文档文本内容
专题8.3 圆的方程
重难点题型1 求圆的方程
1．（2025·海南三亚·一模）已知圆
与直线
和
都相切，且圆心在
轴上，则圆
的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】求点到直线的距离、由圆心（或半径）求圆的方程、由直线与圆的位置关系求参数
【分析】根据题意，设所求圆的方程为
，利用点到直线距离公式列式求出
得解.
【详解】设所求圆的方程为
，
则
，解得
，
目录●重难点题型分布
序号
题型
重难点题型1
求圆的方程
重难点题型2
用二元二次方程表示圆的一般方程的充要条件
重难点题型3
点与圆的位置关系
重难点题型4
与圆有关的轨迹问题
重难点题型5
与圆有关的对称问题
重难点题型6
圆过定问题
重难点题型7
圆的方程的实际应用
所以圆的方程为
.
故选：D.
2．（2025·山西晋中·三模）已知圆C 的一般方程为
，则圆C 的圆心坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】由标准方程确定圆心和半径、圆的一般方程与标准方程之间的互化
【分析】由一般方程得到标准方程即可求解.
【详解】由
，
得
，
可知圆C 的圆心坐标为
．
故选：C
3．（2025·北京海淀·二模）圆心为
且与
轴相切的圆的方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.94
【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程
【分析】首先得到半径，即可得到圆的方程.
【详解】因为圆心为
且与
轴相切，所以半径
，
则圆的方程为
.
故选：D
4．（2025·河北保定·一模）已知O 为坐标原点，圆
，则
（ ）
A．2
B．3
C．
D．5
【答案】C
【难度】0.94
【知识点】求平面两点间的距离、由标准方程确定圆心和半径
【分析】求出圆心坐标，再利用两点间距离公式计算得解.
【详解】圆
的圆心
，所以
.
故选：C
5．（2025·四川凉山·三模）（多选题）已知
，则（ ）
A．
的最小值是
B．
的最小值是
C．
的最小值是
D．
的最大值是
【答案】ACD
【难度】0.4
【知识点】求点到直线的距离、将军饮马问题求最值、定点到圆上点的最值（范围）
【分析】A 选项表示圆上一点
到点
的距离，即最小值为
；圆上一点
到直线
的距离为
，
，
即为
到直线
的距离减半径，求
出
，即可得判断B；
表示圆上一点
到点
距离之和，由此求解
可判断C；化简D 选项可知D 表示圆上一点
到点
距离之差的2 倍，由此求解可判断
D.
【详解】方程
的圆心为
，
对于A，
表示圆上一点
到点
的距离，
，
所以
的最小值是
，故A 正确；
对于B，圆上一点
到直线
的距离为
，
，所以求
的最小值，即求
，
所以
即为
到直线
的距离减半径，
所以
到直线
的距离为
，
所以
，所以
的最小值为
，故B 错误；
对于C，因为
，所以
表示圆上一点
到点
距离之和，
所以
，当
三点在一条直线上时取等，
故
的最小值是
，故C 正确；
对于D，因为
，所以
，
表示圆上一点
到点
距离之差的2 倍，
所以
，当
三点在一条直线上时取等，
的最大值是
，故D 正确.
故选：ACD.
6．（2025·上海·模拟预测）圆
上的点到直线
的距离最大值为 .
【答案】4
【难度】0.94
【知识点】圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）、由圆的一般方程确定圆心和半径
【分析】首先确定圆的圆心坐标和圆的半径，然后确定直线与圆的位置关系，进而可求出圆上的点到直线
的距离的最大值.
【详解】因为
，
所以圆心坐标为
，半径
.
所以圆上的点到
的距离最大值为圆心到直线的距离加圆的半径，即
的长度.
所以
.
故答案为：4.
7．（2025·河南·模拟预测）已知圆
的圆心在直线
上，且圆
经过点
，
，则圆
的方程是 .
【答案】
【难度】0.85
【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程
【分析】先根据中点坐标公式和斜率公式求出两点的中点和斜率，进而得到垂直平分线的斜率和方程，再
联立相关直线方程求出圆心坐标，最后根据圆心和圆上一点求出半径，从而确定圆的方程.
【详解】点
和点
的中点为
，
点
和点
的斜率为
，
则点
和点
的垂直平分线的斜率为
，
可得点
和点
的垂直平分线的方程为
设圆心为
，由题意联立方程：
解得
，
，半径
，圆方程为
.
故答案为：
.
8．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）若圆
经过坐标原点，且圆心在直线
上运动，当半径最小
时，圆的方程为 .
【答案】
【难度】0.85
【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程
【分析】根据圆心在直线上设出圆心坐标，再根据圆过坐标原点及圆心与圆上任一点距离即为半径列等式
即可，再进行配方即可得到半径最小时的圆心坐标，最后写圆的方程即可.
【详解】由题意圆心在直线
上运动，设圆心坐标为
.
又圆经过坐标原点，即
，整理得
.
当半径最小时，
，则圆心为
.
故圆的方程为
.
故答案为：
.
重难点题型2 用二元二次方程表示圆的一般方程的充要条件
1．（2025·四川眉山·三模）方程
表示圆，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】二元二次方程表示的曲线与圆的关系
【分析】根据圆的一般方程可得出关于实数
的不等式，解之即可.
【详解】若方程
表示圆，则
，解得
，
因此，实数
的取值范围是
.
故选：D.
2．（2025·贵州黔南·三模）“关于
，
的方程：
表示圆”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】判断命题的必要不充分条件、二元二次方程表示的曲线与圆的关系
【分析】根据方程表示圆求出参数的取值范围，再由充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】若关于
，
的方程：
表示圆，则
，解得
或
，
因为
真包含于
，
所以“关于
，
的方程：
表示圆”是“
”的必要不充分条件.
故选：B
3．（24-25 高二上·重庆·开学考试）已知“
”是“
”表示圆的必要不充分
条件，则实数的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】根据必要不充分条件求参数、二元二次方程表示的曲线与圆的关系
【分析】由题意先根据圆的一般方程求出“
”表示圆时m 的取值范围，再根据
必要不充分条件得出两个范围的包含关系，从而得出t 的取值范围.
【详解】因为
表示圆，
所以根据圆的一般方程，
，
又因为
是
表示圆的必要不充分条件，
所以
能推出
，而
推不出
，
即
是
的真子集，
所以
，
故选: B.
4．（2025·四川绵阳·模拟预测）“
或
”是“定点
在圆
的外
部”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要
条件
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】判断命题的必要不充分条件、点与圆的位置关系求参数
【分析】由定点
在圆的外部得
，求得k 的取值范围，结合充分,必要条件的
意义可得结论.
【详解】
定点
在圆
的外部，
，化简得
，
k 的取值范围：
或
，
所以
或
”是“定点
在圆
的外部”的必要不充分条件.
故选：B.
5．（多选题）已知圆C：
，则下列命题是真命题的是（ ）
A．若圆
关于直线
对称，则
B．存在直线与所有的圆都相切
C．当
时，
为圆
上任意一点，则
的最大值为
D．当
时，直线
为直线上的动点，过点
作圆
的切线
，切点为
，
，则
最小值为4
【答案】BCD
【难度】0.65
【知识点】切线长、判断直线与圆的位置关系、圆的对称性的应用
【分析】根据圆
关于直线
对称，得
得值，检验半径是否大于零，即可判断A；根据直线与圆相
切的充要条件判断B；根据直线与圆的位置关系确定
的最值即可判断C；根据直线与圆相切的切线
长与切点弦关系可判断D.
【详解】解：圆C：
，整理得：
，
所以圆心
，半径
，则
对于A，若圆
关于直线
对称，则直线过圆心，所以
，得
，又
时，
，方程不
能表示圆，故A 是假命题；
对于B，对于圆
，圆心为
，半径
，则
，
当直线为
时，圆心到直线的距离
，
故存在直线
，使得与所有的圆相切，故B 是真命题；
对于C，当
时，圆的方程为
，圆心为
，半径
由于
为圆
上任意一点，设
，则式子可表示直线
，此时
表示直线的纵
截距，
故当直线与圆相切时，可确定
的取值范围,
于是圆心
到直线
的距离
，解得
或
，
则
，所以
的最大值为
，故C 为真命题；
对于D，圆的方程为
，圆心为
，半径
，
如图，连接
，
因为直线
与圆
相切，所以
，且可得
，又
，
所以
，且
平分
，所以
，
则
，则
最小值即
的最小值，
即圆心
到直线
的距离
，
所以
的最小值为
，故D 为真命题.
故选：BCD.
6．（2025·上海杨浦·模拟预测）设
.已知方程
表示的曲线是一个圆，则
的取值范围
为 .
【答案】
【难度】0.94
【知识点】圆的一般方程与标准方程之间的互化、二元二次方程表示的曲线与圆的关系
【分析】根据圆的标准方程性质，将一般方程变形标准方程，求出范围.
【详解】因为
，变形得
，
所以
，解得
.
故答案为：
.
7．（2024·广东珠海·一模）若方程
表示圆，则
的取值范围为 .
【答案】
或
【难度】0.85
【知识点】二元二次方程表示的曲线与圆的关系、圆的一般方程与标准方程之间的互化
【分析】由圆的一般方程写出标准方程，从而求得参数取值范围.
【详解】由圆的一般方程写出标准方程，
，
即
由
，可得
或
.
故答案为：
或
8．已知
，方程
表示圆，则圆心坐标是 ．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】由圆的一般方程确定圆心和半径、二元二次方程表示的曲线与圆的关系
【分析】先利用方程得到
，求出
或
，然后分别求解即可．
【详解】方程
表示圆，
所以
，解得
或
，
当
时，方程
，配方可得
，所得圆的圆心坐标为
；
当
时，方程
，即
，此时
，
方程不表示圆．
综上所述，圆心坐标是
．
故答案为：
．
重难点题型3 点与圆的位置关系
1．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知点
在圆
外，则
的取值范围（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】点与圆的位置关系求参数
【分析】根据圆的一般方程以及点在圆外，可得出关于实数
的不等式组，由此可解得实数
的取值范围.
【详解】因为点
在圆
外，则
，
解得
，所以实数
的取值范围为
.
故选：B.
2．（2025·北京海淀·三模）已知圆
，直线
，则直线与圆
的公
共点个数为（ ）
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．与
有关，不能确定
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】直线过定点问题、判断点与圆的位置关系、判断直线与圆的位置关系
【分析】根据直线方程确定定点，再判断点圆位置关系，即可得直线与圆的位置，进而确定公共点个数.
【详解】由直线
恒过定点
，而
，
所以点
在圆
内，故直线恒与圆
相交，故有两个交点，
故选：C
3．（2025·山西临汾·一模）已知
，
，
，
，若从
，
，
，
这四个点
中任意选择两个点，则这两个点都落在圆
外的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】判断点与圆的位置关系、计算古典概型问题的概率
【分析】先判断出
在圆外，
在圆上，再利用列举法进行求解概率.
【详解】因为
，故点
在圆外，
，点
在圆外，
，点
在圆上，
，点
在圆外，
从4 个点中任意选择两个点，共有6 种情况，
分别为
，
，
其中两个点都落在圆外的有
，
故这两个点都落在圆
外的概率为
.
故选：A
4．（2025·广西河池·二模）（多选题）已知圆
方程为
，则下列结论正确的是
（ ）
A．
的取值范围为
B．若已知
在圆内，则
C．若
，则直线
与圆
相离
D．若
，圆
关于直线
对称的圆
方程为
【答案】BD
【难度】0.85
【知识点】二元二次方程表示的曲线与圆的关系、点与圆的位置关系求参数、判断直线与圆的位置关系、
由圆与圆的位置关系确定圆的方程
【分析】对于A，给圆的方程配方即可求解；对于B，根据点
在圆内即可列方程；对于C，比较圆心到直
线
的距离与半径的大小即可；对于D，只需求出圆心关于直线
的对称点即可.
【详解】对于A，圆
的方程为
，所以
，得
，故A 错误；
对于B，因为
，所以
，故B 正确；
对于C，当
，时圆C 方程为
，
此时圆心C
到直线
的距离
，所以与圆相切，故C 错误；
对于D，当
时，可得圆C 的方程为
，则圆心
，半径为2，
设圆D 的方程为
，由
，
对称圆D 方程为
即
，故D 正确.
故选：BD.
5．（24-25 高二下·山西·月考）（多选题）已知圆
的半径为2，则下列说法正确的
是（ ）
A．
B．点
在圆
的外部
C．圆
与圆
外切
D．当直线
平分圆
的周长时，
【答案】ABC
【难度】0.85
【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、判断点与圆的位置关系、由直线与圆的位置关系求参数、判断
圆与圆的位置关系
【分析】由已知圆半径确定参数
，即可判断A；由点与圆心的距离与半径的关系判断B；由圆心距与两圆
半径和差关系判断C；由直线过圆心求参数
判断D.
【详解】根据题意得
，解得
，A 正确．
由选项A 可知，圆
，圆心为
，半径为2．因为
，所以点
在圆
的外部，B 正确．
圆
的圆心为
，半径为8，因为
，
所以圆
与圆
外切，C 正确．
若直线
平分圆
的周长，则直线
过圆心
，则
，解得
，D
错误．
故选：ABC．
6．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）若点
在圆
外，则实数
的取值范围为
.
【答案】
【难度】0.85
【知识点】二元二次方程表示的曲线与圆的关系、点与圆的位置关系求参数
【分析】根据圆心到点
的距离大于半径即可列不等式求解.
【详解】圆的标准方程为
，
由于点
在圆外，
所以
，解得
，
故答案为：
7．已知点
在圆C：
（
）内，过点M 的直线被圆C 截得的弦长最小值为
8，则
．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】已知圆的弦长求方程或参数、点与圆的位置关系求参数
【分析】根据点与圆的位置关系，可求得r 的取值范围，再利用过圆内一点最短的弦，结合弦长公式可得
到关于r 的方程，求解即可.
【详解】由点
在圆C：
内，且
所以
，又
，解得
过圆内一点最短的弦，应垂直于该定点与圆心的连线，即圆心到直线的距离为
又
，
所以
，解得
故答案为：
重难点题型4 与圆有关的轨迹问题
1．（2025·江苏连云港·模拟预测）已知线段
的端点
的坐标是
，端点
在圆
上运动，则
线段
的中点
的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】轨迹问题——圆
【分析】由中点坐标公式以及圆的方程，可得答案.
【详解】设
，
，由
为
的中点，则
，即
，
由点
在圆
上，则
，即
，
化简可得
.
故选：D.
2．（2025·江西·模拟预测）已知点A，B 是圆C：
上的两个动点，O 为原点，点A，B，
O 共线，点D 为AB 的中点，则点D 的轨迹长度为（ ）
A．
B．2π
C．
D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】轨迹问题——圆
【分析】根据D 点的性质，求出轨迹方程，确定轨迹是一个新的圆，找到轨迹对应的圆心角度数，即可求
出轨迹长度.
【详解】
由题意知
，变形得
，可知圆
是以
为圆心，以2 为半径的圆，画出
示意图，根据垂径定理可知，
，则点
的轨迹是以
为圆心，以2 为半径的圆的一部分.
如图，过原点
作圆
的切线
切点分别为
，连接
.
易知
，则
，所以
，同理可知
可得
，
当圆周角为
时，圆心角为
，则弧长轨迹
.
故选：C.
3．（2025·内蒙古赤峰·一模）在平面内，两定点
、
之间的距离为
，动点
满足
，则点
轨迹的长度为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】轨迹问题——圆
【分析】建立平面直角坐标系，设点
，根据
求出点
的轨迹方程，结合圆的周长公
式可求得结果.
【详解】以线段
的中点
为坐标原点，
所在直线为
轴建立平面直角坐标系，
则点
、
，
设点
，由
可得
，
整理可得
，化为标准方程得
，如下图所示：
所以，点
的轨迹是以点
为圆心，半径为
的圆，
因此，点
轨迹的长度为
.
故选：A.
4．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知过点
的直线与圆
交于
两点，则弦
的中点
的轨迹方程为 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】向量垂直的坐标表示、轨迹问题——圆、由圆的一般方程确定圆心和半径
【分析】设点
，当
不重合时，根据圆的几何性质，利用垂直建立方程求解即可得解，当
重合时，代入检验即可.
【详解】由直线过点
，圆
可知，圆心
为
，
设点
，
由题意可知，当点
与点
不重合时，
，则
，整理得
，即
，
此时点
的轨迹为圆
但不包括点
.
当点
与点
重合时，其坐标满足方程
.
综上，点
的轨迹方程为
.
故答案为：
5．（2024·贵州毕节·三模）已知直线
，直线
，与
相交于点A，则点A
的轨迹方程为 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】轨迹问题——圆、直线过定点问题、垂直关系的向量表示
【分析】设
，先求出直线和
恒过的定点
，
，由
可得
，即可得出
答案.
【详解】因为
，所以直线过点
，
直线
过点
，
因为
，所以
，设
，
所以
，所以
，
所以
，化简可得：
.
故答案为：
.
重难点题型5 与圆有关的对称问题
1．（2024·宁夏银川·三模）如图，设
，
是圆
上的两个动点，且M、P 点都
不在坐标轴上，点M 关于原点的对称点为
，点M 关于x 轴的对称点为
，若直线
，
与y 轴分
别相交于
和
则
（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】圆的对称性的应用、点与圆的位置关系求参数、直线两点式方程及辨析
【分析】求出
的方程得出
，求出
的方程得出
，再利用
、
点在圆上可得
.
【详解】依题意，
，
，显然
，
，
的方程为
，令
，得
，
的方程为
，令
，得
，
所以
．
故选：D
2．（2023·河南信阳·三模）太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互
转化，相互统一的和谐美．定义：能够将圆
的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆
的一个“太
极函数”；下列有关说法中：
①对圆
的所有非常数函数的太极函数中，一定不能为偶函数；
②函数
是圆
的一个太极函数；
③存在圆
，使得
是圆
的太极函数；
④直线
所对应的函数一定是圆
的太极函数．
所有正确说法的序号是（ ）
A．①②③
B．①②④
C．②④
D．②③
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】函数新定义、圆的对称性的应用、直线过定点问题、函数奇偶性的应用
【分析】举出反例判断①；说明
的图象关于点
成中心对称，结合太极函数定义判断②；
说明
图象关于
对称，
不在函数图象上，结合太极函数定义判断③；求出直线
过的定点，恰为圆心，即可判断④.
【详解】对于①，存在偶函数
，其图象如图示：
当x 轴上方的两个小三角形面积等于x 轴下方的两个三角形面积时，
即可将圆
的周长和面积同时等分成两部分，①错误；
对于②，将正弦函数
的图象向上平移1 个单位即得
的图象，
故
的图象关于点
成中心对称，
又圆
也关于点
中心对称，故
可将圆
的周长和面积同时等分成两部分，②正
确；
对于③，
的定义域为
，
且
，故
为奇函数，图象关于
对称，
如果
是圆
的太极函数，则圆
的圆心应该为
，
但是
不在
的图象上，故
不能将圆
的周长和面积同时等分成两部分，③错误；
对于④，直线
，即
，
由于
，故
，解得
，即直线
过定点
，
即直线
经过圆
的圆心，
能将圆
的周长和面积同时等分成两部分，④正确，
故②④正确，
故选：C
3．（2024·陕西西安·一模）已知圆
，直线
，若圆
上任意一点关于
直线的对称点仍在圆
上，则点
必在（ ）
A．一个离心率为
的椭圆上
B．一个离心率为2 的双曲线上
C．一个离心率为
的椭圆上
D．一个离心率为
的双曲线上
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、圆的对称性的应用、由标准方程确定圆心和半径
【分析】首先求出圆
的圆心坐标，依题意可得直线过圆
的圆心
，从而得到
，即可
得到点
所满足的曲线方程，再求出离心率.
【详解】圆
的圆心为
，
依题意可知直线过圆
的圆心
，则
，
所以点
必在双曲线
即
上，且该双曲线的离心率
．
故选：D.
4．（2024·天津·二模）已知直线
与圆
交于
两点，直线
垂直平分弦
，则
的值为 ．
【答案】2
【难度】0.85
【知识点】圆的对称性的应用、由标准方程确定圆心和半径、已知直线垂直求参数
【分析】利用圆的性质，两直线位置关系计算即可.
【详解】由题意可知
，即圆心
，
又直线
垂直平分弦
，所以
过圆心，
所以
.
故答案为：2
5．已知a，b 为正实数，直线
将圆
平分，则
的最小值是 .
【答案】8
【难度】0.85
【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、圆的对称性的应用
【分析】根据圆的性质，结合基本不等式进行求解即可.
【详解】因为直线
过圆心
，所以
，
因为a、b 为正实数，
所以
，当且仅当
时取等号，即
时
取等号，
故答案为：8
6．设曲线
关于直线
对称，则
．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】圆的对称性的应用
【分析】利用圆的性质，可知圆心在直线
上，即可求
.
【详解】
表示圆心是
，半径
的圆，由条件可知，圆心
在直线
上，即
，得
.
故答案为：
重难点题型6 圆过定点
1．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知直线
，圆
，当
直线被圆
截得的弦最短时，的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】直线的点斜式方程及辨析、直线过定点问题、过圆内定点的弦长最值（范围）、由圆的一般方
程确定圆心和半径
【分析】求出直线过的定点及圆
的圆心的坐标，再结合已知求出直线的斜率即可得解.
【详解】依题意，直线
，由
，解得
，
所以直线过定点
，
由
，得
，
所以圆心
，半径
，
显然
，即点
在圆
内，
所以直线
斜率
，
当
时，直线被圆
截得的弦最短，
所以
，即
，解得
,
所以直线的方程为
，即
，
经检验，此时
，满足题意.
故选：C.
2．（2024 高三上·全国·月考）设直线
与圆
交于
，
两点，则
的
取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】直线过定点问题、由标准方程确定圆心和半径、判断点与圆的位置关系、过圆内定点的弦长最
值（范围）
【分析】由条件可知直线过定点
，直线
时，弦
最短，直线l 过圆心时，弦
最长，求
解即可.
【详解】设直线
为l，
方程变形为
，所以直线恒过定点
，
因为圆的方程为
，所以圆心
，半径
，
因为
，所以
在圆的内部，
当直线
时，弦
最短，
因为
，所以
，
当直线l 过圆心时，弦
最长为
，
故
的取值范围为
.
故选：
.
3．已知直线：
恒过点
，过点
作直线与圆C：
相交于A，B 两点，
则
的最小值为（ ）
A．
B．2
C．4
D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】圆的弦长与中点弦、过圆内定点的弦长最值（范围）、直线过定点问题
【分析】写出直线的定点坐标并判断与圆的位置关系，进而确定
最小时直线与直线
的位置关系，
即可得结果.
【详解】由
恒过
，
又
，即
在圆C 内，
要使
最小，只需圆心
与
的连线与该直线垂直，所得弦长最短，
由
，圆的半径为5，
所以
.
故选：A
4．直线
与圆
相交，所得弦长为整数，这样的直线有（ ）条
A．10
B．9
C．8
D．7
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】过圆内定点的弦长最值（范围）、直线过定点问题
【分析】求出过定点
的直线与圆的最短弦长为
，最长的弦长为直径10，则弦长为6 的直线
恰有1 条，最长的弦长为直径10，也恰有1 条，弦长为7，8，9 的直线各有2 条，即可求出答案.
【详解】直线
过定点
，圆半径为5，
最短弦长为
，恰有一条，但不是整数；
弦长为6 的直线恰有1 条，有1 条斜率不存在，要舍去；
最长的弦长为直径10，也恰有1 条；
弦长为7，8，9 的直线各有2 条，共有8 条，
故选：C．
5．（2025·辽宁沈阳·一模）已知直线
被圆
截得的最短弦长
为
，则
．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】直线过定点问题、过圆内定点的弦长最值（范围）、圆的弦长与中点弦、已知圆的弦长求方程
或参数
【分析】根据定点及两点间距离公式得出圆心到直线距离的最大值，进而结合圆的弦长公式，得到弦长
，计算即可求解.
【详解】由题意，圆
，可得圆心
，半径，
过定点
则圆心到直线
的距离为
，
可得截得弦长为
，
弦长取得最小值
时，
.
故答案为：
.
6．（2024·广东惠州·模拟预测）在圆
内，过点
的最长弦和最短弦分别为
和
，则四边形
的面积为 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】圆的弦长与中点弦、过圆内定点的弦长最值（范围）
【分析】数形结合确定弦
和
的位置，即可求出四边形
的面积.
【详解】圆的方程
化为标准方程为：
，
则圆心
半径
，由题意知最长弦为过
点的直径，最短弦为过
点和这条直径垂直的弦，即
，且
，圆心和
点之间的距离为1，
故
，
所以四边形ABCD 的面积为
．
故答案为：
7．（2024·湖北襄阳·模拟预测）已知圆
及直线
，当直线被圆
截得的弦长最短时，直线的方程为 .
【答案】
【难度】0.85
【知识点】过圆内定点的弦长最值（范围）、已知圆的弦长求方程或参数
【分析】求出直线过定点，当直线与过定点的半径垂直时，弦长最短，由此计算可得．
【详解】由直线方程知直线过定点
，
，此点在
内，直线与圆始终相交，
，
，
所以直线被圆
截得的弦长最短时，
，直线方程为
，即
．
【点睛】本题考查直线与圆相交弦长问题，过圆内定点的直线与圆相交的弦长，当直线过圆心时弦长最长，
当直线与过定点的半径垂直时弦长最短．
8．已知圆
，若直线
与圆C 交于
两点，当弦
的长度最小时，则正实数m= .
【答案】
.
【难度】0.65
【知识点】过圆内定点的弦长最值（范围）
【解析】先确定直线过定点且在圆内，当弦
的长度最小时得出定点与圆心的连线与垂直，根据斜率
关系求得
.
【详解】解：将直线的方程整理为
，由
得：
.
直线
经过定点
.
，
点
在圆
的内部，故直线与圆
恒有两个交点
.圆心
，当弦AB 的长度最小时，
.由于
不存在，所以
,即
，
.
故答案为：
.
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，属于基础题.
重难点题型7 圆的方程的实际应用
1．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）射影几何认为：所有无穷远点都位于唯一的一条无穷远直线上；任何两
条平行直线都在无穷远处相交.莱莫恩（Lemoine）定理指出：过
的三个顶点
作它的外接圆的
切线分别和边
相交于点
，则三点
在同一直线上.这条直线称为该三角形的莱莫恩
（Lemoine）线.在平面直角坐标系
中若三角形三个顶点的坐标为
，
，则该三角
形的莱莫恩（Lemoine）线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】直线两点式方程及辨析、直线一般式方程与其他形式之间的互化、求过已知三点的圆的标准方
程、过圆上一点的圆的切线方程
【分析】求出
的外接圆方程，求出在
处的切线方程，即可求出
的坐标，由题意即可求得答
案.
【详解】设
的外接圆方程为
，
则
，解得
，
即
外接圆方程为
，即
，
故该外接圆在
处的切线方程为
；
直线
的方程为
，令
，则
，即得
，
外接圆在
处的切线方程为
；
直线
的方程为
，令
，则
，即得
，
则直线
的方程为
，即
，
即该三角形的莱莫恩（Lemoine）线方程为
.
故选：A.
2．（2025·四川宜宾·三模）如图，在等边
中，
，以
为直径分别作半圆，
是两段半
圆弧上的动点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、数量积的坐标表示、定点到圆上点的最值（范围）
【分析】建立两个不同的平面直角坐标系，对
点位置分类讨论，结合圆的参数方程设出其坐标，利用平
面向量积的坐标表示将
表示为三角函数，再利用辅助角公式结合三角函数的有界性求解值域，最
后两种情况再取并集即可.
【详解】首先，作
的中点
，我们对
的位置分类讨论，
当
在以
为圆心的半圆弧上运动时，
如图，以
中点
为原点建立平面直角坐标系，
因为在等边
中，
，所以
，
，
则半圆
的方程为
，
的参数方程为
是参数，且
，
得到
，故
，
，
则
，
因为
，所以
，得到
，
即
，故
，
即此时
，
其次，作
的中点
， 当
在以
为圆心的半圆弧上运动时，
如图，以
中点
为原点建立平面直角坐标系，
因为在等边
中，
，所以
，
，
则半圆
的方程为
，
的参数方程为
是参数，且
，
得到
，故
，
，
则
，
因为
，所以
，得到
，
即
，故
，即此时
，
综上，可得
，故D 正确.
故选：D
3．（2025·江西·二模）（多选题）如图，有一组圆
都内切于点
，圆
，设直线
与圆
在第二象限的交点为
，若
，则下列结
论正确的是（ ）
A．圆
的圆心都在直线
上
B．圆
的方程为
C．若
，则圆
与
轴有交点
D．设直线
与圆
在第二象限的交点为
，则
【答案】ABC
【难度】0.4
【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、由直线与圆的位置关系求参数
【分析】求出连心线所在直线方程判断A；求出圆
的方程判断B；求出圆
的圆心到y 轴的距离，结合
直线与圆的位置关系判断C；求出点
的纵坐标判断D.
【详解】圆
的圆心
，直线
的方程为
，即
，
由两圆内切连心线必过切点，得圆
的圆心都在直线
上，即圆
的圆心都在直线
上，故A
正确；
显然
，设点
，则
，而
，
解得
，
，因此圆
的圆心
，半径为
，
圆
的方程为
，
则圆
的方程为
，故B 正确；
圆
的圆心为
，半径
，
圆心到
轴的距离为
，
由
两边平方得
，
，
，而
所以当
时，圆
与
轴有交点，C 选项正确.
在
中，令
，得点
的纵坐标为
，因此
，故D 错误．
故选：ABC.
4．（2025·上海杨浦·三模）已知三角形
的
，则三角形
的面积的取值范围是
．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】轨迹问题——圆
【分析】以
为坐标原点
所在直线为
轴建立平面直角坐标系，设出点
坐标，根据
列等式，
即可得到
的轨迹.再求点
到
的距离范围即可得到三角形
的面积的取值范围.
【详解】以
为坐标原点
所在直线为
轴建立平面直角坐标系，设
，
.
因为
，所以
，化简得
，
则点
的轨迹为以
为圆心，半径为
的圆（除去两点
）.
则点
到直线
的最大距离即为半径
，此时三角形
的面积
.
又点
到直线
的距离可趋近于
，所以三角形
的面积的取值范围为
.
故答案为：
5．（2025·四川资阳·模拟预测）数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象
概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，
曲线C：
就是一条形状优美的曲线，曲线C 围成的图形的周长是为 ；若
是
曲线C 上任意一点，
的最小值为 .
【答案】
【难度】0.4
【知识点】圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）、由方程研究曲线的性质
【分析】分类讨论去掉绝对值可得曲线的四段关系式，从而作出曲线的图象，由曲线图象判断即可．
【详解】曲线C：
，
当
，
时，曲线C 的方程可化为
；
当
，
时，曲线C 的方程可化为
；
当
，
时，曲线C 的方程可化为
；
当
，
时，曲线C 的方程可化为
，
所以曲线C 的图象如图所示，
曲线C 由4 个半圆以及坐标原点组成，其周长为
；
到直线
的距离
，
当
，
时，曲线C 的方程可化为
曲线为圆心为
，半径为
的圆的一部分，如图所示，
而
到直线
的距离为
，
由圆的性质得曲线C 上一点到直线
的距离最小为
，
故
的最小值为
.
故答案为：
；
.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于分情况讨论，得到不同情况下函数的图像，从而求解.
6．（2025·陕西·二模）在我们所作的三角形外接圆中，有常见的以下几种如图：
(1)如图一，三角形不经过圆的直径，叫做“阿圆▲”，设该三角形为
，其外接圆半径为
，角
所对的边分别为
.定义函数
，
，且
的最大值为
，
若
，设D 为三角形
外接圆劣弧
上的一点，且不与
重合，求
的取值范围.
(2)如图二，三角形经过圆的直径，叫做“泰圆▲”，若该三角形为ABC，
为定点，C 为动点，试用向
量方法证明数学常见结论：“
”.
(3)如图三，三角形包跨过圆的直径，叫做“秘圆▲”，假设该圆的直径为
，其中一条边
的位置固定，
长度为3，求满足条件的动点
的运动轨迹方程.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
或
.
【难度】0.15
【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、正弦定理解三角形、数量积的运算律、轨迹问题——圆
【分析】（1）利用辅助角公式求解
最值
，得利用正弦定理转化为边
的关系，
联立
，解得
，进而求解
，符合“阿圆▲”定义，再利用圆的性质转化
，然后结合几何图形求范围可得；
（2）由“泰圆▲”定义，利用向量数量积为
证明垂直关系即可；
（3）建系设点，利用几何法求圆的圆心可得轨迹方程，注意结合“秘圆▲”定义求解范围,
【详解】（1）由
，得
，
，
其中由
，不妨取
，
由
，得
，
当
时，
取最大值，最大值为
，
化简得
，又
，
由
，
解得
或
，由
，则
，联立
，
解得
，则
，则
，
由题意，
为“阿圆▲”，即为钝角三角形，有一内角为钝角，
而
，满足题意，
此时，
，
如图，由题意D 为三角形
外接圆劣弧
上的一点，且不与
重合，
为圆心，
取
中点
，连接
，则
，
，
三点共线，
所以
.
，
结合图形可知，
，且
，
因此
，故
.
即
的取值范围为
.
（2）由题意，由
为“泰圆▲”，
为外接圆圆心，则其中一边过圆心
，即为直径，
若
为动点，要使
恒为“泰圆▲”，则
为直径，
，
由
构成三角形，三点不共线，故
，即
，
故
，结论得证.
（3）以
中点为坐标原点，以
所在直线为
轴，建立如图所示的平面直角坐标系
，
由题意
，则
，设
，
设
外接圆圆心为
，已知直径为
，则
，
由对称性可知，圆心
在
的垂直平分线上，即
轴上，
设圆心
，则
，解得
，则
或
.
当
时，点
在圆
上，
如图，连接
，延长
分别与圆
交于点
，
由题意，
为“秘圆▲”，即为锐角三角形，结合图形可知，
的轨迹为圆
上的劣弧
，且不包括端点
,所以
，
当
时，同理由对称性可得点
的轨迹方程为
.
综上所述，满足条件的动点
的运动轨迹方程为
或
.
7．（2024·上海静安·二模）江南某公园内正在建造一座跨水拱桥．如平面图所示，现已经在地平面以上造
好了一个外沿直径为20 米的半圆形拱桥洞，地平面与拱桥洞外沿交于点
与点
． 现在准备以地平面上
的点
与点
为起点建造上、下桥坡道，要求：①
；②在拱桥洞左侧建造平面图为直线的坡道，
坡度为
（坡度为坡面的垂直高度和水平方向的距离的比）；③在拱桥洞右侧建造平面图为圆弧的
坡道；④在过桥的路面上骑车不颠簸．
(1)请你设计一条过桥道路，画出大致的平面图，并用数学符号语言刻画与表达出来；
(2)并按你的方案计算过桥道路的总长度；（精确到0.1 米）
(3)若整个过桥坡道的路面宽为10 米，且铺设坡道全部使用混凝土．请设计出所铺设路面的相关几何体，
提出一个实际问题，写出解决该问题的方案，并说明理由 （如果需要，可通过假设的运算结果列式说明，
不必计算）．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
(3)答案见解析
【难度】0.65
【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、圆的弧长、面积、圆心角等计算、已知圆的弦长求方程或参数
【分析】（1）解法1；以线段
的中点
为坐标原点建立平面直角坐标系，求得圆
的方程，得到
，联立方程组，求得
，设圆
的半径为，求得圆
的方程为
，进而得到函数的解析式；解法2：以线段
的中点
为坐标原点建立平面直角坐标
系，设圆
的半径为，求得圆
的方程为
，得到
，，进而得到函数的解
析式；
（2）解法1：求得圆弧
的长为
，得到圆弧
的长为
，进而求得过桥道
路的总长度；解法2：根据题意，求得
，得到圆弧
的长，求得圆弧
的长
为
，进而得到过桥道路的总长度；
（3）设计让桥的侧面所在平面垂直于地平面，提出问题，结合面积公式，分别求得铺设过桥路需要混凝
土的值.
【详解】（1）解法1、如图所示，以线段
的中点
为坐标原点建立平面直角坐标系，
则，圆
的方程为
，
由
，
得
，
，
过点
作圆
的切线
，切点为
，直线
的斜率为
，其方程为
，
所以直线
的斜率为
，其方程为
，将其代入
，
得点
的坐标为
，
经过点
作圆
与圆
切于点
（圆
与y 轴的交点），设圆
的半径为，
则
，即
，解得
，
所以，圆
的方程为
，
故用函数表示过桥道路为
.
解法2、如图所示，以线段
的中点
为坐标原点建立平面直角坐标系，
作圆
与x 轴相切于点
，并和圆
切于点
，
设圆
的半径为，则
，即
，解得
，
所以圆
的方程为
，
将直线
的方程代入
得，点
的坐标为
，
所以用函数表示过桥道路为
.
