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翔梦想
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成人成才
期中检测卷
：
时间
120 分
分：
钟
满
120 分
题号
一
二
三
总分
得分
一、选择题(每小题3 分，共30 分)
1．在下列二次函数中，其图象的对称轴是直线x＝－2 的是( )
A．y＝(x＋2)2 B．y＝2x2－2
C．y＝－2x2－2 D．y＝2(x－2)2
2．已知α 为锐角，sin(α－20°)＝，则α 的度数为( )
A．20° B．40° C．60° D．80°
3．若把函数y＝(x－3)2－2 的图象向左平移a 个单位，再向上平移b 个单位，所得图象的
函数表达式是y＝(x＋3)2＋2，则( )
A．a＝6，b＝4 B．a＝－6，b＝4
C．a＝6，b＝－4 D．a＝－6，b＝－4
4．如图，2017 年国际泳联世锦赛在布达佩斯举行，某运动员在10 米跳台跳水比赛时估
测身体(看成一点)在空中的运动路线是抛物线y＝－x2＋x(图中标出的数据为已知条件)，则
运动员在空中运动的最大高度离水面的距离为( )
A．10 米 B．10 米 C．9 米 D．10 米
第4 题图 第6 题图
5．二次函数y＝2x2－3 的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法，正确的是( )
A．抛物线开口向下
B．抛物线经过点(2，3)
C．当x>0 时，y 随x 的增大而减小
D．抛物线与x 轴有两个交点
6．如图，Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，AD⊥BC 于D，设∠ABC＝α，则下列结论错误的是(
)
A．BC＝ B．CD＝AD·tanα C．BD＝AB·cosα D．AC＝AD·cosα
7．已知抛物线y＝－x2－2x＋3 与x 轴交于A，B 两点，将这条抛物线的顶点记为C，连接
AC，BC，则tan∠CAB 的值为( )
A. B. C. D．2
8．如图，在一个20 米高的楼顶上有一信号塔DC，某同学为了测量信号塔的高度，在地
面的A 处测得信号塔下端D 的仰角为30°，然后他正对塔的方向前进了8 米到达B 处，又测
得信号塔顶端C 的仰角为45°，CE⊥AB 于点E，E、B、A 在一条直线上．则信号塔CD 的高度
为( )
A．20 米 B．(20－8)米
C．(20－28)米 D．(20－20)米
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第8 题图 第9 题图 第10 题图
9．如图，老师出示了小黑板上的题后，小华添加的条件是过点(3，0)；小彬添加的条件是
过点(4，3)；小明添加的条件是a＝1；小颖添加的条件是抛物线被x 轴截得的线段长为2.你认
为四人添加的条件中，正确的有( )
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
10．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，下列说法：①b2－4ac＝0；②2a＋b
＝0；③若(x1，y1)，(x2，y2)在函数图象上，当x1＜x2时，y1＜y2；④a－b＋c＜0.其中正确的是(
)
A．②④ B．③④ C．②③④ D．①②④
二、填空题(每小题3 分，共24 分)
11．二次函数y＝2(x－3)2－4 的最小值为________．
12．在Rt△ABC 中，∠C＝90°，如果AB＝6，cosA＝，那么AC＝________.
13．如图，有长为24 米的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度为10 米)，围成中间隔有
一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB 为x 米，面积为S 平方米．则S 与x 的函数关系式是
____________，自变量x 的取值范围是____________．
第13 题图 第16 题图
14．已知点A(－3，m)在抛物线y＝x2＋4x＋10 上，则点A 关于抛物线对称轴的对称点的
坐标为________．
15．在二次函数y＝－x2＋bx＋c 中，函数y 与自变量x 的部分对应值如下表：
x
－3
－2
－1
1
2
3
4
5
6
y
－14
－7
－2
2
m
n
－7
－14
－23
则m，n 的大小关系为m________n(填“＜”“＝”或“＞”)．
16．如图，将矩形ABCD 沿CE 折叠，点B 恰好落在边AD 的F 处，如果＝，那么
tan∠DCF 的值是________．
17．如图，在平面直角坐标系中，点A 在抛物线y＝x2－2x＋2 上运动．过点A 作AC⊥x 轴
于点C，以AC 为对角线作矩形ABCD，连接BD，则对角线BD 的长最小为________．
第17 题图 第18 题图
18．在综合实践课上，小聪所在小组要测量一条河的宽度，如图，河岸EF∥MN，小聪在
河岸MN 上点A 处用测倾器测得河对岸小树C 位于东北方向，然后沿河岸走了30 米，到达B
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处，测得河对岸电线杆D 位于北偏东30°方向，此时，其他同学测得CD＝10 米．则河的宽度
为________米(结果保留根号)．
三、解答题(共66 分)
19．(8 分)计算：
(1)sin230°＋sin260°＋1－tan45°；
(2)tan260°－2cos60°－sin45°.
20．(8 分)如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，已知CD⊥AB，BC＝1.
(1)如果∠BCD＝30°，求AC 的值；
(2)如果tan∠BCD＝，求CD 的值．
21．(8 分)如图，AB 是长为10m，倾斜角为37°的自动扶梯，平台BD 与大楼CE 垂直，且
与扶梯AB 的长度相等，在B 处测得大楼顶部C 的仰角为65°，求大楼CE 的高度(结果保留整
数，参考数据：sin37°≈，tan37°≈，sin65°≈，tan65°≈)．
22．(10 分)如图，已知抛物线y＝x2－x－6 与x 轴交于点A 和B，点A 在点B 的左边，与y
轴的交点为C.
(1)用配方法求该抛物线的顶点坐标；
(2)求sin∠OCB 的值；
(3)若点P(m，m)在该抛物线上，求m 的值．
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23．(10 分)旅游公司在景区内配置了50 辆观光车供游客租赁使用，假定每辆观光车一天
内最多只能出租一次，且每辆车的日租金x(元)是5 的倍数．发现每天的营运规律如下：当x
不超过100 元时，观光车能全部租出；当x 超过100 元时，每辆车的日租金每增加5 元，租出
去的观光车就会减少1 辆．已知所有观光车每天的管理费是1100 元．
(1)优惠活动期间，为使观光车全部租出且每天的净收入为正，则每辆车的日租金至少应
为多少元(注：净收入＝租车收入－管理费)?
(2)当每辆车的日租金为多少元时，每天的净收入最多？
24．(10 分)图中是抛物线型拱桥，P 处有一照明灯，水面OA 宽4m，从O，A 两处观测P 处，
仰角分别为α，β，tanα＝，tanβ＝，以O 为原点，OA 所在直线为x 轴建立直角坐标系．
(1)求点P 的坐标；
(2)水面上升1m，水面宽多少(取1.41，结果精确到0.1m)?
25．(12 分)如图，抛物线y＝－[(x－2)2＋n]与x 轴交于点A(m－2，0)和B(2m＋3，0)(点A
在点B 的左侧)，与y 轴交于点C，连接BC.
(1)求m，n 的值；
(2)点N 为抛物线上的一动点，且位于直线BC 上方，连接CN，BN.求△NBC 面积的最大
值．
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参考答案与解析
1．A 2.D 3.A 4.D 5.D 6.D 7.D 8.C 9.C
10．A 解析：∵二次函数的图象与x 轴有两个交点，∴Δ＝b2－4ac＞0，故①错误．∵二
次函数的图象的对称轴为直线x＝1，∴－＝1，∴2a＋b＝0，故②正确．若(x1，y1)，(x2，y2)在函
数图象上，当x1＜x2时，无法确定y1与y2的大小，故③错误．观察图象可知当x＝－1 时，函数
值y＝a－b＋c＜0，故④正确．故选A.
11．－4 12.4 13.S＝－3x2＋24x ≤x＜8
14．(－1，7) 15.> 16.
17．1 解析：∵y＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，∴抛物线的顶点坐标为(1，1)．∵四边形
ABCD 为矩形，∴BD＝AC.而AC⊥x 轴，∴AC 的长等于点A 的纵坐标．当点A 在抛物线的顶
点时，点A 到x 轴的距离最小，最小值为1.∴对角线BD 的长最小为1.
18．(30＋10) 解析：过点B 作BH⊥EF，过点C 作CK⊥MN，垂足分别为H，K，则CK＝
HB，BK＝HC.设CK＝HB＝x 米．∵∠CKA＝90°，∠CAK＝45°，∴∠CAK＝∠ACK＝45°，
∴AK＝CK＝x 米，∴BK＝HC＝AK－AB＝(x－30)米，∴HD＝x－30＋10＝(x－20)(米)．在
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Rt△BHD 中，∵∠HBD＝30°，tan∠HBD＝，∴＝，解得x＝30＋10.∴河的宽度为(30＋10)米．
19．解：(1)原式＝＋＋1－1＝1.(4 分)
(2)原式＝3－1－1＝1.(8 分)
20．解：(1)∵CD⊥AB，∴∠BDC＝90°.∵∠BCD＝30°，∴∠B＝60°.在Rt△ACB 中，tanB
＝，∴AC＝BC·tan60°＝1×＝.(4 分)
(2)在Rt△BDC 中，tan∠BCD＝＝.设BD＝k，则CD＝3k，由勾股定理得BD2＋CD2＝
BC2，即k2＋(3k)2＝12，解得k1＝，k2＝－(不合题意，舍去)，∴k＝，∴CD＝.(8 分)
21．解：过点B 作BF⊥AE 于点F，则BF＝DE.(2 分)在Rt△ABF 中，sin∠BAF＝，则BF＝
AB·sin37°≈10× ＝6(m) ．(4 分) 在Rt△CDB 中，tan∠CBD ＝，则CD ＝
BD·tan65°≈10×≈21.4(m)．(6 分)则CE＝DE＋CD＝BF＋CD≈6＋21.4≈27(m)．(7 分)
答：大楼CE 的高度约是27m.(8 分)
22．解：(1)∵y＝x2－x－6＝x2－x＋－－6＝－，∴抛物线的顶点坐标为.(2 分)
(2)令x2－x－6＝0，解得x1＝－2，x2＝3，∴点B 的坐标为(3，0)．(4 分)∵点C 的坐标为
(0，－6)，∴BC＝＝＝3，∴sin∠OCB＝＝＝.(7 分)
(3)∵点P(m，m)在这个二次函数的图象上，∴m2－m－6＝m，即m2－2m－6＝0，解得m1
＝1＋，m2＝1－.(10 分)
23．解：(1)由题意知若观光车能全部租出，则0＜x≤100.由50x－1100＞0，解得x＞22.又
∵x 是5 的倍数，∴每辆车的日租金至少应为25 元．(4 分)
(2)设每天的净收入为y 元．当0＜x≤100 时，y1＝50x－1100.∵y1随x 的增大而增大，∴
当x＝100 时，y1有最大值，最大值为50×100－1100＝3900；(6 分)当x＞100 时，y2＝x－1100
＝－x2＋70x－1100＝－(x－175)2＋5025，当x＝175 时，y2 有最大值，最大值为5025.(9
分)∵5025＞3900，∴当每辆车的日租金为175 元时，每天的净收入最多．(10 分)
24．解：(1)过点P 作PH⊥OA 于点H，如图．(1 分)设PH＝3x.在Rt△OHP 中，∵tanα＝
＝，∴OH＝6x.在Rt△AHP 中，∵tanβ＝＝，∴AH＝2x，(3 分)∴OA＝OH＋AH＝8x＝4，∴x
＝，∴OH＝3，PH＝，∴点P 的坐标为.(5 分)
(2)若水面上升1m 后到达BC 位置，如图．过点O(0，0)，A(4，0)的抛物线的解析式可设为
y＝ax(x－4)．∵P 在抛物线y＝ax(x－4)上，∴3a(3－4)＝，解得a＝－，∴抛物线的解析式为y
＝－x(x－4)．(7 分)当y＝1 时，－x(x－4)＝1，解得x1＝2＋，x2＝2－.∴BC＝(2＋)－(2－)＝
2≈2×1.41≈2.8(m)．(9 分)
答：水面上升1m，水面宽约为2.8m.(10 分)
25．解：(1)∵抛物线的解析式为y＝－[(x－2)2＋n]＝－(x－2)2－n，∴抛物线的对称轴为
直线x＝2.∵点A 和点B 关于直线x＝2 对称，∴＝2，解得m＝1，(3 分)∴点A 的坐标为(－1，
0)，点B 的坐标为(5，0)．把A(－1，0)代入y＝－[(x－2)2＋n]得9＋n＝0，解得n＝－9.(5 分)
(2)过点N 作ND∥y 轴交BC 于D.由(1)可得抛物线的解析式为y＝－[(x－2)2－9]＝－x2
＋x＋3，当x＝0 时，y＝3，则点C 的坐标为(0，3)．设直线BC 的解析式为y＝kx＋b，把B(5，
0)，C(0，3)代入得解得∴直线BC 的解析式为y＝－x＋3.(8 分)设点N 的坐标为，则点D 的坐
标为，∴ND＝－x2＋x＋3－＝－x2＋3x，(10 分)∴S△NBC＝S△NDC＋S△NDB＝·5·ND＝＝－x2＋x＝
－＋，当x＝时，△NBC 面积最大，最大值为.(12 分)
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