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第 02 讲 取整函数问题
【典型例题】
例1．（2024·山西吕梁·校考模拟预测）用[ ]表示不大于实数a的最大整数，如[1.68]=1，设 分别是方
程 及 的根，则 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
例2．（2024·河北·高三雄县第一高级中学校联考期末）高斯是德国数学家､天文学家和物理学家，被誉为
历史上伟大的数学家之一，和阿基米德､牛顿并列，同享盛名.用他名字命名的高斯函数也称取整函数，记
作 ，是指不超过实数 的最大整数，例如 ，该函数被广泛应用于数论､函数绘图和
计算机领域.若函数 ，则当 时， 的值域为（ ）
A． B． C． D．
例3．（2024·全国·高三专题练习）高斯是德国著名数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的
称号，用他名字定义的函数 称为高斯函数，其中 表示不超过x的最大整数，如 ，
，已知数列 满足 ， ， ，若 ， 为数列 的
前n项和，则 （ ）
A．2026 B．2025 C．2024 D．2023
例4．（2024·四川成都·高三校考开学考试）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学
王子”的称号，用[x]表示不超过x的最大整数，则 称为高斯函数．例如： ，已知函数
，则函数 的值域为（ ）
A． B． C． D．
例5．（2024·全国·高三专题练习）世界公认的三大著名数学家为阿基米德、牛顿、高斯，其中享有“数学
王子”美誉的高斯提出了取整函数 ， 表示不超过x的最大整数，例如 ．已知
， ，则函数 的值域为 ．
例6．（2024·重庆·高三四川外国语大学附属外国语学校校考阶段练习）已知 ，函数在 有极值，设 ，其中 为不大于 的最大整数，记数列 的
前 项和为 ，则 .
例7．（2024·吉林长春·长春市第二中学校考模拟预测）定义函数 ，其中 表示不超过 的最
大整数，例如： ， ， .当 时， 的值域为 .记集合 中元素的
个数为 ，则 的值为 .
例8．（2024·全国·高三专题练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”
的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设 ，用 表示不超过 的最大整数，则 称为“高
斯函数”，例如： ， .已知数列 满足 ， ， ，若
， 为数列 的前 项和，则 .
例9．（2024·全国·高三专题练习）对于正整数n，设 是关于x的方程 的实数根.记
，其中 表示不超过x的最大整数，则 ；设数列 的前n项和为 则
.
例10．（2024·全国·高三专题练习）已知 表示不超过实数 的最大整数，如 ， ，
为取整函数， 是函数 的零点，则 ．
【过关测试】
一、单选题
1．（2024·全国·高三专题练习）定义 表示不超过 的最大整数， .例如： ，
.① ；②存在 使得 ；③ 是 成立的充分不必要
条件；④方程 的所有实根之和为 ，则上述命题为真命题的序号为（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①④
2．（2024·全国·高三专题练习）世界公认的三大著名数学家为阿基米德、牛顿、高斯，其中享有“数学王
子”美誉的高斯提出了取整函数 ， 表示不超过 的最大整数，例如 ， .已知， ，则函数 的值域为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·全国·高三专题练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美
誉．函数 称为高斯函数，其中 ， 表示不超过x的最大整数，例如： ，
，则方程 的所有解之和为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·全国·高三专题练习）已知 ，符号 表示不超过 的最大整数，若函数
有且仅有3个零点，则 的取值范围是
A． B．
C． D．
5．（2024·全国·高三专题练习）对于实数x，符号[x]表示不超过x的最大整数，例如： ．
如果定义函数 ，那么下列命题中正确的一个是（ ）
A． B．方程 有且仅有一个解
C．函数 是周期函数 D．函数 是减函数
二、多选题
6．（2024·全国·高三校联考竞赛）已知定义域为 的函数 ，其中 代表
不超过 的最大整数.设数列 满足： 是 在 上最大值，数列 满足： 且
，则下列说法正确的是（ ）
A． 最小值为
B． 在 有 个极值点
C．
D．
7．（2024·甘肃·高三武威第六中学校联考开学考试）已知函数 （ ，其中 表示
不大于 的最大整数），则（ ）A． 是奇函数 B． 是周期函数
C． 在 上单调递增 D． 的值域为
8．（2024·全国·高三专题练习）设 表示不超过x的最大整数，如： ， ， 又称为
取整函数，以下关于“取整函数”的描述，正确的是（ ）
A． 是奇函数
B． ， ，若 ，则
C． ，
D．不等式 的解集为
9．（2024·全国·高三专题练习）设函数 ，若 表示不超过 的最大整数，则
的函数值可能是（ ）
A．0 B． C．1 D．2
10．（2024·广东·珠海市第一中学校联考模拟预测）已知函数 定义域为R，满足 ，
当 时， .若函数 的图象与函数 的图象的交点为
， ， ，(其中 表示不超过 的最大整数)，则（ ）
A． 是偶函数B． C． D．
11．（2024·全国·校联考模拟预测）已知函数 定义域为 ，满足 ，当 时，
.若函数 的图象与函数 的图象的交点为
，（其中 表示不超过 的最大整数），则（ ）
A． 是偶函数 B．
C． D．
12．（2024·全国·高三专题练习）已知 ，定义： 表示不超过 的最大整数，例如
.若函数 ，其中 ，则（ ）
A．当 时， 存在零点B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则
13．（2024·浙江宁波·高三统考期末）对于任意实数 ， 表示为不超过 的极大整数，如 ，
，（ ）
A．若 时，则
B．若 ， ，则
C．若 ， ，则
D．若 ， ，则
14．（2024·重庆·高三校联考阶段练习） ， 表示不超过 的最大整数，我们把 ，
称为取整函数，以下选项关于“取整函数 ”正确的是（ ）
A． ，
B． ，
C． ，
D． ， ，则
15．（2024·全国·高三专题练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的
称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表
示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，如：[1.2]＝1，[﹣1.2]＝﹣2，y＝[x]又称为取整函数，在
现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等均按“取整函数”进行计费，以下关于“取整
函数”的描述，正确的是（ ）
A． x∈R，[2x]＝2[x]
∀
B． x∈R，[x]+
∀
C． x，y∈R，若[x]＝[y]，则有x﹣y＞﹣1
D．∀方程x2＝3[x]+1的解集为
则|x﹣y|＝|（m+t）﹣（m+s）|＝|t﹣s|＜1，因此x﹣y＞﹣1，故C正确；
对于D：由x2＝3[x]+1知，x2一定为整数且3[x]+1≥0，
所以[x]≥ ，所以[x]≥0，
所以x≥0，
由[x]2≤x2＜（[x]+1）2，得[x]2≤3[x]+1＜（[x]+1）2，
由[x]2≤3[x]+1，解得 ≤[x]≤ ≈3.3，只能取0≤[x]≤3，
由3[x]+1＜（[x]+1)2，解得[x]＞1或[x]＜0（舍），故2≤[x]≤3，
所以[x]＝2或[x]＝3，
当[x]＝2时，x＝ ，当[x]＝3时，x＝ ，
所以方程x2＝3[x]+1的解集为 ，故D错误．
故选：BC．
16．（2024·福建龙岩·高三上杭一中校考阶段练习）高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，有
“数学王子”的称号，他和阿基米德，牛顿并列为世界三大数学家，用 表示不超过 的最大整数，则
称为高斯函数，例如 .则下列说法正确的是（ ）
A．函数 在区间 上单调递增
B．
C．若函数 ，则 的值域为
D．函数 的值域为
17．（2024·黑龙江齐齐哈尔·高三统考阶段练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有
“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设
，用 表示不超过 的最大整数，则 称为高斯函数，例如： ， .已知函数
， ，则下列叙述中错误的是（ ）
A． 在 上是增函数 B． 是奇函数
C． 的值域是 D． 的值域是
三、填空题
18．（2024·全国·模拟预测）高斯是德国著名数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，
用他名字定义的函数称为高斯函数 ，其中 表示不超过 的最大整数，如 ，
．已知实数 满足 ， ，则 ．
19．（2024·全国·高三专题练习）n是小于100的正整数，并且满足等式： ，其中[x]表示不超过x的最大整数，这样的正整数n共有 个．
20．（2024·安徽淮北·统考一模）记不超过 的最大整数为 .若函数 既有最大值也有
最小值，则实数 的值可以是 （写出满足条件的一个 的值即可）.
21．（2024·全国·高三专题练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的“高
斯函数”为：设 ，用 表示不超过 的最大整数，则 称为高斯函数.例如：
.已知函数 ，则函数 的值域是 .
