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专题8.2 两条直线的位置关系
重难点题型1 两条直线的交点问题
1．（2024·山东·一模）过直线
与
的交点且与直线
垂直的直线方程为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】由两条直线垂直求方程、求直线交点坐标
【分析】求出两条直线的交点，设出所求直线的方程，并求出待定系数即得.
【详解】由
，解得
，则所求方程的直线过点
，
设所求直线方程为
，于是
，解得
，
目录●重难点题型分布
序号
题型
重难点题型1
两条直线的交点问题
重难点题型2
两条直线的平行与垂直的判定与性质
重难点题型3
距离问题
重难点题型4
有关的距离的最值问题
重难点题型5
点点对称
重难点题型6
点线对称
重难点题型7
线点对称
重难点题型8
线线对称
重难点题型9
直线系方程
所以所求直线方程为
.
故选：D
2．（2024·江苏泰州·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知直线
．若直线
与两坐标轴围成的四边形有外接圆，则实数
的值是（ ）
A．
B．1
C．2
D．3
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】直线过定点问题、求直线交点坐标
【分析】由
与两坐标轴围成的四边形有一个外接圆，根据题意该圆过三个定点，利用割线定理求得第
四个点的坐标，从而求得k 的值．、
【详解】由题意易知，与坐标轴交于
与
因为
，所以
必过
于是如下图：
由割线定理得
，得
，即第四个交点为
所以．
，
故选：A.
3．（2024·全国·模拟预测）已知直线
和
与x 轴围成的三角形是等腰三角形，则k 的取
值不可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】正切函数的诱导公式、二倍角的正切公式、直线斜率的定义、三线能围成三角形的问题
【分析】分为围成的等腰三角形底边在x 轴上、底边在直线
上和底边在直线上三种情况，分别求解即
可.
【详解】令直线
的倾斜角分别为
，则
，
当围成的等腰三角形底边在x 轴上时，
，
；
当围成的等腰三角形底边在直线
上时，
或
，
因为
，且
，解得
，
所以
，或
；
当围成的等腰三角形底边在直线上时，
，则
.
故选：D．
4．（2025·福建漳州·模拟预测）已知直线l 过点
，分别与直线：
，
：
交于A，B 两点，圆C：
过A，B 两点，则△ABC 面积的最大值为 ；当
△ABC 面积取最大值时，直线l 的方程为
【答案】 1
或
【难度】0.65
【知识点】三角形面积公式及其应用、求直线交点坐标、求平面两点间的距离
【分析】由题意作图，根据三角形的面积计算，结合正弦函数的性质，可得面积最值，根据等腰直角三角
形的性质，可得
的值，分直线的斜率存在与不存在两种情况，联立方程求交点，由两点距离公式，建
立方程，可得答案.
【详解】
由
，则其圆心
，半径
，设
，
易知
，则当
时，
取得最大值为，
在等腰
中
，
当直线的斜率不存在时，直线
，
代入直线
，解得
，则
；
代入直线
，解得
，则
；
所以
，显然此时
取得最大值为.
当直线的斜率存在时，可设直线
，
联立可得
，解得
，
，则
；
联立可得
，解得
，
，则
；
，
由
，则
，解得
，即直线
，
所以
取得最大值为，则直线
或
.
故答案为：；
或
.
5．（2024·山东·二模）过直线
和
的交点，倾斜角为
的直线方程为 .
【答案】
【难度】0.85
【知识点】直线的点斜式方程及辨析、求直线交点坐标
【分析】联立直线求解交点，即可根据点斜式求解直线方程.
【详解】联立
与
可得
，
故交点为
，倾斜角为
，所以斜率为1，
故直线方程为
，即
，
故答案为：
6．（2025·上海奉贤·二模）直线
上的动点
和直线
上的动点
，则点
与点
之间距离的最小值是 ．
【答案】
【难度】0.94
【知识点】求平行线间的距离
【分析】利用平行线之间的距离公式求解即可.
【详解】直线
和直线
互相平行，
故点
与点
之间距离的最小值即两条直线间的距离，
且两条直线间的距离：
.
故答案为：
重难点题型2 两条直线的平行与垂直的判定与性质
1．（2025·江苏南通·模拟预测）若曲线
的一条切线与直线
：
平行，则与
之间的
距离为（ ）
A．
B．
C．5
D．10
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、导数的运算法则、求平行线间的距离
【分析】首先根据导数的几何意义求切线的方程，再代入平行线的距离，即可求解.
【详解】设直线与曲线
切于点
，直线
的斜率为4，
由导数的几何意义可知，
，得
，则
，
所以直线
，即
，
所以直线与
之间的距离为
.
故选:A
2．（2024·浙江杭州·模拟预测）平行直线
与
之间的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】已知直线平行求参数、求平行线间的距离
【分析】先根据两直线平行求出
的值，再由两直线间的距离公式求解.
【详解】因为直线
与
平行，
所以
，即
，
则
，也就是
，
所以两直线间的距离为
.
故选：D
3．（24-25 高二下·浙江杭州·期中）过抛物线
的焦点，且与直线
垂直的直线方程为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】由两条直线垂直求方程、根据抛物线方程求焦点或准线
【分析】由抛物线的焦点坐标和直线垂直的斜率关系求解.
【详解】抛物线
的焦点为
，
设与直线
垂直的直线方程为
，
代入
，可得
，故所求直线方程为
，
即
.
故选：B.
4．（2025·广西桂林·一模）已知直线的一个方向向量为
，则过点
且与垂直的直线方程
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】直线的点斜式方程及辨析、由两条直线垂直求方程
【分析】据直线方向向量求出斜率，由两直线位置关系求与垂直的直线斜率，点斜式表达方程即可得解.
【详解】
的方向向量为
，则斜率为
，因为直线与垂直，所以斜率为
又
过
点，所以直线方程为
，整理可得
.
故选：D.
5．（2025·云南曲靖·一模）已知直线：
与
：
平行，则与
间的距离为
．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】已知直线平行求参数、求平行线间的距离
【分析】由两直线平行可求得
，再由平行线间的距离公式代入计算可得结果.
【详解】由与
两直线平行可得
，解得
；
即可得
：
，
所以与
间的距离为
.
故答案为：
6．（2023·上海青浦·二模）过点
与直线
垂直的直线方程为 .
【答案】
【难度】0.85
【知识点】由两条直线垂直求方程
【分析】设所求直线方程为
，将点
的坐标代入所求直线方程，求出的值，即可得出所求
直线的方程.
【详解】设所求直线方程为
，将点
的坐标代入所求直线方程可得
，
解得
，
故所求直线方程为
.
故答案为：
.
7．已知直线
，则过坐标原点且与l 垂直的直线方程是 ，点
到l 的距离是
．
【答案】
1
【难度】0.65
【知识点】由两条直线垂直求方程、求点到直线的距离
【分析】利用直接法求出直线方程；利用点到直线的距离公式即可求解.
【详解】直线
的斜率为
，所以可设与l 垂直的直线方程为
，把
代
入，求得c=0，所以过坐标原点且与l 垂直的直线方程是
；
点
到l 的距离为
.
故答案为：
；1．
8．（2024·江西九江·一模）若a，b 为正实数，直线
与直线
互相垂直，
则ab 的最大值为 ．
【答案】
/0.5
【难度】0.94
【知识点】基本不等式求积的最大值、由两条直线垂直求方程
【分析】根据两直线垂直的a、b 关系，再用基本不等式可解.
【详解】由两直线垂直得
，即
，
，
当且仅当
，
时，等号成立，故
的最大值为
．
故答案为：
重难点题型3 距离问题
1．（2025·四川成都·模拟预测）已知直线
与直线
平行，则它们之间的距离是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】已知直线平行求参数、求平行线间的距离
【分析】先求出
，然后由平行线之间的距离求解即可.
【详解】直线
即直线
，与直线
平行，则
，
故所求即为平行直线
与
之间的距离，
即所求为
.
故选：B.
2．（2025·四川绵阳·模拟预测）若直线：
与直线
：
平行，则这两条直
线间的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】已知直线平行求参数、求平行线间的距离
【分析】先由直线平行求出参数k，再由两平行直线的距离公式即可求解.
【详解】因为直线：
与直线
：
平行，
所以
，所以
，
所以直线
：
即
，
所以这两条直线间的距离为
.
故选：B.
3．过点
作圆
：
的切线，直线
：
与直线平行，则直线与
的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】已知直线平行求参数、求平行线间的距离、过圆上一点的圆的切线方程
【分析】先判断点
在圆上，求出切线的方程以及
的值，利用两平行直线间的距离公式即可求解．
【详解】因为
满足圆
的方程，
所以点
在圆上，又
，所以
，
因
，则
，解得
，
故切线：
，即
.
因为切线与直线
平行，所以
，解得
，
故直线
：
，
则平行直线与
间的距离为
.
故选：A.
4.（2025·江苏南京·二模）设
，过定点
的动直线
和过定点
的动直线
交
于点
，点
到直线
的距离为
，则
的取值范围为 .
【答案】
【难度】0.4
【知识点】直线过定点问题、求点到直线的距离、轨迹问题——圆
【分析】先分析两条直线经过的定点，得出
的坐标，根据两直线的位置关系分析可得
的运动轨迹是
挖去一点的圆，然后判断出直线
和圆相切，从而得解.
【详解】动直线
过定点
，
动直线
即
过定点
.
因为
，所以直线
与直线
垂直，
又直线
的斜率一定存在，
注意到
时，满足
，但此时直线
垂直
轴，斜率不存在，
故点
在以
为直径的圆上（去除点
），
圆心为
，半径
，
圆心
到直线
的距离为
所以圆
与直线
相切（切点不是点
），
的最小值为0；
圆的直径
，且点
到直线
的距离为
，所以
，
即
的取值范围为
.
故答案为：
5．（2025·甘肃·模拟预测）若圆
上恰有三个不同的点到直线
的距离
为1，则
.
【答案】
【难度】0.65
【知识点】求点到直线的距离、由直线与圆的位置关系求参数
【分析】先求出圆
的圆心坐标和半径，以及圆心到的距离，结合题意可得圆
的半径为
，进而建立
方程求解即可.
【详解】由圆
，即
，则
，
圆
的圆心坐标为
，半径为
，
圆心
到的距离为
，
因为圆
上恰有三个不同的点到的距离为1，所以圆
的半径为
，
则
，解得
.
故答案为：
.
重难点题型4 有关距离的最值问题
1．（2024·河北·模拟预测）点
到直线
的最大距离是（ ）
A．
B．2
C．
D．不存在
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】直线过定点问题、求点到直线的距离
【分析】求出直线l 所过的定点，利用两点间距离公式并结合判断是否存在最值，即可求解答案.
【详解】直线
即
，
令
，解得
，
即直线
过定点
，设为B，
当直线
与l 垂直时，点
到直线
的距离最大，
即为
，
此时
的斜率为
，则l 的斜率为2，故
，方程无解，
即直线l 和
不可能垂直，则点
到直线l 的距离小于
，不存在最大值，
故选：D
2．（2025·河南信阳·模拟预测）
是圆
上的动点，
是直线
上的动点，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】求点到直线的距离、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）、直线与圆的位置关系求距离
的最值
【分析】判断圆与直线的位置关系为相离，可得
的最小值为圆心到直线的距离减去半径.
【详解】由题意得，圆
的圆心为
，半径
.
因为
到直线
的距离
，
当且仅当
时，等号成立，
所以直线与该圆相离，
所以
的最小值为
.
故选：C.
3．（2025·湖南益阳·三模）已知圆C：
的一条直径的两个端点分别是A，B，则它们
到直线l：
的距离分别为
，
，则
的最大值为（ ）
A．16
B．32
C．48
D．64
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦、求点到直线的距离、由标准方程确定圆心和半径
【分析】先将圆的方程化为标准方程，利用参数表示点
坐标，最后利用三角函数即可求解.
【详解】由
有
，
设点
，
所以点
到直线
的距离为
，
点
到直线
的距离为
，
所以
，
所以当
，即
时，
取最大值为
.
故选：B.
4．（2025·河南驻马店·模拟预测）已知点
为曲线
上的动点，则点
到直线
的距离的最
小值为（ ）
A．
B．6
C．
D．9
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】已知切线（斜率）求参数、求点到直线的距离
【分析】根据曲线的切线与直线平行时，切点到直线的距离最小，求出曲线的切点，再根据点到直线的距
离公式计算最小距离即可.
【详解】设曲线
在点
处的切线与直线
平行，
由
，得
，则
或
，
则动点
到直线
的距离的最小值为
.
所以点
到直线
的距离的最小值为
，
故选：B.
5．（2025 高三下·全国·专题练习）过直线
上任一点P 向圆
作两条切线，切点为
．则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】求点到直线的距离、圆的弦长与中点弦、直线与圆的位置关系求距离的最值
【分析】设点
，求出设点
，由点到直线的距离求出圆心
到直线
的距离
，再由
结合二次函数的性质即可得出答案.
【详解】设点
，则直线
的方程为
，
（注：由圆
外一点
向该圆引两条切线，切点分别为
，则直线
的方程是
），
化简可得：
，
所以圆心
到直线
的距离为：
所以
，
当
时，
的最小值为
.
故选：C.
6．（2024·全国·模拟预测）已知过抛物线
的焦点F 的直线与C 交于A，B 两点，线段
AB 的中点为
，且
，
，若点P 在抛物线C 上，则
的最小值为 ．
【答案】
/
【难度】0.65
【知识点】求平行线间的距离、抛物线定义的理解、直线与抛物线交点相关问题
【分析】先利用中点坐标公式及抛物线的定义得出
，抛物线方程为
；再根据点
的
坐标特点得出点Q 在直线
上，求出与l 平行且与抛物线C 相切的直线方程；最后将求
的
最小值转化为求切线与直线l 之间的距离．
【详解】设
，
，
由AB 的中点为
，可得
，
由抛物线的定义可得
.
又因为
，
所以
，故抛物线C 的方程为
．
由
可知：点Q 在直线
上.
设与l 平行且与抛物线C 相切的直线方程为
，
联立方程组
可得：
，
则
，解得：
，
则与l 平行且与抛物线C 相切的直线方程为
.
所以该切线与直线l 之间的距离即
的最小值，
故
的最小值为
．
故答案为：
.
7．（23-24 高三上·江苏苏州·周测）已知点
，点O 是坐标原点，点Q 是圆
上的动点，则
的最大值为 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】将军饮马问题求最值、由标准方程确定圆心和半径、定点到圆上点的最值（范围）
【分析】根据题意，得到点
，可得点
在直线
上的动点，把
的最大值转化
为则
，结合对称法和圆的性质求最值，即可求解.
【详解】由圆
，可得圆心
，半径为
，
又由点
，可得点
在直线
上的动点，
因为点O 是坐标原点，点Q 是圆
上的动点，
则
，
如图所示，设点
关于直线
的对称点为
，
可得
，解得
，即
，
设直线
与直线
的交点为
，
则直线
的方程为
，联立方程组
，解得
，
即
，则
，
当点
与
重合时，此时
，则
，
此时
取得最大值，最大值为
，
所以
，即
的最大值为
.
故答案为：
.
重难点题型5 点点对称
1．已知
，
，点
是线段
的中点，则
.
【答案】
【解析】由中点坐标公式知：
，
，解得：
，
，
.
故答案为：.
2．（2024·江苏南通·高二统考期中）已知点
在
轴上，点
在
轴上，线段
的中点
的坐标为
，则线段
的长度为 .
【答案】
【解析】在平面直角坐标系中，
，
则
为直角三角形，且
为斜边，
故
.
故答案为：
3．设点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，
的中点是
，则
等于
【答案】
【解析】根据点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，且
的中点是
，利用中点坐标公式得到A，B 的坐
标，再利用两点间的距离公式求解.因为点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，且
的中点是
，
所以
，
所以
，
故答案为：
4．已知直线l 与直线
及直线
分别交于点P，Q．若PQ 的中点为点
，则直线l
的斜率为 ．
【答案】
【解析】设
，则
．由点Q 在直线
上，得
，
．故
．
所以直线l 的斜率为
，所以
故答案为
重难点题型6 点线对称
1．若直线
和直线
关于直线
对称，则直线
恒过定点（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为直线
过定点
，
点
关于直线
对称的点为
，
故直线
恒过定点
.
故选：C
2．（2023·湖北·高二校联考周测）在等腰直角三角形
中，
，点
是边
上异于
的
一点，光线从点
出发，经
反射后又回到点
，如图，若光线
经过
的重心，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】C
【解析】根据题意，建立如图所示的坐标系，可得
，
，
故直线
的方程为
，
又由
，
，
，则
的重心为
，
设
，其中
，点
关于直线
的对称点
，则有
，
解得
，即
，
易得
关于
轴的对称点
，
由光的反射原理可知
，
，
，
四点共成直线
的斜率
，
故直线
的方程为
，
由于直线
过
的重心
，代入化简可得
，
解得：
或
舍，即
，故
，
故选：C．
3．（2025·江西赣州·二模）若点
关于直线
对称的点在圆
上，则k 的值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.4
【知识点】求点关于直线的对称点、求两圆的交点坐标
【分析】根据已知确定点
关于直线
对称的点在圆
上，易得对称点为圆
和
圆
的交点，求出交点坐标，利用垂直关系求参数k.
【详解】显然
在圆
上，又直线
经过该圆的圆心
，
所以点
关于直线
对称的点在圆
上，
又点
关于直线
对称的点在圆
上，
所以对称点为圆
和圆
的交点，联立得交点为
，
所以
与
两点所在直线，与
垂直，故
.
故选：D
4．（2025·内蒙古呼和浩特·二模）若点
关于直线
对称的点在圆
上，则
的值为（ ）
A．1
B．
C．
D．2
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】求点关于直线的对称点、求两圆的交点坐标
【分析】点
在圆
上，由题意分析可知对称点必是圆
与圆
的公共点，
通过计算
，即可得出答案.
【详解】因点
的坐标满足
，则点
在圆
上，
因直线
过
的圆心，
则点
关于直线
对称的点必然在圆
上，
联立
，得
，
因圆
与圆
仅有唯一公共点
，
因此点
关于直线
对称的点只能是点
，
设直线
与线段
交于点
，
因
，
，
则由垂径定理可得，
，
则在
中，
，
因此
.
故选：C
5．（2025·广东深圳·模拟预测）点
关于直线
的对称点为
，则点
到直线
的
距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】求点到直线的距离、求点关于直线的对称点
【分析】由对称关系求得
，再由点到线距离公式求解；
【详解】设
关于直线
的对称点为
，
由对称关系可得
，
解得
．
则点
到直线：
的距离为
．
故选：C．
6．（24-25 高二上·山东青岛·月考）已知点
关于直线
对称的点
在圆
上，则
（ ）
A．4
B．5
C．-4
D．-5
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】求点关于直线的对称点、点与圆的位置关系求参数
【分析】先求出点
的对称点，代入圆的方程求解即可.
【详解】设
，则
所以
由题可知，
故选：B
7．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）点
关于直线
的对称点在圆
内，则
实数
的取值范围是 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】求点关于直线的对称点、点与圆的位置关系求参数
【分析】根据题意利用轴对称的性质算出对称点Q 的坐标，结合点Q 在已知圆的内部，建立关于
的不等
式，解出实数
的取值范围．
【详解】设
与
关于直线
对称，则
，解得
，即
，
因为
在圆
的内部，
所以
，解得
，即实数
的取值范围是
．
故答案为：
．
8．（2024·浙江·模拟预测）点
关于直线
的对称点在圆
内，则实数
的取值范围是 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】求点关于直线的对称点、点与圆的位置关系求参数
【分析】首先求对称点，再根据点与圆的位置关系，列式求解.
【详解】设点
关于直线
的对称点为
，
则
，得
，
又题意可知，
，解得：
.
故答案为：
9．（2024·山东烟台·一模）若圆
关于直线
对称的圆恰好过点
，则实数
的
值为 .
【答案】4
【难度】0.85
【知识点】求点关于直线的对称点、点与圆的位置关系求参数
【分析】利用轴对称列式求出点
关于直线
的对称点的坐标，再代入圆方程即得.
【详解】依题意，点
关于直线
的对称点
在圆
上，
则
，解得
，因此点
在圆
上，
则
，解得
，
所以实数
的值为4.
故答案为：4
重难点题型7 线点对称
1．（2024·陕西宝鸡·一模）直线
关于点
对称的直线方程（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】求直线关于点的对称直线
【分析】设所求直线上任一点为
，则求出其关于点
对称的点，代入直线
中化简可得
答案
【详解】设所求直线上任一点为
，则其关于点
对称的点为
，
因为点
在直线
上，
所以
，化简得
，
所以所求直线方程为
，
故选：B
2．若直线
与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2过定点
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【难度】0.94
【知识点】直线过定点问题、求直线关于点的对称直线
【分析】先求出l1的定点，再利用点关于点的对称求出l1的定点的对称点，该点即为所求点.
【详解】直线
恒过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)，又由于直线
与直
线l2关于点(2,1)对称，故直线l2恒过定点(0,2).
【点睛】本题考查直线关于点对称的相关问题，利用对称性求解是解题的关键，属基础题.
3．（2024·全国·模拟预测）圆C：
关于直线l：
对称的圆的标准方程为 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】求点关于直线的对称点、由圆心（或半径）求圆的方程
【分析】由题意求得点
关于直线l 对称的点的坐标，即可写出圆的方程.
【详解】由题意知圆C 的圆心为
，半径为2；
设点
关于直线l 对称的点为
，则
，
解得
，
因此圆C：
关于直线l：
对称的圆的标准方程为
，
故答案为：
4．（2024·河北廊坊·高三校考月考）与直线
关于点
对称的直线的方程为 .
【答案】
【解析】直线
关于点
对称的直线的方程可设为
，其中
又
点到直线
与到直线
的距离相等
所以
，即
，所以
或
（舍）.
故所求直线方程为：
.
故答案为：
.
5．直线
恒过定点
，则直线
关于
点对称的直线方程为 ．
【答案】
【解析】由
得：
，当
时，
，
；
设直线
关于
点对称的直线方程为
，
，解得：
或
（舍），
直线
关于
点对称的直线方程为
.
故答案为：
.
6．若直线：
与直线
关于点
对称，则当
经过点
时，点
到直线
的距离为
.
【答案】
【解析】因为直线
恒过定点
，
所以
关于点
对称，
所以
关于点
的对称点为
，
此时
和
都在直线
上，
由直线
方程的两点式可得
，即
，
所以点
到直线
的距离为
．
故答案为：
．
7．在平面直角坐标系xOy 中，将直线l 沿x 轴正方向平移3 个单位长度，沿y 轴正方向平移5 个单位长度，
得到直线l1.再将直线l1沿x 轴正方向平移1 个单位长度，沿y 轴负方向平移2 个单位长度，又与直线l 重合.
若直线l 与直线l1关于点（2，3）对称，则直线l 的方程是 .
【答案】6x－8y＋1＝0
【解析】根据平移得到l1：y＝k（x－3）＋5＋b 和直线：y＝kx＋3－4k＋b，解得k＝
，再根据对称解得
b＝
，计算得到答案.由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y＝kx＋b，
则直线l1：y＝k（x－3）＋5＋b，平移后的直线方程为y＝k（x－3－1）＋b＋5－2
即y＝kx＋3－4k＋b，∴b＝3－4k＋b，解得k＝
，
∴直线l 的方程为y＝
x＋b，直线l1为y＝
x＋
＋b
取直线l 上的一点
，则点P 关于点（2，3）的对称点为
，
，解得b＝
.
∴直线l 的方程是
，即6x－8y＋1＝0.
故答案为：6x－8y＋1＝0
重难点题型8 线线对称
1．设直线
与
关于直线
对称，则直线
的方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】联立
，得
，
取直线
上一点
，设点
关于直线
的对称点为
，则
，解得：
，
直线
的斜率
，所以直线
的方程为
，
整理为：
.
故选：A
2．（2023·上海静安·二模）设直线
与
关于直线
对称，则直线
的方程是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】两条直线的到（夹）角公式、求直线交点坐标、直线关于直线对称问题
【分析】根据三条直线交于一点，再利用点关于直线的对称点公式，求直线
上一点，即可求解.
【详解】联立
，得
，
取直线
上一点
，设点
关于直线
的对称点为
，则
，解得：
，
直线
的斜率
，所以直线
的方程为
，
整理为：
.
故选：A
3．直线
关于直线
对称的直线方程是
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】直线关于直线对称问题
【解析】利用当对称轴斜率为
时,由对称轴方程分别解出x,y,代入已知直线的方程,即得此直线关于对称轴
对称的直线方程
【详解】因为直线
的斜率为1,
故有
,将其代入直线
,
即得：
,
整理即得
,
故选：A
【点睛】本题考查直线关于直线的对称直线的方程的求法,当对称轴斜率为
时,由对称轴方程分别解出x,y,
代入已知直线的方程,即得此直线关于对称轴对称的直线方程
4．（2024·甘肃兰州·一模）已知
是离心率为
的椭圆
外一点，经过点
的光
线被
轴反射后，所有反射光线所在直线中只有一条与椭圆相切，则此条切线的斜率是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.4
【知识点】直线关于直线对称问题、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、根据直线与椭圆的位置关系求
参数或范围
【分析】由题意知
，设过点
的直线方程为：
，反射后的切线方程为：
，联立切线方程与椭圆的方程，利用
求解即可.
【详解】由题意可知
，又
，故
，
设过点
的直线斜率为
，则直线方程为：
，即
则反射后的切线方程为：
由
得
，
因为所有反射光线所在直线中只有一条与椭圆相切，
，
化简得：
，即
，解得
故选：D.
【点睛】思路点睛：本题考查直线与椭圆的位置关系，及关于直线对称的直线方程，解决直线与椭圆的位
置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系
建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题时用“点差法”解决，往往会更简单．
5．一条光线沿直线
入射到直线
后反射，则反射光线所在的直线方程为
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【难度】0.85
【分析】先求出故入射光线与反射轴的交点为
，在入射光线上再取一点
，由点
关于反射轴
的对称点
在反射光线上，用两点式求得反射光线的方程．
【详解】由
得
，故入射光线与反射轴的交点为
，
在入射光线上再取一点
，
则点
关于反射轴
的对称点
在反射光线上．
根据
、
两点的坐标，用两点式求得反射光线的方程为
，即
．
故选B．
【点睛】本题考查求一条直线关于另一直线的对称直线方程的求法，用两点式求直线的方程，属于基础题.
6．（23-24 高三上·内蒙古鄂尔多斯·期末）与直线
关于
对称的直线的方程为
.
【答案】
【难度】0.65
【知识点】直线关于直线对称问题
【分析】求出直线
与直线
的交点，在直线
上取点
，求出它关于直
线
的对称点，再由两点式可求出结果.
【详解】联立
，解得
，所以直线
与直线
的交点为
，
在直线
上取点
，设点
关于直线
的对称点为
，
则
，解得
，所以点
关于直线
的对称点为
，
由两点式可得与直线
关于
对称的直线的方程为：
，即
.
故答案为：
7．直线
关于直线
对称的直线方程是 .
【答案】
【难度】0.85
【知识点】直线关于直线对称问题
【分析】先求得两条直线的交点
坐标,再在直线
上取一个点
,求得点
关于直线
的对称点,即可利用两个点的坐标求得其对称点的直线方程.
【详解】因为直线
与直线
所以联立直线方程可得
,解方程组可得
即两条直线的交点
的坐标为
在直线
上取一个点
,设
关于直线
的对称点为
,由中点坐标
公式及斜率关系可得
,解方程组可得
所以
则直线
方程的斜率为
由点斜式可得直线
的方程为
化简可得
即直线
关于直线
对称的直线方程为
故答案为:
【点睛】本题考查了直线交点坐标的求法,点关于直线的对称点求法,两条垂直直线的斜率关系点斜式方程
的用法,属于基础题.
8．直线
关于直线
对称的直线为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设所求直线上的任意一点为
则
关于直线
对称点为
点
在直线
上
满足直线方程，即
直线
关于直线
对称的直线为
故选：C
重难点题型9 直线方程的综合应用
1．在平面直角坐标系内，设
，
为不同的两点，直线l 的方程为
，
，下面四个命题中的假命题为（ ）
A．存在唯一的实数δ，使点N 在直线上
B．若
，则过M，N 两点的直线与直线l 平行
C．若
，则直线经过线段M，N 的中点；
D．若
，则点M，N 在直线l 的同侧，且直线l 与线段M，N 的延长线相交；
【答案】A
【难度】0.4
【知识点】直线综合、由一般式方程判断直线的平行、直线过定点问题
【分析】根据题意对
一一分析，逐一验证．
【详解】解：对于
，
化为：
，即点
，
不在直线上，因此
不正确．
对于
，
，则
，即过
，
两点的直线与直线的斜率相等，又点
，
不在直线上，因此两条直线平行，故
正确；
对于
，
，则
，化为
，因此直线经过线段
的中点，故
正确；
对于
，
，则
，则点
，
在直线的同侧，故
正确；
故选A
【点睛】本题考查了直线系方程的应用、平行直线的判定、点与直线的位置关系，考查了推理能力与计算
能力，属于难题．
2．在平面直角坐标系中，定义
称为点
的“
和”，其中
为坐标原点，对于下列结论：
（1）“
和”为1 的点
的轨迹围成的图形面积为2；（2）设
是直线
上任意一点，则
点
的“
和”的最小值为2；（3）设
是直线
上任意一点，则使得“
和”最小的点
有无数个”的充要条件是
；（4）设
是椭圆
上任意一点，则“
和”的最大值为
.其中
正确的结论序号为（ ）
A．（1）（2）（3）
B．（1）（2）（4）
C．（1）（3）（4）
D．（2）（3）（4）
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】直线综合、圆锥曲线新定义
【解析】根据新定义“
和”，通过数形结合判断（1）正确，通过研究函数最值对选项（2）（3）（4）
逐一判断即可.
【详解】（1）当
时，点
的轨迹如图，其面积为2，正确；
（2）
是直线
上的一点，
，
可知，
，
时递减，
时递增，故
的最小值在
时取得，
，正确；
（3）同（2），
，可知当
时，都满足，“
和”最小的点有无数个，故错误；
（4）可设椭圆参数方程为
，
易知其最大值为
，正确.
故选：B.
【点睛】本题的解题关键是认真读题，理解新定义“
和”，再通过数形结合和函数最值的研究逐一判断
即突破难点.
3．（2024·江西·模拟预测）（多选题）已知集合
，
，则
下列结论正确的是（ ）
A．
，
B．当
时，
C．当
时，
D．
，使得
【答案】AB
【难度】0.65
【知识点】交集的概念及运算、根据交集结果求集合或参数、已知直线平行求参数、求直线交点坐标
【分析】对于A：根据直线方程分析判断；对于B：根据题意求直线交点即可；对于C：根据空集的定义结
合直线平行运算求解；对于D：根据直线重合分析求解.
【详解】对于选项A：因为
表示过定点
，且斜率不为0 的直线，
可知
表示直线
上所有的点，
所以
，故A 正确；
对于选项B：当
时，则
，
，
联立方程
，解得
，所以
，B 正确；
对于选项C：当
时，则有：
若
，则
；
若
，可知直线
与直线
平行，且
，
可得
，解得
；
综上所述：
或
，故C 错误；
对于选项D：若
，由选项C 可知
，且
，无解，故D 错误．
故选：AB．
4．（2025·江苏徐州·模拟预测）（多选题）已知圆
，P 为圆O 上的动点，则
（ ）
A．圆心O 关于直线AB 的对称点为
B．动点P 到直线AB 的距离最大值为
C．以AB 为直径的圆与圆O 有2 条公切线
D．分别过A，B 两点所作的圆O 的切线长相等
【答案】AC
【难度】0.65
【知识点】求点到直线的距离、判断直线与圆的位置关系、切线长、直线与圆的位置关系求距离的最值
【分析】求出直线
的方程，求出对称点坐标判断A；利用圆的性质求出最大距离判断B；确定两圆位置
关系判断C；求出切线长判断D.
【详解】直线
的斜率
，直线
的方程为
，
对于A，设圆心
关于直线
对称点为
，则
，解得
，A 正确；
对于B，圆心
到直线
的距离
，因此动点P 到直线AB 的距离最大值为
，B 错误；
对于C，
，线段
中点
，则
，以AB 为直径的圆半径为
，
而圆
半径为
，且
，即以AB 为直径的圆与圆O 相交，有2 条公切线，C 正确；
对于D，过点
作圆
的切线长为
，过点
作圆
的切线长为
，D 错误.
故选：AC
5．（2025·湖南·三模）（多选题）已知动点P 到定点
的距离与到定直线
的距离之和为4，记
动点P 的轨迹为曲线C，则下列结论正确的是（ ）
A．曲线C 的轨迹方程为
B．曲线C 的图象关于y 轴对称
C．若点
在曲线C 上，则
D．曲线C 上的点到直线
的距离的最大值为12
【答案】ABD
【难度】0.65
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求点到直线的距离、由方程研究曲线的性质、求平面
轨迹方程
【分析】直接求动点P 的轨迹方程判断A；整理
或
，利用方程和图象可判
断BC；由曲线上的点
处的切线方程与直线平行找到距离最大的点，再由点到直线的距离公式可判
断D.
【详解】对于A：因为曲线C 上的点
到定点
的距离与到定直线
的距离之和为4，
则
，即
，故A 正确；
对于B：整理
得
或
，
所以可作出曲线C 的图象如图所示：
所以曲线C 的图象关于y 轴对称，故B 正确；
对于C：当
时，由
，得
，
当
时，由
，得
，
所以当点
在曲线C 上时，
，故C 错误；
对于D：因为函数
过点
，且
，所以
，
所以函数
在点
处的切线方程为
即
，
所以该切线与直线
即
平行，
所以曲线C 上的点
到直线
距离最大为
，故D 正确．
故选：ABD．
6．（2025·河南·模拟预测）（多选题）已知
为等腰直角三角形，
为坐标原点，点
在第一象限，
点
在第四象限，
，若直线
的斜率都存在，记直线
的斜率分别为
，
则
的关系可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AB
【难度】0.94
【知识点】斜率与倾斜角的变化关系
【分析】讨论
、
，结合斜率与夹角关系判断各项的正误.
【详解】当
时，
；
当
时，
.
故选：AB
7．已知两直线
和
的交点为
，则过
两点的直线方程
为 .
【答案】
【解析】依题意两直线
和
的交点为
，
所以
在直线
上，
所以过
两点所在直线方程为
.
故答案为：
8．经过直线3x－2y＋1＝0 和直线x＋3y＋4＝0 的交点，且平行于直线x－y＋4＝0 的直线方程为
．
【答案】x－y＝0.
【解析】设直线方程为3x－2y＋1＋λ(x＋3y＋4)＝0，再求出
的值即得解.过两直线交点的直线方程可设为
3x－2y＋1＋λ(x＋3y＋4)＝0，
即(3＋λ)x＋(3λ－2)y＋4λ＋1＝0，
因为它与直线x－y＋4＝0 平行，
所以3＋λ＋3λ－2＝0，
即λ＝－
，
故所求直线为x－y＝0.
故答案为：x－y＝0.
9．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知直线
，若直线l 在两坐标轴上的截距相等，则实
数k 的值为 ；若直线l 不经过第三象限，则k 的取值范围是 .
【答案】
或
；
.
【难度】0.65
【知识点】直线综合、直线过定点问题
【分析】分别令
和
求出直线在两坐标轴上的截距，利用截距相等解方程求出
的值；先分析过
定点，然后根据条件结合图示判断出直线斜率满足的不等式，由此求解出
的取值范围.
【详解】因为直线l 在两坐标轴上的截距相等，所以
，
在
中，
令
，得
，令
，得
，
依题意可得
，即
，
解得
或
；
直线的方程可化为
，所以
，
所以
，所以直线过定点
，
所以
，由直线
可得：
，
若不经过第三象限，则
，
故答案为：
或
；
.
