重难点26：破解三角恒等变换：三角恒等
变换题型全总结（十二类题型）
（培优固本提能讲义）
知识网络·核心根基深扎牢....................................................................................1
实战演练·能力进阶攀高峰....................................................................................3
题型一、两角和差公式及应用........................................................................3
题型二、二倍角公式及应用............................................................................4
题型三、降幂公式及应用................................................................................5
题型四、万能公式及应用................................................................................6
题型五、和差化积/积化和差公式及应用.......................................................7
题型六、辅助角公式及应用............................................................................8
题型七、三角恒等变换：角变换问题............................................................3
题型八、三角恒等变换：给角求值................................................................4
题型九、三角恒等变换：给值求值................................................................5
题型十、三角恒等变换：给值求角................................................................6
题型十一、正切恒等式与非特殊角三角函数值............................................7
题型十二、三角恒等变换综合运用................................................................8
题型精析・方法突破提能力................................................................................9
知识点
1 ：两角和差公式
；
；
；
变形1：tanα±tan β=tan(α±β)(1∓tanα tan β)；
变形2：
tanα⋅tan β=1−tanα+tan β
tan(α+β)
=tanα−tan β
tan(α−β)
−1
．
知识网络・核心根基深扎牢
知识点
2 ：二倍角公式
；
；
；
变形1：
sin2α= 2sin α cosα
sin2α+cos2α
= 2tan α
1+tan2α
；cos2α=cos2α−sin2α
sin2α+cos2α
=1−tan2α
1+tan2α
变形2：
tan α
2 =sinα
1+cosα =1−cosα
sinα
知识点
3 ：降幂公式
变形1：
sin2α=1−cos2α
2
；cos2α=1+cos2α
2
；sinα cosα=1
2 sin2α
；
变形2：1+sin2α=(sinα+cosα)
2 ；1−sin2α=(sinα−cosα)
2
变形3：1+cos2α=2cos
2α ；1−cos2α=2sin
2α ；
知识点
4 ：万能公式
万能公式是三角恒等变换中一组重要公式，核心价值为：将任意角的正弦、余弦、正
切函数统一用该角半角的正切函数表示，设t = tan α
2 （α ≠π +2kπ ,k ∈ℤ），具体公
式如下：
设t = tan α
2 （α ≠π +2kπ ,k ∈ℤ，避免分母为零），则任意角α的三角函数可表示
为关于t的有理式，具体公式如下：
正弦函数 sin α = 2t
1+t
2
余弦函数 cosα = 1−t
2
1+t
2
正切函数 tan α = 2t
1−t
2
备注：当α = π +2kπ 时，tan α
2 = tan( π
2 +kπ )不存在，此时可直接计算sin α =0、
cosα =−1、tan α =0，无需套用万能公式。
知识点
5 ：和差化积
/ 积化和差公式
积化和差公式：
核心功能：将两个三角函数的乘积形式转化为和或差的形式，适用于简化乘积式、积
分运算等场景。
正弦×余弦 sin A cos B = 1
2 [sin( A + B)+sin( A −B)]
余弦×正弦 cos A sin B = 1
2 [sin( A + B)−sin( A −B)]
余弦×余弦 cos A cos B = 1
2 [cos( A + B)+cos( A −B)]
正弦×正弦 sin A sin B =−1
2 [cos( A + B)−cos( A −B)]
记忆要点：正弦乘余弦（或反之）积化和差后为正弦的和差；余弦乘余弦、正弦乘正
弦积化和差后为余弦的和差，且正弦乘正弦公式前带负号，所有公式均有系数1
2
。
和差化积公式：
核心功能：将两个同名三角函数的和或差形式转化为乘积形式，适用于化简和差式、
求解三角方程等场景。
正弦和 sin A +sin B =2sin A + B
2
cos A −B
2
正弦差 sin A −sin B =2cos A + B
2
sin A −B
2
余弦和 cos A +cos B =2cos A + B
2
cos A −B
2
余弦差 cos A −cos B =−2sin A + B
2
sin A −B
2
使用注意：1. 和差化积的前提是“同名三角函数”（正弦与正弦、余弦与余弦）；
2. 公式中均含系数2，余弦差公式前带负号；3. 记为“和化积：正和正余，正差余正；
余和余余，余差负正正”。
知识点
6 ：辅助角公式
asinα+bcosα=√a2+b2sin(α+ϕ)（其中
sin ϕ=
b
√a2+b2 ，cosϕ=
a
√a2+b2 ，tan ϕ=b
a
）
知识点
7 ：正切恒等式
正切恒等式：当
时，
．
证明：因为
，
，所以
故tan A+tan B+tanC=tan A⋅tan B⋅tanC ．
知识点
8 ：角拆分变换问题
；
；
；
；
；
．
题型01 两角和差公式及应用
两角和差公式及应用的解题策略
1.观察题目中角的结构（如是否为两角和、差形式）及三角函数类型（正弦、余弦、正
切），确定需选用的两角和差公式（如sin( A ± B)=sin A cos B±cos A sin B、
cos( A ± B)=cos A cos B∓sin A sin B等），将所求表达式拆解为公式中对应的“A ”“B
”角部分；
2.将已知角的三角函数值（或可推导的三角函数值）代入匹配的公式，按代数运算规则展
开，再结合同角三角函数关系（如sin
2α +cos
2α =1）或特殊角三角函数值，化简最终结
果。
1．tan 80°+ tan55°−tan 80° tan55° =（ ）
A．−1
B．−❑√3
C．1
D．❑√3
2．已知α ∈(0,π
2 )，若cosα = 3
5，则sin(α −π
3 )=（ ）
A．4−3 ❑√3
10
B．3 ❑√3−4
10
C．4 ❑√3−3
10
D．4 ❑√3+3
10
3．（1）已知cosα =−4
5 ,α是第三象限的角，求cos(α +π
4 ).
（2）化简sin15° cos75°+cos15° sin105°.
4．求tan12
°+ tan33
°
1−tan12
° tan33
°
的值.
题型02 二倍角公式及应用
实战演练・能力进阶攀高峰
二倍角公式及应用的解题策略
1.分析题目已知条件（如单角的正弦、余弦、正切值）和待求目标（如二倍角的某三角函
数值），确定适用的二倍角公式，若已知条件不直接对应公式所需量，需结合同角三角函
数基本关系先求出缺失量。
2.将已知量（或求出的缺失量）代入选定的二倍角公式，进行代数运算或三角恒等化简，
若题目涉及角度范围，需根据范围判断三角函数值的符号，最终得到待求目标的结果。
5．已知sinθ = 3
5
，且θ是第二象限的角，则sin2θ
cos2θ+1 =（ ）
A．3
4
B．−3
4
C．4
3
D．−4
3
6．已知tan α =−1
2
，则(sin α −cosα )
2
cos2α
的值（ ）
A．2
B．-2
C．3
D．-3
7．已知α ∈(
π
2 ,π)，β ∈(0,π
2 )，cos(α −β)= 1
7，求sin(2α −2 β)的值．
8．已知cosα =−12
13
，α ∈(π,3π
2 )，求sin2α、cos2α、tan2α的值.
题型03 降幂公式及应用
降幂公式及应用的解题策略
1.分析题目已知条件（如二倍角的正弦、余弦值，或含高次幂的三角函数表达式）和待求
目标（如低次幂表达式、特定角度的三角函数值），确定适用的降幂公式；若已知条件为
高次幂，需先拆分高次幂为二次幂的乘积或组合形式，再匹配降幂公式，必要时结合同角
三角函数基本关系补充条件。
2.将高次幂项代入对应降幂公式，转化为含一倍角或二倍角的低次表达式，再通过三角恒
等变形（如合并同类项、利用和差角公式等）化简；若题目给出角度范围，需结合范围确
定相关三角函数值的符号，最终计算出待求表达式的值或化简后的最简形式。
9．2cos
2 π
12 +1的值是（ ）
A．3
2
B．
❑√3
2
C．1+ ❑√3
2
D．2+
❑√3
2
10．sin 80°+1
sin
25°−1
=（ ）
A．−
❑√2
2
B．
❑√2
2
C．−2
D．2
11．求证：sin
8α +cos
8α ≥1
8
.
12．求证：1
2 ≤sin
4α +cos
4α ≤1．
题型04 万能公式及应用
万能公式及应用的解题策略
1.分析题目已知条件（如任意角α 的三角函数值、含α 的三角函数表达式）和待求目标
（如含α 的其他三角函数值、代数式或特定角度的三角函数值），设t = tan α
2 ，确定适用
的万能公式；若已知条件非tan α
2 ，需先通过已知三角函数值结合同角关系求出t，或直接
将已知表达式用t表示。
2.将sin α 、cosα 、tan α等用含t的表达式代换，将三角问题转化为代数问题，通过代数
运算（如分式化简、方程求解、因式分解等）化简表达式；若涉及角度范围，需结合范围
确定t的符号或取值范围，最终求出待求目标的值或最简形式。
13．函数f ( x)= ❑√3sin x(1+cos x)的最大值为（ ）
A．3
2
❑√3
B．5
4
❑√3
C．5
8
D．9
4
14．已知2cos2α +sin2α =2且α ≠kπ(k ∈Z)，则tan α =（ ）
A．2
B．1
C．0
D．1
2
15．已知2sinα +3cosα =2，求sinα和cosα．
16．在锐角△ABC中，求证：sin A +sin B+sinC +tan A +tan B+tanC >2π．
题型05 和差化积/积化和差公式及应用
和差化积/积化和差公式及应用的解题策略
1.分析题目已知条件（是“和/差”形式还是“积”形式）与待求目标（需转化为“积”形
式还是“和/差”形式），确定使用“和差化积”还是“积化和差”公式；再根据已知三角
函数的类型，匹配对应具体公式，若角度存在系数差异，先通过变形统一角度结构（如提
取系数、凑角）。
2.将已知的“和/差”或“积”表达式代入匹配的公式，完成形式转化；再结合三角恒等变
形规则（如利用诱导公式化简角度、合并同类项、约分）进一步整理，若题目含具体角度
值，代入角度计算出最终数值结果，若为代数式则化简为最简三角形式。
17．函数y =sin xsin(
π
4 −x)的最小值是（ ）．
A．2−❑√2
4
B．−(2+ ❑√2)
4
C．−1+ ❑√2
4
D．1−❑√2
4
18．cos 2π
7 +cos 4π
7
+cos 6π
7
的值为（ ）
A．−1
2
B．−3
4
C．−
❑√3
4
D．−3
5
19．已知cosα −cos β = 1
2
，sinα −sin β =−1
3
，
(1)求sin(α + β)的值；
(2)求cos(α + β)的值；
20．设α , β是锐角，且sin
2α +sin
2 β =sin (α + β)，求证：α + β = π
2
题型06 辅助角公式及应用
辅助角公式及应用的解题策略
1.公式匹配与辅助角构造：分析题目已知条件和待求目标，确定适用辅助角公式；将表达
式整理为asin α +bcosα的标准形式，计算辅助角参数r =
❑√a
2+b
2，再根据
a、b 的符号确定辅助角φ。
2.将asin α +bcosα 代换为r sin(α +φ)（或r cos(α −φ)）的形式，结合题目目标进行
后续运算；若求最值，利用正弦（余弦）函数的值域[−1,1]得结果为±r；若求化简或特
定角度值，结合诱导公式、角度和差关系等进一步计算，最终得到目标结果。
21．已知向量⃗a=(1,sinθ)，⃗b=(cosθ ,❑√3)，其中θ∈R，则|⃗a−⃗b|
的最大值是（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
22．在△ABC中，BC cos B = ❑√2 AC sin(A +π
4 )，则AB
AC 的最大值为（ ）
A．❑√7
B．❑√5
C．❑√3
D．❑√2
23．已知sin α +2sin β =2，则cos(α + β)的最大值为（ ）
A．1
8
B．1
4
C．1
6
D．1
2
24．已知函数f (x)=3sin x + 4 cos x，当f (x)取最大值时sin x =（ ）
A．4
7
B．3
7
C．4
5
D．3
5
题型07 三角恒等变换：角变换问题
三角恒等变换：角变换问题的解题策略
1.角的拆分与凑配：分析已知角与待求角关系，将待求角拆分为已知角的和、差、倍、半
等形式（如α=(α+β)-β），明确变换方向。
2.公式代入与化简：根据角的变换形式选对应公式（和差、二倍角等），代入已知条件计
算，化简得结果。
25．已知sinα = 4
5 ,tan(α −β)=−1
2
，且α , β ∈(0,π
2 )，则sin(α −2 β)=（ ）
A．−24
25
B．−7
25
C．−4
5
D．−3
5
26．已知α , β均为锐角，tan β = 1
2 ,sin (α −β)= 5
13
，则cos(α + β)=（ ）
A．13
65
B．16
65
C．−13
65
D．−16
65
27．已知cos(
π
4 −α)= 3
5
，sin(
5π
4 + β)=−12
13
，α ∈(
π
4 , 3π
4 )
，β ∈(0,π
4 )
．求：
(1)cos2α的值；
(2)sin (α + β)的值．
28．设函数f (x)=sin(ωx −π
6 )+sin(ωx −π
2 )，其中0<ω<3，已知函数f (x)的图象关
于点(
π
6 ,0)成中心对称.
(1)求ω；
(2)当x∈[0,π)时，求函数f (x)的单调递增区间；
(3)若α ∈[
π
4 ,π)
，β ∈[π , 3 π
2 )
，且f(α +π
6 )=
❑√15
5
，sin (β −α )=
❑√10
10
，求
α + β的值.
题型08 三角恒等变换：给角求值
三角恒等变换：给角求值问题的解题策略
1.将已知角拆为特殊角和/差、倍/半形式，匹配和差、二倍角等公式。
2.代入特殊角函数值，按公式运算，化简得结果。
29．若α + β =−π
4
，则(1−tan α )(1−tan β)=（ ）
A．2
B．3
C．−2
D．−3
30．sin20
∘(❑√3+tan50
∘)=（ ）
A．1
2
B．2
C．❑√3
D．1
31．求值：
(1)sin50
∘(1+ ❑√3tan10
∘)；
(2)2cos
242
∘+sin75
∘cos81
∘−1
cos6
∘−cos75
∘cos81
∘
.
32．计算下列各式的值：
(1)已知f (θ)=sin(π−θ)cos(π+θ)tan(3π−θ)
cos(
3π
2 −θ)
，求f(−7π
3 )
的值；
(2) 1+ tan15
∘
1−tan15
∘
；
(3)sin
210
∘+cos
255
∘+ ❑√2sin10
∘cos55
∘.
题型09 三角恒等变换：给值求值
三角恒等变换：给值求值问题的解题策略
1.角关系分析与选公式：找已知角与待求角关系，选和差、二倍角等公式，缺量用同角关
系求。
2.代入公式与化简：代入已知值，按公式计算，结合角范围定符号，化简得结果。
33．已知cos(α + β)= 1
9
，tanα tan β =2，则cos(2α −2 β)=（ ）
A．7
9
B．−7
9
C．8
9
D．−8
9
34．若cos(α +π
3 )= 4
5 ，则sin(α −π
6 )=（ ）
A．3
5
B．−3
5
C．4
5
D．−4
5
35．已知函数f (x)=2sin x cos(x +π
3 ).
(1)求f(
25π
6 )
的值；
(2)设α ∈(0,π)，f(
α
2)= 1
4 −
❑√3
2
，求sin α的值.
36．（1）化简：sin 40°(tan10°−❑√3)；
（2）已知sin
4θ+cos
4θ = 5
9
，求sin 2θ的值；
（3）已知sin α −cosα = 1
5，α ∈(0,π)，求sin(2α −π
4 )的值．
题型10 三角恒等变换：给值求角
三角恒等变换：给值求角问题的解题策略
1.求目标角三角函数值：分析已知角与目标角关系，选公式求目标角某三角函数值，结合
范围缩小角的可能区间。
2.确定目标角具体值：根据三角函数值及缩小后的区间，结合特殊角三角函数值或反三角
函数，确定目标角。
37．若锐角α、β满足cosα +cos β −cos(α + β)= 3
2
，则2α + β =（ ）
A．π
2
B．3π
2
C．π
D．0
38．已知α，β为锐角，tanα = 3
4 ，cos(α + β)=−
❑√2
10
，则2α + β的值为（ ）
A．3π
4
B．π
C．5π
4
D．7π
4
39．已知cos(α + β)= 2❑√5
5
,tan β = 1
7
，且α , β ∈(0,π
2 )．
(1)求cos
4 β −sin
4 β +sin β cos β的值；
(2)求2α + β的值．
40．已知α ∈(0,π)，且2sin (2022π−α )=cos(2022π+α )；
(1)求3sin α + 4 cosα
cosα −sin α
的值；
(2)若β ∈(
π
2 ,π)，且cos β =−3 ❑√10
10
，求α + β的值．
题型11 正切恒等式与非特殊角三角函数值
正切恒等式与非特殊角三角函数值问题的解题策略
1.非特殊角拆分与公式匹配：将非特殊角拆为已知角或特殊角的和差，结合已知条件选正
切和差、二倍角等恒等式。
2.代入计算与化简：代入已知值按公式运算，消去未知项或化简，注意角的范围避免正切
无定义，得结果。
41．cos(−π
12)的值是（ ）
A．
❑√6−❑√2
2
B．
❑√6+ ❑√2
2
C．
❑√6+ ❑√2
4
D．
❑√6−❑√2
4
42．cos75
∘的值为（ ）
A．
❑√6+ ❑√2
4
B．
❑√2−❑√6
4
C．
❑√6−❑√2
4
D．−
❑√6+ ❑√2
4
43．若，
为锐角，且
，则
__________；
__________
44.已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
题型12 三角恒等变换综合运用
三角恒等变换综合运用问题的解题策略
1.进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公
式的逆用和变形使用．
2.形如
化为
，可进一步研究函数的周期性、单调
性、最值与对称性
45．已知f ( x)= ❑√3sin 2 x−sin(
π
2 −2 x).
(1)将f ( x)改写为A sin (ωx +φ) (A >0，ω>0，φ∈[−π
2 ，π
2 ))
的形式;
(2)求f ( x)的最小正周期，并写出单调递增区间;
(3)若α ∈(
π
12 ，π
4 )，f (α )= 2
3，求cos2α的值.
46．定义在[0,π
2 )上的函数f (x)=asin x +cos x (a∈R)．
(1)当a=1时，求函数f (x)的值域；
(2)当a=2时，若f (x)在x = x0处取最大值．
①求tan x0；
②关于x的方程cos(x−x0)=−1
4
在区间[0,2π)上有两解x1，x2(x1< x2)，求
sin(x1+ x2)+cos(x1−x2)的值．
47．已知f ( x)=2❑√3sin x cos x −2cos
2 x．
(1)求f ( x)的单调递减区间；
(2)将函数f ( x)的图象向左平移π
3
个单位长度，得到函数g( x)的图象，求g( x)在
[
π
6 , 7π
8 )
上的值域．
48．已知函数f (x)= ❑√3sin2 x +1−2sin
2 x.
(1)求f (x)的单调递增区间；
(2)若α ∈(0,π)，且f(
α
2)= 2
3
，求cosα的值.
1．cos105
∘cos 45
∘−sin75
∘sin 45
∘=（ ）
A．−
❑√3
2
B．−1
2
C．1
2
D．
❑√3
2
2．若tan α =3，则sin 2α =（ ）
A．1
5
B．2
5
C．3
5
D．2
3
3．cos
2π
8 −cos
2 5π
8 =（ ）
A．1
2
B．
❑√2
2
C．
❑√3
3
D．
❑√3
2
4．曲线y = x−2
x
在x =1处的切线的倾斜角为α，则cos2α
1+ tan α =（ ）
A．−1
B．−1
5
C．❑√3
D．2
5．已知sin(α + β)= 1
5
，sin(α −β)= 3
5
，则tanα
tan β
的值为（ ）
A．−1
B．1
C．−2
D．2
6．当x =θ时，函数f (x)=5sin x−12cos x取得最小值，则cosθ =（ ）
A．5
13
B．−5
13
C．12
13
D．−12
13
7．已知3sin x + 4cos x = A sin(x +θ)对于∀x∈R恒成立，则sin2θ =（ ）
题型精析・方法突破提能力
A．12
25
B．24
25
C．−12
25
D．−24
25
8．若−π
2 <α −β <π
2 ,cosα −2sin β =1,sinα +2cos β =−❑√2，则cos(β +π
3 )=（
）
A．
❑√3
3
B．
❑√6
3
C．
❑√3
6
D．
❑√6
6
9．sin110
∘cos250
∘
cos
225
∘−sin
2155
∘
的值为（ ）
A．−1
2
B．1
2
C．
❑√3
2
D．−
❑√3
2
10．已知tan(α +π
4 )=−3，则cos
2α +2sin 2α =（ ）
A．9
5
B．12
5
C．−7
5
D．−4
5
11．若π
4 < β <π<α < 3π
2 ，且cos(α + β)=−
❑√2
10
，sin2 β = 4
5 ，则α −β =（ ）
A．π
4
B．π
2
C．3π
4
D．π
12．sin75❑
∘= （ ）
A．
❑√6−❑√2
2
B．
❑√6+ ❑√2
2
C．
❑√6−❑√2
4
D．
❑√6+ ❑√2
4
13．计算sin(−7π
12 )=（ ）
A．
❑√2+ ❑√6
4
B．
❑√2−❑√6
4
C．
❑√6−❑√2
4
D．−
❑√2+ ❑√6
4
14．tan15
∘−tan75
∘=（ ）
A．−4
B．−6
C．−3 ❑√3
D．−2❑√3
15．tan15
°=（ ）．
A．
❑√6+ ❑√2
4
B．
❑√6−❑√2
4
C．2+ ❑√3
D．2−❑√3
16．已知sin α = 12
13
，cos β =−3
5
，α，β均为第二象限角，求cos(α −β)，cos(α + β)的值．
17．已知sin α =−4
5
，α ∈(π, 3π
2 )
，求sin 2α，cos2α的值．
18．求证：sin
4 x +cos
4 x = 3+cos4 x
4
．
19．求证：2(cosθ−sinθ)
1+sinθ+cosθ = cosθ
1+sinθ −
sinθ
1+cosθ
．
20．在△ABC中，求sin A +sin B+ ❑√3sinC的最大值．
21．已知函数f (x)=sin(π−x)⋅cos(π+ x)
sin(−π+ x)
.
(1)化简f (x)的解析式；
(2)若α ，β为锐角，且f (α )= 2❑√5
5
，f (α + β)=−
❑√2
10
，求α −β的值.
22．已知函数f ( x)=1−2❑√3sin x cos x −2sin
2 x.
(1)求函数f ( x)的最小正周期与单调递增区间；
(2)若f (α )= 2
7 ，α ∈[0,π
2 )，求cos2α的值.
23．已知函数f (x)=sin 2 x +cos2 x
(1)求函数f (x)在[0,π
2 )上的值域；
(2)若f (α )=
❑√10
5
，其中π
8 <α < 3π
8
，求cos2α的值.
24．已知函数f (x)=cos
4 x
2 −2sin x
2 cos x
2 −sin
4 x
2
．
(1)求f (x)的最小正周期；
(2)若f (α )= 3 ❑√2
5
，tan β = 3
4 ，α，β均为锐角，求α + β．
25．已知函数f (x)=2❑√3sin x cos x−1+2sin
2 x.
(1)求函数f (x)的最小正周期及单调递增区间；
(2)当x∈[0, π
2)
时，求函数f (x)的最值及取得最值时自变量x的值.
26．已知向量⃗a=(sin x
2 ,−sin( x
2 +π
4 )),⃗b=(cos x
2 ,sin(π
4 −x
2 ))，函数f ( x)=⃗a⋅⃗b.
(1)求函数f ( x)的最小正周期；
(2)求函数f ( x)在x∈[π
2 , 3π
2 ]上的最值；
(3)若f (α )=
❑√5
10
，且α ∈(0,π)，求sin(2α −π
3 )的值.
