重难点专题03一元二次方程的实际应用（专项训练）（原卷版）_2026秋初中教辅合集_2027学科网&_2026秋《同步备课系列》9上数学_第二十五章一元二次方程_题型专练

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重难点专题03 一元二次方程的实际应用
重难点一与增长率有关的问题
1.连续增长用公式A = a(1 + x)n，连续下降用公式A = a(1 −x)n，a 为初始基数，x 为变化率，n 为变化
次数；2.若题目给两年总和，则列a(1 + x) + a(1 + x)2 = 总和，结果必须满足变化率在合理区间，舍去
不合理解。
1．某企业2某2业年芯片销售总额为业͸ 亿元，经过两年技术革新，该企业2某2该年芯片销售总额达到ͺ1 亿
元，那么该企业这两年芯片销售总额的年平均增长率为（
）
A．2该%
B．Ͷ该%
C．该某%
D．͸该%
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2．根据中国民航局预测，2025 年我国低空经济规模将达1.5 万亿元，预计2035 年我国低空经济规模有望
突破3.5 万亿元．如果设2025~2035 年每年低空经济规模年平均增长率为ݔ，那么根据题意可列方程为（
）．
A．1ㄠ该1 + ݔ1某= 业ㄠ该
B．1ㄠ该1 + 1某ݔ= 业ㄠ该
C．1ㄠ该1 െݔ1某= 业ㄠ该
D．1ㄠ该1 + ݔ1某= 业ㄠ该
3．某口罩生产厂生产的口罩1 月平均日产量为2某某某某个，1 月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需
求量大增，为满足市场需求，工厂决定从2 月起扩大产能，业月平均日产量达到2Ͷ2某某个．
（1）口罩日产量的月平均增长率为__________；
（2）按照这个增长率，预计Ͷ 月平均日产量为__________个．
4．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校为响应
我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆500 人次，进馆人次逐
月增加，第三个月进馆720 人次，若进馆人次的月平均增长率相同．求进馆人次的月平均增长率．
5．某旅游景区2025 年第一季度游客人数达100 万人次，第二季度的游客人数比第一季度的下降1某%，随
着暑假和“十一”黄金周的到来，第三、四季度游客人数稳步上升，其中第四季度游客人数达129.6 万人次．
(1)求第三、四季度游客人数的平均增长率；
(2)求该旅游景区一年（四个季度）接待游客的总人数．
重难点二解决传播类问题
1.核心公式为A = a(1 + x)n，a 为初始数量，x 为每轮传播人数，n 为传播轮数，A 为最终总数；
2.解题时默认从1 个传染源开始，分清累计总数与新增数量，只保留正数解，舍去负数根。
1．有一个人患流感，经过两轮传染后共有81 个人患流感，设每轮传染中平均一个人传染x 个人，则第三
轮传染后共有（
）个人患流感．
A．8
B．9
C．648
D．729
2．春天的校园，一株神奇的植物正悄然生长．这株植物的主干先长出若干支干，每根支干又分出与主干分
出的支干数目相同的小分支，若主干、支干和小分支总数是21，若设主干长出x 支支干，则根据题意可以
列方程为（
）
A．1 + ݔ2 = 21
B．1 + ݔ+ ݔ2 = 21
C．1 + ݔ+ 1 + ݔ2 = 21
D．1 + 1 + ݔ+ 1 + ݔ2 = 21
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3．某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出相
同数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是31，则这种植物每个支干长出的小分支个数是________．
4．数学活动课上，同学们与AI 智能体进行数字传播闯关游戏．AI 智能体给出规则：游戏开始时有6 名同
学拥有通关密码，在每一轮传播中，每名拥有密码的同学都会传给相同数量的新同学，但每一轮传播结束
后，都会随机有6 名同学失去密码，不再参与下一轮传播．经过两轮完整传播后，场上共有114 名同学持
有通关密码．求每一轮传播中，1 名同学传给多少名新同学．
5．学校为了提高学生的安全意识，准备安排小小宣讲员的活动，一个人宣讲后，接受安全宣讲的学生要再
给同样多且不重复的人宣讲，经过两轮宣讲后共有ͺ1 人获得了安全意识．
(1)问这种宣讲活动，一个人会给多少人宣讲？
(2)按照这样的宣讲速度，经过三轮后接受宣讲的人数共有多少人？
重难点三解决与营销利润问题
1.固定核心公式总利润=单件利润×销售数量；
2.涨价降价题型统一套路：设涨跌x 元，单件利润随涨跌增减，销量随涨跌反向增减，列式(原利润±
x)(原销量∓kx) = 总利润；
3.优先保证售价、销量、利润为正数，根据“让利最大、销量最高、成本最低” 择优取解。
1．为助力乡村振兴，河南某乡村合作社售卖铁棍山药，已知山药进价为15 元/斤，销售单价x （元/斤）
与月销售量y （斤）满足一次函数关系：ݕ=െ2某ݔ+ ͺ某某，若合作社每月销售山药获利3000 元，并让顾
客得到最大优惠，则销售单价为（
）
A．20 元
B．25 元
C．30 元
D．35 元
2．已知某产品的利润为ͺ某元Ȁ件，每天销量为2Ͷ某件，通过市场调研，发现该产品在此基础上售价每上升
2 元Ȁ件时，每天销量下降Ͷ 件．设某天的售价上升݉
元Ȁ件时，该天的利润达2某某某某元，则可列方程(
)
A．ͺ某+ 2݉
2Ͷ某െͶ݉
= 2某某某某
B．ͺ某+݉
2Ͷ某െͶ݉
= 2某某某某
C．ͺ某+ 2݉
2Ͷ某െ2݉
= 2某某某某
D．ͺ某+݉
2Ͷ某െ2݉
= 2某某某某
3．承龙马精神，赴崭新征程．某网店销售一种与马有关的手办，成本价是5 元/个，在销售中发现，当这
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种手办的价格定为7 元/个时，每天可卖出160 个，在此基础上，单价每提高1 元，每天就少卖20 个，若
该网店一天销售这种手办所获得的利润是420 元，为了让顾客得到优惠，价格应定为__________元/个．
4．为备战2026 靖江市中小学生足球联赛，某中学足球队计划统一采购一批同一品牌的足球．商场推出的
团购优惠方案如下：若购买数量不超过30 个，则每个足球的售价为180 元；若购买数量超过30 个，则每
增加1 个，每个足球的售价降低2 元，但每个足球的售价不得低于120 元．若该足球队共花费6750 元购买
该品牌足球，求该足球队购买足球的数量．
5．石狮泰禾某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80 元，销售价为120 元时，每天可售出20
件，为了迎接“十一”国庆节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，
如果每件童装降价1 元，那么平均可多售出2 件．
(1)设每件童装降价x 元时，每天可销售______件，每件盈利______元；（用x 的代数式表示）
(2)每件童装降价多少元时，平均每天赢利1200 元；
(3)要想平均每天盈利2000 元，可能吗？请说明理由．
重难点四解决握手循环问题
1.握手、循环问题：单循环（握手、单赛、两两对接）公式1
2 x(x െ1) = 总次数，避免两两重复计算；
2.双循环、互赠礼物、主客场比赛公式x(x െ1) = 总次数；
3.结果必须是正整数，小数、负数一律舍去。
1．2025 年9 月13 日，重庆城市足球超级联赛（简称“渝超”）正式拉开帷幕．第一轮是分赛区小组积分赛，
中心城区赛区在这一赛段一共会举办55 场比赛，已知该赛段为单循环赛制，即每支队伍会分别与赛区内其
他所有队伍各进行1 场比赛，那么中心城区赛区在第一轮的参赛队伍的数量是（
）支
A．9
B．10
C．11
D．12
2．随着校级足球联赛的持续升温，校园足球氛围愈发浓厚，为丰富同学们的课余生活，增强团队凝聚力，
学校决定举办校级足球联赛ㄠ第一阶段采用分赛区单循环积分赛制，即每支参赛球队需与其他所有球队各进
行一场比赛．已知共进行28 场比赛，且无任何重复对阵．若设参赛球队总数为n 支，则可列出关于n 的方
程为（
）
A．݊݊
െ1 = 2ͺ B．݊݊
+ 1 = 2ͺ
C．݊݊
െ1
2
= 2ͺ
D．݊݊
+1
2
= 2ͺ
3．随着天府机场的开通，一架架飞机掠过资阳的天空，每两个飞机场之间都开辟一条航线，某航空公司一
共开辟了21 条航线，则这个航空公司飞往的飞机场有_____个．
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4．“赛场展英姿，青春正当时”，某市举办中学生篮球联赛．联赛采用单循环赛制，即每支队伍需与其余所
有队伍各赛一场，充分展现各队实力．已知本次联赛共进行了12某场激烈对决，求共有多少支参赛队伍？
5．某学校九年级举办了一场乒乓球比赛，比赛采用单循环赛制（每两位参赛选手之间都赛1 场）．
乐乐和淇淇针对这次比赛有如下对话：
假设有x 人报名参加比赛．
(1)根据题意，乐乐列出的方程应该是：_________________________．请利用乐乐所列的方程分析淇淇的说
法是否正确；
(2)乐乐补充道：本次比赛的确一共进行了40 场，只是在比赛过程中遇到了特殊情况，有1 人身体不适，只
参加了4 场比赛后就中途退赛．请直接写出此时x 的值．
重难点五行程问题
1.依据基础公式s = vt，多以时间差作为等量关系列方程；
2.常用：原用时െ实际用时=提前/ 延误时间；
3.做题先统一时间、路程、速度单位，设速度或时间为未知数，只保留正数解，排除负速度、负时间。
1．一辆汽车以20m/s 的速度行驶，司机发现前方路面26m 处有情况，紧急刹车后汽车又滑行25m 后停车，
问刹车后汽车滑行到16m 时约用了（
）
A．1s
B．1.2s
C．2s
D．4s
2．2026 年4 月，北京举办了全球首场大规模人形机器人半程马拉松赛事．机器人“闪电”完成比赛，最终用
时50 分26 秒，打破了人类男子半程马拉松世界纪录．已知机器人初始速度为2ͶkmȀh，经过两次速度调整
后，速度提升至ͶͺㄠͶkmȀh．设这两次调整中，速度的平均增长率为ݔ．根据题意列出方程，正确的是（
）．
A．2Ͷ 1 + ݔ2 = ͶͺㄠͶ
B．ͶͺㄠͶ 1 + ݔ2 = 2Ͷ
C．2Ͷ 1 + ݔ+ 2Ͷ 1 + ݔ2 = ͶͺㄠͶ
D．2Ͷ 1 + ݔ2 = ͶͺㄠͶ
3．在物理中，沿着一条直线且速度均匀增大或减小的运动，叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个
时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，例如，在一个时段内，初速度为20 米/秒，末速度为
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30 米/秒，则这个时间段的平均速度为ݒത=
2某+业某
2
= 2该米/秒．运动路程等于时间与平均速度的乘积（即）ܵ
= ݒതݐ．若一个小球以10 米/秒的初速度沿平滑的直线向前滚动，并且均匀减速，小球的滚动速度平均每秒
减少2 米/秒，小球滚动24 米用了______秒．
4．小明设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B 以顺时针、
逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程݈
cm 与时间ݐs 满足关系：݈=
1
2 ݐ2 +
业
2 ݐݐ൒某，乙以ͶcmȀs
的速度匀速运动，半圆的长度为21cm．
(1)甲运动Ͷs 后的路程是多少？
(2)甲、乙从开始运动到第三次相遇时，它们运动了多少时间？
5．一个小球以ݒ某= ͺmȀs 的速度开始向前滚动，并且均匀减速，Ͷs 后停止运动．
(1)小球的滚动速度平均每秒少mȀs．
(2)已知小球滚动12m 用了ݐ秒．（温馨提示：ݒݐ表示小球滚动ݐ秒时的瞬时速度，平均速度ݒ=
ݒ某+ݒݐ
2 ，滚动
路程ݏ= ݒڄ ݐ）
①求这段时间内小球的平均速度ݒ（用含ݐ的整式表示）
②求ݐ值．
重难点六解决有关数字问题
1.两位数表示为1某× 十位数字+ 个位数字，三位数同理放大百倍、十倍；
2.连续整数设为x、x + 1，连续奇偶设为x、x + 2；
3.根据题目和、积、平方关系列方程，解完必须检验数位数字0–9 的取值范围，舍去不符合数位规则的
解。
1．在苏轼笔下，周瑜年少有为，文采风流，雄姿英发，谈笑间，樯橹灰飞烟灭，然天妒英才，英年早逝．欣
赏下面改编的诗歌：“大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位
三，个位平方与寿符．”则这位风流人物去世时的年龄为（
）
A．36 岁
B．38 岁
C．40 岁
D．42 岁
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2．小明在与Deepseek 的对话中输入如下文字：“有没有这样一个非零实数，先计算它的平方，再减去它的
3 倍，结果等于这个数？”经过深度思考和验证，Deepseek 给出的这个数应该是______．
3．一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这两位数小4，设
个位数字为ݔ，则方程为（
）
A．ݔ2 + ݔെͶ 2 = 1某ݔെͶ + ݔെͶ
B．ݔ2 + ݔ+ Ͷ 2 = 1某ݔ+ ݔെͶ െͶ
C．ݔ2 + ݔ+ Ͷ 2 = 1某ݔ+ Ͷ + ݔെͶ
D．ݔ2 + ݔ+ Ͷ 2 = 1某ݔ+ ݔെͶ െͶ
4．第十四届国际数学教育大会（ICME−14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的
文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8 作为进位基数的
数字系统，有0～7 共8 个基本数字．八进制数3745 换算成十进制数是业ൈͺ业+ ͹ ൈͺ2 + Ͷ ൈͺ1 + 该ൈͺ某=
2某21，表示ICME−14 的举办年份．
(1)八进制数123 换算成十进制数是___________；
(2)小华设计了一个݊
进制数143，换算成十进制数是120，求݊
的值．
5．综合与实践：某校七年级课外实践小组进行进位制的认识与探究活动，过程如下：
【进位制的认识】
①进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，
即“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．
②为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，例如，(1某11)2就是二进制数1011 的简单写法．十
进制数一般不标注基数．
③一个数可表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式．规定当്ܽ
某时，ܽ某= 1．如：业͹21 = 业ൈ
1某业+ ͹ ൈ1某2 + 2 ൈ1某1 + 1 ൈ1某某；(Ͷ21)͹ = Ͷ ൈ͹2 + 2 ൈ͹1 + 1 ൈ͹某．
【解决问题】
(1)我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．一位母
亲在从右到左依次排列的绳子上打结，采取满七进一的方式，用来记录孩子自出生后的天数．例如图1 表
示的是孩子出生后30 天时打绳结的情况（因为：Ͷ ൈ͹1 + 2 = 业某），那么由图2 可知，孩子出生后的天数是
________天
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(2)类比十进制加减法计算（结果保留二进制）
例如11某11 2 + 11某1 2 = 1某1某某某2；
写出11某11 2 െ11某1 2 =________________
(3) 小华设计了一个n 进制数265，换算成十进制数是145，求n 的值（n 为正整数）．
重难点七从图表中获取信息解决问题
1.先从表格、统计图中提取数据，找出数量均匀增减的变化规律；
2.套用增长率、营销利润的变化模型设未知数列方程；
3.严格对照图表的数据变化区间，舍去不符合实际统计规律的根。
1．某风景区的旅游信息如下表：
旅游人数
收费标准
不超过30 人
人均收费800 元
超过30 人
每增加1 人，人均收费降低10 元，但人均收费不低于550 元．
(1)一个25 人的老年团去该风景区旅游共需支付_____元；
(2)某公司组织一批员工到该风景区旅游，支付旅行费用29250 元．请求出参加这次旅游的人数．
2．某电厂规定，该厂家属区每户居民如果一个月的用电量不超过a 度，那么这居民这个月只需缴30 元电
费；如果超过a 度，那么这个月除了仍要缴30 元的用电费以外，超过的部分还要每度按ܽ1某某元缴费．
(1)若该厂某户居民2 月份用电1该某度，超过了规定的a 度，则超过的部分应缴电费多少元（用a 表示）；
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(2)如表是这户居民3 月、4 月用电情况和缴费情况：
月份
用电量（度）
缴电费总数（元）
3
120
62
4
65
30
请根据如表数据，求出电厂规定的a 的值．
3．近年来，随着城市居民入住率的增加，污水处理问题成为城市的难题．某城市环境保护局协同自来水公
司为鼓励居民节约用水，减少污水排放，规定：居民用水量每月不超过a 吨时，只需交纳10 元水费，如果
超过a 吨，除按10 元收费外，超过部分，另按每吨5a 元收取水费（水费+污水处理费）．
（1）某市区居民2018 年3 月份用水量为8 吨，超过规定水量，用a 的代数式表示该用户应交水费多少元；
（2）下表是这户居民4 月份和5 月份的用水量和缴费情况；
月份
用水量（吨）
交水费总金额（元）
4
7
70
5
5
40
根据上表数据，求规定用水量a 的值．
（3）结合当地水资源状况，谈谈如何开展水资源环境保护？如何节约用水？
4．某电厂规定，该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过akw·h，那么这个月此户只交10 元钱的
电费，如果超过akw·h，则这个月除了交10 元用电费，超出部分还要按每度ܽ1某某元交费．
(1)该厂某户居民8 月份用电90kw·h，超过了规定akw·h，则超过部分应交电费多少元?
(2)下表是9、10 月份的用电和交费情况：
月份
用电量(kw·h)
交电量总额(元)
9
80
25
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10
45
10
根据上表信息，求电厂规定akw·h 为多少？
(4) 求8 月份该户居民应交电费多少元?
重难点八解决静态图形问题
1.常用平移、割补思想，将小路、空白区域平移至边缘，统一用剩余长×剩余宽=有效面积列方程；
2.四周等宽小路公式(a −2x)(b −2x) = S，十字小路公式(a −x)(b −x) = S；
3.必须保证边长大于0，舍去使边长为负或超出图形范围的根。
1．春意复苏，某地绿化工程正在如火如荼地进行着．某工程队计划将一块长͸Ͷm，宽Ͷ某m 的矩形场地建
设成绿化广场．如图，广场内部修建三条宽度相等的小路，其余区域进行绿化．若使绿化区域的面积为广
场总面积的͹该%，求小路的宽．设小路的宽为ݔm，则可列方程为（
）
A．͸Ͷ െ2ݔ
Ͷ某െݔ= ͸Ͷ ൈͶ某ൈ͹该%
B．Ͷ某െ2ݔ
͸Ͷ െݔ= ͸Ͷ ൈͶ某ൈ͹该%
C．͸Ͷݔ+ 2 ൈͶ某ݔെ2ݔ2 = ͸Ͷ ൈͶ某ൈ͹该%
D．͸Ͷݔ+ 2 ൈͶ某ݔ= ͸Ͷ ൈͶ某ൈ1 െ͹该%
2．如图是我国汉代数学家赵爽用来说明勾股定理的弦图，他用四个全等的直角三角形围成一个大正方形，
中间空出一个小正方形，若大正方形的面积为5，小正方形的面积为1，则ܵ四边形ܣ边形ܦ=（
）
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A．1
B．2
C．3
D．4
3．如图，周末小卫同学帮着爸爸用一段2某m 长的铁丝网在院墙（墙长11m）的一边恰好围成了一个矩形
鸡舍，其面积为͸某m2．若在鸡舍垂直于院墙的一边中间位置留一个2m 宽的门（由其他材料构成），则该
鸡舍的长度边形为（
）
A．1某m 或11m
B．1某m 或12m
C．12m
D．1某m
4．如图，一块长12 米、宽8 米的长方形户外草坪，规划了两横两纵等宽的石板小径（阴影部分），石板小
径的总面积占草坪总面积的
业
ͺ，则石板小径的宽度为_______米．
5．已知长方形的周长是16．
(1)若长方形的面积是12，求长方形的长和宽；
(2)长方形的面积可以是20 吗？若可以，求出长和宽，若不可以，请说明理由．
6．如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段ܯܰ，再砌三面墙，围成一个矩形花园ܣ边形ܦ（围墙ܯܰ
最
长可利用2该m），现在已备足可以砌Ͷ某m 长的墙的材料．
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(1)当ܣ边长度是多少时，矩形花园的面积为1该某m2；
(2)能否围成矩形花园面积为22某m2，为什么？
7．广西绣球是广西壮族自治区级非物质文化遗产，造型精美、寓意吉祥，深受大众喜爱．为方便绣球的快
递运输，现需设计一款有盖长方体快递包装盒，底面积为͸某某cm2，所用材料为长1某某cm、宽͸某cm 的长方
形硬纸板．制作时，在纸板四个角分别剪去两个相同的正方形和两个相同的长方形（如方案1 图所示），然
后折叠成盒（盒盖与盒底大小形状相同）．
为了优化设计，传承人借助AI 提出了一种改进方案（称为方案2），方案2 也需要在四个角上分别剪去两个
相同的正方形和两个相同的长方形，已知两种方案体积相同，底面积相同，AI 对方案2 的优点给出了如下
评价：
1．减少纸张的浪费：方案2 表面积更小．
2．结构更稳固：方案2 底面更接近正方形，重心更稳，抗压性更好，运输时不易
变形、挤压，能更好保护物品．
接下来请你解决以下问题：
(1)方案1 中，设剪去的正方形边长为ݔcm．请写出该包装盒的表面积ܵ1（单位：cm2）关于ݔ的函数表达式，
并求出方案1 中ݔ的值及ܵ1的值．
(2)请你在答题卡指定位置画出方案2 的示意图，并通过计算判断AI 关于“方案2 表面积更小”的评价是否准
确．
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重难点九解决动态几何问题
1.统一设运动时间为t，利用路程=速度×时间表示所有动态线段长度；
2.再结合三角形面积公式、勾股定理列一元二次方程；
3.解题必须控制动点运动范围，保证所有线段长度为正，舍去动点跑出图形外的时间解与负数解。
1．如图，在ᇞܣ边形中，ܣ形= 该某m，边形= Ͷ某m，ס形= 䁡某ι，点ܲ
从点ܣ出发，以2mȀs 的速度沿ܣ形边向
点形匀速运动，同时另一点ܳ
从点形出发，以业mȀs 的速度沿射线形边匀速运动，当ᇞܲ
形ܳ
的面积为业某某m2
时，运动时间为（
）
A．͸s 或ͺs
B．ͺs 或1某s
C．该s 或2某s
D．业s 或1某s
2．如图，在长方形ܣ边形ܦ中，ܣ边= ͸cm，ܣܦ= 1Ͷcm，动点ܲ
从ܦ点出发，以1cmȀs 的速度沿着ܦܣ向
ܣ点运动，同时动点ܳ
从边点出发以2cm s的速度沿边形向形点运动，若其中一个动点到达终点，另一动
点也同时停止．运动时间为ݐ，将四边形ܲ
ܦ形ܳ
以直线ܲܳ
为轴进行翻折，得到四边形ܲ
ܦԢ形Ԣܳ，射线ܳ
形Ԣ
经过点ܣ时，可以是（
）
A．ݐ= 业
B．ݐ=
͹
2
C．ݐ=
1某
业
D．ݐ= Ͷ
3．如图，在矩形ܣ边形ܦ中，ܣ边= 12cm，边形= ͸cm，点ܲ
从点ܣ出发沿ܣ边以2cmȀs 的速度向点边运动；
同时，点ܳ
从点边出发沿边形以1cm s的速度向点形运动，点ܲ
运动到点边时，点ܳ
也停止运动；当ᇞܲܳ
形
的面积等于1͸cm2时，运动时间为（
）s
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A．2
B．4
C．10
D．2 或10
4．如下图，正方形ܣ边形ܦ的边长为Ͷcm，ܧ为ܣ边的中点，点ܲ
以2cmȀs 的速度从点边出发，沿边形െ形ܦ
向点ܦ运动，同时点ܳ
以1cmȀs 的速度从点ܧ出发，沿ܧ边െ边形向点形运动，当点ܲ
运动到点ܦ时，ܲ、ܳ
两点同时停止运动，若在运动过程中，当ܵᇞܣܲܳ
= 2ܵᇞ边ܲܳ
时，ܲܳ
的长度为________．
5．如图，在等腰三角形ܣ边形中，ܣ形= 边形，形ܦ为ܣ边边上的高，ܣ边= 形ܦ= 1某cm，点P 从点A 出发，以
2cmȀݏ的速度向点B 运动，与此同时，点Q 从点D 出发，以1cmȀݏ的速度向点C 运动．当其中一个点到
达终点时，两个点同时停止运动，设运动
时间为ݐs．
（1）当某൑ݐ൑
该
2时，ܲܦ的长为________cm．（用含t 的式子表示
（2）当
该
2 ൏ݐ൑该时，若ᇞܦܲܳ
的面积恰好等于1cm2，则t 的值为________．
6．如图所示，在ᇞܣ边形中，ס边= 䁡某ιǡܣ边= ͸cmǡ边形= 业cm，点ܲ
从点ܣ开始沿边ܣ边向点边以2cmȀs 的
速度移动，点ܳ
从点边开始沿边边形向点形以1cmȀs 的速度移动，连接ܲܳ
ǡܣܳ．如果ܲǡܳ
两点同时出发，
几秒时，ᇞܣܲܳ
是等腰三角形？
7．如图，在长方形ܣ边形ܦ中，ܣ边= 1某cm，边形= 12cm，点ܲ
从点ܣ开始沿边ܣ边向终点边以2cmȀs 的
速度移动，与此同时，点ܳ
从点边开始沿边边形向终点形以ͶcmȀs 的速度移动．如果ܲ
、ܳ
分别从ܣ、边
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同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为ݐ秒．
(1)填空：边ܳ
= cm，ܲ边= cm．（用含ݐ的代数式表示）
(2)当五边形ܣܲܳ
形ܦ的面积等于1某Ͷcm2时，求此时ݐ的值．
(3)是否存在ݐ的值，使线段ܲܳ
的长度最小，若存在，请求出此时ݐ的值和最小值，若不存在，请说明理由．
8．综合与探究，如图，在菱形ܣ边形ܦ中，对角线ܣ形与边ܦ相交于点O，点M、N 是两个动点．
(1)如果ܣ形、边ܦ（ܣ形൐边ܦ）的长（单位：cm）是关于ݔ的一元二次方程ݔ2 െ2某ݔ+ 䁡͸ = 某的两个实数根，
求ܣ边的长．
(2)若动点ܯ从ܣ出发，沿ܣ形方向以2cmȀs 的速度匀速直线运动到点形，动点ܰ
从边出发，沿边ܦ方向以
1cmȀs 的速度匀速直线运动到点D．（当点ܯ运动到C 点时，点ܰ
也随之停止运动）．若ܯ、ܰ
同时出发，
设运动时间为ݐ秒，求ݐ为何值时，ᇞܯ香ܰ
的面积为2cm2？
9．如图，在矩形ܣ边形ܦ中，ܣ边= 2ǡܣܦ= Ͷ，点E 从点A 出发沿ܣ边方向以1cm/秒的速度向点B 匀速运动，
同时点F 从点B 出发沿边形方向以2cm/秒的速度向点C 匀速运动，连接ܦܧǡܦܨǡܧܨ．当其中一个动点到达
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终点时，另一个动点也随之停止运动，设点E、F 运动的时间是t 秒（某൏ݐ൑2）
(1)当t 为何值时，ᇞ边ܧܨ是等腰三角形？
(2)当F 为边形边的中点时，求此时ܧܨ的长度．
(3)是否存在某一时刻t，使点D 在线段ܧܨ的垂直平分线上？若存在，请求出t 值，若不存在，请说明理由．
(4)是否存在某一时刻t，使ᇞܦܧܨ的面积是矩形ܣ边形ܦ面积的
业
ͺ，若存在，请求出t 值，若不存在，请说明
理由．