重难点专题03一元二次方程的实际应用（专项训练）（解析版）_2026秋初中教辅合集_2027学科网&_2026秋《同步备课系列》9上数学_第二十五章一元二次方程_题型专练

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重难点专题03 一元二次方程的实际应用
重难点一与增长率有关的问题
1.连续增长用公式A = a(1 + x)n，连续下降用公式A = a(1 −x)n，a 为初始基数，x 为变化率，n 为变化
次数；2.若题目给两年总和，则列a(1 + x) + a(1 + x)2 = 总和，结果必须满足变化率在合理区间，舍去
不合理解。
1．某企业2某2业年芯片销售总额为业͸ 亿元，经过两年技术革新，该企业2某2该年芯片销售总额达到ͺ1 亿
元，那么该企业这两年芯片销售总额的年平均增长率为（
）
A．2该%
B．Ͷ该%
C．该某%
D．͸该%
【答案】C
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【详解】解：设该企业这两年芯片销售总额的年平均增长率为ݔ，
根据题意列方程得：业͸(1 + ݔ)2 = ͺ1，
解得ݔ1 = 某Ǥ该= 该某%，ݔ2 =െ2Ǥ该（舍去），
因此年平均增长率为该某%．
2．根据中国民航局预测，2025 年我国低空经济规模将达1.5 万亿元，预计2035 年我国低空经济规模有望
突破3.5 万亿元．如果设2025~2035 年每年低空经济规模年平均增长率为ݔ，那么根据题意可列方程为（
）．
A．1Ǥ该1 + ݔ1某= 业Ǥ该
B．1Ǥ该1 + 1某ݔ= 业Ǥ该
C．1Ǥ该1 െݔ1某= 业Ǥ该
D．1Ǥ该1 + ݔ1某= 业Ǥ该
【答案】D
【分析】根据平均增长率的增长规律，确定初始量，增长年数和最终量即可列出正确方程．
【详解】先计算2025 到2035 年的间隔年数，2某业该െ2某2该= 1某，即共增长10 年，
׶ 年平均增长率为ݔ，初始规模为1Ǥ该万亿元，
按照平均增长率规律，݊
年后规模为初始量ൈ(1 + ݔ)݊，
׵ 10 年后规模为1Ǥ该1 + ݔ1某，
又2035 年规模为业Ǥ该万亿元，
׵可列方程为1Ǥ该1 + ݔ1某= 业Ǥ该．
3．某口罩生产厂生产的口罩1 月平均日产量为2某某某某个，1 月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需
求量大增，为满足市场需求，工厂决定从2 月起扩大产能，业月平均日产量达到2Ͷ2某某个．
（1）口罩日产量的月平均增长率为__________；
（2）按照这个增长率，预计Ͷ 月平均日产量为__________个．
【答案】
1某%
2͸͸2某
【分析】本题考查了一元二次方程中增长率的知识，增长前的量ൈ1 + 月平均增长率
年数=增长后的量，
熟练掌握以上知识是解题的关键．
（1）设口罩日产量的月平均增长率为ݔ，根据1 月及业月的日产量，即可列出方程求解．
（2）利用Ͷ 月份平均日产量= 业月份平均日产量ൈ（1 +增长率）即可得出答案．
【详解】（1）解：设口罩日产量的月平均增长率为ݔ，
依据题意可得：2某某某某1 + ݔ2 = 2Ͷ2某某，
解得：ݔ1 = 某Ǥ1 = 1某%，ݔ2 =െ2Ǥ1（不合题意舍去），
∴ݔ= 1某%，
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故答案为：1某%．
（2）解：依据题意可得：2Ͷ2某某1 + 1某% = 2Ͷ2某某ൈ1Ǥ1 = 2͸͸2某（个），
故答案为：2͸͸2某．
4．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校为响应
我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆500 人次，进馆人次逐
月增加，第三个月进馆720 人次，若进馆人次的月平均增长率相同．求进馆人次的月平均增长率．
【答案】进馆人次的月平均增长率是2某%
【分析】设进馆人次的月平均增长率是x，根据第一个月及第三个月的进馆人次数，即可得出关于x 的一元
二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】解：设进馆人次的月平均增长率是x，
依题意，得：该某某1 + ݔ2 = 香2某，
解得：ݔ1 = 某Ǥ2 = 2某%，ݔ2 =െ2Ǥ2（不合题意，舍去）．
答：进馆人次的月平均增长率是2某%．
5．某旅游景区2025 年第一季度游客人数达100 万人次，第二季度的游客人数比第一季度的下降1某%，随
着暑假和“十一”黄金周的到来，第三、四季度游客人数稳步上升，其中第四季度游客人数达129.6 万人次．
(1)求第三、四季度游客人数的平均增长率；
(2)求该旅游景区一年（四个季度）接待游客的总人数．
【答案】(1)20%
(2)Ͷ2香Ǥ͸ 万人次
【分析】（1）设第三、四季度的平均增长率为x．根据题意列一元二次方程，求解即可；
（2）分别计算各季度的游客人数，再求和即可．
【详解】（1）解：设第三、四季度的平均增长率为x．
由题意得，1某某1 െ1某%
1 + ݔ2 = 12ͻǤ͸，
解得ݔ1 = 某Ǥ2 = 2某%，ݔ2 =െ2Ǥ2（不合题意，舍去），
答：第三、四季度游客人数的平均增长率为2某%；
（2）解：∵第一季度游客人数为100 万人次，
∴第二季度游客人数为1某某1 െ1某% = ͻ某（万人次），
第三季度游客人数为ͻ某1 + 2某% = 1某ͺ（万人次）．
∵第四季度游客人数为129.6 万人次，
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∴该旅游景区一年接待游客的总人数为1某某+ ͻ某+ 1某ͺ + 12ͻǤ͸ = Ͷ2香Ǥ͸（万人次）．
重难点二解决传播类问题
1.核心公式为A = a(1 + x)n，a 为初始数量，x 为每轮传播人数，n 为传播轮数，A 为最终总数；
2.解题时默认从1 个传染源开始，分清累计总数与新增数量，只保留正数解，舍去负数根。
1．有一个人患流感，经过两轮传染后共有81 个人患流感，设每轮传染中平均一个人传染x 个人，则第三
轮传染后共有（
）个人患流感．
A．8
B．9
C．648
D．729
【答案】D
【分析】先列方程求出每轮平均传染人数ݔ，那么第一轮后患病总人数为1 + ݔ，第二轮新增患病人数为ݔݔ+
1 ，根据“经过两轮传染后共有81 个人患流感”，列出方程解得ݔ后再计算第三轮传染后的总患病人数．
【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染ݔ个人，
1 + ݔ+ ݔݔ+ 1 = ͺ1，
整理得ݔ+ 1 2 = ͺ1，
解得ݔ= ͺ 或ݔ=െ1某，
∵传染人数不能为负数，
∴ݔ=െ1某不符合题意，舍去，
则第三轮传染后总患病人数为ͺ1 + ͺ1 ൈͺ = 香2ͻ（人）．
2．春天的校园，一株神奇的植物正悄然生长．这株植物的主干先长出若干支干，每根支干又分出与主干分
出的支干数目相同的小分支，若主干、支干和小分支总数是21，若设主干长出x 支支干，则根据题意可以
列方程为（
）
A．1 + ݔ2 = 21
B．1 + ݔ+ ݔ2 = 21
C．1 + ݔ+ 1 + ݔ2 = 21
D．1 + 1 + ݔ+ 1 + ݔ2 = 21
【答案】B
【分析】设主干长出ݔ支支干，分别计算主干、支干、小分支的数量，根据三者总数为21 列方程即可．
【详解】解：∵主干只有1 根，设主干长出ݔ支支干，
∴支干的总数量为ݔ，
∵每根支干又分出ݔ支小分支，
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∴小分支的总数量为ݔ൉ݔ= ݔ2，
∵主干、支干和小分支总数是21，
∴可列方程为1 + ݔ+ ݔ2 = 21．
3．某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出相
同数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是31，则这种植物每个支干长出的小分支个数是________．
【答案】5
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设这种
植物每个支干长出的小分支个数是x，根据主干、支干和小分支的总数是31，即可得出关于x 的一元二次
方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是x，
依题意得：1 + ݔ+ ݔ2 = 业1，
整理得：ݔ2 + ݔെ业某= 某，
解得：ݔ1 =െ͸（不合题意，舍去），ݔ2 = 该，
则这种植物每个支干长出的小分支个数是该．
故答案为：该．
4．数学活动课上，同学们与AI 智能体进行数字传播闯关游戏．AI 智能体给出规则：游戏开始时有6 名同
学拥有通关密码，在每一轮传播中，每名拥有密码的同学都会传给相同数量的新同学，但每一轮传播结束
后，都会随机有6 名同学失去密码，不再参与下一轮传播．经过两轮完整传播后，场上共有114 名同学持
有通关密码．求每一轮传播中，1 名同学传给多少名新同学．
【答案】4 名
【分析】先设每一轮传播中，1 名同学传给x 名新同学，根据题意列出一元二次方程，求出解，舍去不合题
意的即可．
【详解】解：设每一轮传播中，1 名同学传给x 名新同学，
根据题意，得͸ + ͸ݔെ͸
1 + ݔെ͸ = 11Ͷ．
解得ݔ1 = Ͷ，ݔ2 =െ该（不合题意，舍去）．
答：每一轮传播中，1 名同学传给4 名新同学．
5．学校为了提高学生的安全意识，准备安排小小宣讲员的活动，一个人宣讲后，接受安全宣讲的学生要再
给同样多且不重复的人宣讲，经过两轮宣讲后共有ͺ1 人获得了安全意识．
(1)问这种宣讲活动，一个人会给多少人宣讲？
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(2)按照这样的宣讲速度，经过三轮后接受宣讲的人数共有多少人？
【答案】(1)ͺ 人
(2)香2ͻ 人
【分析】本题考查了一元二次方程的应用．
（1）设这种宣讲活动，一个人会给ݔ人宣讲，根据题意列方程求解即可；
（2）用已有接受宣讲的人数乘以（1）中结果加上已有接受宣讲的人数即为经过三轮后接受宣讲的人数．
【详解】（1）解：设这种宣讲活动，一个人会给ݔ人宣讲，
依题意，得1 + ݔ+ 1 + ݔݔ= ͺ1 即1 + ݔ2 = ͺ1，
解得ݔ1 = ͺ，ݔ2 =െ1某(舍去)，
故这种宣讲活动，一个人会给ͺ 人宣讲；
（2）解：ͺ1 ൈͺ + ͺ1 = 香2ͻ（人），
故按照这样的宣讲速度，经过三轮后接受宣讲的人数共有香2ͻ 人．
重难点三解决与营销利润问题
1.固定核心公式总利润=单件利润×销售数量；
2.涨价降价题型统一套路：设涨跌x 元，单件利润随涨跌增减，销量随涨跌反向增减，列式(原利润±
x)(原销量∓kx) = 总利润；
3.优先保证售价、销量、利润为正数，根据“让利最大、销量最高、成本最低” 择优取解。
1．为助力乡村振兴，河南某乡村合作社售卖铁棍山药，已知山药进价为15 元/斤，销售单价x （元/斤）
与月销售量y （斤）满足一次函数关系：ݕ=െ2某ݔ+ ͺ某某，若合作社每月销售山药获利3000 元，并让顾
客得到最大优惠，则销售单价为（
）
A．20 元
B．25 元
C．30 元
D．35 元
【答案】B
【分析】利用“总利润=每斤利润×销售量”列方程求解，结合让顾客得到最大优惠取合适的解即可．
【详解】解：∵每斤利润为ݔെ1该元，月销售量ݕ=െ2某ݔ+ ͺ某某，
∴ݔെ1该
െ2某ݔ+ ͺ某某= 业某某某，
展开整理得：ݔ2 െ该该ݔ+ 香该某= 某，
因式分解得：ݔെ2该
ݔെ业某= 某，
解得ݔ1 = 2该，ݔ2 = 业某，
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∵销售需给顾客优惠，选择更低的销售单价，
∴销售单价为25 元．
2．已知某产品的利润为ͺ某元Ȁ件，每天销量为2Ͷ某件，通过市场调研，发现该产品在此基础上售价每上升
2 元Ȁ件时，每天销量下降Ͷ 件．设某天的售价上升݉
元Ȁ件时，该天的利润达2某某某某元，则可列方程(
)
A．ͺ某+ 2݉
2Ͷ某െͶ݉
= 2某某某某
B．ͺ某+݉
2Ͷ某െͶ݉
= 2某某某某
C．ͺ某+ 2݉
2Ͷ某െ2݉
= 2某某某某
D．ͺ某+݉
2Ͷ某െ2݉
= 2某某某某
【答案】D
【分析】根据总利润等于每件利润乘以销售量，先求出售价上升݉
元后的每件利润和日销量，再根据总利
润列方程即可．
【详解】解：设某天的售价上升݉
元Ȁ件，依题意，每件利润为(ͺ某+݉
)元．
上升݉
元后，日销量下降2݉
件，此时日销量为2Ͷ某െ݉2 ൈͶ = 2Ͷ某െ2݉
件．
可列方程为(ͺ某+݉
)(2Ͷ某െ2݉
) = 2某某某某．
3．承龙马精神，赴崭新征程．某网店销售一种与马有关的手办，成本价是5 元/个，在销售中发现，当这
种手办的价格定为7 元/个时，每天可卖出160 个，在此基础上，单价每提高1 元，每天就少卖20 个，若
该网店一天销售这种手办所获得的利润是420 元，为了让顾客得到优惠，价格应定为__________元/个．
【答案】8
【分析】先设出价格提高的金额，分别表示出单个手办的利润和每天的销售量，根据总利润等于单个利润
乘以销售量列出一元二次方程，求解后根据“让顾客得到优惠”的条件选取符合要求的解即可．
【详解】解：设每个手办的单价提高ݔ元，则定价为(香+ ݔ)元/个，单个手办的利润为(香+ ݔെ该) = (2 + ݔ)
元，每天的销售量为(1͸某െ2某ݔ)个，
根据题意，可得：(2 + ݔ)(1͸某െ2某ݔ) = Ͷ2某，
整理得：ݔ2 െ͸ݔ+ 该= 某，
因式分解得：(ݔെ1)(ݔെ该) = 某，
解得：ݔ1 = 1，ݔ2 = 该，
当ݔ= 1 时，定价为香+ 1 = ͺ 元/个，
当ݔ= 该时，定价为香+ 该= 12 元/个，
因为要让顾客得到优惠，因此选择较低的定价ͺ 元/个．
4．为备战2026 靖江市中小学生足球联赛，某中学足球队计划统一采购一批同一品牌的足球．商场推出的
团购优惠方案如下：若购买数量不超过30 个，则每个足球的售价为180 元；若购买数量超过30 个，则每
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增加1 个，每个足球的售价降低2 元，但每个足球的售价不得低于120 元．若该足球队共花费6750 元购买
该品牌足球，求该足球队购买足球的数量．
【答案】45 个
【分析】设该足球队购买了x 个足球，先判断ݔ判业某，然后根据总花费6750 元，列出方程，解方程，然后
根据每个足球的售价不得低于120 元，再进行判断即可．
【详解】解：设该足球队购买了x 个足球，
若购买30 个，总价为业某ൈ1ͺ某= 该Ͷ某某（元），
∵͸香该某判该Ͷ某某，
∴ݔ判业某，
则ݔ1ͺ某െ2 ݔെ业某
= ͸香该某，
整理得：ݔ2 െ12某ݔ+ 业业香该= 某，
∴ݔ1 = Ͷ该，ݔ2 = 香该，
当ݔ= 香该时，单价为1ͺ某െ2 ൈ香该െ业某= ͻ某（元），ͻ某䁞12某，不符合题意，舍去；
当ݔ= Ͷ该时，单价为1ͺ某െ2 ൈͶ该െ业某= 1该某（元），1该某判12某，符合题意．
答：该足球队购买了45 个足球．
5．石狮泰禾某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80 元，销售价为120 元时，每天可售出20
件，为了迎接“十一”国庆节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，
如果每件童装降价1 元，那么平均可多售出2 件．
(1)设每件童装降价x 元时，每天可销售______件，每件盈利______元；（用x 的代数式表示）
(2)每件童装降价多少元时，平均每天赢利1200 元；
(3)要想平均每天盈利2000 元，可能吗？请说明理由．
【答案】(1) (2某+ 2ݔ)，(Ͷ某െݔ)
(2)每件童装降价10 元或20 元时，平均每天赢利1200 元
(3)不可能
【分析】（1）根据销售量=原销售量+降价增加的销售量，单件利润=原单件利润-降价金额，列出代数式；
（2）根据总利润=单件利润×销售量列一元二次方程求解；
（3）同样根据总利润关系列方程，利用一元二次方程根的判别式判断方程是否有实数解，即可得出结论．
【详解】（1）解：已知每件降价1 元，多售出2 件，降价ݔ元时，多售出2ݔ件原每天售出20 件，
因此每天销售量为(2某+ 2ݔ)件，原单件利润为12某െͺ某= Ͷ某元，
降价ݔ元后，单件盈利为(Ͷ某െݔ)元．
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（2）根据总利润等于单件盈利乘销售量，
列方程得(2某+ 2ݔ)(Ͷ某െݔ) = 12某某
整理得ݔ2 െ业某ݔ+ 2某某= 某
因式分解得(ݔെ1某)(ݔെ2某) = 某
解得ݔ1 = 1某ǡݔ2 = 2某
因此每件童装降价10 元或20 元时，平均每天赢利1200 元．
（3）假设平均每天赢利2000 元，
列方程得(2某+ 2ݔ)(Ͷ某െݔ) = 2某某某
整理得ݔ2 െ业某ݔ+ ͸某某= 某
判别式得Δ = ( െ业某)2 െͶ ൈ1 ൈ͸某某= ͻ某某െ2Ͷ某某=െ1该某某䁞某
因此该方程没有实数根，不存在满足条件的降价ݔ所以平均每天赢利2000 元不可能．
重难点四解决握手循环问题
1.握手、循环问题：单循环（握手、单赛、两两对接）公式1
2 x(x െ1) = 总次数，避免两两重复计算；
2.双循环、互赠礼物、主客场比赛公式x(x െ1) = 总次数；
3.结果必须是正整数，小数、负数一律舍去。
1．2025 年9 月13 日，重庆城市足球超级联赛（简称“渝超”）正式拉开帷幕．第一轮是分赛区小组积分赛，
中心城区赛区在这一赛段一共会举办55 场比赛，已知该赛段为单循环赛制，即每支队伍会分别与赛区内其
他所有队伍各进行1 场比赛，那么中心城区赛区在第一轮的参赛队伍的数量是（
）支
A．9
B．10
C．11
D．12
【答案】C
【分析】设中心城区赛区在第一轮的参赛队伍的数量是ݔ支，根据单循环赛制可得一共会举办
1
2 ݔݔെ1 场
比赛，据此建立方程，解方程即可．
【详解】解：设中心城区赛区在第一轮的参赛队伍的数量是ݔ支，
由题意得：
1
2 ݔݔെ1 = 该该，
解得ݔ= 11 或ݔ=െ1某䁞某（不符合题意，舍去），
所以中心城区赛区在第一轮的参赛队伍的数量是11 支．
2．随着校级足球联赛的持续升温，校园足球氛围愈发浓厚，为丰富同学们的课余生活，增强团队凝聚力，
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学校决定举办校级足球联赛Ǥ第一阶段采用分赛区单循环积分赛制，即每支参赛球队需与其他所有球队各进
行一场比赛．已知共进行28 场比赛，且无任何重复对阵．若设参赛球队总数为n 支，则可列出关于n 的方
程为（
）
A．݊݊
െ1 = 2ͺ B．݊݊
+ 1 = 2ͺ
C．݊݊
െ1
2
= 2ͺ
D．݊݊
+1
2
= 2ͺ
【答案】C
【分析】根据单循环赛制的比赛规则计算总场数，关键是去除重复计算的比赛场次，即可列出对应方程．
【详解】解：∵参赛球队总数为݊
支，每支球队需要与其余݊
െ1 支球队各进行一场比赛，
又∵每一场比赛由两支球队参加，上述计算中每场比赛被重复计算了1 次，
∴总比赛场数为݊݊
െ1
2
，
已知总比赛场数为2ͺ，因此可得方程݊݊
െ1
2
= 2ͺ．
3．随着天府机场的开通，一架架飞机掠过资阳的天空，每两个飞机场之间都开辟一条航线，某航空公司一
共开辟了21 条航线，则这个航空公司飞往的飞机场有_____个．
【答案】7
【分析】本题属于一元二次方程的实际应用问题，可通过设未知数，根据每两个机场间航线的计数规则建
立方程求解，核心是避免航线的重复计算．
【详解】解：设这个航空公司飞往的飞机场有ݔ个，
根据题意列方程：
1
2 ݔݔെ1 = 21，
解得：ݔ1 = 香，ݔ2 =െ͸，
因为飞机场的数量为正整数，所以ݔ=െ͸ 不符合实际意义，舍去．
4．“赛场展英姿，青春正当时”，某市举办中学生篮球联赛．联赛采用单循环赛制，即每支队伍需与其余所
有队伍各赛一场，充分展现各队实力．已知本次联赛共进行了12某场激烈对决，求共有多少支参赛队伍？
【答案】1͸
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设有ݔ支参赛队伍，根据本次联赛共进行了12某场激烈对决列
方程求解即可．
【详解】解：设有ݔ支参赛队伍，依题意得，
ݔ(ݔെ1)
2
= 12某，
ݔ2 െݔെ2Ͷ某= 某，
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解得ݔ1 = 1͸ǡݔ2 =െ1该（舍去）
答：有16 支参赛队伍．
5．某学校九年级举办了一场乒乓球比赛，比赛采用单循环赛制（每两位参赛选手之间都赛1 场）．
乐乐和淇淇针对这次比赛有如下对话：
假设有x 人报名参加比赛．
(1)根据题意，乐乐列出的方程应该是：_________________________．请利用乐乐所列的方程分析淇淇的说
法是否正确；
(2)乐乐补充道：本次比赛的确一共进行了40 场，只是在比赛过程中遇到了特殊情况，有1 人身体不适，只
参加了4 场比赛后就中途退赛．请直接写出此时x 的值．
【答案】(1)
ݔ(ݔെ1)
2
= Ͷ某，淇淇的说法正确
(2)10
【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意是解答的关键．
（1）设有x 人报名参赛，根据题意列方程
ݔݔെ1
2
= Ͷ某，然后解方程，根据方程根的情况可得结论；
（2）结合设有x 人报名参赛，有一人比赛了4 场后退出比赛，由题意得
ݔെ1
ݔെ2
2
+ Ͷ = Ͷ某，整理并求解即
可．
【详解】（1）解：
ݔ(ݔെ1)
2
= Ͷ某
淇淇的说法正确，理由如下：
ݔ(ݔെ1)
2
= Ͷ某
解得：ݔ1 =
1+ 业21
2
，ݔ2 =
1െ业21
2
∵x 取正整数，
∴ݔ1 =
1+ 业21
2
，ݔ2 =
1െ业21
2
均不满足实际问题，舍去
所以淇淇的说法正确．
（2）解：∵有一人比赛了4 场后退出比赛，
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由题意得，
ݔെ1
ݔെ2
2
+ Ͷ = Ͷ某
解得ݔ1 = 1某，ݔ2 =െ香（舍去），
∴x 的值为10．
重难点五行程问题
1.依据基础公式s = vt，多以时间差作为等量关系列方程；
2.常用：原用时െ实际用时=提前/ 延误时间；
3.做题先统一时间、路程、速度单位，设速度或时间为未知数，只保留正数解，排除负速度、负时间。
1．一辆汽车以20m/s 的速度行驶，司机发现前方路面26m 处有情况，紧急刹车后汽车又滑行25m 后停车，
问刹车后汽车滑行到16m 时约用了（
）
A．1s
B．1.2s
C．2s
D．4s
【答案】A
【分析】等量关系为：平均速度×时间=16，把相关数值代入即可求解．
【详解】解：设约用了x 秒．
汽车每秒减少的速度为：20÷[25÷（20÷2）]=8，
∴16 米时的平均速度为：[20+（20﹣8x）]÷2=20﹣4x．
∴（20﹣4x）×x=16，
解得：x1=1，x2=4，
∵20﹣8x＞0，
∴x=1，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，用到的知识点为：匀变速运动的物体的平均速度=初速度与末速
度和的一半；每秒减少的速度等于初速度与末速度之差与所用时间的比值．
2．2026 年4 月，北京举办了全球首场大规模人形机器人半程马拉松赛事．机器人“闪电”完成比赛，最终用
时50 分26 秒，打破了人类男子半程马拉松世界纪录．已知机器人初始速度为2ͶkmȀh，经过两次速度调整
后，速度提升至ͶͺǤͶkmȀh．设这两次调整中，速度的平均增长率为ݔ．根据题意列出方程，正确的是（
）．
A．2Ͷ 1 + ݔ2 = ͶͺǤͶ
B．ͶͺǤͶ 1 + ݔ2 = 2Ͷ
C．2Ͷ 1 + ݔ+ 2Ͷ 1 + ݔ2 = ͶͺǤͶ
D．2Ͷ 1 + ݔ2 = ͶͺǤͶ
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【答案】D
【分析】根据平均增长率的增长规律求出第二次调整后的速度，根据调整后最终速度为ͶͺǤͶkmȀh 即可列出
正确方程．
【详解】解：∵初始速度为2ͶkmȀh，两次调整的平均增长率为ݔ，
∴第一次调整后速度为2Ͷ(1 + ݔ) km h，
第二次调整是在第一次调整后的速度基础上再次增长，
因此第二次调整后速度为2Ͷ(1 + ݔ)൉(1 + ݔ) = 2Ͷ(1 + ݔ)2 km h，
又∵调整后最终速度为ͶͺǤͶkmȀh，
∴可列方程2Ͷ 1 + ݔ2 = ͶͺǤͶ．
3．在物理中，沿着一条直线且速度均匀增大或减小的运动，叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个
时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，例如，在一个时段内，初速度为20 米/秒，末速度为
30 米/秒，则这个时间段的平均速度为ݒത=
2某+业某
2
= 2该米/秒．运动路程等于时间与平均速度的乘积（即）ܵ
= ݒതݐ．若一个小球以10 米/秒的初速度沿平滑的直线向前滚动，并且均匀减速，小球的滚动速度平均每秒
减少2 米/秒，小球滚动24 米用了______秒．
【答案】4
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
设小球滚动24 米用了x 秒，则末速度为1某െ2ݔ米/秒，利用路程=平均速度ൈ运动时间，可列出关于x 的
一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【详解】解：设小球滚动24 米用了x 秒，则末速度为1某െ2ݔ米/秒，
根据题意得：
1某+1某െ2ݔ
2
ڄ ݔ= 2Ͷ，
整理得：ݔ2 െ1某ݔ+ 2Ͷ = 某，
解得：ݔ1 = Ͷ，ݔ2 = ͸，
当ݔ= Ͷ 时，1某െ2ݔ= 1某െ2 ൈͶ = 2 判某，符合题意；
当ݔ= ͸ 时，1某െ2ݔ= 1某െ2 ൈ͸ =െ2 䁞某，不符合题意，舍去，
׵小球滚动24 米用了4 秒．
故答案为：Ͷ．
4．小明设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B 以顺时针、
逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程݈
cm 与时间ݐs 满足关系：݈=
1
2 ݐ2 +
业
2 ݐݐ൒某，乙以ͶcmȀs
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的速度匀速运动，半圆的长度为21cm．
(1)甲运动Ͷs 后的路程是多少？
(2)甲、乙从开始运动到第三次相遇时，它们运动了多少时间？
【答案】(1)1Ͷcm
(2)它们运动了1某秒
【分析】本题考查了一元二次方程的应用．根据等量关系，正确的列一元二次方程是解题的关键．
（1）将ݐ= Ͷ 代入，计算求解即可；
（2）由题意知，甲、乙从开始运动到第三次相遇总路程为5 个半圆，则
1
2 ݐ2 +
业
2 ݐ+ Ͷݐ= 该ൈ21，计算求出
满足要求的解即可．
【详解】（1）解：当ݐ= Ͷ 时，݈=
1
2 ൈͶ2 +
业
2 ൈͶ = ͺ + ͸ = 1Ͷ，
答：甲运动Ͷs 后的路程是1Ͷcm；
（2）解：由题意知，甲、乙从开始运动到第三次相遇总路程为5 个半圆，
∴
1
2 ݐ2 +
业
2 ݐ+ Ͷݐ= 该ൈ21，整理得，ݐ2 + 11ݐെ21某= 某，
∴ݐെ1某
ݐ+ 21 = 某，
解得，ݐ= 1某或ݐ=െ21（舍去）．
答：它们运动了1某秒．
5．一个小球以ݒ某= ͺmȀs 的速度开始向前滚动，并且均匀减速，Ͷs 后停止运动．
(1)小球的滚动速度平均每秒少mȀs．
(2)已知小球滚动12m 用了ݐ秒．（温馨提示：ݒݐ表示小球滚动ݐ秒时的瞬时速度，平均速度ݒ=
ݒ某+ݒݐ
2 ，滚动
路程ݏ= ݒڄ ݐ）
①求这段时间内小球的平均速度ݒ（用含ݐ的整式表示）
②求ݐ值．
【答案】(1)2
(2)①ͺ െݐmȀs，②ݐ= 2
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【分析】本题考查了列代数式，一元二次方程的应用．
（1）从滚动到停下平均每秒速度减少值为：速度变化÷小球运动速度变化的时间，再进一步求解即可.
（2）①利用ݒ=
ݒ某+ݒݐ
2 列代数式即可；
②利用ݏ= ݒڄ ݐ建立一元二次方程求解即可.
【详解】（1）解：从滚动到停下平均每秒速度减少值为：速度变化÷小球运动速度变化的时间，
即ͺ ൊͶ = 2 mȀs ，
故小球的滚动速度平均每秒减少2mȀs．
（2）解：①这段时间内小球的平均速度ݒ=
ͺ+ͺെ2ݐ
2
= ͺ െݐmȀs；
②由题意得：ݐͺ െݐ= 12，
整理得：ݐ2 െͺݐ+ 12 = 某，
解得：ݐ1 = 2，ݐ2 = ͸，
∵ݐ൑Ͷ，
∴ݐ2 = ͸ 不符合题意，
∴ݐ= 2.
重难点六解决有关数字问题
1.两位数表示为1某× 十位数字+ 个位数字，三位数同理放大百倍、十倍；
2.连续整数设为x、x + 1，连续奇偶设为x、x + 2；
3.根据题目和、积、平方关系列方程，解完必须检验数位数字0–9 的取值范围，舍去不符合数位规则的
解。
1．在苏轼笔下，周瑜年少有为，文采风流，雄姿英发，谈笑间，樯橹灰飞烟灭，然天妒英才，英年早逝．欣
赏下面改编的诗歌：“大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位
三，个位平方与寿符．”则这位风流人物去世时的年龄为（
）
A．36 岁
B．38 岁
C．40 岁
D．42 岁
【答案】A
【分析】根据诗句给出的数量关系找到等量关系，列一元二次方程求解，再结合“而立之年督东吴”的条件对
根进行取舍即可得到答案．
【详解】解：设这位风流人物去世年龄的十位数字为ݔ，则个位数字为ݔ+ 业，年龄可表示为1某ݔ+ ݔ+ 业．
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∵个位平方与寿符，
∴可得方程1某ݔ+ ݔ+ 业= (ݔ+ 业)2
整理得ݔ2 െ该ݔ+ ͸ = 某，
解得ݔ1 = 2，ݔ2 = 业．
又∵而立之年督东吴，说明年龄超过30 岁，ݔ= 2 时年龄为25 岁，不符合题意舍去，
∴ݔ= 业，个位数字为业+ 业= ͸，年龄为业ൈ1某+ ͸ = 业͸ 岁．
2．小明在与Deepseek 的对话中输入如下文字：“有没有这样一个非零实数，先计算它的平方，再减去它的
3 倍，结果等于这个数？”经过深度思考和验证，Deepseek 给出的这个数应该是______．
【答案】Ͷ
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，需根据题意列出一元二次方程，结合非零实数的限定条件求
解方程．
【详解】解：设这个非零实数为ݔ．根据题意列方程：ݔ2 െ业ݔ= ݔ
移项，得ݔ2 െͶݔ= 某
因式分解，得ݔݔെͶ = 某
则ݔ= 某或ݔെͶ = 某
解得ݔ1 = 某，ݔ2 = Ͷ
由于该数为非零实数，故舍去ݔ= 某
∴ݔ= Ͷ
故答案为：Ͷ．
3．一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这两位数小4，设
个位数字为ݔ，则方程为（
）
A．ݔ2 + ݔെͶ 2 = 1某ݔെͶ + ݔെͶ
B．ݔ2 + ݔ+ Ͷ 2 = 1某ݔ+ ݔെͶ െͶ
C．ݔ2 + ݔ+ Ͷ 2 = 1某ݔ+ Ͷ + ݔെͶ
D．ݔ2 + ݔ+ Ͷ 2 = 1某ݔ+ ݔെͶ െͶ
【答案】C
【分析】本题考查了数的表示方法，要会利用未知数表示两位数，然后根据题意列出对应的方程求解．根
据个位数与十位数的关系，可知十位数为ݔ+ Ͷ，那么这两位数为：ݔ+ 1某ݔ+ Ͷ ，这两个数的平方和为：
ݔ2 + ݔ+ Ͷ 2，再根据两数的值相差4 即可得出答案．
【详解】解：依题意得：十位数字为：ݔ+ Ͷ，这个数为：ݔ+ 1某ݔ+ Ͷ
这两个数的平方和为：ݔ2 + ݔ+ Ͷ 2，
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׶两数相差4，
׵ ݔ2 + ݔ+ Ͷ 2 = ݔ+ 1某ݔ+ Ͷ െͶ．
故选：C．
4．第十四届国际数学教育大会（ICME−14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的
文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8 作为进位基数的
数字系统，有0～7 共8 个基本数字．八进制数3745 换算成十进制数是业ൈͺ业+ 香ൈͺ2 + Ͷ ൈͺ1 + 该ൈͺ某=
2某21，表示ICME−14 的举办年份．
(1)八进制数123 换算成十进制数是___________；
(2)小华设计了一个݊
进制数143，换算成十进制数是120，求݊
的值．
【答案】(1)83
(2)9
【分析】（1）根据八进制换算成十进制的方法即可作答；
（2）根据n 进制换算成十进制的方法可列出关于n 的一元二次方程，解方程即可求解．
【详解】（1）解：根据八进制换算成十进制的方法可得：
1 ൈͺ2 + 2 ൈͺ1 + 业ൈͺ某= ͺ业；
（2）解：根据n 进制换算成十进制的方法可列出关于n 的一元二次方程可得：
1 ൈ݊
业െ1 + Ͷ ൈ݊
业െ2 + 业ൈ݊
业െ业= 12某，
∴݊
2 + Ͷ݊
+ 业= 12某，
整理得：݊
2 + Ͷ݊
െ11香= 某，
解得݊
1 = ͻǡ݊
2 =െ1业（不符合题意，舍去），
故n 的值为9．
5．综合与实践：某校七年级课外实践小组进行进位制的认识与探究活动，过程如下：
【进位制的认识】
①进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，
即“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．
②为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，例如，(1某11)2就是二进制数1011 的简单写法．十
进制数一般不标注基数．
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③一个数可表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式．规定当്ܽ
某时，ܽ某= 1．如：业香21 = 业ൈ
1某业+ 香ൈ1某2 + 2 ൈ1某1 + 1 ൈ1某某；(Ͷ21)香= Ͷ ൈ香2 + 2 ൈ香1 + 1 ൈ香某．
【解决问题】
(1)我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．一位母
亲在从右到左依次排列的绳子上打结，采取满七进一的方式，用来记录孩子自出生后的天数．例如图1 表
示的是孩子出生后30 天时打绳结的情况（因为：Ͷ ൈ香1 + 2 = 业某），那么由图2 可知，孩子出生后的天数是
________天
(2)类比十进制加减法计算（结果保留二进制）
例如11某11 2 + 11某1 2 = 1某1某某某2；
写出11某11 2 െ11某1 2 =________________
(3)小华设计了一个n 进制数265，换算成十进制数是145，求n 的值（n 为正整数）．
【答案】(1)510
(2) 111某2
(3)݊
= 香
【分析】本题考查有理数的混合运算，一元二次方程的实际应用，熟练掌握进制之间的换算方法，是解题
的关键：
（1）根据图形，列出算式进行计算即可；
（2）类比十进制的加减运算，进行计算即可；
（3）根据进制之间的换算关系，列出方程进行求解即可．
【详解】（1）解：1 ൈ香业+ 业ൈ香2 + 2 ൈ香+ ͸ = 该1某（天）；
故答案为：510；
（2）11某11 2 െ11某1 2 = 111某2；
故答案为：111某2
（3）由题意，得：2݊
2 + ͸݊
+ 该= 1Ͷ该，
解得：݊
= 香或݊
=െ1某（舍去）；
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故݊
= 香．
重难点七从图表中获取信息解决问题
1.先从表格、统计图中提取数据，找出数量均匀增减的变化规律；
2.套用增长率、营销利润的变化模型设未知数列方程；
3.严格对照图表的数据变化区间，舍去不符合实际统计规律的根。
1．某风景区的旅游信息如下表：
旅游人数
收费标准
不超过30 人
人均收费800 元
超过30 人
每增加1 人，人均收费降低10 元，但人均收费不低于550 元．
(1)一个25 人的老年团去该风景区旅游共需支付_____元；
(2)某公司组织一批员工到该风景区旅游，支付旅行费用29250 元．请求出参加这次旅游的人数．
【答案】(1)20000
(2)45 人
【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用（分段收费问题），解题的关键是根据人数范围确定收费标准，
列方程并检验解的合理性．
（1）判断25 人在“不超过30 人”的收费范围，用“人数ൈ人均收费”计算费用；
（2）先判断人数超过30 人，根据“人数×（原人均收费െ降低的费用）=总费用”列方程，求解后检验人均收
费是否符合“不低于550 元”的条件，确定最终人数．
【详解】（1）解：由题意得2该ൈͺ某某= 2某某某某（元）
׵应该支付20000 元．
故答案为：20000
（2）设参加这次旅游的人数是ݔ人，
׶ 业某ൈͺ某某= 2Ͷ某某某（元），2Ͷ某某某䁞2ͻ2该某，
׵ ݔ判业某．
根据题意得：ݔሾͺ某某െ1某ݔെ业某ሿ= 2ͻ2该某．
解得：ݔ1 = Ͷ该，ݔ2 = ͸该，
当ݔ= Ͷ该时，人均旅游费用为ͺ某某െ1某ݔെ业某= ͸该某判该该某，符合题意，
当ݔ= ͸该时，人均旅游费用为ͺ某某െ1某ݔെ业某= Ͷ该某䁞该该某，不符合题意，舍去．
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答：参加这次旅游的有45 人．
2．某电厂规定，该厂家属区每户居民如果一个月的用电量不超过a 度，那么这居民这个月只需缴30 元电
费；如果超过a 度，那么这个月除了仍要缴30 元的用电费以外，超过的部分还要每度按ܽ1某某元缴费．
(1)若该厂某户居民2 月份用电1该某度，超过了规定的a 度，则超过的部分应缴电费多少元（用a 表示）；
(2)如表是这户居民3 月、4 月用电情况和缴费情况：
月份
用电量（度）
缴电费总数（元）
3
120
62
4
65
30
请根据如表数据，求出电厂规定的a 的值．
【答案】(1)ܽ1某某1该某െܽ
元
(2)ͺ某
【分析】此题考查了一元二次方程的应用．
（1）由题意列出代数式即可得出结论；
（2）由3 月份的用电量、缴电费总数，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．
【详解】（1）解：由题意可知，超过a 度的电费为ܽ1某某1该某െܽ
元；
（2）由表格可知3 月份的用电量超过a 度，故：业某+ܽ1某某12某െܽ
= ͸2，
整理得：ܽ
2 െ12某ܽ+ 业2某某= 某，
解得：ܽ1 = Ͷ某，ܽ2 = ͺ某，
∵4 月份用电量͸该度，交费业某元，
∴ܽ
൒͸该，
∴ܽ
= Ͷ某不符合题意，舍去，
∴ܽ
= ͺ某，
答：电厂规定的a 的值为ͺ某．
3．近年来，随着城市居民入住率的增加，污水处理问题成为城市的难题．某城市环境保护局协同自来水公
司为鼓励居民节约用水，减少污水排放，规定：居民用水量每月不超过a 吨时，只需交纳10 元水费，如果
超过a 吨，除按10 元收费外，超过部分，另按每吨5a 元收取水费（水费+污水处理费）．
（1）某市区居民2018 年3 月份用水量为8 吨，超过规定水量，用a 的代数式表示该用户应交水费多少元；
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（2）下表是这户居民4 月份和5 月份的用水量和缴费情况；
月份
用水量（吨）
交水费总金额（元）
4
7
70
5
5
40
根据上表数据，求规定用水量a 的值．
（3）结合当地水资源状况，谈谈如何开展水资源环境保护？如何节约用水？
【答案】（1）10+40a-5a2 元；（2）3 吨；（3）见解析;
【分析】（1）根据总费用=10+超出费用列出代数式即可；（2）根据题意分别列出5a（7-a）+10=70，5a（5-a）
+10=40，取满足两个方程的a 的值即为本题答案；（3）结合当地水资源状况，叙述合理即可；
【详解】（1）3 月份应交水费10+5a（8-a）=10+40a-5a2 元；
（2）由题意得：5a（7-a）+10=70，
解得：a=3 或a=4
5a（5-a）+10=40
解得：a=3 或a=2，
综上，规定用水量为3 吨；
（3）既然我们的水资源比较缺乏，就要提高节水技术、防治水污染、植树造林．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是了解本题的水费收取标准．
4．某电厂规定，该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过akw·h，那么这个月此户只交10 元钱的
电费，如果超过akw·h，则这个月除了交10 元用电费，超出部分还要按每度ܽ1某某元交费．
(1)该厂某户居民8 月份用电90kw·h，超过了规定akw·h，则超过部分应交电费多少元?
(2)下表是9、10 月份的用电和交费情况：
月份
用电量(kw·h)
交电量总额(元)
9
80
25
10
45
10
根据上表信息，求电厂规定akw·h 为多少？
(3)求8 月份该户居民应交电费多少元?
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【答案】(1)超过部分应交(ͻ某െܽ
)൉ܽ1某某(元)；(2)ܽ
= 该某kw൉h；(3) 8 月份该户居民交电费业某元．
【分析】根据题意直接一元二次方程求解，即可得到题目所问.
【详解】解：(1)超过部分应交(ͻ某െܽ
)൉ܽ1某某(元)；
(2)由9 月份交电费2该元，该户9 月份用电量已超过规定的ܽ
kw൉h，所以9 月份超过部分应交电费(ͺ某െܽ
)൉ܽ1某某= 2该െ1某，即ܽ2 െͺ某ܽ+ 1该某某= 某，解得ܽ1 = 业某，ܽ2 = 该某，由10 月份的交电费1某元看，该户10
月份的用电量Ͷ该kw൉h 没有超过ܽ
kw൉h，所以ܽ
判Ͷ该．所以ܽ
= 该某kw൉h．
(3)当ܽ
= 该某kw൉h 时，超过部分应交(ͻ某െ该某)൉
该某
1某某= 2某元，所以8 月份该户居民交电费业某元．
重难点八解决静态图形问题
1.常用平移、割补思想，将小路、空白区域平移至边缘，统一用剩余长×剩余宽=有效面积列方程；
2.四周等宽小路公式(a −2x)(b −2x) = S，十字小路公式(a −x)(b −x) = S；
3.必须保证边长大于0，舍去使边长为负或超出图形范围的根。
1．春意复苏，某地绿化工程正在如火如荼地进行着．某工程队计划将一块长͸Ͷm，宽Ͷ某m 的矩形场地建
设成绿化广场．如图，广场内部修建三条宽度相等的小路，其余区域进行绿化．若使绿化区域的面积为广
场总面积的香该%，求小路的宽．设小路的宽为ݔm，则可列方程为（
）
A．͸Ͷ െ2ݔ
Ͷ某െݔ= ͸Ͷ ൈͶ某ൈ香该%
B．Ͷ某െ2ݔ
͸Ͷ െݔ= ͸Ͷ ൈͶ某ൈ香该%
C．͸Ͷݔ+ 2 ൈͶ某ݔെ2ݔ2 = ͸Ͷ ൈͶ某ൈ香该%
D．͸Ͷݔ+ 2 ൈͶ某ݔ= ͸Ͷ ൈͶ某ൈ1 െ香该%
【答案】A
【分析】设小路的宽为ݔm，根据矩形的面积公式（将绿化区域合并成矩形），进而即可列出关于x 的一元
二次方程．
【详解】解：设小路的宽为ݔm，则绿化区域的长为͸Ͷ െ2ݔm，宽为Ͷ某െݔm，
根据题意，得͸Ͷ െ2ݔ
Ͷ某െݔ= ͸Ͷ ൈͶ某ൈ香该%．
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2．如图是我国汉代数学家赵爽用来说明勾股定理的弦图，他用四个全等的直角三角形围成一个大正方形，
中间空出一个小正方形，若大正方形的面积为5，小正方形的面积为1，则ܵ四边形ܣthܦ=（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】根据题意得t=ܧܦ =ܧ1，ܣ㈠=
该，ܣܦ =ܧ㈠，设ܣܦ =ܧ㈠= ݔ，在Rt ᇞܣܦ㈠中利用勾股定理
列出方程，解出ݔ的值，求出ܣܦ的长，再利用平行四边形的面积公式即可求解．
【详解】解：如图，
∵四个直角三角形都全等的，正方形的面积为5，小正方形的面积为1，
∴t=ܧܦ =ܧ1，ܣ㈠=
该，ܣܦ =ܧ㈠，
设ܣܦ =ܧ㈠= ݔ，则ܣܦ= ܣܧ+ ܦݔ =ܧ+ 1，
在Rt ᇞܣܦ㈠中，ܣܦ2 + ܦ㈠2 = ܣ㈠2，
׵ ݔ+ 1 2 + ݔ2 =
该
2，
解得：ݔ1 = 1，ݔ2 =െ2（舍去），
׵ ܣܦ= 2，
׵ܵ
四边形ܣthܦ= 该െ2 ൈ
1
2 ൈ1 ൈ2 െ2 ൈ
1
2 ൈ1 ൈ1 = 2．
3．如图，周末小卫同学帮着爸爸用一段2某m 长的铁丝网在院墙（墙长11m）的一边恰好围成了一个矩形
鸡舍，其面积为͸某m2．若在鸡舍垂直于院墙的一边中间位置留一个2m 宽的门（由其他材料构成），则该
鸡舍的长度th 为（
）
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A．1某m 或11m
B．1某m 或12m
C．12m
D．1某m
【答案】D
【分析】设鸡舍垂直于院墙的一边长为ݔm，则平行于院墙的一边th 的长为(2某െ2ݔ+ 2)m，即
(22 െ2ݔ)m．根据题意，得：ݔ(22 െ2ݔ) = ͸某，再求解即可．
【详解】解：设鸡舍垂直于院墙的一边长为ݔm，则平行于院墙的一边th 的长为(2某െ2ݔ+ 2)m，即(22 െ
2ݔ)m．根据题意，得：ݔ(22 െ2ݔ) = ͸某
整理，得：ݔ2 െ11ݔ+ 业某= 某
解这个方程，得：ݔ1 = 该ǡݔ2 = ͸
当ݔ= 该时，th = 22 െ2 ൈ该= 12(m)．
因为墙长只有11m，而12 判11，所以不符合题意，舍去．
当ݔ= ͸ 时，th = 22 െ2 ൈ͸ = 1某(m)．
因为1某䁞11，符合题意．
所以该鸡舍的长度th 为1某m．
4．如图，一块长12 米、宽8 米的长方形户外草坪，规划了两横两纵等宽的石板小径（阴影部分），石板小
径的总面积占草坪总面积的
业
ͺ，则石板小径的宽度为_______米．
【答案】1
【分析】设石板小径的宽度为ݔ米，利用平移法将剩余草坪拼成一个长方形，根据剩余草坪面积等于总面
积乘以剩余比例列出一元二次方程，求解并取合适的值即可．
【详解】设石板小径的宽度为ݔ米，
根据题意，利用平移法，剩余草坪可视为长为(12 െ2ݔ)米，宽为(ͺ െ2ݔ)米的长方形，
草坪总面积为12 ൈͺ = ͻ͸ 平方米，
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石板小径的总面积占草坪总面积的
业
ͺ，则剩余草坪面积占总面积的1 െ
业
ͺ =
该
ͺ，
列方程得：(12 െ2ݔ)(ͺ െ2ݔ) = ͻ͸ ൈ
该
ͺ，
解得：ݔ1 = 1ǡݔ2 = ͻ，
当ݔ= ͻ 时，ͺ െ2ݔ= ͺ െ1ͺ =െ1某䁞某，不合题意，舍去，
所以ݔ= 1．
即石板小径的宽度为1 米．
故答案为：1．
5．已知长方形的周长是16．
(1)若长方形的面积是12，求长方形的长和宽；
(2)长方形的面积可以是20 吗？若可以，求出长和宽，若不可以，请说明理由．
【答案】(1)长方形的长为6，宽为2
(2)长方形的面积不可以是20，理由如下：
设长方形的长为ݔ，则宽为ͺ െݔ，
若长方形的面积是20，则ݔͺ െݔ= 2某，
整理得ݔ2 െͺݔ+ 2某= 某，
Δ = െͺ 2 െͶ ൈ1 ൈ2某=െ1͸ 䁞某，此方程无实数解，
∴长方形的面积不可以是20
【分析】（1）设长方形的长为ݔ，则宽为ͺ െݔ，根据长方形的面积公式列出一元二次方程，解方程即可得
出结果；
（2）设长方形的长为ݔ，则宽为ͺ െݔ，根据长方形的面积公式列出一元二次方程，解方程即可得出结果．
【详解】（1）解：设长方形的长为ݔ，则宽为1͸ ൊ2 െݔ= ͺ െݔ，
由题意得ݔͺ െݔ= 12，
整理得ݔ2 െͺݔ+ 12 = 某，
解得ݔ1 = ͸，ݔ2 = 2，
∴当ݔ= ͸ 时，宽为ͺ െ͸ = 2，符合题意；
当ݔ= 2 时，宽为ͺ െ2 = ͸，通常长方形的长不小于宽，故不符合题意；
∴长方形的长为6，宽为2；
（2）略
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6．如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段ܯܰ，再砌三面墙，围成一个矩形花园ܣthܦ（围墙ܯܰ
最
长可利用2该m），现在已备足可以砌Ͷ某m 长的墙的材料．
(1)当ܣt 长度是多少时，矩形花园的面积为1该某m2；
(2)能否围成矩形花园面积为22某m2，为什么？
【答案】(1)当ܣt 长度是1该m 时，矩形花园的面积为1该某m2
(2)不能，理由如下：
设ܣt = ݕm，则th = Ͷ某െ2ݕm，
依题意得：ݕͶ某െ2ݕ= 22某，
整理得：ݕ2 െ2某ݕ+ 11某= 某．
׶ Δ = െ2某2 െͶ ൈ1 ൈ11某=െͶ某䁞某，
׵该方程无实数根，
׵不能围成面积为22某m2的矩形花园．
【分析】（1）设ܣt = ݔm，则th = Ͷ某െ2ݔm，根据矩形花园的面积为1该某m2，即可得出关于ݔ的一元
二次方程，解之即可得出ݔ的值，再结合围墙ܯܰ
最长可利用2该m，即可确定结论；
（2）设ܣt = ݕm，则th = Ͷ某െ2ݕm，根据矩形花园的面积为22某m2，即可得出关于ݕ的一元二次方
程，由根的判别式Δ =െͶ某䁞某，即可得出该方程无实数根，进而可得出不能围成面积为22某m2的矩形花园．
【详解】（1）解：设ܣt = ݔm，则th = Ͷ某െ2ݔm，
依题意得：ݔ(Ͷ某െ2ݔ) = 1该某，
整理得：ݔ2 െ2某ݔ+ 香该= 某，
解得：ݔ1 = 该，ݔ2 = 1该．
当ݔ= 该时，Ͷ某െ2ݔ= 业某判2该，不合题意，舍去；
当ݔ= 1该时，Ͷ某െ2ݔ= 1某䁞2该，符合题意．
答：当ܣt 长度是1该m 时，矩形花园的面积为1该某m2．
（2）略
7．广西绣球是广西壮族自治区级非物质文化遗产，造型精美、寓意吉祥，深受大众喜爱．为方便绣球的快
递运输，现需设计一款有盖长方体快递包装盒，底面积为͸某某cm2，所用材料为长1某某cm、宽͸某cm 的长方
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形硬纸板．制作时，在纸板四个角分别剪去两个相同的正方形和两个相同的长方形（如方案1 图所示），然
后折叠成盒（盒盖与盒底大小形状相同）．
为了优化设计，传承人借助AI 提出了一种改进方案（称为方案2），方案2 也需要在四个角上分别剪去两个
相同的正方形和两个相同的长方形，已知两种方案体积相同，底面积相同，AI 对方案2 的优点给出了如下
评价：
1．减少纸张的浪费：方案2 表面积更小．
2．结构更稳固：方案2 底面更接近正方形，重心更稳，抗压性更好，运输时不易
变形、挤压，能更好保护物品．
接下来请你解决以下问题：
(1)方案1 中，设剪去的正方形边长为ݔcm．请写出该包装盒的表面积ܵ1（单位：cm2）关于ݔ的函数表达式，
并求出方案1 中ݔ的值及ܵ1的值．
(2)请你在答题卡指定位置画出方案2 的示意图，并通过计算判断AI 关于“方案2 表面积更小”的评价是否准
确．
【答案】(1)ܵ1 =
͸某某ݔ
该某െݔ+ ͸某某某െ12某ݔ，ݔ= 2某cm ，ܵ1 = Ͷ某某某cm2
(2)图形见详解，评价准确，理由见详解
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，多项式的运算等知识．
（1）先表示出包装盒的长度、宽度，即可表示出包装盒的表面积，根据包装盒底面积为͸某某cm2，可列出
一元二次方程，解方程即可求解；
（2）转变思路，根据“在纸板宽的一侧裁剪两个正方形”的思路构图即可作答；同（1）先表示出包装盒的长
度、宽度，即可表示出包装盒的表面积，根据包装盒底面积为͸某某cm2，可列出一元二次方程，解方程即可
求解．
【详解】（1）如图，
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根据题意有：包装盒的长度为：1某某െ2ݔcm，包装盒的宽度为：
͸某െ2ݔ
2
cm，
即：包装盒的表面积为：ܵ1 =
͸某െ2ݔ
2
ൈݔൈ2 + 1某某െ2ݔൈ͸某=െ2ݔ2 െ͸某ݔ+ ͸某某某，
由上图可知：纸板的宽刚好构成纸盒的两面高、底和盖，刚好底和盖的宽度相等，两面高的宽度也相等，
∵包装盒底面积为͸某某cm2，
∴1某某െ2ݔൈ
͸某െ2ݔ
2
= ͸某某，
整理：ݔ2 െͺ某ݔ+ 12某某= 某，
解得：ݔ= 2某cm ，（ݔ= ͸某时，
͸某െ2ݔ
2
䁞某，明显不符合题意舍去），
即：ܵ1 =െ2ݔ2 െ͸某ݔ+ ͸某某某= Ͷ某某某cm2 ；
（2）图形如下：
根据上图有：包装盒的长度为：
1某某െ2ݕ
2
cm，包装盒的宽度为：͸某െ2ݕcm，
根据图形有：此时包装盒的表面积为：ܵ
=
1某某െ2ݕ
2
ൈݕൈ2 + ͸某െ2ݕൈ1某某=െ2ݕ2 െ1某某ݕ+ ͸某某某，
∵包装盒底面积为͸某某cm2，
∴
1某某െ2ݕ
2
ൈ͸某െ2ݕ= ͸某某，
整理：ݕ2 െͺ某ݕ+ 12某某= 某，
解得：ݕ= 2某cm ，（ݕ= ͸某，明显不符合题意舍去），
即：ܵ
=െ2ݕ2 െ1某某ݕ+ ͸某某某= 业2某某cm2 ；
方案1：包装盒的长度为：1某某െ2ݔ= ͸某cm ，包装盒的宽度为：
͸某െ2ݔ
2
= 1某cm ，高度：ݔ= 2某cm ，
使用的纸板面积为：ܵ1 = Ͷ某某某cm2 ；
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方案2：包装盒的长度为：
1某某െ2ݕ
2
= 业某cm ，包装盒的宽度为：͸某െ2ݕ= 2某cm ，高度：ݕ= 2某cm ，
使用的纸板面积为：ܵ
= 业2某某cm2 ；
综合比较：方案2 使用的纸板面积更少，即减少纸张浪费；相比于方案1 的纸盒，方案2 的纸盒在高度相
等的同时，底部的长宽比例更接近，图形更接近于正方形；相比于方案1 的“长条形”纸盒，方案2 的纸盒
则更加方正．
即“方案2 表面积更小”的评价准确．
重难点九解决动态几何问题
1.统一设运动时间为t，利用路程=速度×时间表示所有动态线段长度；
2.再结合三角形面积公式、勾股定理列一元二次方程；
3.解题必须控制动点运动范围，保证所有线段长度为正，舍去动点跑出图形外的时间解与负数解。
1．如图，在ᇞܣth 中，ܣh = 该某m，th = Ͷ某m，סh = ͻ某ι，点ܲ
从点ܣ出发，以2mȀs 的速度沿ܣh 边向
点h 匀速运动，同时另一点ܳ
从点h 出发，以业mȀs 的速度沿射线ht 匀速运动，当ᇞܲ
hܳ
的面积为业某某m2
时，运动时间为（
）
A．͸s 或ͺs
B．ͺs 或1某s
C．该s 或2某s
D．业s 或1某s
【答案】C
【分析】设运动时间为ݐs，根据题意列一元二次方程求解即可．
【详解】解：设运动时间为ݐs，其中某൑ݐ൑2该，则ܣܲ
= 2ݐ，hܳ
= 业ݐ,
׵ hܲ
= ܣh െܣܲ
= 该某െ2ݐm，
׶ᇞܲ
hܳ
的面积为业某某m2，
׵
1
2 hܲ
ڄ hܳ
=
1
2 该某െ2ݐൈ业ݐ= 业某某，
解得：ݐ= 该或ݐ= 2某，
即当ᇞܲ
hܳ
的面积为业某某m2时，运动时间为该s 或2某s．
2．如图，在长方形ܣthܦ中，ܣt = ͸cm，ܣܦ= 1Ͷcm，动点ܲ
从ܦ点出发，以1cmȀs 的速度沿着ܦܣ向
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ܣ点运动，同时动点ܳ
从t 点出发以2cm s的速度沿th 向h 点运动，若其中一个动点到达终点，另一动
点也同时停止．运动时间为ݐ，将四边形ܲ
ܦhܳ
以直线ܲܳ
为轴进行翻折，得到四边形ܲ
ܦԢhԢܳ，射线ܳ
hԢ
经过点ܣ时，可以是（
）
A．ݐ= 业
B．ݐ=
香
2
C．ݐ=
1某
业
D．ݐ= Ͷ
【答案】D
【分析】根据翻折的性质可得סܲܳ
h = סܲܳ
hԢ，由平行线的性质可得סܣܲܳ
= סܲܳ
h，结合射线ܳ
hԢ经过点ܣ
可推导出סܣܲܳ
= סܣܳܲ
，从而得到ܣܲ
= ܣܳ，在Rt ᇞܣtܳ
中利用勾股定理建立关于ݐ的方程求解即可．
【详解】解：连接ܣhԢ
׶四边形ܣthܦ是长方形，
׵ ܣܦצ th，סt = ͻ某ι，
׵ סܣܲܳ
= סܲܳ
h．
由翻折的性质可知：סܲܳ
h = סܲܳ
hԢ，
∵射线ܳ
hԢ经过点ܣ，即ܣǡhԢǡܳ
三点共线，
׵ סܣܳܲ
= סܲܳ
hԢ，
׵ סܣܲܳ
= סܣܳܲ
，
׵ ܣܲ
= ܣܳ．
由题意得：ܦܲ
= ݐ，tܳ
= 2ݐ，
׵ ܣܲ
= ܣܦെܦܲ
= 1Ͷ െݐ．
在Rt ᇞܣtܳ
中，ܣt2 + tܳ
2 = ܣܳ
2，
׵ ͸2 + (2ݐ)2 = (1Ͷ െݐ)2，
解得ݐ1 = Ͷ，ݐ2 =െ
Ͷ某
业（舍去）．
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׶点ܳ
到达终点的时间为1Ͷ ൊ2 = 香s，
׵ 某൑ݐ൑香，
׵ ݐ= Ͷ 符合题意．
3．如图，在矩形ܣthܦ中，ܣt = 12cm，th = ͸cm，点ܲ
从点ܣ出发沿ܣt 以2cmȀs 的速度向点t 运动；
同时，点ܳ
从点t 出发沿th 以1cm s的速度向点h 运动，点ܲ
运动到点t 时，点ܳ
也停止运动；当ᇞܲܳ
h
的面积等于1͸cm2时，运动时间为（
）s
A．2
B．4
C．10
D．2 或10
【答案】A
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到关系式．
设运动时间为ݔs 某൑ݔ൑͸ ，则ܲ
t = 12 െ2ݔcm，hܳ
= ͸ െݔcm，利用三角形面积的计算公式结合
ᇞܲܳ
h 的面积等于1͸cm2，即可得出关于ݔ的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【详解】解：׶四边形ܣthܦ是矩形，
׵ סt = ͻ某ל，
׵ܵ
ᇞܲܳ
h =
1
2 hܳ
ൈܲ
t．
设运动时间为ݔs 某൑ݔ൑͸ ，则ܲ
t = 12 െ2ݔcm，hܳ
= ͸ െݔcm，
根据题意列一元二次方程得：
1
2 12 െ2ݔ
͸ െݔ= 1͸，
整理得，2ݔ2 െ2Ͷݔ+ Ͷ某= 某，
整理得：ݔ2 െ12ݔ+ 2某= 某，
解得ݔ1 = 2，ݔ2 = 1某（不合题意，舍去）．
即当ᇞܲܳ
h 的面积等于1͸cm2时，运动时间为2s．
故选：A．
4．如下图，正方形ܣthܦ的边长为Ͷcm，ܧ为ܣt 的中点，点ܲ
以2cmȀs 的速度从点t 出发，沿th െhܦ
向点ܦ运动，同时点ܳ
以1cmȀs 的速度从点ܧ出发，沿ܧt െth 向点h 运动，当点ܲ
运动到点ܦ时，ܲ、ܳ
两点同时停止运动，若在运动过程中，当ܵᇞܣܲܳ
= 2ܵᇞtܲܳ
时，ܲܳ
的长度为________．
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【答案】
Ͷ
业
2或2 该
【分析】分两种情况讨论，当某䁞ݐ൑2 时和当2 䁞ݐ൑Ͷ 时，分别求解即可；
【详解】解：如图所示，当某䁞ݐ൑2 时，点ܳ
在线段ܧt 上，ܲ
在th 上，
由条件可知ܣܧ =ܧt = 2，
依题意，ܧܳ
ݐ =，ܳt = 2 െݐ，则ܣܳ
= 2 + ݐ；tܲ
= 2ݐ，
׶ܵ
ᇞܣܲܳ
= 2ܵᇞtܲܳ
，
׵ 1
2 ܣܳ
ൈܲ
t = 2 ൈ1
2 tܳ
ൈܲ
t
׵ ܣܳ
= 2tܳ，
׵ 2 + ݐ= 2 2 െݐ，
解得：ݐ=
2
业，
∴ܳt = 2 െ
2
业=
Ͷ
业，tܲ
=
Ͷ
业，
∴ܲܳ
=ܳ
t2 + tܲ
2 =
Ͷ
业
2；
如图所示，当2 䁞ݐ൑Ͷ 时，点ܳ
在线段th 上，ܲ
在hܦ上，
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依题意，tܳ
= ݐെ2，ܲh = 2ݐെͶ，则ܲ
ܦ= Ͷ െ2ݐെͶ = ͺ െ2ݐ，hܳ
= ht െtܳ
= Ͷ െݐെ2 = ͸ െݐ，
׶ܵ
正方形െܵ
ᇞܣܦܲ+ܵ
ᇞܣtܳ+ܵ
ᇞܲhܳ
=ܵ
ᇞܣܲܳ
= 2ܵᇞtܲܳ
，
׵ Ͷ ൈͶ െ1
2 ൈͶ ൈ(ͺ െ2ݐ) + 1
2 ൈ(2ݐെͶ)(͸ െݐ) + 1
2 ൈͶ ൈ(ݐെ2) = 2 ൈ1
2 ൈ(ݐെ2) ൈ(2ݐെͶ)
解得：ݐ= Ͷ 或ݐ=െ2（舍去），
∴ܲh = 2 ൈͶ െͶ = Ͷ，hܳ
= ͸ െݐ= 2，
∴ܲܳ
=ܲ
h2 + hܳ
2 = 2 该．
综上所述，ܲܳ
=
Ͷ
业
2或2 该．
5．如图，在等腰三角形ܣth 中，ܣh = th，hܦ为ܣt 边上的高，ܣt = hܦ= 1某cm，点P 从点A 出发，以
2cmȀݏ的速度向点B 运动，与此同时，点Q 从点D 出发，以1cmȀݏ的速度向点C 运动．当其中一个点到
达终点时，两个点同时停止运动，设运动时间为ݐs．
（1）当某൑ݐ൑
该
2时，ܲܦ的长为________cm．（用含t 的式子表示
（2）当
该
2 䁞ݐ൑该时，若ᇞܦܲܳ
的面积恰好等于1cm2，则t 的值为________．
【答案】
该െ2ݐ
该+ Ͷ1
Ͷ
【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的面积公式及一元二次方程的求解．
（1）根据点P 的运动速度和时间，结合线段的长度关系，即可求出ܲ
ܦ的长；
（2）先根据等腰三角形三线合一的性质求出ܣܦ的长，再根据点P、Q 的运动速度和时间表示出ܦܲ、ܦܳ
的长，最后根据三角形面积公式列出方程求解．
【详解】解：（1）已知点P 从点A 出发，速度是2cmȀݏ，运动时间为ݐs，
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∴ܣܲ
= 2ݐcm，
又∵ᇞܣth 为等腰三角形，hܦ为ܣt 边上的高，
∴点D 为ܣt 的中点，
∴ܣܦ= ܦt =
1
2 ܣt = 该cm，
∴ܲܦ= ܣܦെܣܲ
= 该െ2ݐcm ．
故答案为：该െ2ݐ．
（2）当
该
2 䁞ݐ൑该时，ܲܦ= 2ݐെ该，ܦܳ
= ݐ，
∵hܦ= 1某cm，
∴ᇞܦܲܳ
中ܲ
ܦ边上的高为ܦܳ，
∴ܵᇞܦܲܳ
=
1
2ܲ
ܦڄ ܦܳ
=
1
2 2ݐെ该ڄ ݐ= 1֜
2ݐെ该ݐ= 2֜
2ݐ2 െ该ݐെ2 = 某，
解得：ݐ1 =
该+ Ͷ1
Ͷ
，ݐ2 =
该െͶ1
Ͷ
，
∵
该
2 䁞ݐ൑该，
∴ݐ=
该െͶ1
Ͷ
䁞
该
2舍去，
∴ݐ=
该+ Ͷ1
Ͷ
．
故答案为：
该+ Ͷ1
Ͷ
．
6．如图所示，在ᇞܣth 中，סt = ͻ某ιǡܣt = ͸cmǡth = 业cm，点ܲ
从点ܣ开始沿边ܣt 向点t 以2cmȀs 的
速度移动，点ܳ
从点t 开始沿边th 向点h 以1cmȀs 的速度移动，连接ܲܳ
ǡܣܳ．如果ܲǡܳ
两点同时出发，
几秒时，ᇞܣܲܳ
是等腰三角形？
【答案】(12 െ͸ 业)秒
【分析】本题考查等腰三角形的定义、勾股定理及一元二次方程的应用，关键是设运动时间为ݐ秒，用含ݐ
的代数式表示各边长度，尤其注意סܣܲܳ
判ͻ某ι，所以只有ܣܲ
=ܲܳ
这种情况，同时需检验解是否符合点的
运动范围(某䁞ݐ൑业)．
【详解】解：设运动时间为ݐ秒(某䁞ݐ൑业)，则ܣܲ
= 2ݐcm，tܲ
= (͸ െ2ݐ)cm，tܳ
= ݐcm．
小学
初中
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∵סt = ͻ某ι，
∴סܣܲܳ
判ͻ某ι．
∵ᇞܣܲܳ
是等腰三角形，
∴ܣܲ
=ܲܳ
，
׶ סt = ͻ某ל，
׵在Rt ᇞtܲܳ
中，由勾股定理得ܲܳ
=
tܲ
2 + tܳ
2 =
(͸ െ2ݐ)2 + ݐ2 =
该ݐ2 െ2Ͷݐ+ 业͸．
当ܣܲ
=ܲܳ
时，2ݐ=
该ݐ2 െ2Ͷݐ+ 业͸，
两边平方得Ͷݐ2 = 该ݐ2 െ2Ͷݐ+ 业͸，整理得ݐ2 െ2Ͷݐ+ 业͸ = 某，
由一元二次方程求根公式得ݐ=
2Ͷേ2Ͷ2െͶൈ1ൈ业͸
2
=
2Ͷേ12 业
2
= 12 േ͸ 业，
׶ ݐ൑业，
∴12 + ͸ 业舍去，12 െ͸ 业保留；
答：(12 െ͸ 业)秒时，ᇞܣܲܳ
是等腰三角形．
7．如图，在长方形ܣthܦ中，ܣt = 1某cm，th = 12cm，点ܲ
从点ܣ开始沿边ܣt 向终点t 以2cmȀs 的
速度移动，与此同时，点ܳ
从点t 开始沿边th 向终点h 以ͶcmȀs 的速度移动．如果ܲ
、ܳ
分别从ܣ、t
同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为ݐ秒．
(1)填空：tܳ
= cm，ܲt = cm．（用含ݐ的代数式表示）
(2)当五边形ܣܲܳ
hܦ的面积等于1某Ͷcm2时，求此时ݐ的值．
(3)是否存在ݐ的值，使线段ܲܳ
的长度最小，若存在，请求出此时ݐ的值和最小值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)Ͷݐǡ
1某െ2ݐ
(2)当五边形ܣܲܳ
hܦ的面积等于104cm2 时，此时ݐ的值为1
(3)存在，当ݐ= 1 时，线段ܲܳ
的长度最小，最小值为Ͷ 该
【分析】（1）根据P、Q 两点的运动速度可得tܳ、ܲt 的长度；
（2）根据五边形ܣܲܳ
hܦ的面积等于1某Ͷcm2，代入相应数据解方程即可；
（3）根据勾股定理求得ܲܳ
，再根据配方法，求得最小值，即可求解．
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【详解】（1）解：∵点Q 从点B 开始沿边th 向终点C 以ͶcmȀs 的速度移动，
∴tܳ
= Ͷݐcm；
∵P 从点A 开始沿边ܣt 向终点B 以2cmȀs 的速度移动，
∴ܣܲ
= 2ݐcm，
∵ܣt = 1某cm，
∴ܲt = 1某െ2ݐcm，
（2）解：׶ܵ
长方形ܣthܦ= 1某ൈ12 = 12某cm2 ，
׶ܵ
五边形ܣܲܳ
hܦ= 1某Ͷ cm2 ，
׶ܵ
五边形ܣܲܳ
hܦ=ܵ
长方形ܣthܦെܵ
ᇞܲtܳ，ܵᇞܲtܳ=
1
2 tܳ൉ܲt，
׵ 1某Ͷ = 12某െ
1
2 ൈͶݐൈ1某െ2ݐ，
整理得：ݐ2 െ该ݐ+ Ͷ = 某，
解得：ݐ1 = Ͷǡݐ2 = 1，
当ݐ= Ͷ 时，tܳ
= 1͸cm 判12cm，不合题意，舍去；
当ݐ= 1 时，tܳ
= Ͷcm 䁞12ʹ݉
，符合题意；
∴当五边形ܣܲܳ
hܦ的面积等于104cm2 时，此时ݐ的值为1．
（3）解：ܲܳ
=ܲ
t2 + tܳ
2 =
1某െ2ݐ2 + Ͷݐ2 =
2某ݐെ1 2 + ͺ某，
∵2某ݐെ1 2 ൒某，
∴2某ݐെ1 2 + ͺ某൒ͺ某，
∴当ݐ= 1 时，线段ܲܳ
的长度最小，此时ܲܳ
=
ͺ某= Ͷ 该．
8．综合与探究
如图，在菱形ܣthܦ中，对角线ܣh 与tܦ相交于点O，点M、N 是两个动点．
(1)如果ܣh、tܦ（ܣh 判tܦ）的长（单位：cm）是关于ݔ的一元二次方程ݔ2 െ2某ݔ+ ͻ͸ = 某的两个实数根，
求ܣt 的长．
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(2)若动点ܯ从ܣ出发，沿ܣh 方向以2cmȀs 的速度匀速直线运动到点h，动点ܰ
从t 出发，沿tܦ方向以
1cmȀs 的速度匀速直线运动到点D．（当点ܯ运动到C 点时，点ܰ
也随之停止运动）．若ܯ、ܰ
同时出发，
设运动时间为ݐ秒，求ݐ为何值时，ᇞܯ香ܰ
的面积为2cm2？
【答案】(1)2 1业cm
(2)M、N 出发2 秒或5 秒后，ᇞܯ香ܰ
的面积为2cm2．
【分析】（1）解一元二次方程得到ܣhǡtܦ，利用菱形的性质结合勾股定理即可求解；
（2）分三种情况，列出ܵᇞܯ香ܰ的表达式，解方程即可．
【详解】（1）解方程ݔ2 െ2某ݔ+ ͻ͸ = 某，
得ݔ1 = ͺ，ݔ2 = 12，
׵ ܣh = 12cm，tܦ= ͺcm，
在菱形ܣthܦ中，香ܣ= 香h，香t = 香ܦ，ܣh ٣ tܦ，
׵ 香ܣ=
1
2 ܣh = ͸，香t =
1
2 tܦ= Ͷ，
在Rt ᇞܣ香t 中，סܣ香t = ͻ某ι，
∴ܣt =
香ܣ2 + 香t2 =
͸2 + Ͷ2 =
该2 = 2 1业cm ；
（2）①当点M 在香ܣ上且点N 在香t 上时，某䁞ݐ䁞业，则ܵᇞܯ香ܰ
=
1
2 ͸ െ2ݐ
Ͷ െݐ= 2，
解得ݐ1 = 2，ݐ2 = 该（大于3，舍去）；
②当点M 在香h 上且点N 在香t 上时，业䁞ݐ䁞Ͷ，则ܵᇞܯ香ܰ
=
1
2 Ͷ െݐ
2ݐെ͸ = 2，
此方程无解；
③当点M 在香h 上且点N 在香ܦ上时，Ͷ 䁞ݐ൑͸，则ܵᇞܯ香ܰ
=
1
2 2ݐെ͸
ݐെͶ = 2，
解得ݐ1 = 该，ݐ2 = 2（小于4，舍去），
综上所述M、N 出发2 秒或5 秒后，ᇞܯ香ܰ
的面积为2cm2．
【点睛】注意菱形的对角线垂直且平分，勾股定理（两直角边的平方和等于斜边的平方）．
9．如图，在矩形ܣthܦ中，ܣt = 2ǡܣܦ= Ͷ，点E 从点A 出发沿ܣt 方向以1cm/秒的速度向点B 匀速运动，
同时点F 从点B 出发沿th 方向以2cm/秒的速度向点C 匀速运动，连接ܦܦǡܧ㈠ǡܧ㈠．当其中一个动点到达
终点时，另一个动点也随之停止运动，设点E、F 运动的时间是t 秒（某䁞ݐ൑2）
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(1)当t 为何值时，ᇞtܧ㈠是等腰三角形？
(2)当F 为th 边的中点时，求此时ܧ㈠的长度．
(3)是否存在某一时刻t，使点D 在线段ܧ㈠的垂直平分线上？若存在，请求出t 值，若不存在，请说明理由．
(4)是否存在某一时刻t，使ᇞܦܧ㈠的面积是矩形ܣthܦ面积的
业
ͺ，若存在，请求出t 值，若不存在，请说明
理由．
【答案】(1)
2
业
(2) 该
(3)存在，ݐ=
ͺെ2 1业
业
(4)存在，ݐ= 1
【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，垂直平分线的性质，一元二次方程的实际应用，正确理解题意
时解题的关键．
（1）由矩形的性质可得סt = ͻ某ι，根据题意可得ܣǡݐ =ܧt㈠= 2ݐ，则t=ܧ2 െݐ，当ᇞtܧ㈠是等腰三角形
时，t=ܧt㈠，建立方程求解即可；
（2）由题意得当F 为th 边的中点时，t㈠= 2，则ݐ= 1，求出ܣ=ܧ1，进而得到t=ܧ1，利用勾股定理
即可求解；
（3）根据矩形的性质得到סܣ= סt = סh = ͻ某ι，hܦ= t = 2ǡth = ܣܦ= Ͷ，由（1）知ܣǡݐ =ܧt㈠= 2ݐ，t=ܧ
2 െݐ，则h㈠= Ͷ െ2ݐ，利用勾股定理得到ܦܧ2 = ܣܦ2 + ܣܧ2ǡܦ㈠2 = h㈠2 + hܦ2，当点D 在线段ܧ㈠的垂直
平分线上时，ܦܦ =ܧ㈠，建立方程求解即可；
（4）由（3）知知ܣǡݐ =ܧt㈠= 2ݐ，t=ܧ2 െݐ，h㈠= Ͷ െ2ݐ，hܦ= t = 2ǡth = ܣܦ= Ͷ，סܣ= סt = סh = ͻ某ι，
根据ᇞܦܧ㈠的面积等于矩形ܣthܦ的面积减去ᇞܣܦܧ的面积减去ᇞhܦ㈠的面积减去ᇞtܧ㈠的面积，结合
ᇞܦܧ㈠的面积是矩形ܣthܦ面积的
业
ͺ，建立方程求解即可．
【详解】（1）解：在矩形ܣthܦ中，סt = ͻ某ι，ܣt = hܦ= 2ǡܣܦ= th = Ͷ，
根据题意可得ܣǡݐ =ܧt㈠= 2ݐ，则t=ܧ2 െݐ，
当ᇞtܧ㈠是等腰三角形时，则t=ܧt㈠，
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∴2 െݐ= 2ݐ，
解得ݐ=
2
业；
（2）解：由题意得当F 为th 边的中点时，t㈠=
1
2 th = 2，
则2ݐ= 2，解得ݐ= 1，,
∴ܣ=ܧ1，
∴tܣ =ܧt െܣ=ܧ1，
∴ܧ㈠=
tܧ2 + t㈠2 =
该；
（3）解：存在，ݐ=
ͺെ2 1业
业
，
在矩形ܣthܦ中，סt = ͻ某ι，ܣt = hܦ= 2ǡܣܦ= th = Ͷ，
由（1）知ܣǡݐ =ܧt㈠= 2ݐ，t=ܧ2 െݐ，则h㈠= Ͷ െ2ݐ，
∵ܦܧ2 = ܣܦ2 + ܣܧ2ǡܦ㈠2 = h㈠2 + hܦ2，
当点D 在线段ܧ㈠的垂直平分线上时，ܦܦ =ܧ㈠，即ܦܧ2 = ܦ㈠2，
∴Ͷ2 + ݐ2 = Ͷ െ2ݐ2 + 22，即业ݐ2 െ1͸ݐ+ Ͷ = 某，
解得ݐ=
ͺെ2 1业
业
或ݐ=
ͺ+2 1业
业
判2（舍去）；
（4）解：存在，ݐ= 1，
由（3）知ܣǡݐ =ܧt㈠= 2ݐ，t=ܧ2 െݐ，h㈠= Ͷ െ2ݐ，hܦ= ܣt = 2ǡth = ܣܦ= Ͷ，סܣ= סt = סh = ͻ某ι，
∵ᇞܦܧ㈠的面积等于矩形ܣthܦ的面积减去ᇞܣܦܧ的面积减去ᇞhܦ㈠的面积减去ᇞtܧ㈠的面积，
∴ܵᇞܦܧ㈠= ܣt൉th െ
1
2 ܣܦ൉ܣܧെ
1
2 hܦ൉h㈠െ
1
2 tܧ൉t㈠，
∴ܵᇞܦܧ㈠= 2 ൈͶ െ
1
2 ൈͶݐെ
1
2 ൈ2 Ͷ െ2ݐെ
1
2 ൈ2ݐ2 െݐ，
∴ܵᇞܦܧ㈠= ݐ2 െ2ݐ+ Ͷ，
∵ᇞܦܧ㈠的面积是矩形ܣthܦ面积的
业
ͺ，
∴ݐ2 െ2ݐ+ Ͷ =
业
ͺ ൈ2 ൈͶ，即ݐ2 െ2ݐ+ 1 = 某，
解得ݐ1 = ݐ2 = 1．