文档文本内容
平面向量的基本运算
目录
题型一：平面向量的线性运算................................................................1
题型二：平面向量的数量积....................................................................6
题型三：极化恒等式与等和线..............................................................10
题型四：奔驰定理与三角形四心..........................................................17
题型五：平面向量的综合应用..............................................................23
多选题练习..............................................................................................33
题型一：平面向量的线性运算
1．设
是非零向量，则
是
成立的（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据充分、必要条件，以及向量共线等知识确定正确答案.
【详解】对于非零向量
，
若
，则
同向，不一定有
；
若
，则
同向，此时
.
所以
是
成立的必要不充分条件.
故选：C
2．下列说法不正确的是（ ）
A．两个相等向量，若它们的起点相同，则终点也相同
B．零向量的方向是任意的
C．若
，则四边形ABCD 不一定是平行四边形
D．若
，
，则
【答案】D
【分析】利用相等向量的意义判断A；零向量的意义判断B；利用共线向量的定义性质逐
项判断CD.
【详解】对于A，两个相等向量，若它们的起点相同，则终点也相同，A 正确；
对于B，零向量的方向是任意的，B 正确；
对于C，由
，得
，
不一定平行，则四边形ABCD 不一定是平行四边形，
C 正确；
对于D，若
，
，当
时，
可以不共线，即
不一定成立，D 错误.
故选：D
3．如图，平行四边形
中，
与
交于点
，
为
的中点，
为
的重
心，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据平行四边形、三角形重心等性质结合平面向量的线性运算即可得所求.
【详解】在平行四边形
中，因为
为
的重心，所以
，
则
，且
，
所以：
.
故选：A.
4．已知点
为
内一点，满足
，若
，则
（ ）
A．-2
B．
C．
D．2
【答案】B
【分析】根据向量的线性运算，利用三角形相似及三角形面积的关系求解即可.
【详解】如图，
设
，作平行四边形
，对角线
与底边
相交于点
，
则
，则
共线，
因为
，故
，则
，
又
，故
，则
，
，即
，
故选：B
5．在
中，
为三角形所在平面内一点，且
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】取
的中点
，取
的三等分点
，根据向量的运算法则，得到
，得出点
在
边的中位线上，结合
，即可求解．
【详解】如图所示，在
中，
为三角形所在平面内一点，且
，
取
的中点
，取
靠近
的三等分点
，可得
，
由向量的平行四边形法则，可得
,
所以点
在
边的中位线上，所以
．
故选：D.
6．已知向量
不共线，
，则
是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【答案】C
【分析】利用向量平行的充要条件结合充分条件、必要条件的概念分析即可.
【详解】因为向量
不共线，可知
均非零向量，
由
，可知
，则
，满足充分性；
若
，则
，即
，所以
，解得
，
满足必要性，
所以
是“
”的充要条件.
故选：C
7．在平行四边形
中，
分别是
的中点，点
在线段
上，
且
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】结合图形，利用向量加减、数乘的定义用
表示出
即可求解.
【详解】如下图，结合题设易知
，
，
则
，
，则
，
，
所以
.
故选：A
8．在平行四边形
中，点
是
边上的点，
，点
是线段
的中点，
若
，则
（ ）
A．
B．1
C．
D．
【答案】D
【分析】以向量
为一组基底，利用向量的加法和数乘运算表示出
即可.
【详解】由题可得，向量
不共线，则以向量
为一组基底，
所以
，则
.
故选：D.
9．已知向量
是两个单位向量，则“
”是“
为锐角”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】由
得
，所以
为0 或锐角，结合充分条件和必要条件的定义
判断即可.
【详解】因为
为单位向量，所以
两边平方得
，
所以
，而
，所以
为0 或锐角，
所以“
”是“
为锐角”的必要不充分条件．
故选：B.
题型二：平面向量的数量积
1．已知
为单位向量，且
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】首先求解出向量的模长，再根据向量的夹角公式进行求解即可.
【详解】已知
，由于
，
可得：
，
又
，可得：
.
故选：D
2．已知
是单位向量，则
的最大值为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】C
【分析】由
为单位向量，可得
，结合向量数量积公式计算即可得.
【详解】由
为单位向量，则
，
故
.
故选：C.
3．在四边形
中，
，
，
．若四边形
的面
积为
，则实数
的值为（ ）．
A．3
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据向量的模长及数量积为0，可得四边形
为直角梯形，然后结合模长关
系利用面积建立方程求解即可.
【详解】因为
，
，
，所以四边形
为
梯形，
又
，所以
，即
，
所以四边形
为直角梯形，则
，
又四边形
的面积为
，所以
，
所以
，
所以
.
故选：C
4．单位向量
满足
，则
与
的夹角为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由题意知
，对
两边平方即可求出
的值，进而求出
的值，从而得出
与
的夹角．
【详解】由题意，
，
则
，
解得
，即
，
又
，所以
的夹角为
，
故选：C.
5．已知向量
，
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．5
D．6
【答案】C
【分析】先根据向量的线性坐标运算求得
，然后利用数量积的夹角坐标公式列
方程求解即可.
【详解】因为
，所以
，
由题意得
，所以
，
所以
，解得
.
故选：C.
6．向量
，
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据已知条件求出
、
、
的值，再根据向量夹角余弦值公
式
计算即可.
【详解】解析：因为
，所以
，
所以
，即
，
即
，所以
又
，
，
所以
，
，
，
所以
.
故选：D.
7．在菱形
中，
，
，E 为边
上的动点（包括端点），F 为
的
中点，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】设
，由
，
，结合数量积的运算
律即可求解.
【详解】设
，
则
，
由
为
的中点，得
，
在菱形
中，
，
，
所以
，
，
所以
，
故选：D
8．在空间中，若三个非零向量
满足
，则
的形状一定是（ ）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．无法判断
【答案】A
【分析】根据已知条件推出
，得
为锐角．同理可得
也为
锐角．由此可得答案.
【详解】
，
，
,
所以
，即知
为锐角．
同理可知
也为锐角．
故为锐角三角形．
故选：
．
9．如图，已知
的半径为
为该圆的两条切线，
为切点，那么
的最小
值为（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】设
，
，求出
，令
，求出
，求出
关于
和
的方程，求出
即可求解.
【详解】设
，
，
则
，
，
，
所以
，
令
，则
，
即
，
因为
是实数，所以
，整理得
，
解得
或
，
故
，此时
．
故选：D．
10．已知边长为2 的菱形
中，
，点
满足
，则
.
【答案】
【分析】应用向量的加减法及数乘运算，最后应用数量积公式及运算律计算求解.
【详解】边长为2 的菱形
中，
，点
满足
，
则
.
因为
，
所以
.
故答案为：
.
题型三：极化恒等式与等和线
1．设正方形
的边长为4，动点
在以
为直径的
上，如图，则
的取值
范围是 ．
【答案】
【分析】取
的中点
，连结
，根据极化恒等式
求解即可.
【详解】取
的中点
，连结
，
在
内使用极化恒等式得
易知
，故
．
故答案为：
2．如图，边长为2 的等边三角形
的外接圆为圆
为圆
上任一点，若
，则
的最大值为 ．
【答案】
【分析】解法一：以
为坐标原点，过点
平行于
的直线为
轴，建立平面直角坐标系，
根据已知条件得出三角形顶点坐标，结合等边三角形性质得出外接圆半径，由点
在
的外接圆上，设
得出
，
联立
构建关于
的关系求解.
解法二：过点P 作
的平行线，与直线
相交于点
，与直线
相交于点
，设
，则
，设
，结合图形讨论得出
，结合
和k 构建关于
的关系求解.
【详解】解法一：
如图，以
为坐标原点，过点
平行于
的直线为
轴，建立平面直角坐标系，
由题意可得
，
，
．
因为
是边长为2 的等边三角形，所以其外接圆的半径为
，
由点
在
的外接圆上，可设
，其中
，
则
．
又
，
所以
，
所以
，
当
，即
时，
取得最大值
，
所以
的最大值为
．
解法二：
如图，过点P 作
的平行线，与直线
相交于点
，与直线
相交于点
，
设
，则
，
由
，可设
，
当
过点
且与圆
相切时，
取最小值0，
当点
位于
与
同侧，且
与圆
相切于点
时，
取最大值
，
所以
，
所以
，
所以
，
所以
，
所以
的最大值为
．
故答案为：
3．已知
是边长为6 的等边三角形，若点
满足
，且
，其
中
，则
的取值范围为 .
【答案】
【分析】如图，令
，则
，其中
，
，由
知点
在线段
上（不含端点
），
因此
，其中
是边
上的高，即可得解.
【详解】如图，令
，则
，
即
，其中
，
，
由
知点
在线段
上（不含端点
）.
由于在
中，
，
，
，且点
在线段
上（不含端点
），
因此
，其中
是边
上的高.
由
可得
，
由
可得
，
所以
.
再由
可知
.
故答案为：
4．已知在
中，
，若
的最小值是2，则对于
内一点
的最小值是 ．
【答案】
【分析】根据题意和已知条件列出等式并化简，作出相应的图形，然后结合图形将
表示出来，进而求得最小值.
【详解】
，其中
，
由条件知该式的最小值是2．
设
，则点
在直线
上，
又
，故当
长度最小时，
为
的中点，
，如图，得
．
取
的中点
，连结
，取
的中点
，连结
，
则
，
当点
与点
重合时，上式有最小值，此时
．
故答案为：
.
5．直角梯形中，
，
，
，点
，
为
的中点，
在
边上运动(包含端点)，则
的取值范围为 .
【答案】
【分析】建立平面直角坐标系，再利用向量的数量积的坐标运算即可求解.
【详解】
建立平面直角坐标系如图，则
，
，
，
，
点
，
为
的中点，
，
，
，
，
，
在
边上运动(包含端点)，设
，
，
，
，
，
，
的取值范围为
.
故答案为：
.
6．已知圆
，过点
的直线与圆
交于
两点.则
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】求出
夹角的最小值和最大值，再利用向量的数量积公式求解即可.
【详解】圆
：
，圆心为
，半径
.
记点
为点
，
因为
，所以点
在圆内，
，
当点
为
的中点时，
的夹角最小，此时
，
，
所以
，所以
，所以
，
即
夹角的最小值为
；
当线段
是圆的一条直径时，
的夹角最大，最大值为
.
所以
，
,
所以
.
故选：A.
题型四：奔驰定理与三角形四心
1．设
是
的外心，点
满足
，则
是
的（ ）
A．内心
B．任意一点
C．垂心
D．重心
【答案】C
【详解】由题可得
，
由于
是
的外心，设
为线段
的中点，
故
且
，即
，
所以
，同理
，
，故
是
的垂心．
故选：C.
2．
中，
、
、
的对边分别为
、
、，若
且
，则
的形状是（ ）
A．顶角为
的等腰三角形
B．等边三角形
C．等腰直角三角形
D．直角三角形
【答案】C
【分析】由
推导得
的平分线垂直于边
，进而得
，再
由给定面积导出
得解.
【详解】如图所示，在边
、
上分别取点
、
，使
、
，
以
、
为邻边作平行四边形
，则
，显然
，
因此平行四边形
为菱形，
平分
，而
，
所以
，即
，于是得
是等腰三角形，即
，
令直线
交
于点
，则
是
边的中点，
，
而
，因此
，从而得
，
综上，
是等腰直角三角形.
故选：C
3．已知平面上四个点A，B，C，D，其中任意三个点不共线.若
则直线
BD 一定经过三角形ABC 的（ ）
A．垂心
B．内心
C．重心
D．外心
【答案】A
【分析】先将
整理，得到
，再利用平面向量的三角
形法则，求出
，得到
，从而得到直线BD 一定经过三角形ABC 的垂心.
【详解】
，
，
，
，
，
是三角形
的高线，
直线BD 一定经过三角形ABC 的垂心.
故选：A.
4．若
，
，
分别表示
，
的面积，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】作出辅助线，得到
，所以
三点共线，根据面积关系得到
.
【详解】如图，设
分别是
的中点．
因为
，所以
，
即
，所以
三点共线，
又
，故
，
为
的中位线，故
，故
，
又
，
，
所以
．
故选：D
5．设点
是面积为4 的
内部一点，且有
，则
的面积为
（ ）
A．1
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由
，确定
点位置，将面积问题转化成边长之比，进而可求
解.
【详解】如图，
，
，
设
，则
，故点
，
，
三点共线，
，
．
故选：C
6．已知点
是非等边
的外心，
是平面
内的一点且
，则
是
的（ ）
A．垂心
B．重心
C．内心
D．外心
【答案】A
【分析】由点
是非等边
的外心可得
，又因为平面内
满足
，所以
，设D 为
中点，得到
，
，从而得到
，
在
边的高线上.同理可得
在
边高
线上，
在
边高线上，故
为高线交点，即为垂心.
【详解】
因为点
是非等边
的外心，
所以
.
因为平面内
满足
，
所以
,
设D 为
中点，则有
，
所以
，
所以
在
边的高线上.
同理可得，
在
边高线上，
在
边高线上.
故点P 是
高线的交点，即为
的垂心.
故选：A.
7．
为
平面内一定点，该平面内一动点
满足
，则
的（ ）一定属于
集合
.
A．重心
B．垂心
C．外心
D．内心
【答案】A
【分析】根据题意画出图形，根据正弦定理得出
，代入关系式由向
量的加减法化简，得出
与
共线，由此得出点P 的轨迹，得出答案.
【详解】
中，根据正弦定理，
，即
.
设
，
，
所以
，
，
，
设D 为
中点，则
，故
，
所以
共线，
点
的轨迹为射线
（不含端点
）.
的重心一定属于集合
.
故选：A.
8．已知
为线段
上一点，
为直线
外一点，满足
，
，
，
为
上一点，且
，则
的值
为（ ）．
A．
B．2
C．
D．0
【答案】C
【分析】根据题意分析得出
平分
，
为
的内心，以及
在双曲线上，利用
数量关系，由切线长定理求出
在
上的投影.
【详解】设
因为
，
则
，
，
平分
；
而
，
，
又因为
分别表示
方向上的单位向量，
以这两个单位向量为邻边的平行四边形为菱形，故
在
的角平分线上；
由
为
上一点，则
为
的内心；作各边的垂线，如图所示，
由内心的性质可知，设
，
，
，
由
，
，则
，
解得
，则
.
故选：C．
题型五：平面向量的综合应用
1．在
中，
为
的中点，
为平面
内一点，且
，则（ ）
A．
的最大值为
B．
的最大值为
C．
的最大值为
D．
的最大值为
【答案】A
【分析】以
为坐标原点，
，
所在直线为
轴，建立平面直角坐标系，
为
以
为圆心，半径为
圆上一点，根据向量运算的几何意义逐选项判断即可.
【详解】
以
为坐标原点，
，
所在直线为
轴，建立平面直角坐标系，
所以
，设
，
所以
，
因为
，
所以
，即
，即
，
所以
为以
为圆心，半径为
圆上一点，
对于A，
，所以
，几何意义为
到原点
的距离，
所以
的最大值为
到原点的距离的最大值，
最大值为原点到圆心
距离加上半径，即
，故A 正确；
对于B，
，
，几何意义为
到
的距离，
所以
的最大值为
到
的距离的最大值，
最大值为
到圆心
距离加上半径，即
，故B 错误；
对于C，
，令
，即
，
即
，当
与圆相切时有最值，即
，
解得
，所以
的最大值为，即
的最大值为5，故C 错误；
对于D，
，因为
为以
为圆心，半径为
圆上一点，
所以
的最大值为
，所以
的最大值为
，故D 错误，
故选：A.
2．已知向量
，且
，则
．
【答案】2
【分析】根据数量积的坐标表示结合三角恒等变换可得
，结合诱导公式可得
，即可得模长.
【详解】因为向量
，
则
，
即
，可得
，
则
，
，
可知向量
，且
，
所以
.
故答案为：2.
3．椭圆
的长轴的顶点为
，动点
在椭圆内，且
，则
的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由题意可得点
的轨迹方程为
，根据题意可得
，结合数量积
的坐标运算可求
的取值范围.
【详解】由椭圆
，得
，解得
，所以
，
，
设
，则
，所以
，
由
，得
，
两边平方得
，
所以
，
所以
，即
，
所以点
的轨迹方程为
，
又因为动点
在椭圆内，所以
，即
，
故
．
故答案为：
．
4．平面内互不重合的点
、
、
、
、
、
，若
，
，
则
的取值范围是 .
【答案】
【分析】设O 为
的重心，由重心性质化简可得
，则
在以
点O 为圆心，
为半径的圆上，以点O 为坐标原点建立平面直角坐标系，进而利用数
形结合可求得的最大值与最小值，可得结论．
【详解】设O 为
的重心，则
，
，
因为
，所以
，设
，
则
在以点O 为圆心，
为半径的圆上，
以点O 为坐标原点建立平面直角坐标系，
则
，
当且仅当
都在线段
上时，等号成立，
，
当且仅当O 在线段
上，且
在线段
上时，等号成立，
综上所述，
的取值范围是
．
故答案为：
．
5．已知菱形
的边长为
，
，点
分别在直线
上，
，
.若
，
，则
模的最小值为 ．
【答案】
【分析】将求向量的模的最小值转换为求向量的平方的最小值，进而用
的代数式表示，
最后利用配方法求解.
【详解】
进而化简得
将
代入上式，
得
.
又因为
，故
，代入上式化简，
得
故当
时，
取最小值
，即
模的最小值为
.
故答案为：
.
6．在
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，满足
，
，且
，则
；若在线段AB 上存在动点P 使得
，则xy 的最大值为 ．
【答案】 4
【分析】根据正弦定理边角互化，以及数量积的定义可得
，
，进而结合
余弦定理可求解
，建立平面直角坐标系，设
，根据
与
得到
的等量关系，可求得
的最大值．
【详解】由
可得
，又
,故
，所以
，
由
和正弦定理可得
，即
，
,
故
，
又
，故
，
联立可得
，且故
，
以
为原点、
所在直线分别为
轴建立平面直角坐标系，如图：
则
，
，
，设
，
设
得
,
,
，
则
由
得
,
,
,
，
，
，得
，
的最大值为
，当且仅当
时取等号．
故答案为：4，
7．已知
分别为
三个内角
的对边，向量
，且
.
(1)求
；
(2)若
，求
的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先根据向量数量的坐标表示和正弦定理得到
，再
结合辅助角公式即可求解；
（2）由条件得到
，通过平方求得
，再由面积公式即可求解.
【详解】（1）
由正弦定理得，
，
化简得
，
即
，
，即
，
又
，故
，即
；
（2）
，
，
则
，
由（1）知
，
，
，
，
或
（舍去），
故
.
8．在
中，角
、
、
的对边分别为
，
，，向量
，
，且
.
(1)求角
的值；
(2)若
，
是
边上的中线，
，求
的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意利用正弦定理边化角，再结合三角恒等变换运算求解
，
（2）利用向量法结合中线长公式求出边
的值，再利用三角形面积公式求解
【详解】（1）因为
，所以
，所以
，
所以
，由正弦定理得
，即
，
且
，则
，可得
，
因为
，所以
，
（2）由题意得
，则
，
即有
，且
，解得：
，所以
，
故
的面积为
.
9．已知向量
，
，记函数
.
(1)若
为偶函数，求
的最小值；
(2)把
图象向右平移
个单位长度，得到函数
图象.若函数
在区间
内恰有20 个零点，求
的最小值.
【答案】(1)
；
(2)
【分析】（1）应用数量积坐标公式计算化简，再应用函数是偶函数得出
即可得出最小值；
（2）应用平移得出
，再应用零点得出
，进而应用个
数得出
的最小值.
【详解】（1）
，
因为
为偶函数，
所以
，
，
因此当
时，
.
（2）把
图象向右平移
个单位长度，
得到函数
，
，
令
，则
.
所以
，
或
，
，
解得
，
或
，
.
函数
的每个周期内有2 个零点，
函数在一个周期内有两个零点，20 个零点即10 对，
为使区间长度
最小，该区间应从第1 个零点延续到第20 个零点，
所以
的最小值为
.
10．已知
的内角
的对边分别为
，且
.
(1)求
；
(2)若
的面积为
，且
，求
的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）运用正弦定理进行边化角，再运用辅助角公式，即可得解；
（2）由三角形面积可得
，再将
用
与
进行表示，表示出
后，利用基本
不等式进行求解即可.
【详解】（1）由正弦定理，
可转化为
，
在三角形中，
恒成立，两边同除
，得
，
即
，则
，则
或
，
则
或
（舍去），
故
.
（2）
由题可知，
为
的中点，
为
的三等分点，且
.
又
，
.
由
，可得
.
，
当且仅当
时，即
时，等号成立.
故
的最小值为
.
多选题练习
1．下列四个命题中，说法不正确的是（ ）
A．空间任意两个单位向量必相等
B．对于非零向量，由
，则
C．
是
共线的充分不必要条件
D．若向量
满足
，则
【答案】ABD
【分析】根据单位向量、相等向量、共线向量、向量的数量积等逐项进行分析判断即可.
【详解】选项A：单位向量的模长均为1，但方向任意，而相等向量需要模长和方向都相
同，因此空间任意两个单位向量不一定相等，A 错误.
选项B：因为为非零向量，所以
可化为
，故
，无法推出
，B 错误.
选项C：若
，则
，即
，
所以
，说明
反向共线；
当
共线时，①
同向时，
，②
反向时，
，
所以
不一定等于
. 因此
是
共线的充分不必要条件，C 正确.
选项D：向量是既有大小又有方向的量，不能直接比较大小，故D 错误.
故选：ABD.
2．下列说法错误的有（ ）
A．如果非零向量
与
的方向相同或相反，且
，那么
的方向必与
或
的方
向相同
B．若向量
，
方向相反，且
，则向量
的方向与向量
的方向相反
C．若
，则A，B，C 一定为一个三角形的三个顶点
D．若
，
均为非零向量，则
【答案】BCD
【分析】直接利用向量的概念，向量的线性运算，三角形法则，向量的模的应用逐项判断．
【详解】对于A，因为向量
与
的方向相同或相反且
，所以
的方向必与
或
的方向相同，故A 正确；
对于B，因为
，
的方向相反，且
，可知
的方向与
的方向相同，故B 错
误；
对于C，当A，B，C 三点共线时，也可以满足
，故C 错误；
对于D，当
，
反向时，
，等式不成立，故D 错误.
故选：BCD.
3．下列命题中正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，且
，则
D．若非零向量
，满足
，则
【答案】BD
【分析】对A，若
，则
与不一定平行；对B，由向量相等的定义判断；对C，利
用向量数量积的运算性质判断；对D，根据数量积的运算律及垂直的向量表示判断.
【详解】对于A，若
，满足
，
，但
与不一定平行，故A 错误；
对于B，由向量相等的定义可知B 正确；
对于C，若
，即
，但
不一定成立，故C 错误；
对于D，由
，则
，即
，
整理得
，又
是非零向量，所以
，故D 正确.
故选：BD.
4．下列关于空间向量的命题中，正确的是（ ）
A．空间中所有的单位向量的模都相等
B．空间中两个向量相等，则它们的起点与终点相同
C．若两个非零向量
，
与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则
，
共线
D．设
是空间中任意一点，若
，则
，
，
，
四点共面
【答案】ACD
【分析】结合空间向量的基本概念依次判断即可．
【详解】对于A 项，空间中所有的单位向量的模都为1，故A 项正确；
对于B 项，若两个非零向量方向相同且长度相等则它们是相等向量，
但它们的起点与终点可以不相同，故B 项错误；
对于C 项，若两个非零向量
，
不共线，
则它们可以确定一个平面，此时一定可以找到一个向量不在此平面内，
使得
，
，不共面，从而构成空间的一个基底，
这与题设“与任何一个向量都不能构成空间的一个基底”矛盾，
故假设不成立，所以
，
共线，故C 项正确；
对于D 项，因为
，所以
，
，
，
四点共面，故D 项正确．
故选：ACD
5．已知向量
，
，
与
不共线，向量
，OC 平分
，则下
列结论一定正确的是（ ）
A．
B．
C．向量
，
在
上的投影向量相等
D．
【答案】BC
【分析】利用向量的加法、减法法则作出图象，利用OC 平分
，得到四边形
为菱形，对每一个选项进行判断，即可得到答案.
【详解】对于A，因为
平分
，所以四边形
为菱形，
不一定垂直，所以A 错误；
对于B，因为
平分
，所以四边形
为菱形，所以
，
又因为
，
，所以
，所以B 正确；
对于C，设
与
的交点为
，如图，
向量
在
上的投影向量为
，
向量
在
上的投影向量也为
，所以C 正确；
对于D，
，
，
与
不一定相等，所以D 错误.
故选：BC.
6．已知向量
，
，则下列结论正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
与
的夹角为
，则
D．若
与
方向相反，则
在
上的投影向量的坐标是
【答案】ABD
【分析】选项A，用向量平行的坐标条件
，求
；选项B，用向量垂直的
数量积为0 求
.选项C，先由夹角求数量积，再用向量差的模长公式计算验证.选项
D，先由相反向量得
坐标，再用投影向量公式计算验证.
【详解】选项A，若
，则
，
即
，(
)，得
=
，所以A 正确。
选项B，若
，则
即
，得
，所以B 正确。
选项C，若
与
的夹角为
，
又因为
，而
，
代入得：
，所以C 错误。
选项D，若
与
方向相反，则
(
)，且
，
，由
，得
，
故
，
在
上的投影向量公式为：
，计算
，
，
代入得：
，D 正确.
故选：ABD.
7．在
中，角
均不为直角，角
的对边分别为
，
是一动点，则下列
命题正确的是（ ）
A．
B．若
，则
过
的垂心
C．若
，则
过
的重心
D．若
，则
过
的外心
【答案】AB
【分析】利用余弦定理结合向量数量积的定义计算可判断A；利用向量数量积的运算律计
算得
，可说明
，即可判断B；假设
过
的重心，可设
，根据平面向量基本定理计算化简可得
，此式不一定成立，由此可判
断C；将原式变形为
，可得
过
的内心，即可判断D.
【详解】对于A，根据余弦定理，
，则
，故A 正确；
对于B，
，
，即
，则
过
的垂心，故B 正确；
对于C，假设
过
的重心，则
与
边上的中线共线，可设
，
，
，
则
，即
，
由正弦定理可得
，即
时，
过
的重心，故此式不一定成立，
所以
不一定过
的重心，故C 错误；
对于D，
，
其中
表示角
的平分线所在向量，所以
过
的内心，故D 错误.
故选：AB.
