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专题02 三角函数的图象与性质（五点法作图）
(典型题型归类训练)
目录
一、必备秘籍..............................................1
二、典型题型..............................................2
题型一：用五点法画出一个周期内的图象，不限制具体范围...2
题型二：用五点法画出具体某个范围内的图象...............8
三、专项训练.............................................13
一、必备秘籍
必备方法：
五点法步骤
③
①
②
对于复合函数
，
第一步：将
看做一个整体，用五点法作图列表时，分别令
等于
，
，
，
，
，对应的
则取
，
，
，
，
。，（如上表中，先列出序号①②两
行）
第二步：逆向解出
（如上表中，序号③行。）
1
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第三步：得到五个关键点为：
，
,
,
,
二、典型题型
题型一：用五点法画出一个周期内的图象，不限制具体范围
1．（23-24 高一上·湖北武汉·期末）已知函数
.
(1)请用五点法作图作出
在一个周期内的大致图象;
(2)若不等式
在
上恒成立，求实数
的取值范围.
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）结合正弦函数的五点作图法，列表描点即可作图，
（2）结合（1）的图象即可求解．
【详解】（1）列表如下:
0
2
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0
1
3
0
对应的图象如下:
（2）由题意可得：
在
上恒成立，
根据小问一可得
在
上的最大值为，
则
，解得
，
的范围是
.
2．（23-24 高一上·湖南张家界·阶段练习）利用“五点法”作图作函数
在长
度为一个周期的闭区间上的简图.（图中
轴上每格的长度为
，
轴上每格的长度为1）
列表：
3
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【答案】见解析
【分析】根据五点法作图的方法先取值，然后描点即可得到图象．
【详解】列表：
【点睛】本题主要考查三角函数的图象的作法，利用五点法是解决三角函数图象的基本方
法．
3．（23-24 高一下·北京怀柔·期中）已知函数
满足
.
(1)求
的值；
(2)用五点法画出函数
在一个周期上的图象；
4
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(3)根据（2）得到的图形，写出函数
的图象的对称轴方程与对称中心的坐标.
【答案】(1)
；
(2)见解析；
(3)对称轴为：
，
；对称中心为：
,
【分析】（1）由特殊角三角函数直接求解
；
（2）结合五点作图进行列表描点即可作图得解；
（3）结合正弦函数的对称性即可求解对称轴及对称中心；
【详解】（1）
，即
，又
，则
；
（2）列表如下：
0
0
1
0
0
描点连线，图像如下：
（3）令
，
，解得
，
，可得函数对称轴为：
，
．
令
，
，解得
，
，可得函数对称中心为：
,
.
4．（23-24 高一下·辽宁抚顺·阶段练习）小美同学用“五点法”画函数
5
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在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如
下表：
0
0
0
(1)请将上表数据补充完整并求出函数
的解析式；
(2)若
，求不等式
成立的
的取值集合．
【答案】(1)表格见解析，
(2)
【分析】（1）由表格数据得到
，及
、
的方程组，解得即可得到函数解析式，再完善
表格即可；
（2）首先得到
解析式，再结合正弦函数的性质计算可得.
【详解】（1）根据表中已知数据可得
，
，解得
，
所以
；
表格数据补全如下：
（2）由题意
，
不等式
，即
，即
，
6
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所以
，
解得
，
所以不等式
成立的
的取值集合为
.
5．（2024·上海长宁·二模）某同学用“五点法”画函数
在某一个
周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
0
0
1
0
(1)请在答题卷上将上表
处的数据补充完整，并直接写出函数
的解析式；
(2)设
，求函数
的值域；
【答案】(1)补充表格见解析，
(2)
【分析】（1）由表得
，解方程组即可得
，进一步可据此完成表格；
（2）由题意结合二倍角公式、诱导公式以及辅助角公式先化简
的表达式，进一步通
过整体换元法即可求解.
【详解】（1）由题意
，解得
，
所以函数
的解析式为
，
令
时，解得
，当
时，
，
将表中
处的数据补充完整如下表：
7
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0
0
1
0
0
（2）若
，
则
，
因为
，所以
，
进而
，
所以函数
的值域为
.
题型二：用五点法画出具体某个范围内的图象
1．（2024 高一·全国·专题练习）已知函数
．用“五点法”在给定的坐
标系中，画出函数
在
上的大致图象.
【答案】作图见解析
【分析】通过列表得函数
在
内的关键点以及端点值，在所给的坐标系中，描点
连线画出图.
【详解】列表：
8
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0
1
2
0
0
1
描点，连线，画出
在
上的大致图象如图：
2．（23-24 高一上·安徽·期末）已知函数
周期为
，其中
．
(1)求函数
的单调递增区间；
(2)请运用“五点法”，通过列表、描点、连线，在所给的直角坐标系中画出函数
在
上的简图．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）先利用周期求出函数解析式，再利用单调性可得答案；
（2）利用五点法画图可得答案.
【详解】（1）由题意可得
，所以
；
9
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令
，
，解得
，
故函数
的单调递增区间为
.
（2）
0
0
0
2
0
描点，连线，其简图如下
3．（23-24 高一上·湖北荆州·期末）已知函数
．
(1)用“五点法”作出函数
在
上的图象；
(2)解不等式
．
【答案】(1)图象见解析
(2)
【分析】（1）利用“五点作图法”即可得解；
（2）利用整体代入法，结合正弦函数的性质即可得解.
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【详解】（1）列表
0
0
1
0
0
又当
时，
，当
时，
，
描点作图，如图所示：
（2）因为
，
所以
，
，
解得
，
，
故不等式的解集为
.
4．（23-24 高一上·云南昆明·期末）已知函数
.
(1)用五点法作图作出
在
的图象；
(2)求
在
上的最大值和最小值.
【答案】(1)图象见解析
(2)
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【分析】（1）根据五点法作图的方法填表，描点，作图即可；
（2）根据
，求出
的范围，再根据三角函数的性质求出最值.
【详解】（1）列表如下：
0
0
1
3
1
对应的图象如图：
（2）
，
又
，
即
，
.
5．（23-24 高一上·天津河北·期末）已知函数
，
．
(1)用“五点法”在所给的直角坐标系中画出函数
在区间
内的图象；
(2)求函数
的最小正周期；
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(3)求函数
的单调递增区间．
【答案】(1)图象详见解析
(2)
(3)
【分析】（1）利用五点作图法画出图象.
（2）由
求得
的最小正周期.
（3）利用整体代入法求得
的单调递增区间.
【详解】（1）
，
列表如下：
描点画图如下：
（2）函数
的最小正周期
.
（3）由
，
解得
，
所以
的单调递增区间为
.
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三、专项训练
1．（23-24 高一上·湖北·期末）已知函数
(1)填写下表，并用“五点法”画出
在
上的图象；
x
0
(2)将
的图象向下平移1 个单位，横坐标扩大为原来的4 倍，再向左平移
个单位
后，得到
的图象，求
的对称中心．
【答案】(1)表格见解析，图象见解析
(2)
【分析】（1）首先根据五点法将表格补充完整，然后描点，最终用一条“光滑”的曲线连
接起来即可.
（2）根据三角函数图形的平移变换、伸缩变换法则求得
的表达式，通过整体代换即
可求解.
【详解】（1）
x
0
0
0
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（2）
的图象向下平移1 个单位得
的图象，
横坐标扩大为原来的4 倍得，
，
再向左平移
个单位后，得
，
令
，得
，
所以函数
的对称中心为
2．（23-24 高三上·北京海淀·阶段练习）某同学用“五点法”画函数
，
在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
0
0
0
(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数
的解析式；
(2)当
时，求不等式
的解集．
【答案】(1)表格见解析，
(2)
【分析】（1）利用五点作图法完善表格即可，根据表中数据求出
即可求出函数解析
式；
（2）根据正弦函数的性质结合整体思想即可得解.
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【详解】（1）由表可知
，
所以
，所以
，
又
，所以
，
所以
，
表格如下：
0
0
0
（2）
，即
，
所以
，解得
，
，
又因
，所以
，
即不等式
的解集为
．
3．（22-23 高一下·河南省直辖县级单位·阶段练习）用五点法作出函数
在一
个周期内的图象
【答案】答案见解析
【分析】根据五点法确定各点坐标，进而可得函数图象.
【详解】列表如下
描点连线，可得函数图象如下：
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4．（23-24 高一上·江苏南通·阶段练习）某同学在研究函数
的图象与性质时，采用“五点法”画简图列表如下：
(1)根据上表中数据，求出
及
的值；
(2)求函数
的单调递减区间.
【答案】(1)
，
，
，
，
(2)
【分析】（1）根据表格数据可得
最小正周期，由此可得
；由
可求得
；根据“五点法”基本原理，采用整体对应方式即可求得
；
（2）令
，解不等式即可求得单调递减区间.
【详解】（1）由表格数据知：
的最小正周期
，
，
，
，解得：
，
又
，
；
令
，解得：
；
令
，解得：
；
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令
，解得：
.
（2）由（1）知：
，
令
，解得：
，
的单调递减区间为
.
5．（2023 高三·全国·专题练习）用“五点法”在给定的坐标系中，画出函数
在
上的大致图像.
【答案】答案见解析
【分析】根据函数解析式按照“五点法”的步骤，列表、描点、连线即可作出
的图
象.
【详解】列表：
0
1
2
0
0
1
描点，连线，画出
在
上的大致图像如图：
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6．（2023 高三·全国·专题练习）已知函数
，
．在用“五点法”
作函数
的图象时，列表如下：
x
完成上述表格，并在坐标系中画出函数
在区间
上的图象；
【答案】填表见解析；作图见解析
【分析】由五点作图法的步骤：列表（此题找特殊点），描点，连线（用一条光滑的曲线
连接）.
【详解】由题意列出以下表格：
0
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x
0
0
2
0
函数图象如图所示：
7．（22-23 高一下·广东佛山·阶段练习）已知函数
．
(1)请用“五点法”画出函数
在一个周期上的图像（先在所给的表格中填上所需的数
字，再画图）；
(2)求
的单调递增区间．
【答案】(1)答案见解析
(2)
，
．
【分析】
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（1）分别令
，
，
，
，
，列表描点连线可得函数图像；
（2）将
表示出来并化简，利用三角函数的单调性求解即可．
【详解】（1）
分别令
，
，
，
，
，可得：
0
0
1
0
0
画出在一个周期的图像如图所示：
（2）
，
若求单调递增区间，需满足
，
，
，
，
则
的单调递增区间为
，
．
8．（22-23 高一下·江西赣州·期末）已如函数
．
(1)用“五点法”作出函数
在区间
上的图像；
(2)将函数
的图像向右平移
个单位长度，再将图像上的每个点的横坐标都伸长为原来
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的2 倍，纵坐标不变，得到函数
的图像，求
在区间
上的取值范围．
【答案】(1)图像见解析
(2)
【分析】（1）根据题意列出“五点法”对应的表格，从而得解；
（2）利用三角函数平移伸缩变换的性质得到
的解析式，从而利用三角函数的性质即
可得解.
【详解】（1）依题意，列表如下：
所以数
在区间
上的图象如下：
.
（2）因为
，
所以将函数
的图像向右平移
个单位长度，可得到
的图像，
再将得到的图像上的每个点的横坐标都伸长为原来的2 倍，纵坐标不变，可得到
的图像，
因为
，所以
，则
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故
的取值范围是
.
9．（22-23 高一下·江西赣州·阶段练习）某同学用“五点法”画函数
在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数
据，如下表：
x
0
0
3
0
0
(1)请将上表数据补充完整，并写出函数
的解析式（直接写出结果即可）；
(2)根据表格中的数据作出
在一个周期内的图象；
(3)求函数
在区间
上的值域．
【答案】(1)表格见解析，
；
(2)作图见解析；
(3)
.
【分析】（1）利用最大值求
；由表格中数据先求周期,再求
；再由
求得
,
进而得到解析式,由解析式补全表格即可；
（2）由表格数据描点连线作图即可；
（3）令
,则
,利用正弦函数的性质求解即可.
【详解】（1）由题表知
，
，所以
，
，
，
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，
则数据补全如下表：
0
0
3
0
0
；
（2）由（1），
在一个周期内的图象如图所示，
；
（3）令
,则
,
所以
在
上的值域可转化为
在
上的值域,
因为正弦函数
在区间
上单调递减,在区间
上单调递增,
所以
在区间
上单调递减,在区间
上单调递增,
故
的最小值为
,最大值为
,
当
时,
；当
时,
,
故当
时,
；当
时,
，
所以函数
在区间
上的值域为
.
10．（22-23 高一上·广东广州·期末）设函数
（
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），将该函数的图像向左平移
个单位长度后得到函数
的图像，函数
的图像关于
y 轴对称.
(1)求
的值；
(2)在给定的坐标系内，用“五点法”列表、画出函数
在一个周期内的图像；
(3)设关于x 的方程
在区间
上有两个不相等的实数
根，求实数m 的取值范围.
【答案】(1)
(2)图像见解析
(3)
【分析】（1）先对
作恒等变换，再求出
解析式，根据条件求出
；
（2）用整体代入法取5 点作图；
（3）将原方程转化为一元二次方程求解.
【详解】（1）
，
，是偶函数，并且
；
（2）由（1）的结论得
，
取5 点得下表：
25
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0
0
0
作下图：
（3）由（1）得
，原方程为：
，
，
…①，
令
，
，则t 关于x 的函数图像如下图：
由图可知：当
时，任意一个t 对于2 个x，当
时 ，任意一个t 对应1 个
x，并且
；
变为：
，即
，
即不论m 为何值，
总是原方程的一个解，∴欲使得原方程有2 个解，必须是
，
；
综上，
，
.
26
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