微专题14 数列中的最值、范围问
题
近几年高考：近几年高考试题中,与数列有关的最值范围问题
既有解答题,也有选择、填空题,难度中档或偏上.
一、高考真题
1.(2024·上海卷)等比数列{an}的首项a1>0,公比q>1,记In={x-y|
x,y∈[a1,a2]∪[an,an+1]},若对任意正整数n,In是闭区间,则q 的
取值范围是 .
2.(2021·浙江卷)已知数列{an}的前n 项和为Sn,a1=-9
4
,且
4Sn+1=3Sn-9(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设数列{bn}满足3bn+(n-4)an=0(n∈N*),记{bn}的前n 项和为
Tn.若Tn≤λbn对任意n∈N*恒成立,求实数λ 的取值范围.
二．典型例题
1. 求数列和式的最值、范围
例1 (2025·长沙调研)已知数列{an}是首项等于1
16
的等比数列,
公比q∈N*,Sn是它的前n 项和,满足S4=5S2.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=logaan(a>0 且a≠1),求数列{bn}的前n 项和Tn的最值.
规律方法 求数列和式最值、范围的基本方法
(1)利用不等式组{
Sn≥Sn+1,
Sn≥Sn−1
(n≥2)确定和式的最大值;
利用不等式组{
Sn≤Sn+1,
Sn≤Sn−1
(n≥2)确定和式的最小值.
(2)利用和式的单调性(要先判断其单调性).
(3)把数列的和式看作函数求其最值、值域.
训练1 (2025·连云港调研)记数列{an}的前n 项和为Sn,对任意
n∈N*,有Sn=n(an+n-1).
(1)证明:{an}是等差数列;
(2)若当且仅当n=7 时,Sn取得最大值,求a1的取值范围.
2. 求n 的最值或范围
例2 已知数列{an}是递增的等比数列.设其公比为q,前n 项和为
Sn,且满足a1+a5=34,8 是a2与a4的等比中项.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若bn=n·an,Tn是{bn}的前n 项和,求使Tn-n·2n+1>-100 成立的
最大正整数n 的值.
规律方法 求n 的值或最值,一般涉及数列的项或和的最值与
范围,通常化归为解关于n 的不等式,或根据数列的单调性求解.
训练2 (2025·丹东段测)记Sn为等差数列{an}的前n 项和,
4Sn=anan+1+1,an≠0,n∈N*.
(1)求{an}的通项公式;
(2)若bn= Sn
2
2
an ,求使bn取得最大值时n 的值.
3. 求数列不等式中参数的取值范围
例3 (2025·重庆质检)已知数列{an}的前n 项和为Sn,满足2Sn+1-
Sn=2,a1=1.
(1)求{an}的通项公式;
(2)若数列{bn},{cn}满足bn=-2log2an,cn=bn+2
an
,{cn}的前n 项和
为Tn,若不等式Tn-2≥λcn对一切正整数n 恒成立,求λ 的取值范
围.
易错提醒 求数列不等式中参数的取值范围问题要看清楚是恒
成立,还是有解问题,若f(n)≥M 恒成立,则f(n)min≥M;若
f(n)≥M 有解,则f(n)max≥M.
训练3 已知数列{an}中,an=1+
1
k +2(n−1)
(k≠0).
(1)若k=-7,求数列{an}中的最大项和最小项的值;
(2)若对任意的n∈N*,都有an≤a6成立,求k 的取值范围.
【精准强化练】
一、单选题
1.(2025·哈尔滨模拟)设等差数列{an}的前n 项和为Sn,若
a4+a7<0,S9>0,则Sn的最大值为( )
A.S4
B.S5
C.S6
D.S7
2.(2025·兰州调研)已知数列{an}为等比数列,a1=512,公比q=1
4
,
则数列{an}的前n 项积Tn最大时,n=( )
A.4
B.5
C.6
D.7
3.(2025·丽水模拟)已知等比数列{an}的首项为m,且
0<m<1,an>0,n∈N*,Sn为数列{an}的前n 项和,Tn为数列{an}的
前n 项的积,若S3=7m,Tn中仅有T4最小,则实数m 的取值范围
是( )
A.(
1
16 , 1
8)
B.(8,16]
C.[1,8]
D.(
1
32 , 1
8)
4.若数列{an}的前n 项积bn=1-2
7
n,则an的最大值与最小值之和
为( )
A.-1
3
B.5
7
C.2
D.7
3
5.(2025·安庆调研)已知数列{an}的前n 项和为Sn,且Sn+an=1,设
bn=n−λ
an
,若数列{bn}是递增数列,则λ 的取值范围是( )
A.(-∞,2)
B.(2,+∞)
C.(-∞,3)
D.(3,+∞)
6.(2025·Z20 名校联盟二联)定义在(0,+∞)的增函数f(x)满足:f(x)
+f(y)=f(xy)-1,且f(2)=0,f(an)=n-1.已知数列{an}的前n 项和为
Sn,则使得Sn<2 025 成立的n 的最大值是( )
A.8
B.9
C.10
D.11
7.(2025·滨州联测)设数列{an}的前n 项和为Sn,a2=3,且(n+1)
(Sn+1-Sn)=(n+2)an.若存在n∈N*,使得2Sn+14≤kan成立,则k 的最
小值是( )
A.4❑√3+1
B.42
5
C.15
2
D.8
8.(2025·开封质检)如果数列{an}对任意的n∈N*均有
an+2+an>2an+1恒成立,那么称数列{an}为“M-数列”,下列数列
是“M-数列”的是( )
A.an=2n-1
B.an=-3n
C.an=n×2n
D.an=n2×(
1
2)
n
二、多选题
9.(2025·杭州模拟)设等比数列{an}的公比为q,其前n 项和为Sn,
前n 项积为Tn,并满足条件:a1>1,a2 024a2 025>1,a2 024−1
a2 025−1
<0,下
列结论正确的是( )
A.S2 024<S2 025
B.a2 024a2 026<1
C.T2 024是数列{Tn}中的最大值
D.数列{Tn}无最大值
10.(2025·西宁二模)已知数列{3n-1an}的前n 项和为n·3n,则(
)
A.an=2n+1
B.数列{an}的前n 项和为2n2+n
C.数列{an-10}的前n 项和的最小值为-16
D.数列{
1
anan+1}的前n 项和小于1
6
11.(2025·广州调研)已知a1=1,an+1
an
= λn
2−2n
n+1
(λ≥0).下列选
项中正确的有( )
A.存在λ,使存在正整数N,使n≥N 时,an+1<an恒成立
B.存在λ,使不存在正整数N,使n≥N 时,an+1<an恒成立
C.存在λ,使存在正整数N,使n≥N 时,an+1>an恒成立
D.存在λ,使不存在正整数N,使n≥N 时,an+1>an恒成立
三、填空题
12.(2025·南昌调研)已知在数列{an}中,a1=2,an+1=n+1
n+2
an,设数
列{anan+1}的前n 项和为Sn,若不等式(n+8)k≥Sn对∀n∈N*恒成
立,则k 的最小值为 .
13.(2025·武汉调研)已知数列{an},{cn}满足a1=1,an+1=2an+1,cn=
1
(2n+1)(2n+3),设数列{cn}的前n 项和为Tn,若存在m 使
得Tn> 1
am
对任意的n∈N*都成立,则正整数m 的最小值为
.
14.(2025·福州质检)若x=1 是函数f(x)=an+1x4-anx3-an+2x+1 的极值
点,数列{an}满足a1=1,a2=3,设bn=log3an+1,记[x]表示不超过x 的
最大整数.设Sn=[2 025
b1b2
+2 025
b2b3
+…+2 025
bnbn+1
],若不等式
Sn≥t 对∀n∈N*恒成立,则实数t 的最大值为 .
四、解答题
15.(2025·石家庄质检)已知各项为正的数列{an}的首项为
2,a2=6,an+2an+1-2an+1
2
=an+1an-an
2-anan+2.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设数列{an}的前n 项和为Sn,求数列{Sn+an-28}前n 项和的最
小值.
16.(2025·银川调研)已知等比数列{an}的前n 项和为Sn,S2=1
2
,a2+a3=-1
4
.
(1)求{an}的通项公式;
(2)若bn={
an+1+n,n 为奇数,
|an|,n 为偶数,
求数列{bn}的前n 项和Tn;
(3)若存在正整数n,使得(Sn-m)(Sn+1-m)<0 成立,求m 的取值范
围.
.
