文档文本内容
培优点15 不等式证明方法
目录
01 重点解读..........................................................................................................................................2
02 思维升华..........................................................................................................................................3
03 典型例题..........................................................................................................................................4
题型一：直接法（转化为最值问题）................................................................................................4
题型二：指对切线放缩........................................................................................................................5
题型三：指对增强放缩........................................................................................................................6
题型四：对称化构造法(和型)............................................................................................................7
题型五：对称化构造法(积型)............................................................................................................8
题型六：换元构造辅助函数................................................................................................................9
题型七：比值代换..............................................................................................................................10
题型八：对数单身狗，指数找朋友..................................................................................................12
题型九：主元法..................................................................................................................................13
题型十：与数列结合的不等式问题..................................................................................................14
题型十一：凹凸反转..........................................................................................................................16
题型十二：拐点偏移问题..................................................................................................................17
04 课时精练........................................................................................................................................19
在高考数学考纲里，利用导数证明不等式是导数应用板块的关键内容，着重考查学生的逻辑推理、运
算求解以及综合运用知识的能力。
考纲要求学生掌握构造合适函数的方法，能依据所证不等式的特征，巧妙构建函数模型。熟练运用求
导公式与法则，准确求出函数的导数，通过分析导数的正负性，精准判断函数的单调性。进而依据单调性
确定函数在特定区间上的最值，利用最值与不等式的关系完成证明。
此考点常与函数、方程等知识综合考查，难度较高。备考时，学生需深入理解导数的本质，多做针对
性练习，总结常见题型和解题策略，提升思维的严谨性与灵活性，以应对高考中的此类难题。
1、常用导数放缩
①
(切点横坐标是
，
)
②
③
(切点横坐标是
，
)
④
⑤
⑥
2、利用导数证明不等式是高中数学的重要方法，常见方法有以下几种：
（1）构造函数法：将不等式变形，构造新函数。如证明
，可设
，对
求导，根据导数正负判断其单调性。若
在某区间单调递增，且能求出
在该区间端点值或极限值
大于0，则可证不等式成立。
（2）放缩构造函数法：当直接构造函数难以处理时，对不等式进行适当放缩，再构造函数。
（3）多次求导法：对于一些复杂函数，一次求导难以判断单调性，需多次求导。通过多次分析导数的变
化情况，确定函数的单调性与极值，进而证明不等式。
3、对(指)数平均不等式
对数平均不等式：两个正数
的对数平均
，有如下关系：
，
即几何平均数
对数平均数
算术平均数．
指数平均不等式：设
，
，则
，有如下关系：
．
题型一：直接法（转化为最值问题）
【例1】（2025·江西·模拟预测）已知函数
．
(1)当
时，证明：
有且仅有一个零点；
(2)若曲线
与
相切．
（ⅰ）求a；
（ⅱ）当
时，证明：
．
【变式1-1】（2025·河南南阳·模拟预测）已知函数
．
(1)当
时，求
的单调区间；
(2)当
时，求证：对任意的
，
恒成立；
【变式1-2】已知函数
，其中为自然对数的底数.
(1)当
时，判断函数
在区间
上的单调性；
(2)令
，若函数
在区间
上存在极值，设极值点为
，证明：
.
【变式1-3】已知函数
．
(1)求
的零点及
；
(2)求
的极值；
(3)求证：
．
题型二：指对切线放缩
【例2】（2025·湖南娄底·模拟预测）已知函数
，
，
为
的导函数.
(1)若函数
的图象与
的图象的交点的横坐标
，求实数
的取值范围；
(2)当
时，证明：
.
【变式2-1】（2025·江苏盐城·模拟预测）设函数
.
(1)求
在
处的切线方程；
(2)若
恒成立，求
的最小值；
(3)求证：
.
【变式2-2】设函数
.
(1)讨论
的单调性；
(2)当
时，证明：
.
题型三：指对增强放缩
【例3】（2025·山东·模拟预测）已知函数
，曲线
在
处的切线方程为
．
(1)求实数
的值
(2)证明：
．
【变式3-1】（2025·湖南岳阳·三模）已知函数
（
）．
(1)设
，当
时，
，求
的取值范围．
(2)当
时，
①写出曲线
的两条相互垂直的切线方程，并说明理由；
②设
，数列
满足
，
，证明：
．
【变式3-2】已知函数
．
(1)当
时，求
的最小值．
(2)求证：
．
【变式3-3】当
时，求证：
．
题型四：对称化构造法(和型)
【例4】已知函数
，
，是自然对数的底数.
(1)讨论函数
的极值；
(2)当
时，若
，
（其中
）满足
，求证：
.
【变式4-1】已知函数
．
(1)若
有两个零点
，且
，求
的取值范围；
(2)在（1）的条件下，求证：
．
【变式4-2】已知函数
，
为实数.
(1)当
时，求函数在
处的切线方程；
(2)求函数
的单调区间；
(3)若函数
在
处取得极值，
是函数
的导函数，且
，
，证明：
.
【变式4-3】已知函数
．
(1)求函数
的单调区间和极值；
(2)若
，且
，求证：
．
题型五：对称化构造法(积型)
【例5】已知函数
，
为常数，若函数
有两个零点
，试证明：
【变式5-1】定义：若函数
与
在公共定义域内存在
，使得
，则称
与
为“契合函数”，
为“契合点”．
(1)若
与
为“契合函数”，且只有一个“契合点”，求实数a 的取值范围．
(2)若
与
为“契合函数”，且有两个不同的“契合点”
．
①求b 的取值范围；
②证明：
．
【变式5-2】已知函数
，直线
是曲线
的一条切线．
(1)求
的值，并讨论函数
的单调性；
(2)若
，其中
，证明：
．
【变式5-3】（2025·高三·山东潍坊·期末）已知函数
，
.
(1)求曲线
在
处的切线方程；
(2)若
，求
的取值范围；
(3)若
有两个实数解
，
，证明：
.
题型六：换元构造辅助函数
【例6】已知函数
在
处的切线与直线
平行
（1）求实数
的值，并求
的极值；
（2）若方程
有两个不相等的实根
，
，求证：
.
【变式6-1】已知函数
，其中
为常数且
．
（1）若曲线
与直线
相切，求
的值；
（2）设
，
为两个不相等的正数，若
，证明：
．
【变式6-2】已知
.
(1)求
的单调区间；
(2)设
，
是两个不相等的正数，证明：
【变式6-3】已知函数
．
(1)讨论函数
的单调区间；
(2)当
时，证明：
；
(3)函数
有两个零点
、
，求证：
．
【变式6-4】已知函数
.
(1)若
有两个零点，求
的取值范围；
(2)若方程
有两个实数根
，且
，证明：
.
【变式6-5】已知函数
．
(1)若
，求实数
的取值范围；
(2)若
有2 个不同的零点
，求证：
．
题型七：比值代换
【例7】已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在
处的切线方程；
(2)若
有两个零点
，且
，证明：
.
【变式7-1】已知函数
.
(1)讨论导函数
的零点个数情况；
(2)若
有两个不同极值点
、
.当
时，证明：
.
【变式7-2】曲率是指曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，曲率越大，表示曲线在该点处的弯曲
程度越大．记
，定义曲线
在点
处的曲率为
．
(1)比较曲线
在点
和
处弯曲程度的大小；
(2)若函数
的图象上存在两个不同的点
、
，使得曲线
在
、
处的曲率均为
．
（i）求
的取值范围；
（ii）证明：
．
【变式7-3】（2025·四川巴中·二模）已知函数
，函数
是定义
在
的可导函数，其导数为
，满足
.
(1)令函数
，求证：
在
上是减函数；
(2)若
在
上单调递减，求实数
取值范围；
(3)对任意正数
，试比较
与
的大小.
题型八：对数单身狗，指数找朋友
【例8】（2025·甘肃·模拟预测）已知函数
.
(1)求
的图象在点
处的切线方程；
(2)求
的零点个数；
(3)证明：
.
【变式8-1】已知函数
，
.
(1)当
时，讨论函数
的单调性；
(2)已知
的导函数在
上存在零点，求证：当
时，
.
【变式8-2】（2024·陕西榆林·三模）已知函数
的导函数为
.
(1)讨论
的单调性；
(2)当
时，证明：
.
【变式8-3】（2024·青海·模拟预测）已知质数
，且曲线
在点
处
的切线方程为
．
(1)求m 的值；
(2)证明：对一切
，都有
．
题型九：主元法
【例9】已知函数
.
(1)求函数
的单调区间；
(2)若函数
有且仅有两个零点，求实数
的取值范围；
(3)若
是两个不相等的正数，证明：
.
【变式9-1】（2025·广西南宁·模拟预测）已知函数
的定义域为
，若
在
上单调
递增，则称
为“强增函数”.
(1)若
是“强增函数”，求
的取值范围；
(2)已知
，请判断
的导数
在
上的单调性，并说明理由
(3)已知
，
，
，
.证明：
.
参考结论：当
时，
.
【变式9-2】（2025·江苏徐州·模拟预测）给定函数
，若过点P 恰能作曲线
的k 条切线
，
则称P 是
的“k 秩点”，切点的横坐标为
的“k 秩数”．
(1)若
是函数
的“k 秩点”，求其“k 秩数”；
(2)证明：
是函数
的“0 秩点”；
(3)记使函数
的“1 秩数”小于0 的“1 秩点”构成的集合为
．证明：对
，
，且
，有
．
【变式9-3】（2025·海南海口·模拟预测）已知函数
，当
时，
的切线斜率
．
(1)求
的单调区间；
(2)已知
，若
，求证：若
，则
．
题型十：与数列结合的不等式问题
【例10】（2025·辽宁鞍山·一模）设
有两个极值点
，且
．
(1)求实数
的取值范围；
(2)证明：
；
(3)证明：
．
【变式10-1】（2025·河北·模拟预测）函数（或级数）逼近论是函数（或级数）论的一个重要组成部分，
涉及的基本问题是函数（或级数）的近似表示问题.将一函数用较简单的函数（或级数）来找到最佳逼近，
且所产生的误差可以有量化的表征——这种处理复杂函数（或级数）的方法，我们称之为函数（或级数）
逼近.用函数
去逼近
，在
处
的值称为逼近估差.法国数学家亨利・帕德用有理函
数
去逼近一些常见函数，有较高的精确度.比如对数函数
两个常见的逼近
函数为：
，
(1)证明：
时，
；
(2)对
时，用
分别去逼近
和
的逼近估差分别为
，
.证明：
①
；
②
，
必有一数小于0.02.
【变式10-2】（2025·浙江绍兴·二模）已知数列
满足
，且
.
为等差数列，其前
项的和为
，有
．
(1)设
．
（i）求，并证明
为等差数列．
（ii）在
的前5 项中随机取3 项，设其小于的项数为X．求X 的分布列与数学期望．
(2)证明：
【变式10-3】（2025·湖南·模拟预测）已知数列
是各项均为正整数的递增数列，
，且
.
(1)求
和
；
(2)证明：
；
(3)设
，证明：
.
题型十一：凹凸反转
【例11】已知函数
，证明：当
时，
.
【变式11-1】（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数
．
(1)求
的最大值；
(2)证明：当
时，
．
【变式11-2】（2024·全国·模拟预测）已知函数
，
．
(1)若函数
的最小值与
的最小值之和为
，求
的值．
(2)若
，
，证明：
．
题型十二：拐点偏移问题
【例12】已知函数
，
，
，令
．
(1)
，研究函数
的单调性；
(2)若关于
的不等式
恒成立，求整数
的最小值；
(3)
，正实数
，
满足
，证明：
．
【变式12-1】已知函数
，
.
（1）若
，求函数
的单调递减区间；
（2）若关于
的不等式
恒成立，求整数
的最小值；
（3）若
，正实数
，
满足
，证明：
.
【变式12-2】（2025·高三河北期中）已知函数
（
）.
(1)讨论
的单调性；
(2)若
，且正数
满足
，证明
.
【变式12-3】已知函数
的导函数为
.
（1）求
的最小值；
（2）若
，实数
、
满足
且
，证明：
.
1．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知函数
.
(1)讨论
的单调性；
(2)求证：
.
2．（2025·内蒙古包头·模拟预测）设函数
，其中
．
(1)当
时，判断函数
的单调性：
(2)若对任意
，函数
均有2 个零点，求
的取值范围：
(3)设
且
，证明：
．
3．（2025·四川成都·模拟预测）已知函数
，若存在数列
满足
，
，
.称
是“
的关联数列”，
称为数列
的“关联函数”；
(1)若数列
的“关联函数”
，求最小正数A 的值，使数列
为等差数列；
(2)若某数列
的“关联函数”
.证明：当
时，
；
(3)若数列
的“关联函数”
，求证：
4．（2025·江苏宿迁·模拟预测）已知
，
．
(1)判断
的单调性；
(2)若函数
图象在
处切线斜率为
，求
；
(3)求证：
．
5．（2025·宁夏石嘴山·模拟预测）已知函数
．
(1)若曲线
在点
处的切线与直线
平行，求实数
的值；
(2)若函数
在区间
上单调递增．
（ⅰ）求实数
的取值范围；
（ⅱ）证明：
，
．
6．（2025·云南·模拟预测）设函数
．
(1)证明：
；
(2)设函数
的导数为
，
，当
时，函数
存在一个极值点，求实数a
的取值范围；
(3)证明：当
时，
．
7．（2025·河南新乡·模拟预测）设函数
定义在区间
上，
是函数的
导函数，
，
是函数
的两个极值点，且
，
(1)设
，求
的极值；
(2)证明：
8．已知函数
的图象与
轴相切于原点．
(1)求实数
的值；
(2)若
，证明：当
时，
．
9．（2025·安徽·模拟预测）已知函数
(1)若
，求
的单调区间；
(2)若
，证明：当
时，
.
10．（2025·安徽合肥·三模）已知函数
(1)证明不等式：
；
(2)记
，证明：
；
(3)已知
，证明：
.
11．（2025·山东聊城·三模）已知函数
．
(1)若
恒成立，求
的取值范围；
(2)当
时，（i）求
的最小值；（ii）证明：
．
12．（2025·河北秦皇岛·三模）已知函数
是函数
的导函数，且
．
(1)求
；
(2)若
在区间
内单调递增，求实数
的取值范围；
(3)当
时，证明：
．
13．（2025·高三·上海杨浦·开学考试）若函数
在
上存在
，使得
，
，则称
是
上的“双中值函数”，其中
称为
在
上的中值点.
(1)判断函数
是否是
上的“双中值函数”，并说明理由；
(2)已知函数
，存在
，使得
，且
是
上的“双中值函
数”，
是
在
上的中值点.
（i）求
的取值范围；
（ii）证明：
.
14．已知函数
．
(1)若函数
有两个零点，求
的取值范围；
(2)设
是函数
的两个极值点，证明：
．
15．已知函数
和
，若存在两个实数
，且
，使得
，
，证明：
．
16．已知函数
．
(1)求函数
的最值；
(2)若函数
有两个不同的极值点，记作
，且
，求证：
．
17．已知函数
，其中
为自然对数的底数．
(1)讨论函数
的单调性；
(2)若
，且
，证明：
．
18．已知
．
(1)不等式
对任意
恒成立，求
的取值范围；
(2)当
有两个极值点
时，求证：
．
19．已知函数
，
，
，令
．
（Ⅰ）求函数
的单调递增区间；
（Ⅱ）若关于
的不等式
恒成立，求整数
的最小值；
（Ⅲ）若
，且正实数
满足
，求证：
．
20．设函数
(1)分析
的单调性和极值；
(2)设
，若对任意的
，都有
成立，求实数m 的取值范围；
(3)若
，且满足
时，证明：
.
