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函数的零点与方程的解
目录
【解密高考】总结常考点及应对的策略，精选名校模拟题，讲解通关策略（含押题型）
【题型一】函数零点所在区间的判定
【题型二】函数零点个数的判定
【题型三】 根据函数的零点个数求参
【题型四】二分法
【题型五】等高线
【误区点拨】点拨常见的易错点
易错点：对两个计数原理理解混乱
：1.理解函数的零点与方程的解的联系.
2.理解函数零点存在定理，并能简单应用
3.高考以选择填空最后一题为主，难度较大
：深刻理解如下几个概念
1．函数的零点与方程的解
(1)函数零点的概念
对于一般函数y＝f(x)，我们把使f ( x ) ＝
0 的实数x 叫做函数y＝f(x)的零点．
(2)函数零点与方程实数解的关系
方程f(x)＝0 有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x 轴
有公共点．
(3)函数零点存在定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f ( a ) f ( b )<0
，那么，函数y＝f(x)在区间
( a ，
b ) 内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f ( c ) ＝
0 ，这个c 也就是方程f(x)＝0 的解．
2．二分法
对于在区间[a，b]上图象连续不断且f ( a ) f ( b )<0
的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，
使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
【题型一】函数零点所在区间的判定
【例1】函数
的零点所在的区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【例2】函数
在区间
内有零点，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例3】（多选）下列函数图象与x 轴均有公共点，其中不能用二分法求零点的是（ ）
A．
B．
C．
D．
(1)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续；再看是否有
f(a)·f(b)<0，若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．
(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断．
【变式1】已知定义在R 上的函数
满足
，
，且
，设函数
，则（ ）
A．
只有1 个零点，且该零点在
内
B．
有2 个零点，且2 个零点分别在
和
内
C．
只有1 个零点，且该零点在
内
D．
有2 个零点，且2 个零点分别在
和
内
【变式2】已知函数
，则在下列区间中，函数
一定有零点的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【题型二】函数零点个数的判定
【例1】若函数
满足
，且
时，
，已知函数
则函数
在区间
内的零点个数为（ ）
A．14
B．13
C．12
D．11
【例2】若函数
有极值点
，
，且
则关于x 的方程
的不同实根个数是（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【例3】已知
是定义在
上的函数，且有
，当
时，
，则方程
的根的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
(1)直接法：令f(x)＝0，方程有多少个不同的实数根，则f(x)有多少个零点．
(2)定理法：利用函数零点存在定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等．
(3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数．
【变式1】（多选）函数
的零点个数可能是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【变式2】已知函数
，
，若
， 则
的零点个数为（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
【变式3】函数
的函数值表示不超过x 的最大整数，例如，
，则方程
的零点个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【题型三】 根据函数的零点个数求参
【例1】已知函数
，
．若
在区间
内没有零点，则
的
取值范围是 ．
【例2】（多选）已知函数
，若方程
有4 个不同的实数根，则下列
选项正确的为（ ）
A．方程
有2 个不相等实数根
B．函数
在
上单调递增
C．函数
无最值
D．实数
的取值范围为
（活动性栏目）
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组)，再通过解不等式确定参数(范围)．
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域确定参数范围．
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后利用数形结合法求
解.
【变式1】（多选）设函数
，则（ ）
A．当
时，
有两个零点
B．当
时，
是
的极大值点
C．当
时，点
为曲线
的对称中心
D．当
时，
在区间
上单调递增
【题型四】二分法
【例1】已知函数
，现用二分法求函数
在
内的零点的近似值，则使用两次二分
法后，零点所在区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例2】已知函数
的部分函数值如表所示:
那么函数
的一个零点的近似值（精确度为
）为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】用二分法求方程
在
内的近似解时，记
，若
，据此判断，方程的根应落在区间 内.
【题型五】等高线
【例1】已知函数
，且关于
的方程
恰有四个不同的根，从小到大依次
为
，则（ ）
A．
B．
最小值为9
C．
恰有6 个不同的根D．
，使得
恰有8 个不同的根
【例2】已知函数
，若
有四个不等的实数解
，
，
，
，下列说法
正确的是（ ）
A．
有最小值2
B．m 的取值范围是
C．
D．方程
有4 个不同的解
【变式1】（多选）已知函数
，令
，则下列说法正确的是（ ）
A．函数
的增区间为
B．当
有3 个零点时，
C．当
时，
的所有零点之和为
D．当
时，
有1 个零点
【变式2】已知函数
，若方程
有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
易错点：数形结合以及作图的规范
例1 已知
是函数
的零点，则
.
例2、函数
2
π
( )
2sin sin(
)
2
f x
x
x
x
的零点个数为___.
变式1、已知函数 f(x)＝若函数y＝f(x)－a|x|恰有4 个零点，则实数a 的取值范围为________．
变式2、设
，对任意实数x，记
．若
至少有3 个零点，则实数
的取值范围为 .
