第二章函数
§2.4 函数的周期性和对称性
【考情分析·探规律】
考点
三年考情（2021-2024）
命题趋势
考点1 函数的周期
性及其应用
2022·全国新Ⅱ卷
2021·全国新Ⅱ卷
2021·全国甲卷
了解周期性的概念和意义.会判
断、应用简单函数的周期性解决问题，
能综合运用函数的周期性、对称性等解
决相关问题.
该内容是新高考卷的必考内
容，一般会以抽象函数作为载体，考查
函数的单调性、奇偶性、周期性及对称
性，是新高考一轮复习的重点内容。
考点2 函数的对称
性及其应用
2024·全国新Ⅱ卷
2022·全国新Ⅰ卷
2022·全国乙卷
【知识梳理】
1.函数的周期性
(1)周期函数：一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果存在一个非零常数T,使得对每一个
x∈D 都有x＋T∈D,且f ( x ＋
T ) ＝
f ( x ) ,那么函数y＝f(x)就叫做周期函数,非零常数T 叫做这
个函数的周期.
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正
数就叫做f(x)的最小正周期.
2.奇函数、偶函数的对称性
(1)奇函数关于原点对称，偶函数关于y 轴
对称.
(2)若f(x－2)是偶函数，则函数f(x)图象的对称轴为x ＝－
2 ；若f(x－2)是奇函数，则函数
f(x)的图象的对称中心为( －
2 ，
0)
.
3.若函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a 对称，则f(a－x)＝f(a＋x)；
若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝－f(a＋x)，则函数的图象关于点( a ，
0)
对称.
4.两个函数图象的对称
(1)函数y＝f(x)与y＝f(－x)关于y 轴
对称；
(2)函数y＝f(x)与y＝－f(x)关于x 轴
对称；
(3)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)关于原点对称.
【名师点拨】 对称性的四个常用结论
(1)y＝f(x＋a)是偶函数⇔f(a＋x)＝f(a－x)
y
⇔＝f(x)的图象关于x＝a 对称；
(2)y＝f(x＋a)是奇函数⇔f(a＋x)＝－f(a－x)
y
⇔＝f(x)的图象关于点(a，0)对称；
(3)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝对称.
特别地，当a＝b 时，即f(a＋x)＝f(a－x)或f(x)＝f(2a－x)时，则y＝f(x)的图象关于直线x＝
a 对称.
(4)若函数y＝f(x)满足f(x)＋f(2a－x)＝2b，则y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称.特别地，当b
＝0 时，即f(a＋x)＋f(a－x)＝0 或f(x)＋f(2a－x)＝0 时，则y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称.
【随堂训练】
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)函数y＝f(x＋1)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1 对称.( )
(2)函数y＝f(x－1)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称.( )
(3)若函数f(x)满足f(x－1)＋f(x＋1)＝0，则f(x)的图象关于y 轴对称.( )
(4)若函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，则f(x)的图象关于直线x＝2 对称.( )
【答案】(1)√ (2)× (3)× (4)√
【解析】(2)函数y＝f(x－1)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(－1，0)对称.
(3)由函数f(x)满足f(x－1)＋f(x＋1)＝0 可得f(x－1)＝－f(x＋1)，所以f(x＋2)＝
－f(x)，所以f(－x)≠f(x)，故f(x)的图象不关于y 轴对称.
2.已知定义在R 上的函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x),当x∈[－1,1]时,f(x)＝x2＋1,则f(2 024.5)等于(
)
A.17
16
B.5
4
C.2
D.1
【答案】B
【解析】由f(x＋2)＝f(x)可知,函数f(x)的周期为2,
当x∈[－1,1]时,f(x)＝x2＋1,
∴f(2 024.5)＝f(2 024＋1
2)＝f(
1
2)＝1
4 ＋1＝5
4 .
3.下列函数与y＝ex关于直线x＝1 对称的是( )
A.y＝ex－1
B.y＝e1－x
C.y＝e2－x
D.y＝ln x
【答案】C
【解析】记f(x)＝ex,则关于直线x＝1 对称的是f(2－x)＝e2－x,即y＝e2－x.
4.已知函数y＝f(x)的图象经过点P(1,－2),则函数y＝－f(－x)的图象必过点 .
【答案】(－1,2)
【解析】y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点对称,y＝f(x)的图象经过点P(1,－2),
则函数y＝－f(－x)的图象必过点(－1,2).
【名师点拨】
1.熟记函数周期性的三个常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x),则T＝2|a|；
(2)若f(x＋a)＝
1
f ( x) ,则T＝2|a|；
(3)若f(x＋a)＝－
1
f ( x) ,则T＝2|a|.
2.熟记对称性与周期性之间的三个常用结论
(1)若函数f(x)的图象关于两条不同直线x＝a 和x＝b 对称,则函数f(x)的周期为T＝2|a－b|；
(2)若函数f(x)的图象关于两个不同点(a,0)和点(b,0)对称,则函数f(x)的周期为T＝2|a－b|；
(3)若函数f(x)的图象关于直线x＝a 和点(b,0)对称,则函数f(x)的周期为T＝4|a－b|.
【必练核心题型】
题型一 函数的周期性
例1.若偶函数f(x)满足f(x＋2)＋f(x)＝0,当x∈(0,1)时,f(x)＝x
2＋1,则f(
7
2)等于( )
A.2
B.7
4
C.5
4
D.3
4
【答案】C
【解析】由已知可得f(x＋2)＋f(x)＝0⇒f(x＋4)＋f(x＋2)＝0⇒f(x＋4)＝f(x),
即T＝4 是函数f(x)的一个周期,
所以f(
7
2)＝f (−1
2)＝f(
1
2)＝
1
2
2
＋1＝5
4 .
例2.已知f(x)是定义域为R 的奇函数,且f(x－2)是偶函数,当0≤x≤2 时,f(x)＝x2－4x,则当
6≤x≤8 时,f(x)的解析式为( )
A.f(x)＝－x2－4x
B.f(x)＝x2－16x＋60
C.f(x)＝x2－12x＋32
D.f(x)＝－x2＋12x－32
【答案】D
【解析】因为f(x)是定义在R 上的奇函数,f(x－2)为偶函数,
所以f(－x)＝－f(x),f(－x－2)＝f(x－2),即f(－x)＝f(x－4),
所以f(x－4)＝－f(x),
所以f(x＋4)＝－f(x),
可得f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x),
所以f(x)的一个周期为8,
又当0≤x≤2 时,f(x)＝x2－4x,
当6≤x≤8 时,则0≤8－x≤2,所以f(8－x)＝(8－x)2－4(8－x)＝x2－12x＋32,
又f(x)是周期为8 的奇函数,
则f(x)＝f(x－8)＝－f(8－x)＝－(x2－12x＋32)＝－x2＋12x－32,
故f(x)＝－x2＋12x－32,x∈[6,8].
【解题技巧】
(1)求解与函数的周期有关的问题,应根据题目特征及周期定义,求出函数的周期.
(2)利用函数的周期性,可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题,转化到已知
区间上,进而解决问题.
【变式训练】
变式1.(多选)定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x－3)＝－f(x),当x∈[0,3]时,f(x)＝x2－3x,则下
列结论正确的是( )
A.f(x＋6)＝f(x)
B.当x∈[－6,－3]时,f(x)＝x2－3x－6
C.f(2 023)＋f(2 025)＝f(2 024)
D.函数f(x)的一条对称轴为直线x＝3
2
【答案】ACD
【解析】因为f(x－3)＝－f(x),所以f(x)＝－f(x＋3),则f(x－3)＝f(x＋3),所以f(x＋6)＝f(x),故A
正确；
当x∈[0,3]时,f(x)＝x2－3x,则当x∈[－6,－3]时,x＋6∈[0,3],f(x)＝f(x＋6)＝(x＋6)2－3(x＋6)＝
x2＋9x＋18,故B 不正确；
由f(x＋6)＝f(x),得函数f(x)的一个周期为6,得f(2 023)＝f(1＋337×6)＝f(1)＝－2,f(2 025)＝f(3
＋337×6)＝f(3)＝0,f(2 024)＝f(2＋337×6)＝f(2)＝－2,所以f(2 023)＋f(2 025)＝f(2 024),故C 正
确；
由A 选项知,f(x)＝－f(x＋3),又f(x)＝－f(－x),则f(x＋3)＝f(－x),所以函数f(x)的一条对称轴为
直线x＝3
2 ,故D 正确.
题型二 函数的对称性
命题点1 自对称中的轴对称
例1.(多选)设f(x)是R 上的奇函数,且对∀x∈R,都有f(2－x)＝f(x),当x∈[0,1]时,f(x)＝x2,则
下列说法正确的是( )
A.f(x)在[3,5]上单调递增
B.f(x)的最大值是1,最小值是0
C.直线x＝1 是函数f(x)的一条对称轴
D.当3≤x≤4 时,f(x)＝－(x－4)2
【答案】ACD
【解析】因为f(x)是R 上的奇函数,所以f(－x)＝－f(x),又因为f(2－x)＝f(x),所以f(x)的图象关
于直线x＝1 对称,故C 正确；
因为f(2－x)＝f(x)＝－f(－x),即f(2－x)＋f(－x)＝0,从而f(2＋x)＋f(x)＝0,所以f(4＋x)＋f(2＋x)
＝0,所以f(4＋x)＝f(x),所以f(x)是周期为4 的周期函数,又因为当x∈[0,1]时,f(x)＝x2单调递增,
所以f(x)在[－1,0]上也单调递增,从而f(x)在[－1,1]上单调递增,又因为f(x)的周期为4,所以
f(x)在[3,5]上单调递增,故A 正确；
因为f(x)在[－1,1]上单调递增,且f(x)的图象关于直线x＝1 对称,所以f(x)在[1,3]上单调递减,
所以f(x)在[－1,3]上的最大值为f(1)＝1,最小值为f(－1)＝f(3)＝－1,故B 错误；
当3≤x≤4 时,0≤4－x≤1,所以f(4－x)＝(4－x)2,因为周期为4,所以f(－x)＝f(4－x)＝(4－x)2,又因
为f(x)为奇函数,所以f(x)＝－f(－x)＝－(4－x)2＝－(x－4)2,故D 正确.
命题点2 自对称中的中心对称
例1.(多选)下列说法中,正确的是( )
A.函数f(x)＝2 x−1
x＋2 的图象关于点(－2,2)中心对称
B.函数f(x)满足f(2x－1)为奇函数,则函数f(x)的图象关于点(－1,0)中心对称
C.若函数y＝f(x)过定点(0,1),则函数y＝f(x－1)＋1 过定点(1,2)
D.函数y＝x−1
x−b 的图象关于点(3,c)中心对称,则b＋c＝2
【答案】ABC
【解析】对于A,f(x)＝2 x−1
x＋2 ＝2( x＋2)−5
x＋2
＝2－
5
x＋2 ,其图象可以由y＝－5
x 的图象向
左平移2 个单位长度,再向上平移2 个单位长度得到,且y＝－5
x 的图象关于原点对称,故f(x)
＝2 x−1
x＋2 的图象关于点(－2,2)中心对称,A 正确；
对于B,因为f(2x－1)为奇函数,所以f(2x－1)＝－f(－2x－1),所以f(x－1)＝－f(－x－1),
所以f(x)＝－f(－x－2),所以函数f(x)关于点(－1,0)中心对称,B 正确；
对于C,函数y＝f(x)的图象向右平移1 个单位长度,再向上平移1 个单位长度得到函数y＝f(x
－1)＋1 的图象,由于y＝f(x)过定点(0,1),故函数y＝f(x－1)＋1 过定点(1,2),C 正确；
对于D,函数y＝x−1
x−b ＝( x−b)＋b−1
x−b
＝1＋b−1
x−b 的图象关于点(3,c)中心对称,
所以{
3−b＝0,
c＝1,
解得{
b＝3,
c＝1,
所以b＋c＝4,D 不正确.
命题点3 互对称问题
例1.已知函数y＝f(x)是定义域为R 的函数,则函数y＝f(x＋2)与y＝f(4－x)的图象( )
A.关于直线x＝1 对称
B.关于直线x＝3 对称
C.关于直线y＝3 对称
D.关于点(3,0)对称
【答案】A
【解析】设P(x0,y0)为y＝f(x＋2)图象上任意一点,则y0＝f(x0＋2)＝f(4－(2－x0)),
所以点Q(2－x0,y0)在函数y＝f(4－x)的图象上,
而点P(x0,y0)与点Q(2－x0,y0)关于直线x＝1 对称,
所以函数y＝f(x＋2)与y＝f(4－x)的图象关于直线x＝1 对称.
思维升华 (1)函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a 对称⇔f(x)＝f(2a－x)⇔f(a－x)＝f(a＋x)；
若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x),则y＝f(x)的图象关于直线x＝a＋b
2
对称.
(2)函数y＝f(x)的图象关于点(a,b)对称⇔f(a＋x)＋f(a－x)＝2b⇔2b－f(x)＝f(2a－x)；若函数y
＝f(x)满足f(a＋x)＋f(b－x)＝c,则y＝f(x)的图象关于点(
a＋b
2
, c
2)成中心对称.
【变式训练】
变式1.(多选)已知函数f(x)的图象的对称轴方程为x＝3,则函数f(x)的解析式可以是( )
A.f(x)＝x＋
1
x＋3
B.f(x)＝ex－3＋e3－x
C.f(x)＝x4－18x2
D.f(x)＝|x2－6x|
【答案】BD
【解析】若f(x)的图象的对称轴方程为x＝3,则f(6－x)＝f(x).
对于A,f(6－x)＝6－x＋
1
9−x ≠f(x),A 错误；
对于B,f(6－x)＝e3－x＋ex－3＝f(x),B 正确；
对于C,∵f(0)＝0,f(6)＝64－18×62＝648,∴f(0)≠f(6),即f(6－x)＝f(x)不恒成立,C 错误；
对于D,f(6－x)＝|(6－x)2－6(6－x)|＝|x2－6x|＝f(x),D 正确.
变式2.(多选)已知函数y＝f(x＋1)－2 为定义在R 上的奇函数,又函数g(x)＝2 x−1
x−1 ,且f(x)
与g(x)的函数图象恰好有2 026 个不同的交点P1(x1,y1),P2(x2,y2),…,P2 026(x2 026,y2 026),则下列
叙述中正确的是( )
A.f(x)的图象关于点(2,2)对称
B.g(x)的图象关于点(1,2)对称
C.x1＋x2＋…＋x2 026＝2 026
D.y1＋y2＋…＋y2 026＝2 026
【答案】BC
【解析】函数y＝f(x＋1)－2 为定义在R 上的奇函数,则有f(－x＋1)－2＝－f(x＋1)＋2,
即f(－x＋1)＋f(x＋1)＝4,
又(−x＋1)＋( x＋1)
2
＝1, 4
2 ＝2,所以函数y＝f(x)的图象关于点(1,2)对称,无法判断是否关
于点(2,2)对称,A 选项错误；
函数g(x)＝2 x−1
x−1 ＝2＋
1
x−1 ,结合反比例函数的性质和函数图象的平移可知,g(x)的函数图
象也关于点(1,2)对称,B 选项正确；
f(x)与g(x)的函数图象的交点关于点(1,2)对称,不妨设x1<x2<…<x2 026,
则有x1＋x2 026＝x2＋x2 025＝…＝x1 013＋x1 014＝2,
y1＋y2 026＝y2＋y2 025＝…＝y1 013＋y1 014＝4,
所以x1＋x2＋…＋x2 026＝2 026,C 选项正确；
y1＋y2＋…＋y2 026＝4 052,D 选项错误.
