文档文本内容
重难点专训02 解三角形中的最值及范围问题
解题
及
方法
技巧提炼............................................................................................................................1
题
及
型通法
变式提升............................................................................................................................2
题
三角形
角
值范围
型一：已知
一
求取
................................................................................................................2
题
三角形
角及
值范围
型二：已知
一
其对边求取
................................................................................................5
题
三
三角形
角及
值范围
型
：已知
一
其邻边求取
................................................................................................8
题
三角形
角及
的
值范围
型四：已知
一
另外两边
关系求取
..............................................................................10
题
中
的最值问题
型五：
线长
..............................................................................................................................12
题
角
的最值问题
型六：
平分线长
......................................................................................................................16
题
三角形
的
问题的最值问题
型七：与
有关
实际
..............................................................................................20
重难专题分层过关练..........................................................................................................................23
巩固过关...............................................................................................................................................................23
创新提升...............................................................................................................................................................31
一、核心解题思路
首先建立所求量（式子）与已知角、边的直接关联，将已知角或边设为自变量，所求量（式子）作为
函数值，通过这种转化构建明确的函数关系，使原问题等价转化为求函数值域的问题。
在此过程中，需充分结合两重范围限制：一是题目给定的显性条件（如边的长度范围、角的特定区间
等）；二是三角形自身的隐性约束（如内角和为 π、两边之和大于第三边、边角对应关系等）。务必全面
梳理自变量（角或边）的取值范围
即函数的定义域，避免因定义域疏漏导致最终结果的范围扩大。
——
二、三角形中的最值范围问题的解题策略：
①基本不等式法
利用基本不等式求最值范围，主要结合余弦定理，可求周长及面积的题目，若要求解周长的范围时，
还需利用三角形“两边之和大于第三边（任意三角形）”
②三角函数法
先利用正弦定理将边转化成角，然后利用
或者题干中角的关系，可将所求式子中的角
统一成一个角，需要注意题干中对角有没有限制要求，利用角的范围求出范围
③坐标法
“坐标法”也是解决三角形最值问题的一种重要方法,解题时，要充分利用题设条件中所提供的特殊边
角关系，建立合适的直角坐标系，正确求出关键点的坐标，将所要求的目标式表示出来并合理化简，再结
合三角函数、基本不等式等知识求其最值:
题型一：
三角形
角
值范围
已知
一
求取
典例1-1．在锐角三角形
中，角
，
，
的对边分别为
，
，，若
，则
的取值范围为
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由
可得
，即
，所以
，所以
，
，所以
，又
，
，所以
，所以
，所以
，故
的取值范围为
．故
选A．
【点睛】(1)本题主要考查余弦定理解三角形，考查三角恒等变换和三角函数的图像和性质，意在考查学生
对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)利用函数的思想研究数学问题，一定要注意“定义域优先”的原
则，所以本题一定要准确计算出A 的范围
，不是
.
典例1-2．设锐角三角形ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，
．
（
）若
Ⅰ
，
，求b
（
）求
Ⅱ
的取值范围．
【答案】（
）
Ⅰ
;（
）
Ⅱ
．
【详解】试题分析：（
）首先根据正弦定理
Ⅰ
,
,将边化为角，求得角B,再根据
余弦定理求边
；
（
）根据（
Ⅱ
1）的结果，将角C 表示为
,再根据
化简，以及两角和的正弦公
式展开化简，最后根据辅助角公式化简为
,根据三角形是锐角三角形，可得角A 的范围和
的范围，根据三角函数的性质得到
的取值范围．
试题解析：（
）由
Ⅰ
，根据正弦定理得
，
又
，所以
，
由
为锐角三角形得
．
根据余弦定理，得
．所以，
．
（
）
Ⅱ
．由
为锐角三角形知，
，
，所以
，
，所以
．
由此有
，所以
的取值范围为
．
考点：1．正余弦定理；2．三角恒等变形；3．三角函数的性质．
变式1-1．在△ABC 中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c.已知
.
（1）求角B 的大小；
（2）求
的取值范围.
【答案】（1）
；（2）
.
【详解】（1）由已知
利用正弦定理得：
，即
由余弦定理得：
又
，
（2）由（1）知
，故
由
，知
，
利用正弦函数性质知
故原式的取值范围为
【点睛】方法点睛：在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定
理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用：
（1）若式子含有
的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”；
（2）若式子含有
的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”；
（3）代数变形或者三角恒等变换前置；
（4）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到
.
变式1-2．已知锐角
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，向量
，
，
.
(1)求
；
(2)求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）
，
且
，
，
，
，
，
，
由正弦定理可得
，
，
，
，
．
（2）由（1）知，
，则
，
为锐角三角形，
，则
，
，
．
．
，
，
，
，
，
的取值范围为
，则
，
所以
的范围为
.
题型二：
三角形
角及
值范围
已知
一
其对边求取
典例2-1．已知在锐角
中，角
的对边分别为
，且
.
(1)求
的值；
(2)若
，求
周长的取值范围.
【答案】(1)
；
(2)
.
【详解】（1）因为
，应用正余弦定理可得，
，化简可得：
，即
.
（2）
，
即
，
，
，
;
，
,
又
在锐角
中，
,
，
周长
，
由
，则
，
故
，
即
周长的取值范围为
.
典例2-2．在锐角
中，内角
所对的边分别为
，已知
，
(1)求角
的大小；
(2)求
取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由
可得
，
化简可得
，
即
，又因为三角形为锐角三角形，所以
．
（2）根据正弦定理
，可得
，
故
，
又因为
，所以
．
变式2-1．已知
的内角
所对应的边分别为
，若
.
(1)求
；
(2)求
面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）
，得到
，
由余弦定理知，
，
因为
，所以
．
（2）
，得到
，当且仅当
取等，
所以
，（当且仅当
取等．）故
面积的最大值为
．
变式2-2．在
中，内角
的对边分别为
，且
，
.
(1)求
的大小；
(2)若
，求
的面积；
(3)求
的最大值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由正弦定理得：
，又
，
，
即
，又
，
，
，
又
，
.
（2）由余弦定理得：
，解得：
，
.
（3）由余弦定理得：
，
（当且仅当
时取等号），
，
又
，
；
，
令
，
，则
在
上单调递增，
，即
，
的最大值为
.
题型三
三角形
角及
值范围
：已知
一
其邻边求取
典例3-1．已知
内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，
，
的面积
.
(1)求边c；
(2)若
为锐角三角形，求a 的取值范围.
【答案】(1)1
(2)
【详解】（1）因为
，
，所以
；
因为
，所以
.
（2）在
中，由正弦定理
，
由（1）知
，
，代入上式得：
，
因为
为锐角三角形，则
,所以
，
所以
，
所以
.
典例3-2．在
中，设角
，
，
的对边长分别为
，
，，已知
.
（1）求角
的值；
（2）若
为锐角三角形，且
，求
的面积的取值范围.
【答案】（1）
；（2）
.
【详解】（1）由已知及正弦定理，得
，即
，
即
，即
.
由余弦定理，得
，因为
，所以
.
（2）因为
，
，由正弦定理，得
，
∴
，
因为
为锐角三角形，则
，从而
，
所以
.
变式3-1．已知
的内角
的对边分别为
，
(1)求
的值；
(2)若
，求
面积的最大值．
【答案】(1)2
(2)
【详解】（1）因为
，由正弦定理得，
由余弦定理得，
，
整理得
；
（2）因为
，因为
，由（1）可得
，则
.，
又
，即
，当且仅当
时等号成立.
于是
所以的最大值为
.
变式3-2．在锐角
中，内角A，B，C 的对边分别是a，b，c，并且
.
(1)求b 的值；
(2)若
，求
面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由正弦定理，a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，其中R 为
的外接圆半径.
因为
，从而
，
整理得
；
又在
中，
，从而
，则
.
（2）由
及余弦定理，
又
为锐角三角形，因此
，即
，解得
.
又
，
因此
面积的取值范围是
.
题型
三角形
角及
的
值范围
四：已知
一
另外两边
关系求取
典例4-1．记
的内角
，
，
的对边分别为
，
，，
，若
的面积为2，则当
的周长取到最小值时，
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由题意得
，因为
，所以
．由余弦定理
，
得
，得
，则
．因为函数
在
上单调递增，所以当
最小时，
的周长最小．又
（当且仅当
时，
等号成立），所以
．故当
的周长取到最小值时，
．
故选：A
变式4-1．在①
，②
，③
这三个条件中
任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答．已知
的内角A，B，C 所对的边分别是a，b，c，若
___________．
(1)求角B；
(2)若
，求
周长的最小值．
【答案】(1)任选一条件，都有
；
(2)12
【详解】（1）选①：
，由正弦定理得
，∵
，
∴
，即
，
∵
，∴
，∴
，∴
．
选②：
，由正弦定理可得
，
∵
，∴
，∵
，
∴
．
选③：已知
，结合正弦定理可得
，
∴
，∴
，
∵
，∴
（2）由余弦定理得
，
即
，∴
，解得
，
当且仅当
时取等号，∴
周长的最小值为12．
变式4-2．在
中，已知
.
(1)若
且
，求
的面积；
(2)若
求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由正弦定理得
，又
，从而
，
由
得
，
从而
，
所以
的面积
.
（2）由
，
又
，当且仅当
时取等号，
从而
，所以
，
又因为
中，
，从而
，
所以
的范围是
.
题型
中
的最值问题
五：
线长
典例5-1．在锐角三角形
中，角
，
，
所对的边分别为
，
，，已知
，点
为
的中点，则中线
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由
是
边
上的中线，得
，
则
，
由正弦定理得
，得
，
，
则
，
而
，
，
于是
，
由
为锐角三角形，
，得
，即
，
则
，
，因此
，即
，
所以
的取值范围为
.
故选：C
典例5-2．已知在锐角三角形
中，内角
，
，
，所对应的边分别为
，
，，且是
，
，则中线
长的取值范围是 .
【答案】
【详解】在
中，
.
，
为
的中点，所以
.
由正弦定理得
.
又
，设
，
由余弦定理知
，得
，
代入
，整理得
.
因为
是锐角三角形，所以
，
，
，
解得
.
当
时，
取最小值为
；当
或
时，
取最大值为
.
因为
，所以
.
变式5-1．在
中，内角
所对的边分别是
，且
，
，则边
上的中
线
的取值范围是 .
【答案】
【详解】由
，可得
，
因为
，所以
，所以
，所以
，
所以
，所以
，所以
，所以
，
由余弦定理可得
，
因为
是
的中点，所以
，
所以
，
由正弦定理可得
，
所以
，
因为
，所以
，所以
，
所以
，所以
，所以
.
故答案为：
.
【点睛】方法点睛：求三角形有关代数式的取值范围也是一种常见的类型，主要方法有两类：（1）找到
边与边之间的关系，利用基本不等式来求解；（2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用
函数思想求解.
变式5-2．在锐角
中，设角
的对边依次为
，满足
.
(1)求
的大小；
(2)若
，求边
上的中线
的取值范围.
【答案】(1)
.
(2)
【详解】（1）由题设知
.
由正弦定理,可得
.①
又
，则
.
将上式代入①式得
即
，
即
.
又
，
，故
，
则
，即
.
又
，则
，则
，解得
.
（2）因为
为
的中点，所以
，
两边平方得
.
在
中，由余弦定理得
，因
，
即
，
所以
.
在
中，由正弦定理得
，即得
，
，
所以
.
因
为锐角三角形，则
且
，解得
，
则
，故
，故
，
则
，
故中线
的取值范围是
.
题型
角
的最值问题
六：
平分线长
典例6-1．在
中，
，
，点
为
边上的点，
是
的角平分线，则
，
的取值范围是 ．
【答案】 1：2
【解析】设
，由正弦定理得：
，则可得
；又
得，
，化简即可得
的取值范围.
【详解】设
，由正弦定理得：
，又
，
所以
；
又
得，
，
所以
，又
，故
.
故答案为：（1）
；（2）
【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，三角形面积公式，二倍角公式，考查了学生的运算求解能力.
典例6-2．在
中，角
的对边分别为
，且
，
.
(1)若
，求
的值；
(2)若
为锐角三角形.
（
）求
ⅰ
的取值范围；
（
）若
ⅱ
是
的角平分线，求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)（
）
ⅰ
；（
）
ⅱ
【详解】（1）因为
，
由正弦定理得
，
∴
，
∴
，
∴
，
又∵
，∴
，∴
，
∵
，∴
．
由余弦定理可得
，
∴
，
∴
．
（2）（
）已知
ⅰ
，
，
，
∴
，又∵△ABC 为锐角三角形，
所以
，即
，
∴
，∴
．
（
）因为
ⅱ
，所以
，
所以
．
又∵
，
∴
，
化简得
，
又∵
，∴
，
∴
，∴
．
变式6-1．已知
的内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且
．
(1)求A；
(2)若
，D 为BC 中点，求线段AD 长；
(3)若该三角形面积为
，AD 为内角A 的角平分线，交BC 边于点D，求线段AD 长的最大值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）在
中，由
及正弦定理，得
，
即
，由余弦定理得
，而
，
所以
.
（2）由（1）知，
，由D 为BC 中点，得
，而
，
所以
.
（3）由
的面积为
，得
，解得
，
由
为内角
的角平分线，得
，
由
，得
，
因此
，
，当且仅当
时取等号，
所以线段AD 长的最大值为
.
变式6-2．在
中，记内角
，
，
所对的边分别为
，
，，已知
且
.
(1)求
；
(2)求
的最大值；
(3)若
的角平分线交
于点
，求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由
，得
，
即
，
所以
，而
，
所以
.
（2）由（1），
，即
，
，
，即
，当且仅当
时，取等号.
所以
的最大值为
.
（3）由（1），
，
，
，即
，
，
由
，得
，
所以
，
由
，令
，
设
，则
，
所以
在
上单调递增，
，即
，
所以
的取值范围为
.
题型
三角形
的
问题的最值问题
七：与
有关
实际
典例7-1．湖北省第十六届运动会将于2022 年10 月在宜昌举行，为了方便宜昌市民观看，夷陵广场大屏幕
届时会滚动直播赛事，已知大屏幕下端B 离地面2.5 米，大屏幕高3 米，若某位观众眼睛离地面1.5 米，则
这位观众在距离大屏幕所在的平面多远，可以获得观看的最佳视野？（最佳视野是指看到屏幕上下夹角的
最大值）（ ）
A．
B．
C．3
D．2
【答案】D
【详解】画出示意图，如图所示，可得
，
设
，则
，
所以
，
因为
，当且仅当
时，即
时，等号成立，
所以
，因为
，且正切函数在锐角范围内是增函数，
所以当
时，可以
达到最大值，此时这位观众可以获得观看的最佳视野.
故选：D.
典例7-2．如图，在点
处有一座灯塔，
是一条直的海岸线，已知
，
，从灯塔
处射出的灯光照到线段
上的线段
，
、
是线段
（含端点）上的动点，在转动灯光的过程中，
始终保持
不变.
(1)当
时，求被灯光照到的区域
的面积；
(2)求海岸线
上被照到的线段
长的最小值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：在
中，
，
由正弦定理，得
，所以
，
在
中，
，
由正弦定理，得
，所以
，
所以
；
（2）解：设A 到EF 的距离为
，
由
，得
，
所以EF 的最小值即为
面积的最小值，
设
，
，
在
中，由正弦定理得
，
在
中，由正弦定理得
，
，
当且仅当
时，取“
”，
当面积最小时，由
，得
，
所以线段
的最小值为
.
变式7-1．某园区有一块三角形空地
（如图），其中
，
，
，现计
划在该空地上划分三个区域种植不同的花卉，若要求
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】如图，因为
，所以
在如图所示的圆
上，
圆
的半径为
，
由圆周角的性质可得
，
，
，
连接
，可得
，
所以当
为
与圆的交点时，
取最小值，即
，
又
，在
中，
，
，
，
根据余弦定理可知
，
所以
的最小值为
.
故选：B
变式7-2．如图，某湿地为拓展旅游业务，现准备在湿地内建造一个观景台D．已知湿地夹在公路
之间（
的长度均超过
），且
．在公路
上分别设有游客接送点E，F，
．若要求观景台D 建在E，F 两点连线的右侧，并在观景台D 与接送点E，F 之间建造
两条观光线路
与
，
，则观光线路
与
之和最长为
．
【答案】4
【详解】在
中，
；
在
中，设
，由余弦定理可得：
，
即：
，即
，
因为
，所以
，
，
当且仅当
时，
取到最大值4，即
与
之和最长为4.
故答案为：4.
巩固过关
1．已知
中，
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】在
中，由
，得
，
由
，得
，则
，
，
，
由正弦定理
，得
，由
，得
，则
，
所以
的取值范围是
.
故选：A
2．在
中，
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】设
，
，
，
则
，
故由正弦定理可知
，
，
于是
，
其中
，当且仅当
时，等号成立，故B 正确.
故选:B.
3．在锐角
中，为
的面积，
，且
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为
，且
，
所以
，即
.
由余弦定理得：
，所以
.
又
，所以
，解得：
或
.
因为
为锐角三角形，所以
，
,
因为
，所以
，
由正弦定理得：
，故
，
因为
为锐角三角形，所以
，即
，所以
.
所以
,
因此
，即
，
故选：D
4．在
中，若
，则
的取值范围为 .
【答案】
【详解】由
，得
，
由正弦定理得
，则
，当且仅当
时等号成立.
又
，且余弦函数
在
上单调递减，则
，
而正弦函数
在
上单调递增，因此
，
所以
的取值范围为
.
故答案为：
5．在
内，内角
的对边分别为
，若
，且
，则
的取
值范围是 ．
【答案】
【详解】由余弦定理
得
，
由正弦定理，得
，
因为
，
又
，所以
，
所以
，即
，
化简得
,解得
．
又
,故
所以
的取值范围是
．
故答案为：
6．如图所示，公路
一侧有一块空地
，其中
，市政府拟在中
间开挖一个人工湖
，其中
都在边
上（
不与
重合，
在
之间），且
.
(1)若
在距离A 点
处，求
和
的长度；
(2)为节省投入资金，人工湖
的面积尽可能小，设
，试确定
的值，使
的面积最小，
并求出最小面积.
【答案】(1)
,
(2)
，
【详解】（1）在
中，其中
，
，
在
中，
，
则
,
，
在
中，
，
在
中，
；
（2）
，
在
中，
，
在
中，
，
，
因为
，所以
时面积最小，最小值为
7．在
中，内角
，
，
所对的边分别是
，
，，且
，
.
(1)求角
；
(2)若
，求边AC 上的角平分线BD 长；
(3)若
为锐角三角形，求边
上的中线
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由
可得
，
因为
，
所以
，
由
，得
，又
，则
.
（2）如图：
由余弦定理，
，因为
，
，
所以
，又
，所以
.
由
，得
，
整理得：
.
（3）因为
是边
上的中线，则
，
两边取平方，
，
由（2）已得
，代入可得
，
由正弦定理，
，
则
，
所以
，
因为
为锐角三角形，则有
，解得
，
则
，
由正弦函数的图象性质，可得
，
故得
，从而
，
故边
上的中线
的取值范围为
.
8．在
中，角
所对的边分别为
，已知向量
满足
，
，且
．
(1)求角
；
(2)若
是锐角三角形，且
，求
的取值范围．
【答案】(1)
或
(2)
【详解】（1）∵
，∴
，
即
，由正弦定理得
，
∴
，∴
，∵
，∴
或
；
（2）∵a＝3，且三角形
为锐角三角形，∴
，
∴由正弦定理得：
，
∴
，
∴
，
又∵
为锐角三角形，∴
，∴
，
得
，∴
，
∴
，∴
的取值范围为：
.
9．设
的内角
的对边分别是
，已知
，且
.
(1)求角C；
(2)若D 为
的中点，求线段
长的取值范围.
【答案】(1)
(2)
.
【详解】（1）因为
，
所以
，即
，
所以
.
因为
，所以
.
（2）因为
为
的中点，所以
，
所以
.
又
，所以
，
所以
，即
.
由
，得
，
则
，解得
，即线段
长的取值范围是
.
10．
的内角
的对边分别为
，已知
．
(1)求角
的大小；
(2)设
，求
的最大值及
取得最大值时
的面积．
【答案】(1)
(2)
，
【详解】（1）因
，则
，
利用正弦定理
可化为，
，
又因为
，故
，故
，即
，
又
，所以
，得到
.
（2）由题意及（1）知，
，
由正弦定理可得
，则
，
故
，
其中
，且
，
因为
，故
，而
，
故当
，即
时，
取最大值1，
的最大值为
，
故
，
所以
，
又
，
故
，
此时
.
创新提升
1．在
中，内角
的对边分别为
．已知
上的中线长为4，则
面积
的最大值是 ．
【答案】
【详解】因为
由余弦定理，得
得
设
,
由余弦定理，得
即
当且仅当
即
时，等号成立.
故答案为：
.
2．在锐角
中，内角
所对的边分别为
，且
，则
的取值范围是 ．
【答案】
【详解】∵
，∴
，
∴
由余弦定理
得，
，
∴
，
∴由
得，
，∴
，
∴
，
，
.
又由正弦定理得
，
，
，
是锐角三角形，
，
，
，
，
.
故答案为：
.
3．在
中，角
，
，
的对边分别是
，
，，向量
，
，且
.
(1)若
，
，求
面积的最大值；
(2)若
，求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为
，所以
，即
，
由正弦定理得
，
所以
.
即
因为
，所以
，
所以
，所以
.
因为
，所以
.
因为
，所以
，
所以
，
所以
，
因为
，且
，
所以
，当且仅当
时，等号成立，
则
的面积
，
即
面积的最大值为
.
（2）由正弦定理可得
，
则
，
，
故
，
在
中，
，所以
，
所以
，所以
，
则
，
即
的取值范围为
.
4．已知
，
，分别为
三个内角
，
，
的对边，
且
.
(1)求
；
(2)若
，求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）∵
，
，∴
，
在
中，由余弦定理得
，化简整理得
，
由余弦定理得
∴
，
∵
，∴
.
（2）由（1）知
.
∵
，∴
，∴
.
在
中，∵
，
，又
，
∴
，
.
∵
，且
，∴
.
令
，因为
，所以
则
，
，
∴
，
，
令
，
，∵
在
上单调递增，∴
.
又
在
上单调递减，
由复合函数的单调性可得
∴
在
上单调递减，∴
，
即
的取值范围为
.
