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专题1 数列中的证明问题
新高考在试题形式、试卷结构、难度调控等方面深化改革,数列解答题的难度增加,作为压轴题出现
的概率变大,证明一个数列是等差数列、等比数列或证明数列满足某些条件是数列中的一种重要题型,对
逻辑推理能力要求较高,对式子变形能力要求较高,常出现在解答题第1 小题,本专题总结等差数列与等比
数列及其他数列的证明常用方法及技巧.
(一) 利用等差数列定义证明数列是等差数列
利用定义法证明
是等差数列,就是证明对任意n∈N*,an＋1－an是同一常数．
【例1】（2024 届四川省自贡市高三第三次诊断）已知数列
的前项和为
,且
．
(1)证明：数列
为等差数列；
(2)若
,
,
成等比数列,求
的最大值．
【解析】（1）数列
满足
①,
当
时,有
②,
①②可得：
,
即
,变形可得
,
故数列
是以
为等差的等差数列；
（2）由（1）可知数列
是以
为等差的等差数列,
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若
,
,
成等比数列,则有
,
即
,解得
,所以
,
所以
单调递减,又当
时,
,当
时,
,当
时,
,
故当
或
时,
取得最大值,
且
．
【例2】（2024 届河北省沧州市泊头市第一中学等校高三下学期5 月高考模拟）已知数列
满足
.
(1)证明：数列
为等差数列,并求
；
(2)令
,求数列
的前项和
.
【解析】（1）由
,知
,
所以
,
所以数列
是以
为首项,-1 为公差的等差数列,
所以
,
所以
.
（2）因为
,
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所以
.
(二)利用
证明数列是等差数列
若对任意n∈N*,数列
满足2an+1＝an＋2＋an,则
是等差数列.
【例3】已知数列
有
,
（常数
）,对任意的正整数n,
,并有
满足
．
(1)求a 的值；
(2)证明数列
是等差数列．
【解析】（1）由已知,得
,
所以
.
（2）由
得
,则
,
所以
,
即
,
于是有
,并且有
,
所以
,
即
,
而
是正整数,
,即
,
所以数列
是等差数列.
(三)证明数列不是等差数列
证明数列不是等差数列,一般只需要证明该数列的连续3 项不成等差数列,通常利用反证法证明.
【例4】给定数列
,若首项
且
,对任意的
,都有
,则称数列
为“指数型
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数列”.
(1)已知数列
为“指数型数列”,若
,求
；
(2)已知数列
满足
,判断数列
是不是“指数型数列”？若是,请
给出证明；若不是,请说明理由；
(3)若数列
是“指数型数列”,且
,证明：数列
中任意三项都不能构成等差数列.
【证明】（1）因为数列
是“指数型数列”,所以对于任意的
,
都有
.因为
,
所以
,
.
（2）数列
是“指数型数列”.
证明:由
,得
,即
,
所以数列
是等比数列,且
,
则
,
,
所以数列
是“指数型数列”.
（3）因为数列
是“指数型数列”,故对任意的
,
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有
,则
,所以
,
适合该式.
假设数列
中存在三项
构成等差数列,不妨设
,
则由
,得
,
所以
,
当
为偶数且
时,
是偶数,而
是奇数,
是偶数,
故
不能成立；
当
为奇数且
时,
是偶数,而
是偶数,
是奇数,
故
不能成立；
所以,对任意的
,
不能成立,
即数列
中任意三项都不能构成等差数列.
(四)利用等比数列的定义证明数列是等比数列
利用定义法证明
是等比数列,就是证明对任意n∈N*,
是同一常数．
【例5】（2024 届浙江省北斗星盟高三下学期适应性联考）在直角坐标平面内有线段
,已知点
是线
段
上靠近
的三等分点,点
是线段
上靠近
的三等分点,……,点
是线段
（
,
）上靠近
的三等分点,设点
的横坐标为
.
(1)求证：数列
为等比数列；
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(2)若
,
,求
的通项公式.
【解析】（1）解：由题意得
所以
,可得
,
又由
,所以
所以数列
是首项为
,公比为
的等比数列.
（2）解：因为
,
,所以
,
因为数列
是公比为
的等比数列,所以
时,
.
由累加法可得
时,
,即当
时,
,
经检验,
满足上式,所以数列
的通项公式
.
【例6】（2024 届湖南师范大学附属中学高三下学期模拟）记
为数列
的前项和,已知
.
(1)证明：数列
是等比数列；
(2)求最小的正整数
,使得
对一切
都成立.
【解析】（1）由题知
,
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用
替换上式的,得
.
两式作差,
,即
.
而由
,可得
.
从而
是首项为,公比为的等比数列.
（2）由（1）得
,于是
,
设
,则
,
当
时,
,故
,
两式作差,得
.
整理可得
.
故
,又
,因此满足条件的最小正整数
为.
(五)利用
证明数列是等比数列
若对任意正整数n,都有
,且
,则数列
是等比数列.
【例7】（2024 届贵州省毕节市高三第三次诊断性）在无穷数列
中,若对任意的
,都存在
,
使得
,则称
为m 阶等差数列.在正项无穷数列
中,若对任意的
,都存在
,
使得
,则称
为m 阶等比数列．
(1)若数列
为1 阶等比数列,
,
,求
的通项公式及前n 项的和；
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(2)若数列
为m 阶等差数列,求证：
为m 阶等比数列；
(3)若数列
既是m 阶等差数列,又是
阶等差数列,证明：
是等比数列．
【解析】（1）因为
为1 阶等比数列,所以
为正项等比数列,
设公比为,则为正数,
由已知得
,解得
,
因为
,所以
,所以
,
所以
的通项公式为
,
前n 项的和为
；
（2）因为
为m 阶等差数列,所以对任意的
,都存在
,
使得
成立,
所以
,
即
,所以
为m 阶等比数列；
（3）因为
既是m 阶等差数列,又是
阶等差数列,
所以对
,有
与
同时成立,
所以
与
同时成立,
所以
,
,
成等比,
,
,
成等比,
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由
,
,
成等比,得
,
,
也成等比,
设
,
,
所以
,所以数列
是等比数列.
(六)证明数列不是等比数列
证明数列不是等比数列,一般只需要证明该数列的连续3 项不成等比数列,通常利用反证法证明.
【例8】（2024 届湖北省武汉市高三下学期5 月模拟训练）混沌现象普遍存在于自然界和数学模型中,比如
天气预测、种群数量变化和天体运动等等,其中一维线段上的抛物线映射是混沌动力学中最基础应用最广泛
的模型之一,假设在一个混沌系统中,用
来表示系统在第
个时刻的状态值,且该系统下一时刻的状
态
满足
,
,其中
.
(1)当
时,若满足对
,有
,求
的通项公式；
(2)证明：当
时,
中不存在连续的三项构成等比数列；
(3)若
,
,记
,证明：
.
【解析】（1）当
时,
,依题意,
①,
②,
两式作差,
,则
或
,
若
,代入①式解得,
或
,而
,于是
；
若
,将
代入②式解得,
.
因此必有
.
注意到
,
,从而由
归纳即知
是常数列
.
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所以
的通项公式为
.
（2）假设
,
,
构成等比数列,则
.
那么由
,
可知
.
又
,则
,解得
,与
矛盾.
所以
中不存在连续的三项构成等比数列.
（3）由于当
时,有
,
,即
.
而
,
,故归纳即知对任意正整数
都有
.
又由
及
可知
,故数列
单调递减.
又由于
,故
.
(七)证明数列是新定义的数列
此类问题通常把满足某些条件的数列称为一类新数列,求解关键是证明所给数列满足新数列给定条件
【例9】（2024 届山东省枣庄市高三三调）若数列
的各项均为正数,对任意
,有
,则称
数列
为“对数凹性”数列．
(1)已知数列1,3,2,4 和数列1,2,4,3,2,判断它们是否为“对数凹性”数列,并说明理由；
(2)若函数
有三个零点,其中
．
证明：数列
为“对数凹性”数列；
(3)若数列
的各项均为正数,
,记
的前n 项和为
,
,对任意三个不相等正整数p,q,r,存在
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常数t,使得
．
证明：数列
为“对数凹性”数列．
【解析】（1）根据“对数凹性”数列的定义可知数列1,3,2,4 中
不成立,
所以数列1,3,2,4 不是“对数凹性”数列；
而数列1,2,4,3,2 中
均成立,所以数列1,2,4,3,2 是“对数凹性”数列；
（2）根据题意及三次函数的性质易知
有两个不等实数根,
所以
,
又
,所以
,
显然
,即
不是
的零点,
又
,
令
,则
也有三个零点,
即
有三个零点,
则
有三个零点,
所以
有两个零点,
所以同上有
,
故数列
为“对数凹性”数列
（3）将
互换得：
,所以
,
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令
,得
,
所以
,故数列
是等差数列,
记
,所以
,
所以
,
又因为
,所以
,
所以
,所以
为单调递增的等差数列,
所以
.
所以
所以
,数列
是“对数凹性”数列.
【例10】（2024 届江苏省南京市高三二模）已知数列
的前n 项和为
．若对每一个
,有且仅有
一个
,使得
,则称
为“X 数列”.记
,
,称数列
为
的“余项数
列”.
(1)若
的前四项依次为0,1,
,1,试判断
是否为“X 数列”,并说明理由；
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(2)若
,证明
为“X 数列”,并求它的“余项数列”的通项公式；
(3)已知正项数列
为“X 数列”,且
的“余项数列”为等差数列,证明：
．
【解析】（1）由题
,
所以有
,
,
故根据“X 数列”的定义
不是“X 数列”.
（2）因为
,
所以当
时,
；
当
时,
；
则
不满足
,所以
,
令
,即
,
则当
时,有
,
；
当
时,有
；故
即
,
则对每一个
,有且仅有一个
且
,使得
,
综上,对任意
,有且仅有一个
,使得
,
所以
为“X 数列”,
由上
,
,
即
的“余项数列”通项公式为
,
.
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（3）因为
是正项数列,所以
单调递增,
所以
,故
,
因为
,且
为“X 数列”,
所以
,故由
得
,
的“余项数列”
为等差数列,故其公差
,
因为
,所以
,
若
,则当
时,
,与
矛盾,
故
,所以
,
,即
,
对于
,若
,则
,与正项数列
矛盾,
所以
,故
,
所以
,故
,
所以
,
又
,
所以
,
.
(八)证明数列的单调性
证明数列
是递增（减）数列,通常是证明（
）,若
,也可根据
（
）
来证明.
【例11】（2024 届湖南省长沙市第一中学高三下学期模拟）已知函数
．
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(1)判断并证明
的零点个数
(2)记
在
上的零点为
,求证;
（i）
是一个递减数列
（ii）
．
【解析】（1）当为奇数时,
有1 个零点；当为偶数时,
有2 个零点.
证明如下：
当
时,由
,得
,
所以函数
在
上单调递增,又
,
,
所以函数
在
内有唯一零点；
当
时,
,
若为奇数,
,则
,此时
在
内无零点；
若为偶数,设
,
则
,方程
有一个解
,
所以函数
在
上单调递减,在
上单调递增,
且
,此时
在
内有1 个零点.
综上,当为奇数时,
有1 个零点；当为偶数时,
有2 个零点.
（2）（i）由（1）知,当
时,
在在
内的零点
,
当
时,
,
,
则
,
故
,所以数列
是一个递减数列；
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（ii）由（i）知,当
时,
,
当
时,
,
有
,所以
,求和可得
,当且仅当
时等号成立；
当
时,
,
故
,则
,得
,
即
,即
,即
,
即
,即
,
即
,当
时,
,
所以当
时,均有
成立,求和可得
.
综上,
.
(九)数列中的等式与不等式的证明
数列中的等式证明,通常是根据已知条件进行恒等变形,数列中的不等式证明,常见的是与求和有关的证明,证
明时或者先求和,再放缩,或者先放缩成可求和的数列,再求和.
【例12】（2024 届重庆市主城区高三下学期学业质量调研抽测）高斯是德国著名的数学家,近代数学的奠
基者之一,享有“数学王子”的称号,用其名字命名的“高斯函数”定义为：对于任意实数x,记
表示不超
过x 的最大整数,则
称为“高斯函数”．例如：
,
．
(1)设
,
,求证：
是
的一个周期,且
恒成立；
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(2)已知数列
的通项公式为
,设
．
①求证：
；
②求
的值．
【解析】（1）
．
故是
的一个周期．
当
时,
,
,故
．
由于周期为
,故对任意
,都有
．
（2）①记
．
,则
．
∵
,∴
．
而
．∴
．
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∴
,∴
．
②由①知
,则
．
由（1）知：对任意
,都有
,
∴
．∴
．
∵
,∴
．
令
,
∵
；
．
∵
,∴
．
【例1】（2024 届辽宁省高考扣题卷二）在直角坐标平面内,将函数
及
在第一象限
内的图象分别记作
,
,点
在
上．过
作平行于x 轴的直线,与
交于点
,再过点
作平行于y 轴的直线,与
交于点
．
(1)若
,请直接写出
,
的值；
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(2)若
,求证：
是等比数列；
(3)若
,求证：
．
【解析】（1）易知当
时,代入函数解析式可知：
,所以
,
．
（2）依题意,由
可得
因为
在
上,所以
,
又
,所以
,整理可得
,
所以
①,且
②,
由
得
,
又由
,得
,即
是以
为公比的等比数列；
（3）若
,由（2）得
,
因为
,所以
,
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因为
,所以
,
又因为
,
所以
所以
,从而
,
所以
从而
|
所以
.
【例2】（2024 届黑龙江省高三信息押题卷四）若给定数列
,对于任意的
,若满足
,则
称
为“
型数列”．若数列
满足：
,
,当
时,
．
(1)判断数列
是否为“
型数列”,并证明；
(2)求数列
的通项公式；
(3)若
,
,使不等式
成立,求实数
的取值范围．
【解析】（1）数列
是“
型数列”,理由如下：
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由
,得
,
因为
,则
,
所以数列
是首项为2,公比为2 的等比数列,
则
,
,
,
所以数列
满足“
型数列”的定义,
即数列
是“
型数列”．
（2）由（1）知
,
,…,
,
累加得
,
又
,所以
．
（3）由（2）可知,
,不等式
有解,
整理为
,
有解,即
,
设
,
,则
,
设
,
,
,
所以
在
上单调递增,
,所以函数
的值域为
,
则
,当
时,
,所以
,
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所以
的取值范围是
．
【例3】（2024 届四川省成都市第七中学高三下学期热身考试）记数列
的前n 项和为
,已知
．
(1)若
,证明：
是等比数列；
(2)若
是
和
的等差中项,设
,求数列
的前n 项和为
．
【解析】（1）对
①,当
时,有
②,
：
,即
,
经整理,可得
,
,故
是以
为首项、
为公比的等比数列．
（2）由（1）知
,有
,
,
题设知
,即
,则
,故
．
而
,
故
.
【例4】（2024 届上海交通大学附属中学高三下学期摸底考试）设
和
是两个等差数列,记
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
【www.xue-ba.org 12 年学霸网】
,其中
表示
,
,
,
这个数中最大的
数．
(1)若
,
,求
,
,
的值；
(2)若
为常数列,证明
是等差数列；
(3)证明：或者对任意正数
,存在正整数
,当
时,
；或者存在正整数
,使得
,
,
,
,
是等差数列．
【解析】（1）已知
,
,
,
,
,
,
,
,
当
时,
,
当
时,
,
,
,
当
时,
,
,
,
,
（2）设
（为常数）,
的通项公式为
.
,
先考虑
,
则
时,
,
所以
.
当
时,则
,
,
此时
为常数,所以
是等差数列；
当
时,则,
,
此时
是常数列,也是等差数列；
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综上所述：
是等差数列；
（3）设数列
和
的公差分别为
,
则
,
所以
,
①当
时,取正整数
,则当
时,
,因此
,
此时,
是等差数列；
②当
时,对任意
,
此时,
是等差数列；
③当
时,当
时,有
,
所以
,
对任意正数
,取正整数
,
故当
时,
.
【例5】（2024 届重庆市巴蜀中学校高三下学期模拟）（1）证明：当
时,
；
（2）已知正项数列
满足
.
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（i）证明：数列
为递增数列；
（ii）证明：若
,则对任意正整数
,都有
.
【解析】（1）令
,则
,
所以
在
上单调递增,所以
,即
,
再令
,则
,
,
令
,则
,由上面知
,
即
在
上单调递减,所以
,
所以
在
上单调递减,所以
,
即
.
综上,当
时,
成立.
（2）（i）因为
,所以
,
所以
,由（1）知,当
时,
,
所以
,
所以数列
为递增数列.
（ii）要证
,即证
,即
,
由（1）知：当
时,
,
所以
,即有
,
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所以
,
所以
,
又因为
,所以
,
所以
,即
,
所以
,归纳易得数列
为减函数,
又数列
为递增数列,
所以
,
所以
,
又因为
,
所以
,
所以
,
即
成立.
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1.（2024 届陕西省安康市高新中学高三模拟）已知数列
满足
.
(1)证明：数列
是等差数列；
(2)设
,求
的前n 项和
.
2．（2024 届四川省成都外国语学校高三模拟）已知数列
的前项和为
,且满足
．
(1)求证：数列
为等比数列；
(2)已知
,求数列
的前项和．
3．（2024 届安徽省太湖中学高三第四次模拟）已知
.
(1)求
；
(2)证明：
是等差数列,并求出
；
(3)设
,求
的前项和
.
4．（2025 届云南省三校高三联考）绿色已成为当今世界主题,绿色动力已成为时代的驱动力,绿色能源是未
来新能源行业的主导.某汽车公司顺应时代潮流,最新研发了一款新能源汽车,并在出厂前对该批次汽车随机
抽取100 辆进行了单次最大续航里程（理论上是指新能源汽车所装载的燃料或电池所能够提供给车行驶的
最远里程）的测试.现对测试数据进行分析,得到如图所示的频率分布
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(1)估计这100 辆汽车的单次最大续航里程的平均值
（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
(2)若单次最大续航里程在
到
的汽车为“
类汽车”,以抽样检测的频率作为实际情况的概率,
从该汽车公司最新研发的新能源汽车中随机抽取10 辆,设这10 辆汽车中为“
类汽车”的数量为
,求
.
(3)某汽车销售公司为推广此款新能源汽车,现面向意向客户推出“玩游戏,送大奖”活动,客户可根据拋掷硬
币的结果,操控微型遥控车在方格图上行进,若遥控车最终停在“胜利大本营”,则可获得购车优惠券.已知硬
币出现正､反面的概率都是
,方格图上标有第0 格､第1 格､第2 格､
､第30 格.遥控车开始在第0 格,客户每
掷一次硬币,遥控车向前移动一次,若掷出正面,遥控车向前移动一格（从到
）,若掷出反面,遥控车向前
移动两格（从到
）,直到遥控车移到第29 格（胜利大本营）或第30 格（失败大本营）时,游戏结束.
已知遥控车在第0 格的概率为
,设遥控车移到第格的概率为
,试证明：数列
是等比数列,并解释此方案能否成功吸引顾客购买该款新能源汽车？
5．（2024 届辽宁省实验中学高三下学期考前练）已知数列
满足
,
,令
.
(1)求证：数列
为等差数列；
(2)设
,数列
的前n 项和为
,定义
为不超过x 的最大整数,例如
,
,求数
列
的前n 项和
.（参考公式：
）
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6．（2024 届上海市七宝中学高三下学期三模）如图,已知正方体
顶点处有一质点
,点
每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动,且向每个顶点移动的概率相同,从一个顶点沿一条棱移动到
相邻顶点称为移动一次,若质点
的初始位置位于点A 处,记点
移动次后仍在底面
上的概率为
．
(1)求
；
(2)证明：数列
是等比数列；若
,求的最大值．
7．（2024 届四川省成都市高三下学期第三次诊断）设
为数列
的前项和,已知
.
(1)证明: 数列
是等比数列；
(2)设
,求数列
的前项和
.
8．（2024 届河南省名校联盟考前模拟大联考三）已知数列
的各项都为正数,且其前项和
.
(1)证明：
是等差数列,并求
；
(2)如果
,求数列
的前项和
.
9．（2024 届东北三省三校高三第三次联合模拟）已知数列
的前项和为
,且
.
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(1)求证：数列
是等比数列；
(2)设
,若
是递增数列,求实数
的范围.
10．（2024 届河南省九师联盟高三下学期4 月质量检测）已知数列
的各项均不为0,其前项和为
,
为不等于0 的常数,且
．
(1)证明：
是等比数列；
(2)若
成等差数列,则对于任意的正整数,
,
,
是否成等差数列？若成等差数列,请予以证明；
若不成等差数列,请说明理由．
11．（2024 届全国统一考试数学押题卷六）已知
为正项数列
的前项积,且
,
．
(1)证明：数列
是等比数列；
(2)若
,
的前项和为
,证明：
．
12．（2024 届辽宁省部分重点中学协作体高三下学期4 月三模）若实数列
满足
,有
,称数列
为“
数列”.
(1)判断
是否为“
数列”,并说明理由；
(2)若数列
为“
数列”,证明：对于任意正整数
,且
,都有
(3)已知数列
为“
数列”,且
.令
,其中
表示
中的较大者.证明：
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,都有
.
13．（2024 届广东省广州市华南师大附中学高三下学期5 月月考）对给定的在定义域内连续且存在导函数
的函数
,若对在
定义域内的给定常数,存在数列
满足
在
的定义域内且
,且对
在区间
的图象上有且仅有在
一个点处的切线平行于
和
的连线,则称数列
为函数
的“ 关联切线伴随数列”.
(1)若函数
,证明：
都存在“ 关联切线伴随数列”；
(2)若函数
,数列
为函数
的“1 关联切线伴随数列”,且
,求
的通项公式；
(3)若函数
,数列
为函数
的“ 关联切线伴随数列”,记数列
的前项和为
,
证明：当
时,
.
14．（2024 届山西省部分学校高三年级阶段性测试）对于数列
,若存在
,使得对任意
,总有
,则称
为“有界变差数列”．
(1)若各项均为正数的等比数列
为有界变差数列,求其公比q 的取值范围；
(2)若数列
满足
,且
,证明：
是有界变差数列；
(3)若
,
均为有界变差数列,且
,证明：
是有界变差数列．
15．已知数列
的首项
,且满足
.
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(1)证明
是等比数列,并求数列
的通项公式；
(2)是否存在正整数
,使得对任意的正整数,
总成立？若存在,求出
的值；若不存在,请说明
理由.
16.（2024 届山东中学联盟高考考前热身）设
,
.如果存在
使得
,那么就说
可被
整除
（或
整除
）,记做
且称
是
的倍数,
是
的约数（也可称为除数、因数）．
不能被
整除就记做
．由整除的定义,不难得出整除的下面几条性质：①若
,
,则
；②
,
互质,若
,
,则
；③若
,则
,其中
.
(1)若数列
满足,
,其前
项和为
,证明：
；
(2)若
为奇数,求证：
能被
整除；
(3)对于整数
与
,
,求证：
可整除
.
