文档文本内容
第 04 讲 一元二次函数（方程，不等式）
目录
第一部分：基础知识..............................................................1
第二部分：高考真题回顾..........................................................3
第三部分：高频考点一遍过........................................................3
高频考点一：一元二次（分式）不等式解法（不含参）............................3
高频考点二：一元二次不等式解法（含参）......................................4
高频考点三：一元二次不等式与相应的二次函数（方程）的关系....................6
高频考点四：一元二次不等式恒成立问题........................................7
角度1： 上恒成立（优选 法）.......................................7
角度2： 上成立（优选 法）..........................................7
角度3： 上恒成立（优选分离变量法）.................................8
角度4： 上成立（优选分离变量法）...................................8
角度5：已知参数 ，求 取值范围（优选变更主元法）....................8
高频考点五：分式不等式.....................................................10
高频考点六：一元二次不等式的应用...........................................11
第四部分：典型易错题型.........................................................13
备注：一元二次不等式最高项系数容易忽略化正。...............................13
备注：分式不等式容易直接乘到另一侧忽略正负而漏解。.........................13
第五部分：新定义题（解答题）...................................................13
第一部分：基础知识
1、二次函数
（1）形式：形如 的函数叫做二次函数.
（2）特点：
①函数 的图象与 轴交点的横坐标是方程 的实根.
②当 且 ( )时，恒有 ( )；当 且 ( )时，恒有 (
).
2、一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.
3. 或 型不等式的解集
不等式 解集4、一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系
判别式
二次函数
的图象
有两相等实数根
一元二次方程 有两相异实数根 ，
没有实数根
的根
( )
一元二次不等式
的解集
一元二次不等式
的解集
5、分式不等式解法
（1）
（2）
（3）
（4）
6、单绝对值不等式（1）
（2）
第二部分：高考真题回顾
1．（2023·全国·统考高考真题）已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．2
2．（2023·全国·（新课标Ⅰ卷））设函数 在区间 上单调递减，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：一元二次（分式）不等式解法（不含参）
典型例题
例题1．（2024上·江西南昌·高一校联考期末）不等式 的解集是（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2024上·安徽芜湖·高一统考期末）设函数 ，关于 的一元二次不等式
的解集为 ．
(1)求不等式 的解集；
(2)若 ，求实数 的取值范围．例题3．（2024上·湖南长沙·高一校考期末）解下列关于x的不等式：
(1) ；
(2) .
练透核心考点
1．（2024上·广东江门·高一统考期末）一元二次不等式 的解集为 .
2．（2024上·湖南岳阳·高一校考期末）已知不等式 的解集为 ，设不等式
的解集为集合 .
(1)求集合 ；
(2)设全集为R，集合 ，若 是 成立的必要条件，求实数 的取值范围.
3．（2024上·四川绵阳·高一四川省绵阳南山中学校考期末）已知集合
．
(1)若 ，求 ；
(2)若“ ”是“ ”的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
高频考点二：一元二次不等式解法（含参）
典型例题
例题1．（2024上·四川南充·高一统考期末）已知函数 .
(1)若关于 的不等式 的解集为 ，求实数 ， 的值；(2)求关于 的不等式 的解集.
例题2．（2024上·重庆·高一校联考期末）已知函数 .
(1)当 时，求函数 的零点；
(2)当 时，求不等式 的解集.
例题3．（2024上·甘肃庆阳·高一校考期末）已知函数 ，其中 .
(1)若 ，求实数 的值；
(2)求不等式 的解集.
练透核心考点
1．（2024上·江苏南京·高一南京师大附中校考期末）设 为实数，则关于 的不等式 的
解集不可能是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024上·四川宜宾·高一统考期末）已知集合 ，集合
．
(1)当 时，求 ；
(2)若 ，求实数m的取值范围．3．（2024上·福建宁德·高一统考期末）已知 .
(1)若 ，求 的值；
(2)求关于 的不等式 的解集.
高频考点三：一元二次不等式与相应的二次函数（方程）的关系
典型例题
例题1．（多选）（2024上·湖南娄底·高一统考期末）已知关于x的不等式 （
， ）的解集为 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． 的最大值为
C． 的最小值为4 D． 的最小值为
例题2．（2024上·江西萍乡·高一统考期末）已知关于x的一元二次不等式 的解集为 ，
则 的最小值为 ．
例题3．（2023上·江苏南京·高一期末）已知不等式 的解集为 ，设不等式
的解集为集合 .
(1)求集合 ；
(2)设全集为R，集合 ，若 是 成立的必要条件，求实数 的取值范围.练透核心考点
1．（多选）（2024上·山东临沂·高一统考期末）已知关于 的一元二次不等式 的解集为{
或 }，则（ ）
A． 且 B．
C．不等式 的解集为 D．不等式 的解集为
2．（2024上·湖南·高一校联考期末）已知 .
(1)若不等式 的解集是 ，求实数 的值；
(2)若不等式 对一切实数 恒成立，求实数 的取值范围.
3．（2023上·福建三明·高一校联考期中）已知二次函数 ．
(1)若关于 的不等式 的解集是 ，求实数 ， 的值；
(2)若 ， ，解关于 的不等式 ．
高频考点四：一元二次不等式恒成立问题
角度1： 上恒成立（优选 法）
典型例题
例题1．（2023上·云南昆明·高一官渡五中校考期中）若不等式 的解集为R，则实数 的取
值范围是（ ）
A． B．
C． D．
例题2．（2023上·重庆沙坪坝·高三重庆市第七中学校校考阶段练习）不等式 （ ）恒成
立的一个充分不必要条件是（ ）A． B． C． D．
角度2： 上成立（优选 法）
典型例题
例题1．（2023上·广东珠海·高一校联考期中）命题 ： ， 为真命题，则实数
的取值范围为 .
角度3： 上恒成立（优选分离变量法）
典型例题
例题1．（2023上·辽宁铁岭·高三校联考期中）已知 ， ， ，则实数m的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
角度4： 上成立（优选分离变量法）
典型例题
例题1．（2023上·浙江·高二校联考期中）若关于x的不等式 在 上有解，则实数m
的最小值为（ ）
A．9 B．5 C．6 D．
角度5：已知参数 ，求 取值范围（优选变更主元法）
典型例题例题1．（2024上·福建福州·高一福建省长乐第一中学校考阶段练习）已知函数 .
(1)当 时，求 的解集；
(2)是否存在实数 ，使得不等式 对满足 的所有 恒成立？若存在，求出 的
值；若不存在，请说明理由.
练透核心考点
1．（2023上·湖南张家界·高一慈利县第一中学校考期中）（1）若关于 的不等式 在
上有解，求实数 的取值范围；
（2）若 不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
2．（2024上·福建南平·高一统考期末）设函数 ．
(1)若 ，求不等式 的解集；
(2)若关于 的不等式 的解集为 ，求实数 的取值范围．
3．（2024上·安徽芜湖·高一统考期末）设函数 ，关于 的一元二次不等式 的解
集为 ．
(1)求不等式 的解集；
(2)若 ，求实数 的取值范围．4．（2024上·四川内江·高一统考期末）已知二次函数 的最小值为 ，且 是其一个零点， 都
有 ．
(1)求 的解析式；
(2)求 在区间 上的最小值；
(3)若关于x的不等式 在区间 上有解，求实数m的取值范围．
5．（2024上·安徽安庆·高一安庆一中校考期末）设定义域为 的奇函数 ，（其中 为实
数）．
(1)求 的值；
(2)是否存在实数 和 ，使不等式 成立？若存在，求出实数 的取值范
围；若不存在，请说明理由．
高频考点五：分式不等式
典型例题
例题1．（2024上·山东滨州·高一统考期末）已知集合 ， .
(1)当 时，求 ；
(2)若 ，求 的取值范围.例题2．（2024上·江苏南京·高一南京师大附中校考期末）已知集合 ，集合
.
(1)当 时，求 ；
(2)若 ，求实数 的取值范围.
练透核心考点
1．（2024上·陕西宝鸡·高一统考期末）已知集合 ，集合 .
(1)当 时，求 ；
(2)若 是 的充分条件，求实数 的取值范围.
2．（2024上·湖南长沙·高一湖南师大附中校考期末）设全集 ，集合 ，
．
(1)求 ；
(2)已知集合 ，若 ，求a的取值范围．高频考点六：一元二次不等式的应用
典型例题
例题1．（2023上·贵州贵阳·高一校考阶段练习）一家车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这
条流水线生产的摩托车数量 （单位：辆）与创造的价值 （单位：元）之间有如下的关系：
.若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上，则在一个星期内大约应
该生产 （填写区间范围）辆摩托车？
例题2．（2024上·全国·高一专题练习）某新能源公司投资280万元用于新能源汽车充电桩项目，
且 年内的总维修保养费用为 万元，该项目每年可给公司带来200万元的收
入.设到第 且 年年底，该项目的纯利润（纯利润=累计收入-累计维修保养费-投资成本）为
万元.已知到第3年年底，该项目的纯利润为128万元.
(1)求实数 的值.并求该项目到第几年年底纯利润第一次能达到232万元；
(2)到第几年年底，该项目年平均利润（平均利润=纯利润 年数）最大？并求出最大值.
练透核心考点
1．（2024下·西藏·高一开学考试）为发展空间互联网，抢占6G技术制高点，某企业计划加大对空间卫星
网络研发的投入.据了解，该企业研发部原有100人，年人均投入a（ ）万元，现把研发部人员分成两类：技术人员和研发人员，其中技术人员有x名（ 且 ），调整后研发人员的年人均投入
增加4x%，技术人员的年人均投入为 万元.
(1)要使调整后的研发人员的年总投入不低于调整前的100人的年总投入，则调整后的技术人员最多有多少
人？
(2)是否存在实数m，同时满足两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②调整后研发人员的年总
投入始终不低于调整后技术人员的年总投入？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.
2．（2023上·陕西宝鸡·高一宝鸡市渭滨中学校考阶段练习）如图，在长为 ，宽为 的矩形地面的四周
种植花卉，中间种植草坪，如果要求草坪外侧四周的花卉带的宽度都相同，且草坪的面积不超过总面积的
一半，则花卉带的宽度至少应为多少米？
第四部分：典型易错题型
备注：一元二次不等式最高项系数容易忽略化正。
1．（2023上·湖南永州·高一校考阶段练习）一元二次不等式 的解集是（ ）
A． 或 B． 或
C． D．备注：分式不等式容易直接乘到另一侧忽略正负而漏解。
2．（2023上·吉林·高一吉化第一高级中学校校考阶段练习）不等式 的解集为 .
第五部分：新定义题（解答题）
1．（2024上·福建莆田·高一莆田一中校考期末）小颖同学在学习探究活动中，定义了一种运等“ ”：对
于任意实数a，b，都有 ，通过研究发现新运算满足交换律： .小颖提出了
两个猜想： ， ， ，① ；② .
(1)请你任选其中一个猜想，判断其正确与否，若正确，进行证明；若错误，请说明理由；（注：两个猜想
都判断、证明或说明理由，仅按第一解答给分）
(2)设 且 ， ，当 时，若函数
在区间 上的值域为 ，求 的取值范围.
