重难点17 圆锥曲线常考经典小题全归类
【全国通用】
1、圆锥曲线常考经典小题全归类
圆锥曲线是高中数学的重要内容，是高考的重点、热点内容，属于高考的必考内容之一。从近三年的
高考情况来看，圆锥曲线的定义、方程与几何性质是每年高考选择题、填空题必考核心内容，圆锥曲线在
高考选择题、填空题中的考查主要有三个方面：一是圆锥曲线的定义、标准方程；二是求椭圆或双曲线的
离心率、与双曲线的渐近线有关的问题；三是抛物线的性质及应用问题；难度中等偏易，需要灵活求解。
通过对圆锥曲线的定义、方程及几何性质的考查，着重考查了数学抽象、逻辑推理与数学运算等核心
素养。
知识点
1
圆锥曲线的定义及应用
1．利用圆锥曲线的定义求轨迹方程
在利用圆锥曲线的定义求轨迹方程时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据定义判定轨迹曲线
并写出方程．有时还要注意轨迹是不是完整的曲线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x 或y 进行
限制．
2．圆锥曲线定义的应用
(1)圆锥曲线定义的应用主要有：求标准方程，将定义和余弦定理等结合使用，研究焦点三角形的周长、面
积，求弦长、最值和离心率等．
(2)应用圆锥曲线的定义时，要注意定义中的限制条件．在椭圆的定义中，要求
；在双曲线的定
义中，要求
；在抛物线的定义中，定直线不经过定点．此外，通过到定点和到定直线的距离之
比为定值可将三种曲线统一在一起，称为圆锥曲线．
知识点
2
圆锥曲线的几何性质的研究
1．解析法研究圆锥曲线的几何性质：
用解析法研究圆锥曲线的几何性质是通过方程进行讨论的，再通过方程来研究圆锥曲线的几何性质．不仅
要能由方程研究曲线的几何性质，还要能运用几何性质解决有关问题，如利用坐标范围构造函数或不等关
系等．
知识点
3
圆锥曲线的标准方程的求解方法
1．椭圆方程的求解
(1)用定义法求椭圆的标准方程
根据椭圆的定义，确定
的值，结合焦点位置可写出椭圆方程.
(2)用待定系数法求椭圆的标准方程
①如果明确了椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，那么所求的椭圆一定是标准形式，就可以利用待定系
数法求解.首先建立方程，然后依据题设条件，计算出方程中的a，b 的值，从而确定方程（注意焦点的位
置）.
②如果不能确定椭圆的焦点的位置，那么可用以下两种方法来解决问题：一是分类讨论，分别就焦点在x
轴上和焦点在y 轴上利用待定系数法设出椭圆的标准方程，再解答；二是用待定系数法设椭圆的一般方程
为
=1(A>0,B>0,A≠B)，再解答.
2．双曲线方程的求解
(1)用定义法求双曲线的标准方程
根据双曲线的定义，确定
的值，结合焦点位置可写出双曲线的标准方程.
(2)用待定系数法求双曲线的标准方程
用待定系数法求双曲线的标准方程时，先确定焦点在x 轴还是y 轴上，设出标准方程，再由条件确定a2，
b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点的位置不好确定，可将双曲线的方程设为
或
，再根据条件求解.
(3)与双曲线
有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为
.
3．抛物线标准方程的求解
待定系数法：求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的
类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.
知识点
4
椭圆、双曲线的离心率或其取值范围
1．求椭圆离心率或其范围的方法
解题的关键是借助图形建立关于a, b, c 的关系式(等式或不等式)，转化为e 的关系式，常用方法如下:
(1)直接求出a, c，利用离心率公式
求解.
(2)由a 与b 的关系求离心率，利用变形公式
求解.
(3)构造a, c 的齐次式.离心率e 的求解中可以不求出a, c 的具体值，而是得出a 与c 的关系，从而求得e.
2．求双曲线离心率或其取值范围的方法
(1)直接求出a, c 的值，利用离心率公式直接求解.
(2)列出含有a, b, c 的齐次方程
( 或不等式
) ，借助于
消去b，转化为含有e 的方程(或不等式)求
解.
知识点
5
圆锥曲线中的最值问题的解题策略
1．立体几何中的几类最值问题
立体几何中的最值问题有三类：
一是空间几何体中相关的点、线和面在运动，求线段长度、截面的面积和体积的最值；
二是空间几何体中相关点和线段在运动，求有关角度和距离的最值；
三是在空间几何体中，已知某些量的最值，确定点、线和面之间的位置关系．
2．立体几何中的最值问题的求解方法
解决立体几何中的最值问题主要有两种解题方法：
一是几何法，利用几何体的性质，探求图形中点、线、面的位置关系；
二是代数法，通过建立空间直角坐标系，利用点的坐标表示所求量的目标函数，借助函数思想方法求最
值；通过降维的思想，将空间某些量的最值问题转化为平面三角形、四边形或圆中的最值问题．
知识点
6
圆锥曲线中的弦长问题
1．椭圆的弦长问题
(1)定义：直线与椭圆的交点间的线段叫作椭圆的弦.
(2)弦长公式：设直线l:y=kx+m 交椭圆
+
=1 (a>b>0)于
，
两点，
则
或
.
2．椭圆的“中点弦问题”
(1)解决椭圆中点弦问题的两种方法
①根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系
数的关系以及中点坐标公式解决.
②点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐
标和斜率的关系.
设
，
，代入椭圆方程
+
=1 (a>b>0)，得
，
①-②可得
+
=0，
设线段AB 的中点为
，当
时，有
+
=0.
因为
为弦AB 的中点，从而转化为中点
与直线AB 的斜率之间的关系，这就是处理弦中点
轨迹问题的常用方法.
(2)弦的中点与直线的斜率的关系
线段AB 是椭圆
+
=1 (a>b>0)的一条弦，当弦AB 所在直线的斜率存在时，弦AB 的中点M 的坐标为
，则弦AB 所在直线的斜率为
，即
.
3．双曲线的弦长问题
(1)弦长公式：直线y=kx+b 与双曲线相交所得的弦长d
.
(2)解决此类问题时要注意是交在同一支，还是交在两支上.
(3)处理直线与圆锥曲线相交弦有关问题时，利用韦达定理、点差法的解题过程中，并没有条件确定直线与
圆锥曲线一定会相交，因此，最后要代回去检验.
(4)双曲线的通径：
过焦点且与焦点所在的对称轴垂直的直线被双曲线截得的线段叫作双曲线的通径.无论焦点在x 轴上还是在
y 轴上，双曲线的通径总等于
.
4．双曲线的“中点弦问题”
“设而不求”法解决中点弦问题：
①过椭圆内一点作直线，与椭圆交于两点，使这点为弦的中点，这样的直线一定存在，但在双曲线的这类
问题中，则不能确定.要注意检验.
②在解决此类问题中，常用韦达定理及垂直直线的斜率关系.常用的解题技巧是如何应用直线方程将
转
化为能用韦达定理直接代换的
.垂直关系有时用向量的数量关系来刻画，要注意转化.
5．抛物线的弦长问题
设直线与抛物线交于A
,B
两点，则|AB|=
=
或
|AB|=
=
(k 为直线的斜率，k≠0).
6．抛物线的焦点弦问题
抛物线
=2px(p>0)上一点A
与焦点F(
,0)的距离为|AF|=
，若MN 为抛物线
=2px(p>0)的
焦点弦，则焦点弦长为|MN|=
+
+p(
,
分别为M,N 的横坐标).
设过抛物线焦点的弦的端点为A
,B
，则四种标准方程形式下的弦长公式为：
标准方程
弦长公式
y2=2px(p>0)
|AB|=x1+x2+p
y2=-2px(p>0)
|AB|=p-(x1+x2)
x2=2py(p>0)
|AB|=y1+y2+p
x2=-2py(p>0)
|AB|=p-(y1+y2)
【题型1 圆锥曲线的定义及应用】
【例1】（2026·湖北十堰·一模）已知抛物线C：y
2= 4 x的焦点为F，点P(s,t )在C上，且|PF)=3，O为
原点，则|OP)=（ ）
A．6
B．2❑√3
C．4
D．2❑√2
【变式1-1】（2025·山西晋城·二模）已知F1, F2分别为椭圆C : x
2
9 + y
2
5 =1的左、右焦点，点P为C上一
点，若|P F1)−|P F2)=2，则（ ）
A．|P F2)=2|F1 F2)
B．|P F1)=2|F1 F2)
C．|P F2)=|F1 F2)
D．|P F1)=|F1 F2)
【变式1-2】（2025·山东济宁·模拟预测）已知双曲线C：x
2
a
2 −y
2
16 =1(a>0)的左、右焦点分别为F1
，F2
，
M为C上一点，C的两条渐近线方程为y =± 4
3 x，若|M F2)=7，则|M F1)=（ ）
A．1
B．13
C．1 或13
D．2 或14
【变式1-3】（2026·湖南永州·二模）已知抛物线C ：y
2= 4 x的焦点为F，点E在x轴上且位于F右侧，点
P在C上，若△PEF为等边三角形，则|PF )=（ ）
A．2
B．2❑√2
C．2❑√3
D．4
【题型2 圆锥曲线的标准方程的求解】
【例2】（2026·四川巴中·一模）已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F (❑√3,0)，离心率等于
❑√3
2
，则C的
方程是（ ）
A．x
2
3 + y
2
4 =1
B．x
2+ y
2
4 =1
C．x
2
4 + y
2
3 =1
D．x
2
4 + y
2=1
【变式2-1】（2026·广西柳州·二模）准线方程为x =1的抛物线的标准方程为（ ）
A．y
2= 4 x
B．x
2= 4 y
C．y
2=−4 x
D．x
2=−4 y
【变式2-2】（2026·北京丰台·一模）已知双曲线C的焦点为(−2❑√2,0)和(2❑√2,0)，虚半轴长为2，则C的
标准方程为（ ）
A．x
2
4 −y
2
4 =1
B．x
2
12 −y
2
4 =1
C．y
2
4 −x
2
4 =1
D．y
2
12 −x
2
4 =1
【变式2-3】（2025·湖北武汉·模拟预测）已知椭圆C : y
2
a
2 + x
2
b
2 =1(a>b>0)的上、下焦点分别为F1, F2
，
离心率为2
3
，过点F1作直线l（与y轴不重合）交椭圆C于M , N两点，△MN F2的周长为12，则椭圆C的
标准方程是（ ）
A．x
2
3 + y
2=1
B．y
2
3 + x
2=1
C．x
2
9 + y
2
5 =1
D．y
2
9 + x
2
5 =1
【题型3 椭圆、双曲线的离心率问题】
【例3】（2026·甘肃陇南·模拟预测）已知双曲线E: x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为
y =2❑√2 x，则E 的离心率为（ ）
A．3 ❑√2
4
B．❑√2
C．2❑√2
D．3
【变式3-1】（2026·全国·模拟预测）已知椭圆C：x
2
2m +
y
2
m−1 =1的离心率为
❑√3
2
，则m=（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【变式3-2】（2025·山东菏泽·二模）已知M为双曲线x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)右支上一点，F1
、F2
为左右
焦点，直线M F1
交y轴于点N ,O为坐标原点，若|N F1)=|M F2)=|OM )，则双曲线的离心率为
_________．
【变式3-3】（2026·广东佛山·一模）已知P ,Q是椭圆E: x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)上关于原点O对称的两点，
F是E的右焦点，PF的延长线交E于点R ,∠QFR =60
∘,3|QF)=5|RF)，则E的离心率为__________.
【题型4 焦点三角形问题】
【例4】（2026·福建莆田·二模）已知椭圆C : x
2
9 + y
2
5 =1的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为P，则
△P F1 F2的周长为（ ）
A．5
B．6
C．8
D．10
【变式4-1】（2025·四川成都·模拟预测）已知P是双曲线x
2
a
2 −y
2
3 =1（a>0）上的点，该双曲线的两个焦
点分别为F1
与F2
，且|P F1)=3，|F1 F2)= 4，则△P F1 F2
的面积是（ ）
A．6
B．10
C．12
D．20
【变式4-2】（2025·广东深圳·模拟预测）设F1，F2为椭圆C : x
2
36 + y
2
20 =1的两个焦点，M为C上一点且在
第一象限，若△M F1 F2为等腰三角形，则△M F1 F2的面积为（ ）
A．3 ❑√15
B．12
C．4 ❑√15
D．16
【变式4-3】（2025·海南·模拟预测）已知双曲线C : x
2
4 −y
2
5 =1的左右焦点分别为
､
F1, F2，点P在C上，
若∠F1 P F2
的角平分线交x轴于点Q，且|F1Q)=2|F2Q)，则△P F1 F2
的周长为（ ）
A．24
B．22
C．20
D．18
【题型5 圆锥曲线中的最值问题】
【例5】（2025·陕西西安·模拟预测）已知椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的右焦点为F (1,0)，且过点
P(−3
2 ,
❑√21
4 )
，Q为C上一动点，则|PQ)+|QF)的最大值为（ ）
A．11
2
B．13
2
C．19
4
D．21
4
【变式5-1】（2025·湖南郴州·一模）已知点M (1,−2)，点P在抛物线y
2=12 x上运动，点Q在圆
( x −3)
2+ y
2=1上运动，则|PM )+| PQ|的最小值为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【变式5-2】（2025·浙江绍兴·二模）已知双曲线Γ: x
2−y
2
3 =1的左焦点为F，点A ,B在Γ的右支上，且
|AB)=6，则|FA)+|FB)的最小值为（ ）
A．4
B．6
C．10
D．14
【变式5-3】（2025·贵州贵阳·模拟预测）已知抛物线C : y
2= 4 x的焦点为F，M 为C 上的动点，N 为直线
l: x + ❑√3 y +3=0上的动点，设点M 到y 轴的距离为d，则| MN |+d的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【题型6 圆锥曲线中的弦长与中点弦问题】
【例6】（2025·湖南邵阳·一模）经过椭圆x
2
2 + y
2=1的右焦点F作倾斜角为60°的直线l，直线l与椭圆相交
于A，B两点，则| AB|=（ ）
A．8 ❑√2
7
B．20 ❑√2
7
C．
❑√2
7
D．13 ❑√2
7
【变式6-1】（2025·山西临汾·三模）已知抛物线C : y
2= 4 x的焦点为F，过点F的直线与C交于A ,B两
点，若|AF)=2|FB)，则|AB)=（ ）
A．3
2
B．3
C．4
D．9
2
【变式6-2】（2025·内蒙古包头·二模）直线l与双曲线x
2
4 −y
2=1交于P ,Q两点，线段PQ的中点为
M (4,1)，则直线l的方程为（ ）
A．y = x−3
B．y =−x−3
C．y = x +5
D．y =−x +5
【变式6-3】（2025·辽宁·模拟预测）已知抛物线y
2= 4 x焦点为F，过F的直线l与抛物线交于A ,B两点
（点A在第一象限），其准线与x轴交于点K，若线段BF的垂直平分线恰好过K，则|AB)=（ ）
A．8 ❑√3
3
B．4 ❑√3
3
C．❑√3
D．2
【题型7 圆锥曲线中的三角形面积问题】
【例7】（2025·新疆省直辖县级单位·模拟预测）已知F1，F2是椭圆C：x
2
4 + y
2
3 =1的左、右焦点，P 是C
上第一象限内一点，∠F1 P F2的平分线l 经过点M(
1
4 ,0)，则△P F1 F2的面积为（ ）
A．3
2
B．2
C．5
2
D．3
【变式7-1】（2025·广东佛山·模拟预测）已知抛物线C : y
2= 4 x的焦点为F，过焦点F的直线与抛物线C交
于点A ,B．若BO = BF（O为坐标原点），则△OAB的面积为（ ）
A．
❑√2
2
B．3 ❑√2
2
C．❑√2
D．2❑√2
【变式7-2】（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知椭圆C : x
2
3 + y
2=1的右焦点为F，过点F作两条相互垂直的
直线分别与C相交于A，B和P ,Q，则四边形APBQ面积的最小值为（ ）
A．1
B．3
2
C．2
D．5
2
【变式7-3】（2025·云南昆明·模拟预测）双曲线x
2−y
2
3 =1的左右焦点分别为
､
F1, F2，过F1的直线l 与双
曲线的左右两支分别交于
､
A，B 两点，则S△A F1 F2
S△AB F2
的取值范围是（ ）
A．(0, 1
3 )
B．(0, 1
2 )
C．( 1
3 , 1
2 )
D．( 1
2 ,+∞)
【题型8 切线问题】
【例8】（2025·河南·二模）过双曲线C : x
2
a
2 −y
2=1(a>0)右支上的点P作C的切线l，F1
，F2
分别为C的
左、右焦点，N为切线l上的一点，且ON // F1 P（O 为坐标原点）.若|ON )=2，则a=（ ）
A．❑√2
B．2
C．3
D．4
【变式8-1】（2025·山西·三模）已知过点M (2,1)的直线交抛物线C : y
2= 4 x于A，B两点，过点A，B分
别作抛物线C的切线，两条切线交于点P，则|PM )的最小值为（ ）
A．7 ❑√5
5
B．❑√5
C．❑√2
D．15 ❑√17
17
【变式8-2】（2026·广东·一模）如图，O为坐标原点，F1, F2为椭圆C : x
2
4 + y
2=1的两个焦点，过F1, F2
分别作椭圆C的切线l的垂线，垂足分别为H 1, H 2．当O H 1⊥O H 2时，△O H 1 H 2的面积为_________．
【变式8-3】（2025·江西·模拟预测）过点P(0,2)的直线与抛物线E: y = x
2
4
交于A，B两点，曲线E在A，
B两点处的切线相交于点C，则△ABC面积的最小值为__________．
【题型9 阿基米德三角形】
【例9】（2026·山西临汾·一模）阿基米德不仅在物理学方面贡献巨大，还享有“数学之神”的称号，圆锥
曲线上任意两点M，N 处的切线交于点Q，称△QMN为“阿基米德三角形”.已知抛物线C : y
2= 4 x的焦点
为F，过F 的直线l 交抛物线C 于A，B 两点，且|AF)=3|BF)，抛物线C 在A，B 处的切线交于点P，则
△PAB的面积为（ ）
A．28 ❑√21
9
B．32❑√3
9
C．64 ❑√3
9
D．56 ❑√21
9
【变式9-1】（2025·甘肃·模拟预测）由阿基米德的著作《关于圆锥体和球体》可知，椭圆的面积等于圆周
率π与椭圆的长半轴长和短半轴长的乘积.已知椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的离心率为5 ❑√2
8
, F1, F2
分别
为C的左､右焦点，C上一点P满足⃗P F1⋅⃗P F2=0，且△P F1 F2的面积为7
2
，则C的面积为（ ）
A．❑√7π
B．2❑√7π
C．❑√14π
D．2❑√14π
【变式9-2】（2025 高三·全国·专题练习）抛物线的弦与过弦端点的两条切线所围成的三角形被称为阿基米
德三角形．设抛物线为y
2= 4 x，弦AB 过焦点，△ABQ为阿基米德三角形，则△ABQ的面积的最小值为
_________．
【变式9-3】（2025·黑龙江·一模）著名物理学家、数学家阿基米德利用“逼近法”，得到椭圆的面积除以
圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知平面内，椭圆C : x
2
9 + y
2
b
2 =1(0<b<3)经过平移和旋
转后，能得到以O(0,0)为一个焦点，且过点A (3,4)的椭圆C ′，则椭圆C面积的最大值为___________.
【题型10 圆锥曲线新定义】
【例10】（24-25 高二上·吉林·期中）如图，已知半椭圆C1: x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(x ≥0)与半椭圆
C2: y
2
b
2 + x
2
c
2 =1( x<0)组成的曲线称为“果圆”，其中a
2=b
2+c
2,a>b>c>0.“果圆”与x轴的交点分别为
A1, A2
，与y轴的交点分别为B1,B2
，点P为半椭圆C2
上一点（不与A1
重合），若存在⃗P A1⋅⃗P A2=0，
则半椭圆C1的离心率的取值范围为（ ）
A．(0, 2
3)
B．(
1
2 , 2
3)
C．(
1
2 ,
❑√5−1
2 )
D．(
❑√5−1
2
, 2
3)
【变式10-1】（2025·上海浦东新·二模）已知圆锥曲线Γ的对称中心为原点O，若对于Γ上的任意一点A，
均存在Γ上两点B，C，使得原点O到直线AB，AC和BC的距离都相等，则称曲线Γ为“完美曲线”．现
有如下两个命题：
①任意椭圆都是“完美曲线”；②存在双曲线是“完美曲线”．
下列判断正确的是（ ）
A．①是真命题，②是假命题
B．①是假命题，②是真命题
C．①②都是真命题
D．①②都是假命题
【变式10-2】（24-25 高三下·山西·开学考试）画法几何学的创始人
法国数学家加斯帕尔
——
·蒙日发现：
与椭圆相切的两条互相垂直直线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心，以长半轴和短半轴平方和的算术平方
根为半径的圆，称该圆为椭圆的蒙日圆.设A，B 为椭圆E：x
2+ y
2
a =1(a>1)上的两个动点，动点P 在直线
3 x + 4 y −10=0上，若∠APB∈(0, π
2)恒成立，则E 的离心率的取值范围为（ ）
A．(0,
❑√6
3 )
B．(
❑√3
3 ,1)
C．(
1
3 ,1)
D．(0, 2
3)
【变式10-3】（25-26 高二上·江西·期中）双纽线的图形轮廓像阿拉伯数字中的“8”．如图，曲线
C :(x
2+ y
2)
2=a(x
2−y
2)是双纽线，关于曲线C，下列说法正确的是（ ）
A．a=8
B．C上存在点(x0, y0)，使得❑√x0
2+ y0
2>3
C．若直线y =kx与C只有一个公共点，则k的取值范围为(−∞,−1)∪(1,+∞)
D．C上的点的纵坐标的最大值为3 ❑√2
4
一、单选题
1．（2026·陕西榆林·二模）已知双曲线的虚轴长为10 ❑√3，离心率为2，则该双曲线的实轴长为（ ）
A．5
B．10
C．10 ❑√2
D．20
2．（2026·广东茂名·一模）已知抛物线x
2=2 py ( p>0)的焦点为F , A为抛物线上一点，|AF)= 4 , A到x轴
的距离为2，则A到原点的距离为（ ）
A．2
B．2❑√2
C．2❑√3
D．2❑√5
3．（2026·贵州六盘水·模拟预测）已知双曲线C : x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0, b>0)的渐近线方程为y =±2 x，则C
的离心率为（ ）
A．❑√3
B．❑√5
C．3
D．5
4．（2026·江苏镇江·模拟预测）已知曲线C1
：x
2
a
2 + y
2=1 (a>1)，曲线C2
：x
2
4 −y
2=1的离心率分别为e1
，e2
，且e2= ❑√5e1
，则a=（ ）
A．2❑√3
3
B．❑√2
C．❑√3
D．❑√5
5．（2026·重庆九龙坡·一模）双曲线E: x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的焦距为2❑√3
，其一条渐近线方程为
y = ❑√2 x，则双曲线E的方程为（ ）
A．x
2−y
2
2 =1
B．x
2
2 −y
2=1
C．x
2
8 −y
2
4 =1
D．x
2
4 −y
2
8 =1
6．（2026·新疆·一模）已知椭圆C ：x
2
16 + y
2
b
2 =1的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，P为椭圆
C上一点，Q为P F2中点，若△QO F2的周长为6，则椭圆C的短轴长为（ ）
A．2❑√3
B．4 ❑√3
C．2
D．4
7．（2025·安徽合肥·三模）已知抛物线C : x
2=2 py( p>0)的焦点为F，第一象限的点P(x1, y1),Q(x2, y2)
在抛物线上，且|PF)=|QF)+3,|PQ)=3 ❑√2．若x1+ x2=6，则抛物线C 的准线方程为（ ）
A．y =−3
2
B．y =−3
C．y =−1
D．y =−2
8．（2026·河北·模拟预测）已知椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1, F2
，过原点的直线l
与C交于A，B 两点，若|A F1)= 1
3|B F1),△A F2B的面积为3 ❑√3
16 a
2，且⃗F2 A ⋅⃗F2B<0，则C的离心率为
（ ）
A．
❑√7
3
B．1
2
C．
❑√7
16
D．
❑√7
4
9．（2026·全国·模拟预测）点M 在圆
(x−4)
2+( y −1)
2= 4
上，点F 是抛物线y
2= 4 x
的焦点，点P是抛物
线上的动点，则|PF)+|PM )的最小值为（ ）
A．5
B．4
C．3
D．2
10．（2026·四川绵阳·二模）已知抛物线E: y
2= 4 x的准线为l，P为E上的一点，PA ⊥l于点A，直线PB
与圆C :( x−4)
2+ y
2=1相切于点B，若|PA)=|PB)，则点P的横坐标为（ ）
A．7
2
B．7
3
C．3
D．7
2
或3
二、多选题
11．（2026·安徽马鞍山·一模）已知双曲线Γ的渐近线方程为y =±2 x，虚轴长为4，则（ ）
A．Γ的焦距为2❑√5
B．Γ的方程为x
2−y
2
4 =1
C．Γ的焦点到渐近线的距离为2
D． Γ与直线y =2 x +2026仅一个公共点
12．（2026·江西新余·一模）已知方程C :(4−m) x
2+(m−2) y
2=(4−m)(m−2)，则下列结论正确的是
（ ）
A．若方程C表示椭圆，则2<m<4
B．若m<2，则方程C表示焦点在y轴上的双曲线
C．存在m，使方程C表示直线
D．存在m，使方程C表示抛物线
13．（2026·新疆·一模）已知F为椭圆C ：x
2
9 + y
2
5 =1的左焦点，直线l：y =kx (k ≠0)与椭圆C交于
A ，B两点，AE⊥x轴，垂足为E，直线BE与椭圆C的另一个交点为P，则下列结论正确的有（ ）
A．直线BE的斜率为1
2 k
B．∠PAB不可能为直角
C．△ABE面积的最大值为❑√5
D．
4
|AF) +
1
|BF)的最小值为3
2
14．（2026·陕西西安·模拟预测）设F1, F2
是双曲线C : x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的左、右焦点，过F1
作C的
一条渐近线的垂线l，垂足为H，且l与双曲线右支相交于点P，若cos∠F1 P F2= 3
5
，且|P F2)=5，则下
列说法正确的是（ ）
A．a=2
B．双曲线的离心率为
❑√13
2
C．点P到x轴的距离为27 ❑√13
13
D．四边形PHO F2的面积为15
15．（2026·吉林·模拟预测）如图，抛物线C : y
2= 4 x的焦点为F，过点F作两条互相垂直的直线l1，l2，
直线l1与抛物线C相交于A ，B两点，直线l2与抛物线C相交于D，E两点，则（ ）
A．以AB为直径的圆与抛物线C的准线相切
B．以AF为直径的圆与y轴相切
C．1
|AB) +
1
|DE) = 1
2
D．四边形ADBE面积的最小值为32
三、填空题
16．（2026·黑龙江大庆·二模）若抛物线C : y
2=2 px ( p>0)的准线方程为x =−2，则p=__________.
17．（2026·陕西咸阳·一模）设椭圆的左、右焦点分别是F1
、F2
，A为椭圆上的一点，且⃗A F1⋅⃗A F2=0
，∠A F1 F2=60°，则该椭圆的离心率为__________.
18．（2026·湖北十堰·一模）已知双曲线C：x
2
a
2 −y
2
b
2 =1（a>0，b>0），记c =
❑√a
2+b
2，C经过点
P(c , y1)，Q(c , y2)（y1≠y2），且| PQ|= ❑√2|OP|（O为原点），则C的离心率为__________.
19．（2026·四川雅安·一模）在数学史上，平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵
形线，如图所示的曲线C为卡西尼卵形线且过坐标原点O，其中两定点为F1(−2,0)，F2(2,0)，曲线C上点
P在第一象限内且满足△P F1 F2的面积为2，则|P F1)
2−|P F2)
2=__________.
