................................................................................................3
03 典型例题..........................................................................................................................................4
题型一：利用正弦定理及三角函数有界性求解................................................................................4
题型二：利用余弦定理及基本不等式求解........................................................................................8
题型三：换元法求解范围.................................................................................................................. 11
题型四：坐标法..................................................................................................................................15
题型五：三角形中的平方问题..........................................................................................................19
题型六：等面积法..............................................................................................................................20
题型七：常见数学史问题..................................................................................................................25
题型八：四心问题..............................................................................................................................31
04 课时精练........................................................................................................................................37
解三角形范围与最值是高考中档难点，多在解答题中后段或选填压轴，分值 5-12 分。常以边长、面积
角的三角函数值为目标，依托正余弦定理转化为函数或不等式问题。常用方法有：三角函数有界性、基本
不等式、二次函数最值。近年常与几何约束（如固定边、角）结合，侧重转化思想与代数求最值能力。
在解三角形专题中，求其“范围与最值”的问题，一直都是这部分内容的重点、难点．解决这类问
题，通常有下列五种解题技巧：
（1）利用基本不等式求范围或最值；
（2）利用三角函数求范围或最值；
（3）利用三角形中的不等关系求范围或最值；
（4）根据三角形解的个数求范围或最值；
（5）利用二次函数求范围或最值．
题型一：利用正弦定理及三角函数有界性求解
【例题1】在
中，角
，
，
的对边分别为
，
，，已知
．
(1)求角
；
(2)若
，且边
的中线
的长为
，求
的面积；
(3)若
是锐角三角形，求
的范围．
【解析】（1）因为
，由正弦定理可得
，
所以
，
得到
，即
，
又
，
，所以
，
又因为
，可得
.
（2）因为
，且
，
所以由
，可得
，解得
，
由题意
，
两边平方，可得
，
因为
，所以
，解得
或
（舍），
则
的面积为
.
（3）因为
，
由题知，
，解得
，
因为
，
所以
，可得
，
可得
，
所以
．
【例题2】在锐角
中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，满足
．
(1)求证：
；
(2)若
，求a 边的范围；
(3)求
的取值范围．
【解析】（1）因为
，
所以
，
由正弦定理可得
，
又因为
，
代入可得
，
即
，
因为
，
，则
，故
，
所以
或
，即
或
（舍去），
所以
．
法二：由正弦定理可得：
，
则
，
则
，
又
，故
，
因为
，
，则
，故
，
所以
或
，即
或
（舍去），
（2）因为
为锐角三角形，
，
所以
，
由
，解得
，
又
故
．
（3）由（2）知
．
由
，
，
令
，则
在
上单调递增，所以
，
所以
的取值范围为
．
【变式1】（2025·高三·浙江丽水·期末）已知锐角
内角
的对边分别为
.若
.
(1)求
；
(2)若
，求
的范围.
【解析】（1）由正弦定理，
，
则
，又
,
所以
（2）因为
，
所以
,
则
，
因为三角形
为锐角三角形，
所以
,解得
，
令
，所以
，
所以
.
【变式2】（2025·江西南昌·三模）在锐角
中，
，
，
(1)求角A；
(2)求
的周长l 的范围.
【解析】（1）∵
，
，
所以
，
所以
，
因为
，所以
，
，所以
.
（2）
，
所以
,
所以
，
，
所以
,
因为
是锐角三角形，且
，
所以
，解得
，
所以
，所以
，
所以
.
题型二：利用余弦定理及基本不等式求解
【例题3】（2025·高三·河北石家庄·期中）在
中，角
所对的边为
且满足
.
(1)求
；
(2)当
时，求
边上中线
的范围.
【解析】（1）在
中，由
及正弦定理，
得
，
则
，即
，
于是
，而
，
，则
，
所以
.
（2）由（1）及余弦定理，得
，
当且仅当
时取等号，
因此
，由
为
边上中线，得
，
则
，
所以
边上中线
的范围是
.
【例题4】在
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且a，b，c 满足
，
.
(1)求B；
(2)若D 为线段BC 上一点，且满足
，
，求CD 的长；
(3)若
为锐角三角形，求
面积的范围.
【解析】（1）由题可得
，
∴
，∵
，∴
.
（2）D 为线段BC 上一点，且满足
，
，
∴
为等边三角形，
∴
.
设
，在
中，
，
即
，
整理得：
，解得
或
（舍），即
.
（3）在△ABC 中，
，由正弦定理
得：
，
于是得
.
因为
是锐角三角形，则
，且
，
于是有
，则
，即
，
，
从而得
，
所以△ABC 面积的取值范围是
.
【变式3】在
中，内角
、
、
的对边分别为
、
、，且
.
(1)求角
的大小；
(2)若
，求
周长的范围
【解析】（1）因为
，由正弦定理可得
，可得
，
因为
，故
.
（2）由余弦定理可得
，所以，
，
当且仅当
时，等号成立，
又因为
，则
，所以，
，
因此，
周长的取值范围是
.
【变式4】（2025·高三·河北邢台·开学考试）已知在
中，角
所对的边分别是
，且满足
.
(1)求角
的大小；
(2)若
的外接圆半径为1，求
面积的最大值.
【解析】（1）根据正弦定理
，
所以
，
，
所以
，
又因为
，
，
代入化简得
①，
根据两角和的正弦公式
，
又
，则
，
代入①化简得：
，
因为角
，所以角
.
（2）已知
的外接圆半径为1，由正弦定理
，
可得
，
由余弦定理可知
，代入
的值可得
.
由基本不等式
，当且仅当
时取等号，
则
，当且仅当
时
取最大值3.
由三角形面积公式可得
，
因为
，当且仅当
时
，
面积最大，
所以
.
【变式5】在△ABC 中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
．
(1)求角B 的大小；
(2)若
，当
的面积取得最大值时，求
内切圆的半径．
【解析】（1）由题，有
，然后由正弦定理边角互化可得：
，
又在三角形中，
，
.则
，
；
（2）由（1），
.
由余弦定理，
.
由重要不等式，
，当且仅当
时取等号，
则
，此时
为等边三角形.
设此时
内切圆的半径为，则
.
题型三：换元法求解范围
【例题5】在
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，
．
(1)若
，求证：
；
(2)若
，求
的最大值．
【解析】（1）由
可得，
，
故
，即
，
由正弦定理得
，故
，
，所以
，
，所以
．
（2）
，
，
故
，
所以
，
令
，所以
．
当且仅当
取等号，所以
的最大值为
．
【例题6】在
中，角
的对边分别为
，已知
.
(1)若
，且边
的中线
长为
，求
的面积；
(2)若
是锐角三角形，求
的范围.
【解析】（1）在
中，因为
，
由余弦定理可得
，即
，
整理得
，所以
，
因为
，所以
，
又因为
，
联立方程组
，解得
，所以
，
因为
为
边中线，则
，
所以
，
可得
，解得
或
（舍去），
所以
的面积为
.
（2）由正弦定理，可得
.
因为
是锐角三角形，则
，可得
，所以
，
因为
，所以
，则
，
所以
，所以
.
【变式6】在
中，角
的对边分别为
，已知
．
(1)求
；
(2)若
周长为6，求
的面积；
(3)若
为锐角三角形，求
的范围．
【解析】（1）由正弦定理及
得，
，
因为
，所以
，则
，
若
，则
，矛盾，则
，
又
，所以
．
（2）由余弦定理
，得
，
由
周长为6，得
，解得
，
所以
的面积
．
（3）在锐角
中，由
，得
，则
，
又
，则
，
由正弦定理得
，
所以
的范围是
．
【变式7】在锐角三角形
中，
分别为角
所对的边，
.
(1)证明：
.
(2)求
的范围.
【解析】（1）因为在锐角
中，
，
由正弦定理得
，
则
，
所以
，
则
，所以
或
（舍去），
所以
.
（2）因为
是锐角三角形，又
，所以
，
所以
的范围为
，则
，
又
则
，
设
，
令
，
则
，
，
所以
，在
上单调递增，
所以
，即
，
则
，即
，
所以
的取值范围是
.
题型四：坐标法
【例题7】（2024·山东·二模）已知△ABC 内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，点G 是△ABC 的重心，且
.
(1)若
，求tan∠GAC 的值；
(2)求cos∠ACB 的取值范围.
【解析】（1）以
为原点，
所在的直线为
轴建立如图所示的平面直角坐标系，
设
的中点为
，则
共线且
，
设
，则
，
，
，
，
故
，故
，故
，
所以
.
（2）设
，则
，
故
，
，
故
，
故
，所以
，
故
，而
，
，
故
，
而
，故
，故
，
所以
，
.
【例题8】在
中，
，
，点
在
内部，
，则
的最小值为______．
【答案】2
【解析】因为
，
，所以
.
在
中，由正弦定理得：
（R 为
的外接圆半径），所以
，解得：
.
如图所示：设
的外接圆的圆心为O，建立如图示的坐标系.
设E 为AC 的中点，所以
，
.
所以点M 的轨迹为：
，可写出
（
为参数）.
因为点
在
内部，所以
（其中
满足
，
）.
所以
因为
满足
，
，所以
，
所以当
时
最小.
故答案为：2
【变式8】（2025·江西·模拟预测）设
的面积为，内角
的对边分别为
为
中点，已
知
．
(1)求
；
(2)若
，求的范围．
【解析】（1）因为
为
中点，所以
，
所以
即
，
又
，所以
，
即
，
又由余弦定理
，即
，所以
，
则
；
（2）因为
，
显然
，所以
，
即
，
又
，
，
所以
，即
由正弦定理可得
，
因为
，不妨令
，
，建立平面直角坐标系，
由
，所以点
在以
、
为焦点的椭圆（除顶点外）上，
令椭圆方程为
，则
，
，
所以椭圆方程为
，当
在椭圆短轴顶点时
，此时
无意义，
所以
，则
.
题型五：三角形中的平方问题
【例题9】（2024·高三·江苏常州·期末）已知
中，
，
所在平面内存在点
使得
，则
面积的最大值为 ．
【答案】
【解析】设
，以
所在直线为
轴、其中垂线
所在直线为
轴建立直角坐标系（如图所示），
则
，设
，由
，得
，
即
，
则
，
则
，
即
，
解得
，即
，
即
面积的最大值为
.
【例题10】（2024·辽宁辽阳·一模）在
中，内角
的对边分别为
，且
，
则
的最小值为 .
【答案】
【解析】由正弦定理得，
，
因为
，所以
，
当且仅当
时等号成立，所以
的最小值为
.
故答案为：
.
【变式9】在
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且满足
，则
的取值范围
是___________.
【答案】
【解析】由
得：
，
故
，
当且仅当
时取等号，
由于
,故
，
则
，则
，
故答案为：
题型六：等面积法
【例题11】在
中，
，且
．
(1)求角
；
(2)求
面积的最大值；
(3)若
是
边
上的一点，且
证明
，并求
的最小值. 提
示：函数
在区间
上单调递减．
【解析】（1）因为
所以在
中，由
，
可得
，解得
或
.
又因为
，所以
，所以
；
（2）由
可得
，
当且仅当
时等号成立.
所以
，
所以
面积的最大值为
；
（3）在
中，设角
所对的边分别为
，
因为
，所以
是
的平分线，
因为
，所以
.
因为
，
所以
，
即
，所以
，
设
，
在
中，
由正弦定理可得
，
则
.
令
，则
，
在
中，由余弦定理可得
，
解得
，所以
.
则
.
令
，
由题意可得函数
在区间
上单调递减，
则
，
所以
的最小值为
.
【例题12】在
中，角
的对边分别为
，且
，
.
(1)若
，求
的值；
(2)若
为锐角三角形.
（ⅰ）求
的取值范围；
（ⅱ）若
是
的角平分线，求
的取值范围.
【解析】（1）因为
，
由正弦定理得
，
∴
，
∴
，
∴
，
又∵
，∴
，∴
，
∵
，∴
．
由余弦定理可得
，
∴
，
∴
．
（2）（ⅰ）已知
，
，
，
∴
，又∵△ABC 为锐角三角形，
所以
，即
，
∴
，∴
．
（ⅱ）因为
，所以
，
所以
．
又∵
，
∴
，
化简得
，
又∵
，∴
，
∴
，∴
．
【变式10】（2025·高三·山东·开学考试）已知
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
(1)求
；
(2)若
的面积为
，且∠BAC 的平分线交边BC 于点D，求AD 的最大值．
【解析】（1）在
中，由正弦定理得
.
因为
，所以
.
整理得
.
故
.
又
，故
（2）由
的面积为
，
得
，解得
，
∵
为内角
的角平分线，∴
，
由
，得
，
因此
，
，当且仅当
时取等号.
所以线段
长的最大值为
.
【变式11】已知函数
，
，且
在区间
上单调递增，
记
的最大值为
，设
.
(1)求
的解析式；
(2)在
中，
，
，其内切圆半径为r，点P 满足
.
①求r 的最大值；
②当r 取得最大值时，求
长的取值范围.
【解析】（1）由题意得
，由
可知
，故
，
当
时，
，
根据正切函数在区间
上单调递增，
所以
，即
,
所以
，代入可得
.
（2）①此时
，由
可得
，
不妨记△ABC 内角
的对边分别为
因为
，
由余弦定理可得
，即
，
故
，
由内切圆半径为r，利用等面积法可得：
，
于是
，
又因为
，所以
，
于是
，
故
，
故
，
当且仅当
时，等号成立.故r 的最大值为
.
②当r 取到最大值时，此时
，记
的中点为O，易知
，
于是由等腰三角形性质可知
，
因为
，
的中点为O，所以
故
且
，
当且仅当
三点共线时等号成立.故AP 长的取值范围是
.
题型七：常见数学史问题
【例题13】（2025·高三·黑龙江·开学考试）在
中，
对应的边分别为
，
.
(1)求角
的大小；
(2)奥古斯丁·路易斯·柯西是法国著名的数学家，他在数学领域有非常高的造诣，很多数学的定理和公式都
以他的名字来命名的，如柯西不等式、柯西积分公式等，其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中
有着广泛的应用.下列为三维柯西不等式：
，
其中
，当且仅当
时等号成立，在（1）的条件下，若
.
①求
的最小值；
②若
是
内一点，过点
作
的垂线，垂足分别为
，设
的面积为，求
的最小值.
【解析】（1）在
中，由
及正弦定理，
得
，而
，
则
，即
，
整理得
，即
，又
，
于是
，又
，所以
.
（2）①由正弦定理得
，
由柯西不等式得
，
当且仅当
，即
为正三角形时取等号，
所以
的最小值为108.
②
.
又
，
，由三维柯西不等式
得
，
当且仅当
，即
时等号成立，
因此
，
由余弦定理
，得
，则
，
，令
，则
，
由
，得
，当且仅当
时等号成立，
则
，即
，函数
，
则当
，即
时，
，
，
所以当
时，
取得最小值
.
【例题14】（2025·湖北·三模）
内一点O，满足
，则点O 称为三角形的布
洛卡点．王聪同学对布洛卡点产生兴趣，对其进行探索得到许多正确结论，比如
，请你和他一起解决如下问题：
(1)若a，b，c 分别是A，B，C 的对边，
，证明：
；
(2)在（1）的条件下，若
的周长为4，试把
表示为a 的函数
，并求
的取值范围．
【解析】（1）设
，
在
和
中，由正弦定理得
又
，
，
，
，又
，
，即
．
（2）
，即
，
又
成等比数列，设
（公比
）（
），
，解得：
，又
，得
，
由
且
，则
，故
在
上递增，
所以
在
上为减函数，易知
，
【变式12】已知在任意一个三角形的三边上分别向外作出一个等边三角形，则这三个等边三角形的中心也
构成等边三角形，我们称由这三个中心构成的三角形为外拿破仑三角形.在锐角
中，角
，
，
所
对的边分别为
，
，，且
，以
的边
，
，
分别向外作的三个等边三角形的中心
分别记为
，
，
，记
为
的外接圆半径.
(1)若
，求
的值；
(2)在（1）的条件下，求
边长的最大值；
(3)若
的面积为
，且
，求
面积的取值范围.
【解析】（1）在
中，由正弦定理
，得
，
又
是锐角三角形，所以
.
而
分别是以
为边的等边三角形的中心，
所以
，从而
.
（2）由（1）知
，
在
中，设
，
，
由余弦定理得
，即
，
故
，故
，同理
，
所以
.
而在
中由余弦定理有
，
.
当且仅当
时等号成立，从而
，
由题意可得
为等边三角形，故边长的最大值为
.
（3）由
的面积为
知
，
在
，
中分别由余弦定理有
①，
.
②
联立①②，消去
，
可得
.
所以
面积
，
又
，
所以
.
从而得
面积的取值范围是
.
【变式13】在△ABC 中，内角A，B，C 的对边分别是a，b，c，且
．
(1)求A；
(2)若
，求a；
(3)拿破仑定理是法国著名军事家拿破仑·波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，
向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形（此等边三角形称为
拿破仑三角形）的顶点．”如图，以BC，AC，AB 为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为
A'，B'，C'，若
，求△A'B'C'的面积的最大值．
【解析】（1）因为
，由正弦定理得
，
所以
．
又
，
所以
，
又
，所以
，可得
，
因为
，所以
．
（2）因为
，所以
，即
，
即
，
又因为
，所以
．
由正弦定理得
，
所以
，
，
由余弦定理可得
，
因
，代入可得：
，
解得
．
（3）由余弦定理得
，
即
，当且仅当
时取等号．
取AC 的中点G，因为
，所以
，
同理可得
，又
，
由余弦定理，
，
所以△A'B'C'的面积
．
即△A'B'C'面积的最大值为
．
题型八：四心问题
【例题15】
为锐角三角形，内角
的对边分别为
.已知
为
的外心，
为
上一
点，且
，
.
(1)求角
；
(2)若
，求
面积的取值范围；
(3)若
，求
的取值范围.
【解析】（1）因为
，由正弦定理得：
，
又
，
所以
，又
，所以
，
即
，由
，
所以
；
（2）由题意有
，
由正弦定理有：
，所以
，
由（1）由
，所以
，所以
，
又
为锐角三角形，所以
，所以
，所以
，
所以
，
，所以
，
所以
面积的取值范围为
；
（3）设
为
外接圆的半径，由正弦定理有
，即
，
所以
，由余弦定理有
，
所以
，
同理
，
又
，
所以
，所以
，
又由正弦定理得
，
所以
，
又
，所以
，所以
，所以
，
所以
，即
，
所以
的取值范围为
.
【例题16】已知
内角
的对边为
，点
是
的内心，若
．
(1)求角
；
(2)延长
交
于点
，若
，求
的周长；
(3)求
的取值范围．
【解析】（1）因为
，所以根据正弦定理得
，
化简得
.
因为
，所以
.
所以
，因为
，所以
.
（2）如图，
，
所以
，
化简得：
①.
根据余弦定理得
②，
①②联立方程组解得：
.
解得
，又
，所以
.
所以
的周长为
.
（3）令三角形
内切圆半径为.
因为
.
.
所以
，解得
.
因为
，所以
.
根据余弦定理得：
，
即
，故
‘
又
，解得
，
故
，
综上，
的取值范围为
.
【变式14】记
的内角
所对的边分别为
，向量
，且
.
(1)求角A；
(2)若
，点
为
的内心，求
面积的最大值.
【解析】（1）由题意得
，
由正弦定理得
，
因为
，所以
，所以
，
所以
，又
，所以
.
（2）解法一：由（1）知
，因为点
为
的内心，
所以
，
由三角形内角和定理得
.
在
中，由余弦定理得
，又
，
所以
，由基本不等式得
，
所以
，当且仅当
等号成立.
所以
的面积
所以
的面积的最大值为
；
解法二：设
的内切圆半径为，
所以
的面积
，
又
，所以
，
因为点
为
的内心，
所以
，
在
中，由余弦定理得
，即
，
所以
，即
，由基本不等式得
，
解得
，当且仅当
等号成立.
所以
，
所以
的面积的最大值为
.
【变式15】在
中，
，
，分别是角
，
，
的对边，已知
，
点
是
的中点，点
在线段
上，且
，线段
与线段
交于点
．
(1)求角
的大小；
(2)若
，求
的值；
(3)若
的面积
，点
是
的重心，求
的最小值．
【解析】（1）因为
，
所以由正弦定理可得
，整理得
，
故
，
因为
，所以
．
（2）如图，
由题意可得
，
，
因为
，
，
三点共线，
故可设
，
，
又因
，
，
三点共线，故
，
所以
，故
．
（3）连接
，
因为
，所以
，
因为
，
所以
，
于是
，两边平方化简得：
，当且仅当
时取等号，
所以
，即
．
所以
的最小值为
．
1．在
中，若
边上的高为
，求
的范围.
【解析】由三角形面积公式得
，
即
，
由余弦定理得
，故
，
，其中
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
又
，当且仅当
时，等号成立，
故
.
2．记△
的内角
的对边分别为
，已知
.
(1)求
；
(2)若
，求
的范围.
【解析】（1）由正弦定理得，
，
因为
，所以
，所以
，则
，
因为
，所以
，
所以
，所以
.
（2）因为
，则
，
因为
,
所以
.
所以
.
因为
.所以
.所以
，
所以
.
3．在
中，角
所对的边分别为
，
.
(1)求角
；
(2)若
，求
的范围.
【解析】（1）因为
，由正弦定理得，
，即
，
则
，
所以
，
即
，因为
，所以
，
可得
，因为
，所以
.
（2）因为
，
，则
，所以
，
，
由正弦定理可得，
，
所以
，
因为
，所以
，则
，
所以
，
当且仅当
，即
，
取得最大值是
，
所以
的范围为
.
4．在
中，内角
所对的边分别是
且
．
(1)求角A；
(2)若
，求
周长的范围．
【解析】（1）∵
， 由正弦定理得
，
由余弦定理得
．∵
，
∴
；
（2）由（1）知
，又已知
，由正弦定理得：
∵
，
∴
，
，
，
由
，于是
，
故
，于是
，
∴
周长的范围是
.
5．（2025·四川德阳·模拟预测）在
中，角
、
、
所对的边分别为
、
、，且
，
.
(1)求
；
(2)若
为锐角三角形，求
的面积范围.
【解析】（1）因为
，
，
所以
，
因为
，
所以
，则
，
因为
，
所以
，又
，则
，
所以
.
（2）设
的外接圆半径为
，则
，
所以
，
，
，
，
，
因为
为锐角三角形，
所以
，解得
，
则
，
则
，
所以
，
所以
的面积范围
.
6．（2025·广东广州·一模）
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c 且满足
，
．
(1)求角A 的大小；
(2)求
周长的范围．
【解析】（1）由余弦定理，
，
化简得
，
所以
，
因为
，所以
（2）由正弦定理：
，
则
，
，
由（1）
，故
因为
，则
，
所以
，即周长范围是
．
7．（2025·高三·安徽·开学考试）已知
的内角
满足
，
且
的面积大小为4.
(1)求边
长的最大值；
(2)当边
长取到最大值时，求
的周长.
【解析】（1）由条件知
，
即
，
展开得
，
于是
，
展开得
，
设
的外接圆半径大小为
，
则根据正弦定理得
，
解得
，
所以
，
于是当
时，边
长最大，最大值为8．
（2）由（1）知
，此时
，
于是
，
，
所以
，因为
，
所以
，即
于是
，
所以
的周长为
．
8．（2025·高三·河北·开学考试）在
中，内角
所对的边分别为
，且
.
(1)求角
；
(2)若
边
上的中线
的长度为
，求
面积的最大值．
【解析】（1）在
中，
，
代入
整理得
，
又因为
，
，所以
，
所以
，解得
，
因为
，所以
，解得
.
（2）因为
是
中点，所以
，
两边平方得
，
所以
，即
，
又由均值不等式可得
，
当且仅当
时等号成立，所以
，
所以
，即
面积的最大值为
.
9．（2025·高三·山东烟台·开学考试）
满足：
(1)求角
的大小；
(2)
为
的中点，且
，求
的最大值
(3)若
为
外一点，
，求四边形
面积的最大值
【解析】（1）根据题意由正弦定理有：
，即
，
由余弦定理有
，又
，
所以
；
（2）在
中，
，
由余弦定理有：
，
所以
，
所以
当
时，即
时，等号成立，
的最大值为
；
（3）设
，在
中，由余弦定理得
，
所以
，
又
，所以
为等边三角形，
所以四边形
的面积为
，
当
时，即
时，
，
所以四边形
的面积最大值为
.
10．（2025·高三·江苏南通·开学考试）在锐角三角形
中，记
分别为内角
的对边，
．
(1)求
的值；
(2)求角
的最大值．
【解析】（1）因为
，由正弦定理可得
，
又因为
，
即
，
且
为锐角三角形，则
，则
，
可得
，所以
.
（2）因为
，且
，则
，
可得
，解得
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
则
，
因为
，则
，
可得
，
，
则
，
即
的最大值为
，且
，
所以角
的最大值为
.
11．已知
的内角
的对边分别为
，
的面积为，已知
.
(1)求
；
(2)若
，求
的面积的最大值.
【解析】（1）由余弦定理可得
，所以
.
由三角形面积公式可知
及
，可得
，即
.
因为
，所以
.又
，所以
.
（2）由（1）知
.
因为
，所以由余弦定理可得
.
由不等式可得
，所以
，即
，
当且仅当
时等号成立，
有最大值为16.
所以
，
所以
的面积的最大值为
.
12．在①
，②
，③
，三个条件中
任选一个补充在下面的横线上，并加以解答．（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计
分．）
在锐角
中，
的面积为S，角A，B，C，所对的边分别为a，b，c，且选条件：_____________．
(1)求角A 的大小；
(2)若E 为BC 中点，且
，
，求AC 的值；
(3)如图所示，作
（A、D 位于直线BC 异侧），使得四边形
满足
，
，
求AC 的最大值．
【解析】（1）选①：
，
由正弦定理，可得
，
再由余弦定理，可得
，
又
，所以
；
选②：由
，可得
，
又
，所以
；
选③：由
，可得
，即
，
即
，解得
或
（舍），
又
，所以
；
（2）如图，因为E 为BC 中点，所以
，
所以
，即
，
即
，
因为
，
，
，
所以
，即
，
解得
，即AC 的值为2；
（3）已知
，
，
，
设
，则
，
，
在
中，由正弦定理得
，
可得
，
在
中，由正弦定理得：
，
可得
，
因为
是锐角三角形，所以
，解得
则
，
故当
时，可得AC 的最大值是
．
13．在
中，角
，
，
的对边分别是
，
，，向量
，
，且
.
(1)若
，
，求
面积的最大值；
(2)若
，求
的取值范围.
【解析】（1）因为
，所以
，即
，
由正弦定理得
，
所以
.
即
因为
，所以
，
所以
，所以
.
因为
，所以
.
因为
，所以
，
所以
，
所以
，
因为
，且
，
所以
，当且仅当
时，等号成立，
则
的面积
，
即
面积的最大值为
.
（2）由正弦定理可得
，
则
，
，
故
，
在
中，
，所以
，
所以
，所以
，
则
，
即
的取值范围为
.
14．如图，平面上有四点
，其中
为定点，
，
为动点，满足
，
设
与
的面积分别为
．
(1)若
，求角
的值；
(2)求
的最大值．
【解析】（1）因为
，
所以
，
得
，
．
（2）如图，设
，
由余弦定理和柯西不等式得：
，
由
且
，
得
，
所以
，
从而
，故所求最大值为
．
15．“我将来要当一名麦田里的守望者，有那么一群孩子在一块麦田里玩，几千万的小孩子，附近没有一
个大人，我是说……除了我”《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠
的麦田．假设霍尔顿在一块成凸四边形
的麦田里成为守望者，如图所示，为了分割麦田，他将BD
连接，设
中边
所对的角为
，
中边
所对的角为
，经测量知
，
．
(1)若
，求
；
(2)霍尔顿发现无论
多长，
为一个定值，请你验证霍尔顿的结论，并求出这个定值；
(3)霍尔顿发现麦田的生长与土地面积的平方呈正相关，记
与
的面积分别为
和
，为了更
好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求出
的最大值．
【解析】（1）由
，
．
，
在
中，由余弦定理得
,
所以
.
又
，所以
是等边三角形，
所以
；
（2）在
中，由余弦定理得
在
中，由余弦定理得
，
∴
所以
为定值；
（3）
，
则
，
由（2）知：
，∴
代入上式得：
，
配方得：
，
∵
又
,
所以当
时，
取到最大值14．
16．已知
，
，
，设
的内角
所对的边分别为
，
，，且
．
(1)若
，
，
为角A 的平分线，且交
于点
，求
的长；
(2)若
的面积为
，
为
的中点，求
长的最小值；
(3)若
，求
周长的取值范围．
【解析】（1）
，
由
，
由
，
因此有
，
由已知得
，
且
为角A 的平分线，所以
，
因为
，
则
，
即
，解得
．
（2）由已知
，又
的面积为
，
则
，解得
，
又
，
则
当且仅当
时，等号取到，所以
；
即
边
上中线
长的最小值为
．
（3）由正弦定理可知：
，
因此有
，
因为
，所以
因此
周长的取值范围为
．
17．在
中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c．若
，
(1)求证：
是等腰三角形；
(2)己知
的面积为18，点D 满足
，求线段AD 的最小值．
【解析】（1）因为
，
所以
，
由正弦定理得
，
所以
，
即
，可得
，
所以
是等腰三角形；
（2）因为点D 满足
，所以
；
所以
，
所以
，
在
中，由余弦定理可得
，
又由（1）知
，
所以
，整理得
，
，
因为
，所以
，所以
，
，
由（1）中
可知
为锐角，则
，
，
所以
，
当且仅当
，
时取等号，
所以线段
的最小值为
.
18．在
中，
，
，分别是角
，
，
的对边，若
，
.
(1)求角
的大小；
(2)若
且
，点
，
是边
上的两个动点，
且
.
（i）设
，用
表示
；
（ii）设
的面积为，求的最小值.
【解析】（1）因为
，
由正弦定理得，
，
即
，
所以
，
由
，得
，所以
，即
，
因为
，所以
.
（2）因为
，
，
所以由余弦定理得：
，
即
，解得
，所以
，
或
，
.
因为
，所以
，
，
所以
，即
，则
；
（i）如图，设
，
，
则在
中，由正弦定理得
，所以
.
（ii）在
中，由正弦定理得
，所以
.
所以
的面积为：
.
因为
，所以
，
故当
，即
时，
.
19．在
中，内角
的对边分别为
，且
.
(1)求角
的大小；
(2)若
的面积
，求
面积的最小值.
【解析】（1）
中，
，由正弦定理得
，
即
，
故
，又
，则
，
即
，
又
，可得
；
（2）
，则
，
由余弦定理得
，
即
，即当且仅当
时，等号成立，
故
面积的最小值为
.
20．在等腰直角三角形
中，斜边
，点
，
均在线段
上（不含端点），且
.
(1)若
，求
的长；
(2)求
的面积的最小值.
【解析】（1）在等腰直角三角形
中，斜边
，点
，
均在线段
上（不含端点），
所以
，在
中，
，
所以
，
所以
或
；
（2）
过
作
交
于
，则
，
设
，
所以
所以
的面积为
，
因为
，所以
，
所以
，所以
，
所以
，当且仅当
时，
取最小值
，
所以面积的最小值为
.
21．“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：在一个三角形内求作一点，
使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.意大利数学家托里拆利给出了解答，当
的三个内角均小
于
时，使得
的点
即为费马点；当
有一个内角大于或等于
时，
最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面的问题：
(1)若
是边长为
的等边三角形，求该三角形的费马点
到各顶点的距离之和；
(2)
的内角
所对的边分别为
，且
，点
为
的费马点.
（i）若
，求
的值；
（ii）求
的最小值.
【解析】（1）由
为等边三角形，三个内角均小于
，得费马点
在三角形内，
满足
，且
，如图，
过
作
于
，则
，
，
所以该三角形的费马点
到各顶点的距离之和为
．
（2）（i）由正弦定理得
，而
，
，
则
，即
，得
，则
的三个角都小于
，
由费马点定义知，
，
设
，
，
由
得：
，
整理得
，则
．
（ii）由（i）知
，点
在
内部，且
，
设
，
，
则
，
由余弦定理得，
，
，
，
而
，即
，
整理得
，即
，则
，
当且仅当
，即
时取等号，
所以
的最小值为
.
22．“费马点”是三角形内部与其三个顶点的距离之和最小的点．对于每个给定的三角形，都存在唯一的
费马点，当
的三个内角均小于
时，使
的点
即为费马点．已知
中，角
，
，
所对的边分别为
，
，，
，
，点
是
的
费马点．
(1)求
；
(2)若
，求
的面积；
(3)求
周长的取值范围．
【解析】（1）因为
，
由正弦定理得
，
又因为
，
代入整理可得
，
且
，则
，可得
，
整理可得
，
且
，则
，
可得
，所以
.
（2）设
，
则
，
即
，
所以
的面积为
.
（3）由正弦定理可得
，
可得
，
则
周长为
，
又因为
，则
，
可得
，
，
所以
周长的取值范围为
.
23．在
中，角
，
，
所对的边分别为
，
，，满足
．
(1)求角
．
(2)
为边
上一点，且
．
①若
，求当
取最小值时
的值；
②若
为角平分线，求
的取值范围．
【解析】（1）
，
由正弦定理得：
，
展开得：
，
，而
,
，
故
，
，
，
，故
．
（2）①
，
，
，
，
，
根据余弦定理：
，
，
令
，
则
，
则当且仅当
时等号成立，
解得：
时，
时，
取最小值．
②
为
的角平分线
在
中，由正弦定理得
，
即
，
,
,
，
．
又
，
,
，
，当且仅当
时等号成立，
故
24．已知
的内角
，
，
的对边为
，
，，且
.
(1)求
；
(2)若
的面积为
；
①
为
的中点，求
底边
上中线
长的最小值；
②求内角
的角平分线
长的最大值.
【解析】（1）因为
，
由正弦定理得
，即
，
由余弦定理
，因为
，所以
，
所以
；
（2）①由（1）知
，
因为
的面积为
，所以
，解得
，
由
为
的中点，所以
，
所以
，当且仅当
时，等号取得到，
所以
，则
，故
的最小值为
；
②因为
为角
的角平分线，所以
，
由于
，
所以
，
所以
，
又
，所以
由于
，当且仅当
时，等号取得到，
故
，故
，故
的最大值为
25．已知函数
的最小正周期为
.
(1)求
的解析式；
(2)在
中，O 为
的外心，角A 所对边的长为a，若
的外接圆半径为1，且
，求
面积的最大值.
【解析】（1）
的最小正周期为
，
，
，所以
.
（2）已知角
所对边的长为
，再设角
所对边的长为
．
因为
的外接圆半径为，所以
，
因为
，所以
，
所以
，化简得
，
过点
作
交
于点
，
设
，则
，
则
即
，
所以
，
所以
，当
时取“等号”
∴
面积的最大值为
．
26．在锐角
中，角A，B，C 所对的边分别是a，b，c，若
.
(1)求
；
(2)若
为_______，线段
的延长线交
于点
，求
的最大值或最小值.
（从条件①内心，
，②垂心，
③重心，
，任选一个作答）
【解析】（1）由正弦定理可得
，
又
，
所以
，
又
，
所以
，即
，又
，所以
；
（2）若选条件①：
因为
为
的内心，所以
，
由
，得
因为
，所以
，
所以
，即
，
所以
.
当且仅当
时取面积最小值
.
若选条件②：
因为
为
的垂心，且
，
所以
，
故
，即
，
又
，
即
，所以
所以
.
当且仅当
时取面积最小值
.
若选条件③：
因为
为
的重心，且
，所以
，
又
，故
，
即
，
即
，所以
所以
.
当且仅当
时取最大值
.
